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幾何学において、多面体（複数形：polyhedraまたはpolyhedrons、ギリシャ語のπολύ (poly-)「多くの」とἕδρον (-hedron)「底面、座面」に由来）は、平らな多角形の面、直線状の辺、鋭い角または頂点を持つ三次元図形です。「多面体」という用語は、立体図形またはその境界面を指す場合があります。この 2 つの概念を区別するために、一般的に「立体多面体」と「多面体表面」という用語が使用されます。[ 1 ]また、 「多面体」という用語は、立体多面体、その多面体表面、面、辺、頂点によって形成される構造全体を暗黙のうちに指すためによく使用されます。
多面体には多くの定義があり、すべてが同等というわけではありません。どの定義においても、多面体は通常、2 次元多角形を一般化したものであり、多面体(任意の次元におけるより一般的な概念)の 3 次元特殊化であると理解されています。多面体には、面の数、オイラー標数による位相分類、双対性、頂点図形、表面積、体積、内部線、デーン不変量、対称性など、いくつかの一般的な特徴があります。多面体の対称性とは、回転や鏡映などの変換によって多面体の外観が変化しないことを意味します。
凸多面体は、複数の標準的な定義を持つ、明確に定義された多面体のクラスです。すべての凸多面体は、その頂点の凸包であり、有限個の点の凸包は多面体です。立方体やピラミッドなど、多くの一般的な凸多面体の族は、その代表的な例です。
多面体にはさまざまな種類があります。空間充填多面体とは、3 次元空間で自分自身のコピーや他の異なる種類の多面体と詰め込むことができる多面体のことです。柔軟多面体とは、面の形状を維持したまま全体の形状を変えることができる多面体のことです。そのような多面体もいくつかあります。理想多面体は、3 次元双曲空間で定義される凸多面体です。格子多面体は、整数座標で構成できる凸多面体です。直交多面体とは、すべての辺が直交し、デカルト座標系の 3 つの軸すべてに平行な多面体のことです。多面体のコピーは中心を共有することができ、これは多面体複合体として知られています。多面体は、曲面や曲辺も許容する、無限に多くの面を持つアペイロヘドラに一般化できます。
多面体の起源は古代に遡ります。古代エジプトの四面体のピラミッドはピラミッド構造で知られており、モスクワ数学パピルスではその体積、特に円錐台の体積の計算が研究されています。古代ギリシャでは、エトルリア文明のモンテ・ロッファにある滑石製の十二面体が発見され、プラトン立体は古代ギリシャの数学者によって発見・研究されました。プラトンは『ティマイオス』でそれぞれの自然との関連性を記述し、後にユークリッドの『原論』でその扱いが研究されました。ルネサンス期には、トーラス多面体が多面体の透視図、骨格モデル、展開図のスケッチに使用されました。レオンハルト・オイラーは多面体の特性とケーニヒスベルクの七つの橋の問題の解決に取り組み、トポロジーの分野の基礎を築きました。ヨハネス・ケプラーは2つの非凸正多面体を発見し、ルイ・ポアンソが残りの2つの多面体を前置して拡張し、ケプラー・ポアンソ多面体として知られるようになりました。ヒルベルトの第3問題、シュタイニッツの定理、プラトン立体の星型化など、多面体の概念に関する多くの成果があります。多面体は多くの分野で使用されており、生物、自然、現代の計算幾何学にも現れます。
多面体理論における原罪はユークリッドに遡り、ケプラー、ポワンソ、コーシー、その他多くの人々を通して、各段階で著者は多面体とは何かを定義することに失敗した。
凸多面体にはいくつかの標準的な定義がありますが、特定の退化ケースを除いてそれらは同等であるため、凸多面体の概念は合意されています。対照的に、多面体全般の定義については普遍的な合意はなく、多面体に関する多くの研究は形式化されていない直感的な概念を使用しています。[ 2 ]
異なる文脈で「多面体」の定義が異なって与えられてきました。[ 3 ]これらの定義の中には、多面体として数えられることが多い形状（自己交差多面体など）を除外するものや、有効な多面体とはみなされないことが多い形状（境界が多様体ではない立体など）を含むものがあります。また、これらの定義のいくつかは、多面体の面の数が有限であることを明示的に要求していますが、斜アペイロヘドラのように無限に多くの面を持つ形状も多面体と呼ばれてきました。[ 4 ]それにもかかわらず、多面体は、頂点（角の点）、辺（特定の頂点のペアを結ぶ線分）、 面（2次元多角形） によって記述できる立体または表面であり、特定の3次元の内部体積を持つと言われることもある、という点については概ね合意が得られています。これらの異なる定義は、多面体を立体として記述するか、表面として記述するか、あるいはその入射幾何学に基づいてより抽象的に記述するかによって区別することができる。[ 5 ]
これらの定義すべてにおいて、多面体は通常、任意の次元のより一般的な多面体の3 次元の例として理解されます。たとえば、多角形は 2 次元の本体を持ち、面はありませんが、 4 次元多面体は 4 次元の本体と追加の 3 次元の「セル」のセットを持ちます。ただし、高次元幾何学に関する文献の中には、「多面体」という用語を別の意味で使用しているものがあります。つまり、3 次元多面体ではなく、何らかの点で多面体とは異なる形状です。たとえば、凸多面体を有限個の半空間の交差として定義し、多面体を境界付き多面体として定義している資料もあります。[ 16 ] [ 17 ]この記事の残りの部分では、3 次元多面体のみを考察します。
多面体は分類することができ、多くの場合、面の数に応じて命名されます。命名システムは古典ギリシャ語に基づいており、面の数を数える接頭辞と、「底面」または「座面」を意味し、面を指す接尾辞「hedron」を組み合わせています。たとえば、四面体は 4 つの面を持つ多面体、五面体は 5 つの面を持つ多面体、六面体は 6 つの面を持つ多面体などです。[ 18 ]ギリシャ数字の接頭辞の完全なリストについては、「数字の接頭辞 § 英語の数字の接頭辞の表」のギリシャ語の基数詞の列を参照してください。正四面体、正六面体、正八面体（八面体）、正十二面体（十二面体）、正二十面体（二十面体）という名称は、プラトン立体を指す際に特に修飾語を付けずに使用される場合もあれば、対称性を仮定せずに、与えられた数の面を持つ多面体を指す際に一般的に使用される場合もある。[ 19 ]
多面体の中には、表面に2つの異なる面を持つものがあります。例えば、凸多面体の紙模型の内側と外側には、それぞれ異なる色を付けることができます（ただし、内側の色は見えません）。このような多面体は向き付け可能です。自己交差のない非凸多面体についても同様です。自己交差のある非凸多面体の中には、同じように色を付けることができますが、領域が「裏返し」になっているため、両方の色が外側の異なる場所に表示されます。これらは依然として向き付け可能であると考えられます。しかし、四半六面体のような単純多角形の面を持つ他の自己交差多面体では、隣接する面が一貫した色になるように、各面の2つの面を2つの異なる色で着色することはできません。この場合、多面体は向き付け不可能であると言われます。自己交差面を持つ多面体の場合、隣接する面が一貫して着色されていることが何を意味するのかは明確ではないかもしれないが、これらの多面体については、頂点、辺、面の間の接続が同じ位相セル複合体を考慮することで、向き付け可能か向き付け不可能かを判断することは依然として可能である。 [ 20 ]
多面体表面のより微妙な区別は、頂点の数を組み合わせたオイラー標数によって与えられます。エッジ顔多面体の数を単一の数値に変換する式で定義される
同じ公式は、他の種類の位相曲面のオイラー特性にも使用されます。これは曲面の不変量であり、単一の曲面を複数の方法で頂点、辺、面に分割した場合、オイラー特性はこれらの分割で同じになります。凸多面体、またはより一般的には位相球面の表面を持つ任意の単連結多面体の場合、オイラー特性は常に 2 になります。より複雑な形状の場合、オイラー特性は曲面のトーラス状の穴、ハンドル、またはクロスキャップの数に関係し、2 未満になります。 [ 21 ] オイラー特性が奇数のすべての多面体は向き付けできません。オイラー特性が偶数の図形は、向き付け可能である場合とそうでない場合があります。たとえば、1 つの穴があるトーラスとクラインの壺はどちらも前者は向き付け可能で、後者は向き付け不可能である。[ 20 ]
多面体を定義する多くの方法（すべてではない）では、多面体の表面は多様体である必要があります。これは、すべての辺がちょうど 2 つの面の境界の一部であること（共有する辺に沿ってのみ接する 2 つの立方体の和集合のような形状は許容されない）、およびすべての頂点が辺と面の単一の交互サイクルに接していること（単一の頂点のみを共有する 2 つの立方体の和集合のような形状は許容されない）を意味します。このように定義された多面体の場合、多様体の分類は、表面の位相タイプがそのオイラー特性と向き付け可能性の組み合わせによって完全に決定されることを意味します。たとえば、表面が向き付け可能な多様体であり、オイラー特性が 2 であるすべての多面体は位相球でなければなりません。[ 20 ]
トーラス多面体とは、オイラー標数が 0 以下、または同等に種数が 1 以上である多面体のことです。位相的には、このような多面体の表面は、中央に 1 つ以上の穴が開いたトーラス面です。 [ 22 ] 注目すべき例として、幾何学的にヒーウッド写像を実現するシラッシ多面体があります。正多面体の対称性を持ち、種数が 1 より大きい多面体は、レオナルド多面体です。[ 23 ]
すべての凸多面体に対して、双対多面体が存在する。
凸多面体の双対は、極反転のプロセスによって得られる。[ 24 ] 双対多面体はペアで存在し、双対の双対は元の多面体そのものである。一部の多面体は自己双対であり、これは多面体の双対が元の多面体と合同であることを意味する。[ 25 ]ただし、極反転とは異なり、自己双対性が対合ではない可能性があり、自己双対性を2回繰り返しても、多面体の各頂点と面が元の位置に戻らない可能性がある。[ 26 ]
抽象多面体には双対も存在し、多面体を定義する部分順序を反転させることで双対または反対の順序が得られます。[ 15 ]これらは、元の多面体と同じオイラー特性と向き付け可能性を持ちます。ただし、この形式の双対性は双対多面体の形状を記述するのではなく、その組み合わせ構造のみを記述します。非凸幾何学的多面体の定義によっては、抽象双対が同じ定義の下で幾何学的多面体として実現できない多面体が存在する場合があります。[ 12 ]
頂点ごとに頂点図形を定義することができ、これは頂点の周りの多面体の局所的な構造を表します。正確な定義は様々ですが、頂点図形は、多面体をスライスして頂点を切り取ったときに露出する多角形と考えることができます。[ 10 ]プラトン立体やその他の高度に対称な多面体の場合、このスライスは頂点に接する各辺の中点を通るように選択できますが、 [ 27 ]他の多面体ではこれらの点を通る平面がない場合があります。凸多面体、より一般的には頂点が凸位置にある多面体の場合、このスライスは頂点を他の頂点から分離する任意の平面として選択できます。[ 28 ]多面体に対称中心がある場合、この平面は与えられた頂点と中心を通る線に垂直になるように選択するのが標準です。[ 29 ]この選択では、頂点図形の形状は拡大縮小を除いて決定されます。多面体の頂点が凸位置にない場合、各頂点を他の頂点から分離する平面が常に存在するとは限りません。この場合、代わりに、頂点を中心とする小さな球で多面体をスライスするのが一般的です。[ 30 ]これもまた、拡大縮小を除いて不変な頂点図形の形状を生成します。これらの選択はすべて、適用可能な多面体に対して同じ組み合わせ構造を持つ頂点図形につながりますが、異なる幾何学的形状を与える可能性があります。
多面体の表面積は、面の面積が明確に定義されている多面体の定義においては、その面の面積の合計です。多面体の表面上の任意の 2 点間の測地距離は、その 2 点を結ぶ最短の曲線の長さを測り、その曲線は表面内にとどまります。アレクサンドロフの一意性定理によれば、すべての凸多面体は、その表面上の測地距離の計量空間によって一意に決定されます。ただし、非凸多面体は互いに同じ表面距離を持つ場合や、特定の凸多面体と同じ表面距離を持つ場合があります。[ 31 ]
線分が同じ面にない 2 つの頂点を結ぶ場合、それは多面体の対角線を形成します。 [ 32 ]ピラミッドの族のように、すべての多面体に対角線があるわけではありません。[ 33 ]シェーンハルト多面体には 3 つの対角線があり、それらはすべて多面体の外側にあります。また、チャサール多面体には対角線がありません (むしろ、すべての頂点のペアが辺で接続されています)。[ 34 ]
多面体には、占める空間の大きさを表す体積と呼ばれる量が存在します。単純な立体のグループには、体積を表す簡単な公式があります。例えば、ピラミッド、プリズム、平行六面体の体積は、辺の長さやその他の座標を用いて容易に表すことができます。（これらの公式の一覧については、「体積 § 体積の公式」を参照してください。）
より複雑な多面体の体積は、単純な公式では求められない場合があります。そのような多面体の体積は、多面体をより小さな部分に分割することによって計算できます（例えば、三角形分割など）。例えば、プラトン立体の体積は、多面体の面を底面とし、多面体の中心を頂点とする合同なピラミッドに分割することによって計算できます。
一般に、発散定理から多面体の体積は次のように表される ことが導き出せる。 ここで、合計は面全体にわたるものである。多面体の、面上の任意の点、は、に垂直な単位ベクトルです。立体の外側を指し、乗算ドットはドット積である。[ 35 ]高次元では、頂点のみで指定された凸多面体の面を列挙するのが難しいため、体積の計算が困難になる場合があり、このような場合に体積を決定するための特殊なアルゴリズムが存在する。 [ 36 ]
2次元では、ボヤイ・ゲルヴィンの定理は、任意の多角形を有限個の多角形片に分割して並べ替えることで、同じ面積の任意の多角形に変換できると主張している。多面体に関する同様の問題は、ヒルベルトの第3問題であった。マックス・デーンは、2次元の場合とは異なり、同じ体積の多面体であっても、より小さな多面体に分割して再構成することができない多面体が存在することを示すことで、この問題を解決した。これを証明するために、デーンは多面体に関連付けられた別の値、デーン不変量を発見した。これにより、2つの多面体は、同じ体積とデーン不変量を持つ場合にのみ、互いに分割できる。後にシドラーによって、これが分割の唯一の障害であることが証明された。同じ体積とデーン不変量を持つ任意の2つのユークリッド多面体は、分割して再構成することができる。[ 37 ]デーン不変量は数値ではなく、多面体の辺の長さと二面角から決定される無限次元ベクトル空間内のベクトルである。 [ 38 ]
ヒルベルトのもう一つの問題、ヒルベルトの第１８問題は、（とりわけ）空間を敷き詰める多面体に関するものである。そのような多面体はすべて、デーン不変量がゼロでなければならない。[ 39 ]デーン不変量は、柔軟な多面体にも強いふいごの定理によって関連付けられている。この定理は、柔軟な多面体のデーン不変量は、それが曲がっても不変のままであると述べている。[ 40 ]
多面体の面は、平面上で重なり合わない辺でつながった多角形の配置に展開することができます。このような配置は、多面体のネットとして知られています。ネットは、紙やその他の柔軟な材料から多面体のモデルを構築するために使用できます。 [ 41 ]
最もよく研究されている多面体の多くは、高い対称性を持っています。平面による鏡映や、空間内の対向する2つの頂点、辺、または面を通る軸を中心とした回転によって、その外観は変化しません。各対称性によって特定の要素の位置が変わることがありますが、すべての頂点（同様に面と辺）の集合は変わりません。多面体の対称性の集合は、その対称群と呼ばれます。[ 42 ]
対称性によって重ね合わせることができるすべての要素（頂点、面、辺）は、対称軌道を形成すると言われます。これらの要素が同じ軌道にある場合、図形は軌道上で推移的である可能性があります。個別に、それらは等面体（または面推移的、つまり対称変換が軌道内の多面体の面を含む）、[ 43 ] [ a ]等角（または辺推移的、辺の多面体を含む）、[ 44 ]および等角（または頂点推移的、多面体の頂点を含む）です。たとえば、すべての面が 1 つの軌道にあり、その軌道での回転と反射を含む立方体は、外観が変化しません。したがって、立方体は面推移的です。立方体には、他の 2 つの対称性もあります。[ 45 ]
多面体にそのような対称性が 3 つある場合、それは正多面体として知られています。[ 45 ]正多面体は 9 つあります。5 つのプラトン立体(立方体、正八面体、正二十面体、正四面体、正十二面体-これらはすべて正多角形の面を持っています) と 4 つのケプラー・ポアンソ多面体です。ただし、一部の多面体は、これらの対称性のうち 1 つまたは 2 つを持たない場合があります。
多面体の中には鏡映対称性を持たないものがあり、互いに鏡像関係にある2つの鏡像異性体を持つ。例としては、ねじれ立方八面体やねじれ二十十二面体などが挙げられる。このような多面体はキラルであると言われる。
多面体の点群とは、 3次元空間で変換しても多面体の外観が維持されるように、その対称操作を備えた数学群のことである。ここで示される変換には、軸周りの回転、平面による反射、中心点による反転、およびこれら3つの組み合わせが含まれる。[ 46 ]
多面体群は、もともと 3 つのプラトン立体 (正四面体、正八面体、正二十面体) から派生した対称群です。これら 3 つの立体は、それぞれ正四面体対称、正八面体対称、正二十面体対称と呼ばれる点群を持ちます。これらのそれぞれは、キラル多面体群として知られる多面体の回転群に焦点を当てており、追加の反射対称は完全な多面体群として知られています。ピリトヘドラル対称という 1 つの点群は、正四面体対称の回転を含み、さらに 3 つの反射対称面といくつかの回転反射を持ちます。全体として、前述の多面体群は次の箇条書きにまとめられています。[ 47 ]
3次元空間における点群は、軸を中心とした回転によって多面体の外観を維持することを可能にする場合もある。このような点群には3つの種類がある。
点群対称軸を中心とした回転と水平面への反射から成ります。、対称群は完全な回転のみによって対称性を保持する。通常は、[ 49 ]多面体は対称性を保つためだけに回転することができ、対称群は巡回群とみなすことができる。[ 50 ]回転反射と巡回群による回転を持つ多面体は点群である[ 51 ]
前述のように、凸多面体は明確に定義されており、いくつかの同等の標準的な定義があります。それらはしばしば、有限個の半空間の境界付き交差として定義されます[ 16 ] [ 17 ]、または有限個の点の凸包として定義されます[ 52 ]。いずれの場合も、非ゼロの体積を持つ交差または包に制限されます。
凸多面体の分類には、以下のものが含まれます。
凸多面体は、基本多面体と複合多面体に分類できます。基本多面体は、平面で切断しても2つ以上の多面に分割できない凸で正多面体です。[ 62 ]複合多面体とは正反対に、基本多面体をさらに追加して構成した多面体と定義することもできます。例えば、三角柱の正方形の面に3つの正四角錐を取り付けることで構成できる三角柱は複合多面体です。正四角錐と三角柱は基本多面体です。[ 63 ]
凸多面体の中には、各辺に接する球である中間球を持つものがあり、これらの球がすべて存在する多面体の場合、その中間球の半径は内接球と外接球の中間になります。すべての凸多面体は、中間球の中心が辺との接点の重心と一致する多面体である標準多面体と組み合わせ論的に等価です。標準多面体の形状（ただし、そのスケールや位置は除く）は、与えられた多面体の組み合わせ構造によって一意に決定されます。[ 64 ]
面構造を無視することで、任意の多面体は、対応する頂点と辺を持つグラフ、すなわち多面体の骨格を生み出します。このような図形には長い歴史があります。レオナルド・ダ・ヴィンチは正多面体のフレームモデルを考案し、パチョーリの著書『ディヴィナ・プロポルティオーネ』のために描きました。また、同様のワイヤーフレーム多面体は、 MCエッシャーの版画『星』にも登場します。[ 67 ] このアプローチのハイライトの1つは、凸多面体の骨格を純粋にグラフ理論的に特徴付けるシュタイニッツの定理です。この定理は、すべての凸多面体の骨格は3連結の平面グラフであり、そのようなグラフはすべて何らかの凸多面体の骨格であると述べています。言い換えれば、これらは辺が交差することなく平面上に描くことができ、任意の2つの頂点を取り除いた後も連結性を維持する連結グラフです。[ 68 ]
代表的な非凸多面体には星型多面体がある。正星型多面体はケプラー・ポアンソ多面体とも呼ばれ、正凸多面体の星型化または面分割によって構成できる。星型化とは、面を（平面内で）拡張して互いに接するようにするプロセスである。面分割とは、多面体の一部を取り除いて新しい面（またはファセット）を作成するプロセスであり、新しい頂点は作成しない。[ 69 ] [ 70 ]多面体の面とは、その角が多面体の頂点であり、かつ面ではない多角形のことです。[ 69 ]例えば、対角線（面の対角線または空間の対角線）を含む多角形などです。星型化と面付けは逆または相互的なプロセスです。ある星型化の双対は、元の多面体の双対の面付けです。[ 71 ]他の例としては、シャゼル多面体[ 72 ]やトーラス多面体[ 73 ]などがあります。
空間充填多面体とは、自身のコピーを詰め込んで空間を完全に埋めることができる多面体のことです。このような密充填または空間充填は、しばしば空間のテセレーションまたはハニカムと呼ばれます。これには、平行多面体（またはフェドロフ多面体）が含まれます。平行多面体は、回転せずに平行移動した自身のコピーを使用してテセレーションを形成します。[ 74 ]対称デローン集合のボロノイセルとして定義されるプレシオヘドラ、および空間充填四面体の族であるヒル四面体が含まれます。平行多面体とプレシオヘドラは、空間を等面体でタイル張りする立体多面体の例です。[ 75 ] すべての空間充填多面体は、デーン不変量がゼロに等しくなければなりません。[ 76 ]
ハニカム構造の中には、正八面体と正四面体、正八面体と立方八面体のタイル張りなど、複数の種類の多面体を含むものがある。[ 77 ]
多面体の中には、辺の角度を変えることで、面の形状はそのままに全体の形状を変えることができるものがあります。このような多面体を柔軟多面体と呼びます。コーシーの剛性定理によれば、柔軟多面体は非凸でなければなりません。柔軟多面体の体積は、曲げても一定に保たれなければなりません。この結果は、ふいごの定理として知られています。[ 78 ]例として、シュテフェンの多面体、[ 79 ]ブリカールの八面体、[ 80 ]ココトサキスの多面体、 [ 81 ]が挙げられます。
凸多面体は、ユークリッド空間と同様に、有限個の点の凸包として、 3次元双曲空間でも定義できます。ただし、双曲空間では、理想点と空間内の点も考慮することができます。理想多面体は、有限個の理想点の凸包です。[ 82 ]その面は理想多角形ですが、辺は線分ではなく完全な双曲線で定義され、頂点（凸包である理想点）は双曲空間内にはありません。
すべての頂点が整数座標を持つ凸多面体は、格子多面体または整数多面体と呼ばれます。格子多面体のエールハート多項式は、スケール係数の関数として、多面体の拡大コピー内に含まれる整数座標を持つ点の数を数えます。これらの多項式の研究は、組み合わせ論と可換代数の交点にあります。[ 83 ]例として、リーブ四面体があります。[ 84 ]
格子多面体とトーリック多様体と呼ばれる特定の代数多様体の間には、広範囲にわたる等価性がある。[ 85 ]これはスタンレーによって単体多面体に対するデーン・サマービル方程式を証明するために使用された。[ 86 ]
多面体複合体は、共通の中心を共有する 2 つ以上の多面体から構成されます。対称複合体は、他のよく知られた多面体と同じ頂点を共有することが多く、星型化によって形成されることもよくあります。たとえば、2 つの正四面体の複合体は、互いに交差する 2 つの正四面体から作られるか、または正八面体の基礎となる面を拡張することによって作られます。そのため、「星型八面体」とも呼ばれます。結果として得られる多面体は、追加の三角形の面を形成します。[ 87 ]
ゾノヘドロンは、すべての面が180°回転に対して対称な多角形である凸多面体です。ゾノヘドロンは、線分のミンコフスキー和としても特徴付けられ、いくつかの重要な空間充填多面体を含みます。 [ 88 ]
多面体は、そのすべての辺がデカルト座標系の軸に平行であるため、直交していると言われます。 [ 89 ]これは、すべての面が直角に交わることを意味しますが、この条件はより弱いものです。ジェッセンの正二十面体には、直角に交わる面がありますが、軸に平行な辺はありません。[ 90 ]直方体を除いて、直交多面体は非凸です。これらは、直交多角形としても知られる2次元直交多角形の3次元アナログです。直交多面体は計算幾何学で使用され、その制約された構造により、任意の多面体では解決できなかった問題、たとえば多面体の表面を多角形のネットに展開する問題の進歩が可能になりました。[ 91 ]ポリキューブは、同一の立方体に分解できる直交多面体の特殊なケースであり、平面ポリオミノの3次元アナログである。[ 92 ]
「多面体」という名称は、伝統的な多面体と同様の構造特性を持つ様々な物体に対して用いられるようになった。
古典的な多面体表面は、辺に沿って対になって結合された有限個の面を持つ。アペイロヘドラは、無限個の面を持つ関連する種類の物体である。アペイロヘドラの例としては、平面のタイル張りやテセレーション、無限斜多面体と呼ばれるスポンジ状の構造などが挙げられる。
斜多面体は、非平面の面を持つ多面体です。正斜アペイロヘドラは、正斜多角形の拡張から生まれました。これらの多角形は、非平面の頂点を持つことで知られています。 1926年にこのような概念を3次元の場合に一般化したジョン・フリンダーズ・ペトリーは、最初の2つのアペイロヘドラを発明しました。これらは、隣接する多面体の共有正方形面を取り除いてトンネルを形成することにより、立方体と切頂八面体から構成されるムキューブとムコタヘドロンです。3番目の正斜多面体であるミューテトラヘドロンは、後にハロルド・スコット・マクドナルド・コクセターによって、ペトリーの手順で複数の切頂四面体を構成することによって発見されました。[ 93 ]
複素多面体と呼ばれるオブジェクトがあり、その基礎となる空間は実ユークリッド空間ではなく複素ヒルベルト空間である。正確な定義が存在するのは正則複素多面体のみであり、その対称群は複素反射群である。複素多面体は、数学的には実多面体よりも構成とより密接に関連している。 [ 94 ]
研究分野によっては、多面体が曲面や曲線を持つことを認めている。曲面が存在することで、正の面積を持つ対角面が存在することが可能になる。
20世紀後半以降、様々な数学的構造が、従来の多面体にも見られる性質を持つことが発見された。「多面体」という用語は、3次元の多面体を指すだけでなく、関連性はあるものの異なる様々な種類の構造を表すために用いられるようになった。
多面体は、平面の側面を持つ任意の次元nの実アフィン空間(またはユークリッド空間) 内の点の集合として定義されます。あるいは、有限個の半空間の交差として定義することもできます。従来の多面体とは異なり、有界または非有界である可能性があります。この意味では、多面体は有界多面体です。[ 16 ] [ 17 ]
解析的には、このような凸多面体は線形不等式系の解集合として表現される。このように多面体を定義することで、線形計画法の問題に幾何学的な視点を与えることができる。[ 98 ]
多面体は、立方体や直方体などの初期の建築形態に現れ、最も初期の四面体のエジプトのピラミッドは紀元前27世紀に遡る。[ 99 ]紀元前1800～1650年頃のモスクワ数学パピルスには、多面体とその体積（特に円錐台の体積）に関する初期の記述が含まれている。[ 100 ]モスクワパピルスとほぼ同時期の古バビロニア帝国の数学にも、直方体（および多面体ではない円柱）の体積の計算や、与えられた体積を達成するために必要な形状の高さの計算が含まれていた。[ 101 ]
エトルリア人は、少なくともいくつかの正多面体についてギリシャ人よりも先に認識していたことが、モンテ・ロッファで発見された滑石製のエトルリア十二面体によって証明されている。その面にはさまざまな模様が刻まれており、一部の学者はそれがゲーム用のサイコロとして使用されていた可能性があると考えている。[ 102 ]
古代ギリシャの数学者たちは、凸正多面体を発見し研究し、それらはプラトン立体として知られるようになった。それらの最初の記述はプラトンの『ティマイオス』（紀元前360年頃）にあり、4つの多面体を4つの元素に、5つ目の多面体を宇宙全体の形状に関連付けている。これらの5つの多面体に関するより数学的な扱いは、その後すぐに『ユークリッド原論』に書かれた。ユークリッドの初期の注釈者（おそらくゲミヌス）は、これらの形状をプラトンに帰属させるのは誤りであると書いている。ピタゴラスは正四面体、正立方体、正十二面体を知っており、テアイテトス（紀元前417年頃）は残りの2つ、正八面体と正二十面体を発見した。[ 103 ]後にアルキメデスは研究を凸一様多面体にまで広げ、現在では彼の名が冠されている。彼の原著は失われており、彼の立体はパップスを通して現代に伝わっている。[ 104 ]
中国では、立方体のサイコロと切頂八面体の形をした14面体のサイコロの両方が、戦国時代にまで遡ることが分かっている。[ 105 ]
西暦236年までに、劉徽は立方体をその特徴的な正四面体（正四面体）と関連する立体に分解し、これらの立体の集合体を基に土砂の体積を計算して土砂の量を算出した。[ 106 ]
古典時代が終わった後、イスラム文明の学者たちはギリシャの知識を発展させ続けました（中世イスラムの数学を参照）。[ 107 ] 9世紀の学者サービト・イブン・クッラは体積の計算を研究に取り入れ、[ 108 ]立方八面体に関する著作を著しました。その後、10世紀にはアブル・ワファが凸正多面体と準正多面体の球面について記述しました。[ 109 ]
イスラムの学者によって維持され発展させられたギリシャ思想の他の分野と同様に、多面体に対する西洋の関心はイタリア・ルネサンス期に復活した。芸術家たちは骨格多面体を製作し、遠近法の研究の一環として実物から描いた。[ 111 ] 木製で頭飾りを支えるために使われたトーラス多面体は、遠近法描画の一般的な練習となり、当時の象嵌パネルでは幾何学のシンボルとして描かれた。[ 112 ]ピエロ・デッラ・フランチェスカは多面体の遠近法図の製作について書き、多くのアルキメデス立体を再発見した。レオナルド・ダ・ヴィンチは、ルカ・パチョーリの著書のためにいくつかの多面体の骨格モデルを描いたが、[ 113 ]その文章はデッラ・フランチェスカの著作から大部分が盗用されたものであった。[ 114 ]多面体の網目はアルブレヒト・デューラーの作品にも登場する。[ 115 ]
この時期のいくつかの作品は、星形多面体やプラトンの基本形を応用したその他の形態を研究している。ヴェネツィアのサン・マルコ大聖堂の床にある大理石のタルシアは、パオロ・ウッチェロが設計したもので、星形十二面体を描いている。[ 116 ]ルネサンスがイタリア国外に広がると、ヴェンツェル・ヤムニッツァー、デューラーなどの後世の芸術家も、想像力豊かなエッチングで、ますます複雑化する多面体（その多くは斬新なもの）を描いた。[ 111 ]ヨハネス・ケプラー（1571-1630）は、星形多角形、典型的には五芒星を用いて星形多面体を構築した。これらの図形のいくつかはケプラーの時代以前に発見されていたかもしれないが、正多面体は凸でなければならないという制約を取り除けば、これらを「正」とみなすことができると最初に認識したのは彼だった。[ 117 ]
同じ時期に、多面体の頂点、辺、面の数を関連付ける線形方程式であるオイラーの多面体公式が、 1537年にフランチェスコ・マウロリコの未発表原稿の中でプラトン立体について述べられた。[ 118 ]
ルネ・デカルトは、1630 年頃に、プラトン立体とその展開に限らず、一般的な概念としての凸多面体を研究した著書『De solidorum elementis』を執筆した。この著作は失われ、19 世紀まで再発見されなかった。その貢献の一つが、オイラーの多面体公式と密接に関係する、デカルトの全角欠損に関する定理である。 [ 119 ]この公式の名前の由来となったレオンハルト・オイラーは、1758 年に、証明は不正確であったものの、より一般的な凸多面体に対してこの公式を導入した。[ 120 ]オイラーの著作（および、それ以前に彼が解決したケーニヒスベルクの七つの橋の謎）は、新しい分野であるトポロジーの基礎となった。[ 121 ]多面体公式の一般化を含むこの分野の中核概念は、19 世紀後半にアンリ・ポアンカレ、エンリコ・ベッティ、ベルンハルト・リーマンらによって開発された。[ 122 ]
19 世紀初頭、ルイ・ポアンソはケプラーの研究を拡張し、残りの 2 つの正星型多面体を発見した。その後まもなく、オーギュスタン・ルイ・コーシーは、各多角形の辺の頂点と辺の列が重複を許容しないという暗黙の仮定の下で、ポアンソのリストが完全であることを証明した (この仮定は、AFL マイスターの以前の研究で検討されたが却下されていた)。[ 123 ]これらはケプラー・ポアンソ多面体として知られるようになり、アーサー・ケイリーによって通常の名称が付けられた。[ 124 ]一方、19 世紀初頭の高次元の発見は、 1853 年までにルートヴィヒ・シュレーフリを高次元多面体のアイデアに導いた。[ 125 ]さらに、19 世紀後半には、ロシアの結晶学者エフグラフ・フェドロフが平行多面体、つまり平行移動によって空間を敷き詰める凸多面体の分類を完成させた。[ 126 ]
20世紀の数学はヒルベルトの問題で幕を開け、そのうちの1つであるヒルベルトの第3問題は多面体とその分割に関するものでした。これはヒルベルトの弟子マックス・デーンによってすぐに解決され、多面体のデーン不変量が導入されました。[ 127 ] 1992年にエルンスト・シュタイニッツによって発表されたシュタイニッツの定理は、凸多面体のグラフを特徴づけ、グラフ理論と組み合わせ論の現代的なアイデアを多面体の研究に取り入れました。[ 128 ]
ケプラー・ポアンソ多面体は、星形化と呼ばれるプロセスによってプラトン立体から構築することができる。ほとんどの星形化は正則ではない。プラトン立体の星形化の研究は、 1938年にHSMコクセターらが発表した、現在では有名な論文「59個の正二十面体」によって大きく推進された。[ 129 ]コクセターの分析は、幾何学への関心の復活を告げるものであった。コクセター自身は、星形一様多面体を初めて列挙し、平面のタイル張りを多面体として扱い、正則な斜多面体を発見し、1952年にシェパードによって初めて発見された複雑な多面体の理論を発展させ、幾何学の他の多くの分野にも根本的な貢献をした。[ 130 ]
20世紀後半、ブランコ・グリュンバウムとイムレ・ラカトシュはともに、数学者たちがその時々のニーズに合わせて「多面体」を異なる、時には相容れない方法で定義する傾向があることを指摘した。[ 3 ] [ 2 ]グリュンバウムは一連の論文で、多面体の一般的な定義を拡張し、多くの新しい正多面体を発見した。20世紀末には、これらのアイデアが、特にマクマレンとシュルテによって提示された、抽象多面体（抽象3-多面体として）の現代的なアイデアと融合した。[ 131 ]
多面体は科学の多くの分野で発見されています。プラトン立体は生物にも見られ、例えば、Braarudosphaera bigelowiiは正十二面体構造を持っています。[ 132 ]エルンスト・ヘッケルは放散虫のいくつかの種を記述しましたが、その殻はさまざまな正多面体のような形をしています。[ 133 ]多くのウイルスの外側のタンパク質殻は正多面体を形成します。例えば、HIV は正二十面体に包まれており、典型的なミオウイルスの頭部も同様です。[ 134 ] [ 135 ]正二十面体は地図作成の応用にも現れ、R. バックミンスター・フラーはダイマクション地図として知られるプロジェクトでそのネットを使用しましたが、グリーンランドの大きさが南アメリカよりも小さいことに気づいて落胆しました。[ 136 ]
多面体は、現代の計算幾何学、コンピュータグラフィックス、幾何学的設計において頻繁に登場し、散在するデータ点からの多面体表面または表面メッシュの再構築[ 137 ] 、多面体表面上の測地線[ 138 ] 、多面体シーンにおける可視性と照明[ 139 ] 、軸に平行な側面を持つ多面体キューブやその他の非凸多面体[ 140 ] 、シュタイニッツの定理のアルゴリズム形式[ 141 ]、凸多面体の多面体ネットの存在という未解決の問題[ 142 ]などのトピックが含まれる。
定義は頻繁に提案され、議論されている。 。
{{citation}}: CS1 maint: 場所の発行元が見つかりません (リンク)。A hosohedron is only possible on a sphere.
{{cite web}}: CS1 maint: 設定の上書き (リンク)