基数と序数

『基数と序数』は、ポーランドの数学者ヴァツワフ・シェルピンスキによる超限数に関する書籍である。1958年にポーランド科学アカデミー数学研究所のモノグラフ・マテマティチネ・シリーズの第34巻として、 Państwowe Wydawnictwo Naukoweから出版された。 ^{[ 1 ] [ 2 ]}シェルピンスキは、1928年の著書『超限数に関する講義』で同じテーマについて以前にも書いていたが、1958年の著書は完全に書き直され、大幅に長くなっている。 ^{[ 1 ]} 1965年には、若干改訂された第2版が出版された。 ^{[ 2 ] [ 3 ]}

素朴集合論と集合論的記法に関する 5 つの入門章と、選択公理に関する 6 番目の章の後、本書には基数、その算術、基数の数列と積に関する 4 つの章があり、約 50 ページで構成されています。これに続いて、4 つのより長い章 (合計約 180 ページ) では、集合の順序、順序タイプ、整列順序、順序数、順序算術、およびすべての順序数の集合が集合になり得ないというBurali-Forti のパラドックスを扱います。最後の 3 つの章では、アレフ数と連続体仮説、選択公理と同等の命題、および選択公理の結果について扱います。^{[ 1 ] [ 2 ]}

第2版​​は、この分野における後の2つの発展に関する脚注を追加した以外は、初版からわずかな変更しか加えていない。その2つの発展とは、ポール・コーエンによる連続体仮説の独立性の証明と、ロバート・M・ソロベイによる、すべての実数集合がルベーグ可測であるソロベイモデルの構築である。^{[ 2 ]}

シェルピンスキは超限数の理論への重要な貢献で知られており、^{[ 1 ] [ 3 ]}評論家のルーベン・グッドスタインは彼の著書を「成果の宝庫」と呼び、^{[ 3 ]}同様にレナード・ギルマンは「注意深く明快に提示された興味深い数学的情報の要約として非常に価値がある」と書いています。ギルマンとジョン・C・オクトビーは共にその文体を「ゆったりとした」「急がない」と評しており、^{[ 1 ] [ 2 ]}ギルマンは以前のポーランド語の原稿から英語への翻訳が洗練されていないと批判し、参考文献にいくつかの誤りを指摘していますが、本文の文章には問題がないと考えています。^{[ 2 ]}

1970年にスティーブン・ウィラードが著した『一般トポロジー』という本の中で、ウィラードはこの本を集合論に関する5つの「標準的な参考文献」の1つとして挙げている。^{[ 4 ]}