核空間

数学において、核空間は位相ベクトル空間であり、有限次元ユークリッド空間の一般化と見なすことができ、ユークリッド空間の望ましい性質を多く共有しています。しかし、核空間は、有限次元ユークリッド空間のもう一つの一般化であるヒルベルト空間とは全く異なります。核空間はアレクサンダー・グロタンディークによって導入されました。

核空間の位相は、単位球のサイズが急速に減少する半ノルムの族によって定義できます。要素が何らかの意味で「滑らか」なベクトル空間は核空間になる傾向があります。核空間の典型的な例は、コンパクト多様体上の滑らかな関数の集合です。すべての有限次元ベクトル空間は核空間です。有限次元のものを除いて、核空間であるバナッハ空間はありません。実際には、これの逆がしばしば当てはまります。「自然発生的な」位相ベクトル空間がバナッハ空間でない場合、核空間である可能性が高いです。

核空間の理論の多くは、アレクサンダー・グロタンディークがシュワルツ核定理を研究する過程で開発され、 （グロタンディーク 1955 ）に発表された。ここでは、その動機について説明する。

任意の開部分集合に対して$\displaystyle \Omega _{1}\subseteq \mathbb {R} ^{m}}$そして${\displaystyle \Omega _{2}\subseteq \mathbb {R} ^{n},}$正準マップ$\displaystyle {\mathcal {D}}^{\prime }\left(\Omega _{1}\times \Omega _{2}\right)\to L_{b}\left(C_{c}^{\infty }\left(\Omega _{2}\right);{\mathcal {D}}^{\prime }\left(\Omega _{1}\right)\right)}$は TVS の同型写像である (${\displaystyle L_{b}\left(C_{c}^{\infty }\left(\Omega _{2}\right);{\mathcal {D}}^{\prime }\left(\Omega _{1}\right)\right)}$は有界部分集合上で一様収束の位相を持ち、さらに、これら2つの空間は両方とも標準的にTVS同型である。$\displaystyle {\mathcal {D}}^{\prime }\left(\Omega _{1}\right)\mathbin {\widehat {\otimes }} {\mathcal {D}}^{\prime }\left(\Omega _{2}\right)}$（${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\prime }\left(\Omega _{1}\right)}$核となるテンソル積は、同時に単射テンソル積と射影テンソル積でもある。^{[ 1 ]} 要するに、シュワルツ核定理は次のように述べている。 $$\displaystyle {\mathcal {D}}^{\prime }\left(\Omega _{1}\times \Omega _{2}\right)\cong {\mathcal {D}}^{\prime }\left(\Omega _{1}\right)\mathbin {\widehat {\otimes }} {\mathcal {D}}^{\prime }\left(\Omega _{2}\right)\cong L_{b}\left(C_{c}^{\infty }\left(\Omega _{2}\right);{\mathcal {D}}^{\prime }\left(\Omega _{1}\right)\right)}$$ ここで、これらのTVS同型写像はすべて正準である。

スペースを置き換えると、この結果は偽になります${\displaystyle C_{c}^{\infty }}$と$\displaystyle L^{2}}$（これは反射的空間であり、自身の強双対空間と同型である）そして${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\prime }}$この二重性により$\displaystyle L^{2}}$空間。^{[ 2 ]} なぜこのような素晴らしい結果が分布とテスト関数の空間では成り立つのに、ヒルベルト空間では成り立たないのかという疑問が生じる。$\displaystyle L^{2}}$（一般的に最も「優れた」TVSの1つと考えられている）は、グロタンディークが核空間、核マップ、および単射テンソル積を発見するきっかけとなった。

この節では、核空間のより一般的な定義をいくつか紹介します。以下の定義はすべて同等です。なお、一部の著者は、核空間がフレシェ空間でもあるという条件を追加することで、より厳密な定義を用いていることに注意してください。（これは、空間が完備であり、位相が可算個の半ノルム族によって与えられることを意味します。）

グロタンディークは核空間を定義するために以下の定義を用いた。^{[ 4 ]}

定義0：${\displaystyle X}$局所凸位相ベクトル空間とする。${\displaystyle X}$は、すべての局所凸空間に対して核となる。${\displaystyle Y,}$正準ベクトル空間埋め込み$\displaystyle X\otimes _{\pi }Y\to {\mathcal {B}}_{\varepsilon }\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime }\right)}$は、画像がコドメイン（ドメインが）で密であるTVSの埋め込みである。${\displaystyle X\otimes _{\pi }Y}$は射影テンソル積であり、終域は 上のすべての連続双線形形式の空間である。$${\displaystyle X_{\sigma }^{\prime }\times Y_{\sigma }^{\prime }}$$等連続部分集合上での一様収束の位相を備えている）。

まず、背景知識をいくつか復習します。局所凸位相ベクトル空間${\displaystyle X}$ある半ノルム族によって定義される位相を持つ。すべての半ノルムについて、単位球は原点の閉凸対称近傍であり、逆に0のすべての閉凸対称近傍は、ある半ノルムの単位球である。（複素ベクトル空間の場合、「対称」という条件は「バランス」に置き換えるべきである。）${\displaystyle p}$はセミノルムです ${\displaystyle X,}$それから${\displaystyle X_{p}}$は、半ノルムを用いて補助ノルム空間を完成させることによって得られるバナッハ空間を表す。${\displaystyle p.}$自然地図がある${\displaystyle X\to X_{p}}$（必ずしも単射とは限らない）。

もし${\displaystyle q}$は別のセミノルムであり、${\displaystyle p}$（関数として点ごとに）${\displaystyle X}$)、そこから自然地図が得られます${\displaystyle X_{q}}$に${\displaystyle X_{p}}$最初のマップが次のように因数分解される${\displaystyle X\to X_{q}\to X_{p}.}$これらの地図は常に連続している。${\displaystyle X}$核演算子となるのは、より強い条件、すなわちこれらの写像が核演算子であるという条件が満たされる場合である。核演算子となる条件は微妙であり、詳細は対応する記事を参照されたい。

定義 1 :核空間とは、すべてのセミノルムに対して、局所的に凸な位相ベクトル空間である。${\displaystyle p}$より大きなセミノルムを見つけることができます${\displaystyle q}$自然地図${\displaystyle X_{q}\to X_{p}}$核兵器です。

非公式には、これは、あるセミノルムの単位球が与えられた場合、その中に別のセミノルムの「はるかに小さい」単位球を見つけることができる、あるいは、0 のすべての近傍には「はるかに小さい」近傍が含まれることを意味します。すべてのセミノルムについてこの条件を確認する必要はありません。 ${\displaystyle p}$; 位相を生成するセミノルムの集合、言い換えれば、位相のサブベースとなるセミノルムの集合について確認すれば十分である。

任意のバナッハ空間と核演算子を使用する代わりに、理解しやすいヒルベルト空間とトレースクラス演算子を用いて定義を与えることができます。（ヒルベルト空間では、核演算子はトレースクラス演算子と呼ばれることが多いです。）半ノルムとは、${\displaystyle p}$はヒルベルト半ノルムである。${\displaystyle X_{p}}$はヒルベルト空間である、または同等に、${\displaystyle p}$は、セスキリニア正半定値形式から来ています。 ${\displaystyle X.}$

定義 2 :核空間とは、ヒルベルト半ノルムの族によって定義される位相を持つ位相ベクトル空間であり、すべてのヒルベルト半ノルムに対して、${\displaystyle p}$より大きなヒルベルト半ノルムを見つけることができます${\displaystyle q}$そのため、自然地図は${\displaystyle X_{q}}$に${\displaystyle X_{p}}$トレースクラスです。

ヒルベルト・シュミット演算子をトレースクラス演算子よりも好んで用いる著者もいる。しかし、トレースクラス演算子はすべてヒルベルト・シュミット演算子であり、2つのヒルベルト・シュミット演算子の積もトレースクラス演算子となるため、両者の違いはほとんど問題にならない。

定義 3 :核空間とは、ヒルベルト半ノルムの族によって定義される位相を持つ位相ベクトル空間であり、すべてのヒルベルト半ノルムに対して、${\displaystyle p}$より大きなヒルベルト半ノルムを見つけることができます${\displaystyle q}$そのため、自然地図は${\displaystyle X_{q}}$に${\displaystyle X_{p}}$ヒルベルト・シュミット法である。

任意の局所凸位相ベクトル空間からバナッハ空間への核演算子の概念を用いるならば、以下のように簡潔な定義を与えることができる。

定義 4 :核空間とは、すべてのセミノルムに対して、局所的に凸な位相ベクトル空間である。${\displaystyle p}$自然の地図から${\displaystyle X\to X_{p}}$核兵器です。

定義 5 :核空間とは、バナッハ空間へのすべての連続線形写像が核となるような局所凸位相ベクトル空間のことである。

グロタンディークは、次のような定義を用いた。

定義6：核空間とは、局所的に凸な位相ベクトル空間である。${\displaystyle A}$局所凸位相ベクトル空間すべてに対して${\displaystyle B}$射影テンソル積から単射テンソル積への自然な写像${\displaystyle A}$そして${\displaystyle B}$これは同型写像である。

実際、バナッハ空間についてのみこれを検証すれば十分である。${\displaystyle B,}$あるいは、単一のバナッハ空間だけでも$\displaystyle \ell ^{1}}$絶対収束級数の。

させて${\displaystyle X}$ハウスドルフ局所凸空間とする。このとき、以下の条件は同値である。

1. ${\displaystyle X}$核兵器である。
2. 任意の局所凸空間に対して${\displaystyle Y,}$正準ベクトル空間埋め込み${\displaystyle X\otimes _{\pi }Y\to {\mathcal {B}}_{\epsilon }\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime }\right)}$これは、画像がコドメイン内で密であるTVSの埋め込みです。
3. あらゆるバナッハ空間${\displaystyle Y,}$正準ベクトル空間埋め込み$\displaystyle X{\widehat {\otimes }}_{\pi }Y\to X{\widehat {\otimes }}_{\epsilon }Y}$TVS の全射同型写像である。^{[ 5 ]}
4. 任意の局所凸ハウスドルフ空間に対して${\displaystyle Y,}$正準ベクトル空間埋め込み$\displaystyle X{\widehat {\otimes }}_{\pi }Y\to X{\widehat {\otimes }}_{\epsilon }Y}$TVS の全射同型写像である。^{[ 5 ]}
5. 正準埋め込み${\displaystyle \ell ^{1}[\mathbb {N} ,X]}$で${\displaystyle \ell ^{1}(\mathbb {N} ,X)}$TVS の全射同型写像である。^{[ 6 ]}
6. 正準マップ$\displaystyle \ell ^{1}{\widehat {\otimes }}_{\pi }X\to \ell ^{1}{\widehat {\otimes }}_{\epsilon }X}$これは全射TVS同型写像である。^{[ 6 ]}
7. 任意の半正規性に対して${\displaystyle p}$より大きなセミノルムを見つけることができます${\displaystyle q}$自然地図${\displaystyle X_{q}\to X_{p}}$核兵器である。
8. 任意の半正規性に対して${\displaystyle p}$より大きなセミノルムを見つけることができます${\displaystyle q}$正規注入$\displaystyle X_{p}^{\prime }\to X_{q}^{\prime }}$核兵器である。^{[ 5 ]}
9. トポロジー${\displaystyle X}$は、任意のヒルベルト半ノルムに対して、ヒルベルト半ノルムの族によって定義される。${\displaystyle p}$より大きなヒルベルト半ノルムを見つけることができます${\displaystyle q}$自然地図${\displaystyle X_{q}\to X_{p}}$トレースクラスです。
10. ${\displaystyle X}$は、ヒルベルト半ノルムの族によって定義される位相を持ち、任意のヒルベルト半ノルムに対して${\displaystyle p}$より大きなヒルベルト半ノルムを見つけることができます${\displaystyle q}$自然地図${\displaystyle X_{q}\to X_{p}}$ヒルベルト・シュミット法である。
11. 任意の半正規性に対して${\displaystyle p}$自然の地図から${\displaystyle X\to X_{p}}$核兵器です。
12. バナッハ空間への連続線形写像はすべて核写像である。
13. すべての連続セミノルム${\displaystyle X}$核前段階である。^{[ 7 ]}
14. 等連続な部分集合のすべて${\displaystyle X^{\prime }}$核前段階である。^{[ 7 ]}
15. バナッハ空間からへのすべての線形写像${\displaystyle X^{\prime }}$単位球を等連続集合に変換するものは核となる。^{[ 5 ]}
16. の完了${\displaystyle X}$核空間である。

もし${\displaystyle X}$がフレシェ空間である場合、以下は同等である。

1. ${\displaystyle X}$核兵器である。
2. の無条件に総和可能なすべてのシーケンス${\displaystyle X}$完全に要約可能である。^{[ 6 ]}
3. 強力な双対${\displaystyle X}$核兵器である。

• 局所凸なハウスドルフ空間が核空間であるのは、その完備化が核空間である場合かつその場合に限る。
• 核空間のすべての部分空間は核空間である。^{[ 8 ]}
• 核空間のすべてのハウスドルフ商空間は核空間である。^{[ 8 ]}
• 可算な核空間列の帰納的極限は核である。^{[ 8 ]}
• 可算個の核空間の直和の局所凸値は核空間である。^{[ 8 ]}
• 核フレシェ空間の強い双対は核である。^{[ 9 ]}
  • 一般に、核空間の強い双対は核空間にならない可能性がある。^{[ 9 ]}
• 強双対が核であるフレシェ空間は、それ自体が核である。^{[ 9 ]}
• 核空間族の極限は核である。^{[ 8 ]}
• 核空間の族の産物は核である。^{[ 8 ]}
• 核空間の完成は核的である（そして実際、空間が核的であるのは、その完成が核的である場合に限る）。
• 2つの核空間のテンソル積は核空間である。
• 2 つの核空間の射影テンソル積、およびその完備化は核空間である。^{[ 10 ]}

仮に${\displaystyle X,Y,}$そして${\displaystyle N}$は局所凸空間であり、${\displaystyle N}$核兵器です。

• もし${\displaystyle N}$核である場合、連続線形マップのベクトル空間${\displaystyle L_{\sigma }(X,N)}$単純収束のトポロジーを備えた核空間である。^{[ 9 ]}
• もし${\displaystyle X}$は半反射的な空間であり、その強い双対は核であり、${\displaystyle N}$核である場合、連続線形マップのベクトル空間${\displaystyle L_{b}(X,N)}$（有界部分集合上での一様収束の位相を備えている）${\displaystyle X}$）は核空間である。^{[ 11 ]}

核空間は多くの点で有限次元空間と類似しており、それらの優れた特性を多く備えている。

• すべての有限次元ハウスドルフ空間は核空間である。
• フレシェ空間が核空間であるのは、その強双対空間が核空間である場合に限る。
• 核空間の有界部分集合はすべてプレコンパクトである（空間の完備化における閉包がコンパクトであれば、集合はプレコンパクトである）。^{[ 13 ]}これはハイネ・ボレルの定理に類似している。対照的に、無限次元ノルム空間はこの性質を持たない（ただし、有限次元空間は持つ）。
• もし${\displaystyle X}$準完備（つまり、すべての閉集合と有界集合が完備）な核空間である場合${\displaystyle X}$ハイネ・ボレル特性を持つ。^{[ 14 ]}
• 核準完全バレル空間はモンテル空間である。
• 核空間の双対空間の閉じた等連続部分集合はすべて、（強双対位相の場合）コンパクトな距離化可能集合である。
• すべての核空間は、ヒルベルト空間の積の部分空間である。
• すべての核空間は、ヒルベルトノルムからなる半ノルムの基底を持つ。
• すべての核空間はシュワルツ空間である。
• すべての核空間は近似特性を持つ。^{[ 15 ]}
• 核空間の任意の部分空間、および核空間の閉部分空間による任意の商空間は核空間である。
• もし${\displaystyle A}$核兵器であり、${\displaystyle B}$は任意の局所凸位相ベクトル空間であり、 Aとの射影テンソル積からの自然な写像は${\displaystyle B}$単射テンソル積への同型写像が存在する。大まかに言えば、これはテンソル積を定義する妥当な方法が1つしかないことを意味する。この性質は核空間を特徴づける。${\displaystyle A.}$
• 位相ベクトル空間の測度論において、核フレシェ空間の双対空間上の任意の連続円筒集合測度は自動的にラドン測度に拡張されるという基本定理がある。これは、位相ベクトル空間上に円筒集合測度を構成するのは容易な場合が多いが、ラドン測度でない限り、ほとんどの応用には十分ではない（例えば、一般に可算加法性すら持たない）ため、有用である。

任意の連続正定値関数${\displaystyle C}$核空間において${\displaystyle A}$特性汎関数と呼ばれるのは、${\displaystyle C(0)=1,}$そしてどんな${\displaystyle z_{j}\in \mathbb {C} ,}$${\displaystyle x_{j}\in A}$そして${\displaystyle j,k=1,\ldots ,n,}$^{[ 16 ] [ 17 ]}$${\displaystyle \sum _{j=1}^{n}\sum _{k=1}^{n}z_{j}{\bar {z}}_{k}C(x_{j}-x_{k})\geq 0.}$$

核空間上の特性汎関数が与えられた場合${\displaystyle A,}$ボフナー・ミンロス定理（サロモン・ボフナーとロバート・アドルフォヴィッチ・ミンロスにちなんで名付けられた）は、対応する確率測度の存在と一意性を保証する。${\displaystyle \mu }$デュアルスペース上${\displaystyle A^{\prime }}$そのため $${\displaystyle C(y)=\int _{A^{\prime }}e^{i\langle x,y\rangle }\,d\mu (x),}$$

どこ${\displaystyle C(y)}$はフーリエ・スティルチェス変換である${\displaystyle \mu }$これにより、逆フーリエ変換を核空間に拡張する。^{[ 18 ]}

特に、${\displaystyle A}$核空間は $${\displaystyle A=\bigcap _{k=0}^{\infty }H_{k},}$$ どこ${\displaystyle H_{k}}$ヒルベルト空間であるとき、ボフナー・ミンロス定理は特性関数を持つ確率測度の存在を保証する。${\displaystyle e^{-{\frac {1}{2}}\|y\|_{H_{0}}^{2}},}$すなわち、双対空間上にガウス測度が存在すること。このような測度はホワイトノイズ測度と呼ばれる。${\displaystyle A}$はシュワルツ空間であり、対応するランダム要素はランダム分布である。

強核空間とは、任意の半ノルムに対して、${\displaystyle p}$より大きな半ノルムが存在する${\displaystyle q}$自然地図${\displaystyle X_{q}\to X_{p}}$非常に核的である。

• 補助的な基準空間
• フレドホルム核– バナッハ空間上の核の一種
• 単射テンソル積
• 局所凸位相ベクトル空間– 凸開集合によって位相が定義されるベクトル空間
• 原子力発電所の運転員
• 射影テンソル積– 2つの位相ベクトル空間上で定義されるテンソル積
• リグド・ヒルベルト空間― 関数解析における「境界付き」固有値と連続固有値の研究を結びつける構成
• トレースクラス– 有限トレースを定義できるコンパクト演算子のクラス
• 位相ベクトル空間– 近接性の概念を持つベクトル空間