ナッシュ均衡

ゲームには、純粋戦略ナッシュ均衡と混合戦略ナッシュ均衡が存在する。後者の場合、すべてのプレイヤーが常に同じ戦略をとるわけではない。代わりに、異なる戦略間で確率分布が存在する。

ナッシュ均衡において、各プレイヤーが自問自答すると仮定しましょう。「他のプレイヤーの戦略を知っていて、他のプレイヤーの戦略を固定的なものとして扱うとしたら、自分の戦略を変更することで損失を被るだろうか？」

すべてのプレイヤーの答えが「はい」であれば、その均衡は厳密なナッシュ均衡に分類される。^{[ 17 ]}

代わりに、あるプレイヤーにとって、ナッシュ均衡の戦略とまったく同じ報酬をもたらす別の戦略との間に完全な等価性がある場合（つまり、プレイヤーが切り替えるか切り替えないかに無関心である場合）、その均衡は弱い^{[注1 ]}ナッシュ均衡または非厳密ナッシュ均衡として分類されます。

ナッシュ均衡は、安定性を個々のプレイヤーの逸脱のみで定義します。協力ゲームでは、このような概念は十分説得力がありません。強いナッシュ均衡は、考えられるすべての連合による逸脱を許容します。^{[ 18 ]}正式には、強いナッシュ均衡とは、補完関係にある連合の行動を所与とみなした場合、どの連合も、そのすべてのメンバーに利益をもたらすような方法で協力的に逸脱することができないナッシュ均衡です。^{[ 19 ]}しかし、強いナッシュの概念は、環境が無制限の私的コミュニケーションを許容するため、「強すぎる」と見なされることがあります。実際、強いナッシュ均衡は弱パレート効率的でなければなりません。これらの要件の結果として、強いナッシュはゲーム理論の多くの分野で有用となるには稀すぎます。しかし、可能な結果よりもはるかに多くのプレイヤーがいる選挙のようなゲームでは、安定均衡よりも一般的になる可能性があります。

洗練されたナッシュ均衡である連合耐性ナッシュ均衡（CPNE）^{[ 18 ]}は、プレイヤーがコミュニケーションを取り、逸脱するための「自己強制的な」合意を交わすことが許されていても、それ以上の成果を上げることができない場合に発生します。反復厳密支配によって支持され、パレートフロンティア上にある相関戦略はすべてCPNEです。^{[ 20 ]}さらに、ゲームには、指定されたサイズk未満の連合に対して耐性のあるナッシュ均衡が存在する可能性があります。CPNEはコア理論に関連しています。

ナッシュのモデルでは、各プレイヤーが利用できる戦略の集合は固定されており、他のプレイヤーの戦略には依存しません。より一般的なモデルでは、これらの集合が他のプレイヤーの戦略に依存することが許容されます。これはしばしば結合制約と呼ばれます。^{[ 22 ]}ナッシュのモデルでは、可能な戦略プロファイルの集合はプレイヤーの戦略集合の直積ですが、より一般的なモデルでは任意の集合になることがあります。結合制約がある場合、均衡はしばしば一般化ナッシュ均衡（GNE）と呼ばれます。^{[ 22 ]}

ローゼン^{[ 23 ]}は、戦略プロファイルの集合が任意の凸集合であり、各プレイヤーの効用関数がすべての戦略において連続であり、かつプレイヤー自身の戦略の凹関数である場合、GNEが存在することを証明した。凹ゲームを参照のこと。

ナッシュは有限数のプレイヤーがいるゲームを考察したが、非原子ゲームではプレイヤーの集合は無限であり、プレイヤーの連続体が存在する。デイビッド・シュマイドラー^{[ 24 ]}は、特定の条件下で均衡が存在することを証明した。

協調ゲームは、右の利得行列の例に示すように、古典的な2人2戦略ゲームです。純粋戦略均衡は2つあり、各プレイヤーの利得が4となる(A,A)と、各プレイヤーの利得が2となる(B,B)です。(B,B)の組み合わせはナッシュ均衡です。なぜなら、どちらかのプレイヤーが一方的に戦略をBからAに変更すると、そのプレイヤーの利得は2から1に減少するからです。

協調ゲームの有名な例として、鹿狩りがあります。2人のプレイヤーは鹿かウサギのどちらかを狩ることを選択できます。鹿はウサギよりも多くの肉（4効用単位、各プレイヤーに2）を提供します（ウサギは1効用単位）。ただし、鹿は協力して狩らなければならないため、一方のプレイヤーが鹿を狩ろうとし、もう一方のプレイヤーがウサギを狩ろうとすると、鹿を狩るプレイヤーは完全に失敗し、報酬は0になりますが、ウサギを狩るプレイヤーは成功し、報酬は1になります。このゲームには（鹿、鹿）と（ウサギ、ウサギ）の2つの均衡があります。これは、プレイヤーの最適な戦略が、他のプレイヤーが何をするかについての予想に依存するためです。一方のハンターが、もう一方のハンターが鹿を狩ると信じている場合、自分も鹿を狩るべきです。しかし、もう一方のハンターがウサギを狩ると考えている場合、自分もウサギを狩るでしょう。このゲームは社会的な協力のアナロジーとして用いられる。なぜなら、人々が社会で得る利益の多くは、人々が協力し、互いに協力的な行動をとると暗黙のうちに信頼し合うことに依存しているからである。

対向車と対向車線を走行中に、左側にハンドルを切るか右側にハンドルを切るかを選択しなければならない状況も、協調ゲームの一種です。例えば、衝突なしを10、衝突ありを0とした場合、協調ゲームは次のような利得行列で定義できます。

この場合、両者が左または右のいずれかを運転することを選択した場合、純粋戦略のナッシュ均衡が 2 つ存在します。混合戦略(ある一定の確率に従って純粋戦略がランダムに選択される) を認めると、同じケースで 3 つのナッシュ均衡が存在します。そのうち 2 つは純粋戦略の形式で既に確認されており、確率はそれぞれプレイヤー 1 に対して (0%、100%)、プレイヤー 2 に対して (0%、100%)、およびプレイヤー 1 に対して (100%、0%)、プレイヤー 2 に対して (100%、0%) です。さらに、各プレイヤーの確率が (50%、50%) であるもう 1 つを追加します。

ナッシュ均衡の応用例として、ネットワークにおけるトラフィックの期待流量の決定が挙げられます。右のグラフを考えてみましょう。${\displaystyle x}$A地点からD地点へ移動する「車」の数を考えると、ネットワーク内の交通量の分布はどのようになると予想されますか？

この状況は「ゲーム」としてモデル化でき、各旅行者は3つの戦略から選択でき、各戦略はAからDへの経路（ABD、ABCD、またはACDのいずれか）です。各戦略の「報酬」は、各経路の移動時間です。右のグラフでは、ABDを経由して移動する車は、${\displaystyle 1+{\frac {x}{100}}+2}$、 どこ${\displaystyle x}$は辺AB上を走行する車の数です。したがって、通常どおり、任意の戦略の利得は他のプレイヤーの選択に依存します。ただし、この場合の目標は、移動時間を最大化するのではなく、最小化することです。すべての経路の所要時間が完全に同じになったときに均衡が成立します。そうなると、移動時間が長くなるだけなので、どのドライバーも経路を変更するインセンティブを持ちません。右のグラフの場合、たとえば 100 台の車がAからDへ移動しているとすると、25 台のドライバーがABDを経由し、50 台がABCDを経由し、25 台がACD を経由したときに均衡が成立します。すべてのドライバーの合計移動時間は 3.75 になります (これを確認するには、合計 75 台の車がAB辺を通り、同様に 75 台の車がCD辺を通ります)。

この配分は実際には社会的に最適ではないことに注意してください。100台の車が50台はABDを経由して、残りの50台はACDを経由して移動することに同意した場合、どの車1台あたりの移動時間も実際には3.5となり、3.75より短くなります。これはBとCの間の経路が削除された場合のナッシュ均衡でもあります。つまり、別の経路を追加するとシステムの効率が低下する可能性があり、これはブレースのパラドックスとして知られる現象です。

これは、2人対戦ゲームで例えることができます。このゲームでは、両プレイヤーが同時に0から3までの整数を選び、小さい方の数字を選んだ方がポイントを獲得します。さらに、一方のプレイヤーがもう一方のプレイヤーよりも大きい数字を選んだ場合、選んだプレイヤーはもう一方のプレイヤーに2ポイントを譲らなければなりません。

このゲームには、純粋戦略ナッシュ均衡が1つだけ存在します。それは、両方のプレイヤーが0を選択することです（薄い赤色で強調表示）。他の戦略は、プレイヤーが自分の数字を相手プレイヤーの数字より1つ少ない数字に変更することで改善できます。隣の表では、ゲームが緑色のマスから始まる場合、プレイヤー1は紫色のマスに移動するのが有利であり、プレイヤー2は青色のマスに移動するのが有利です。競争ゲームの定義には当てはまりませんが、2人のプレイヤーが同じ数字を選択した場合に指定された金額を獲得し、それ以外の場合は何も獲得しないようにゲームを変更すると、4つのナッシュ均衡が存在します：（0,0）、（1,1）、（2,2）、および（3,3）。

利得行列上でナッシュ均衡を簡単に数値的に特定する方法があります。これは、プレイヤーが2つ以上の戦略を持つ2人ゲームで特に役立ちます。この場合、形式的な分析は長くなりすぎる可能性があります。このルールは、混合（確率的）戦略が関心事となる場合には適用されません。ルールは次のとおりです。セルの利得ペアの最初の利得数がセルの列の最大値であり、2番目の数がセルの行の最大値である場合、そのセルはナッシュ均衡を表します。 

このルールは3×3行列にも適用できます。

このルールを用いると、ナッシュ均衡セルが（B,A）、（A,B）、（C,C）であることが非常に迅速に（形式的な解析よりもはるかに速く）わかります。実際、セル（B,A）では、40が第1列の最大値であり、25が第2行の最大値です。（A,B）では、25が第2列の最大値であり、40が第1行の最大値です。セル（C,C）についても同様です。その他のセルでは、2つ組の要素のうち、一方または両方が対応する行と列の最大値ではありません。

とはいえ、均衡セルを見つける実際の手順は明白です。列の最大値を見つけ、そのペアの2番目の要素が行の最大値であるかどうかを確認します。これらの条件が満たされれば、そのセルはナッシュ均衡を表します。このようにしてすべての列をチェックし、すべてのNEセルを見つけます。N×N行列には、0個からN×N個の純粋戦略ナッシュ均衡が存在する可能性があります。

これらの条件が満たされないゲーム理論の問題の例：

1. ゲームがプレイヤーが最大化したい量を正しく記述していない場合、最初の条件は満たされません。この場合、プレイヤーが均衡戦略を採用する特別な理由はありません。例えば、どちらのプレイヤーも無期限に投獄されることに満足している場合、囚人のジレンマはジレンマではありません。
2. 意図的または偶発的な実行上の不完全性。例えば、完璧な論理的プレイが可能なコンピュータと、同じく完璧なコンピュータが対戦した場合、均衡状態となる。不完全性を導入すると、ミスを犯したプレイヤーの損失、あるいは共通認識基準の否定によるプレイヤーの勝利の可能性などによって、均衡状態が崩れる。（例としては、チキンゲームでプレイヤーが突然車をバックさせる場合、損失も勝利もない状況が実現する。）
3. 多くの場合、3番目の条件は満たされません。なぜなら、均衡が存在するはずであっても、例えば中国将棋のようにゲームの複雑さのためにそれが不明だからです。^{[ 25 ]}あるいは、それが分かっていても、すべてのプレイヤーが知っているとは限りません。例えば、どうしても勝ちたい小さな子供と三目並べをする場合（他の基準を満たしている）などです。
4. 共通認識の基準は、たとえ全てのプレイヤーが他の全ての基準を満たしていたとしても、満たされない可能性がある。互いの合理性を誤って疑うプレイヤーは、相手の非合理的な行動を想定して対抗戦略を採用するかもしれない。これは、例えば「チキンゲーム」や軍拡競争において重要な考慮事項となる。

ジョン・ナッシュは博士論文の中で、平衡点が観察可能な現象とどのように結びつくかを示すことを目的として、自身の平衡概念について2つの解釈を提案した。

（…）一つの解釈は合理主義的なものです。プレイヤーが合理的であり、ゲームの完全な構造を知っていて、ゲームが一度だけプレイされ、ナッシュ均衡が一つだけ存在すると仮定すると、プレイヤーはその均衡に従ってプレイします。

この考え方は、R. AumannとA. Brandenburger（1995年、「ナッシュ均衡の認識条件」、Econometrica、63、1161-1180）によって形式化されました。彼らは、各プレイヤーの混合戦略を他のプレイヤーの行動に関する推測として解釈し、ゲームとプレイヤーの合理性が相互に知られており、これらの推測が共通して知られている場合、推測はナッシュ均衡でなければならないことを示しました（一般的にこの結果を得るには共通の事前仮定が必要ですが、2人のプレイヤーの場合は必要ありません。この場合、推測が相互に知られているだけで十分です）。

ナッシュが「集団行動解釈」と呼んだ2つ目の解釈は、選手にとってそれほど負担の大きいものではない。

参加者がゲーム全体の構造を完全に理解している、あるいは複雑な推論プロセスを経る能力や意欲を持っていると仮定する必要はありません。想定されるのは、ゲーム内の各ポジションにそれぞれ参加者の集団が存在し、それらのポジションは異なる集団から無作為に選ばれた参加者によって時間を通じてプレイされるということです。各純粋戦略が適切な集団の平均的なメンバーによって一定の平均頻度で用いられる場合、この一定の平均頻度が混合戦略ナッシュ均衡を構成します。

この方向性の正式な結果については、Kuhn, H. 他、1996、「ゲーム理論におけるジョン・ナッシュの業績」、Journal of Economic Theory、69、153–185 を参照のこと。

NE が実際に観察できる条件が限られているため、NE は日常的な行動の指針として扱われることはほとんどなく、人間の交渉において実際に観察されることもほとんどありません。しかし、経済学や進化生物学における理論的概念として、NE は説明力を持っています。経済学における報酬は効用（または時にはお金）であり、進化生物学における報酬は遺伝子伝達です。どちらも生存の根本的な基準です。これらの分野でゲーム理論を応用する研究者は、何らかの理由でこれらを最大化できない戦略は、すべての戦略をテストする能力があるとされる市場や環境から競争によって排除されると主張しています。この結論は、上記の「安定性」理論から導き出されています。このような状況では、観察された戦略が実際に NE であるという仮定は、研究によってしばしば裏付けられています。^{[ 26 ]}

ナッシュのオリジナルの証明（彼の学位論文）では、ブロワーの不動点定理が用いられていました（例えば、後述の変形を参照）。本節では、ナッシュの1950年の論文に基づき、カクタニの不動点定理を用いたより簡潔な証明を示します（このような簡略化が可能であるという指摘は、デイビッド・ゲイルによるものだとナッシュは述べています）。

ナッシュ均衡の存在を証明するために、${\displaystyle r_{i}(\sigma _{-i})}$プレイヤーiが他のすべてのプレイヤーの戦略に対して取る最善の対応策とする。 $${\displaystyle r_{i}(\sigma _{-i})=\mathop {\underset {\sigma _{i}}{\operatorname {arg\,max} }} u_{i}(\sigma _{i},\sigma _{-i})}$$

ここ、${\displaystyle \sigma \in \Sigma }$、 どこ${\displaystyle \Sigma =\Sigma _{i}\times \Sigma _{-i}}$は、すべての混合戦略の集合における混合戦略プロファイルであり、${\displaystyle u_{i}}$はプレイヤー i の利得関数です。集合値関数を定義します。${\displaystyle r\colon \Sigma \rightarrow 2^{\Sigma }}$そのため${\displaystyle r=r_{i}(\sigma _{-i})\times r_{-i}(\sigma _{i})}$ナッシュ均衡の存在は、${\displaystyle r}$固定点を持つこと。

カクタニの不動点定理は、以下の4つの条件が満たされる場合に不動点の存在を保証する。

1. ${\displaystyle \Sigma }$コンパクトで凸であり、空ではない。
2. ${\displaystyle r(\sigma )}$空ではない。
3. ${\displaystyle r(\sigma )}$上半連続
4. ${\displaystyle r(\sigma )}$凸型である。

条件1は、以下の事実から満たされる。${\displaystyle \Sigma }$これは単体であり、したがってコンパクトである。凸性は、プレイヤーが戦略を組み合わせる能力から生じる。${\displaystyle \Sigma }$プレイヤーが戦略を持っている限り、空ではない。

条件2.と3.はベルジュの最大値定理によって満たされる。なぜなら${\displaystyle u_{i}}$連続的でコンパクトであり、${\displaystyle r(\sigma _{i})}$は空集合ではなく、上半連続である。

条件4は混合戦略の結果として満たされる。${\displaystyle \sigma _{i},\sigma '_{i}\in r(\sigma _{-i})}$、 それから${\displaystyle \lambda \sigma _{i}+(1-\lambda )\sigma '_{i}\in r(\sigma _{-i})}$つまり、2つの戦略がそれぞれ最大の利益をもたらす場合、その2つの戦略を組み合わせることで同じ利益が得られる。

したがって、固定点が存在する${\displaystyle r}$そしてナッシュ均衡。^{[ 27 ]}

1949年にナッシュがこの点をジョン・フォン・ノイマンに指摘した際、フォン・ノイマンは「それは些細なことだ。単なる不動点定理にすぎない」と一蹴したことで有名である。（ナサール、1998年、94ページ参照 ）

試合があります${\displaystyle G=(N,A,u)}$どこ${\displaystyle N}$はプレイヤーの数であり、${\displaystyle A=A_{1}\times \cdots \times A_{N}}$はプレイヤーのアクションセットです。すべてのアクションセット${\displaystyle A_{i}}$は有限である。${\displaystyle \Delta =\Delta _{1}\times \cdots \times \Delta _{N}}$は、プレイヤーの混合戦略の集合を表します。${\displaystyle A_{i}}$s はコンパクトさを保証します${\displaystyle \Delta }$。

これでゲイン関数を定義できます。混合戦略の場合${\displaystyle \sigma \in \Delta }$プレイヤーの利益を${\displaystyle i}$行動について${\displaystyle a\in A_{i}}$なれ $${\displaystyle {\text{Gain}}_{i}(\sigma ,a)=\max\{0,u_{i}(a,\sigma _{-i})-u_{i}(\sigma _{i},\sigma _{-i})\}.}$$

利得関数は、プレイヤーが一方的に戦略を変更することによって得られる利益を表します。ここで、${\displaystyle g=(g_{1},\dotsc ,g_{N})}$どこ $${\displaystyle g_{i}(\sigma )(a)=\sigma _{i}(a)+{\text{Gain}}_{i}(\sigma ,a)}$$ のために${\displaystyle \sigma \in \Delta ,a\in A_{i}}$我々は、 $${\displaystyle \sum _{a\in A_{i}}g_{i}(\sigma )(a)=\sum _{a\in A_{i}}\sigma _{i}(a)+{\text{Gain}}_{i}(\sigma ,a)=1+\sum _{a\in A_{i}}{\text{Gain}}_{i}(\sigma ,a)>0.}$$

次に、以下を定義します。 $${\displaystyle {\begin{cases}f=(f_{1},\cdots ,f_{N}):\Delta \to \Delta \\f_{i}(\sigma )(a)={\frac {g_{i}(\sigma )(a)}{\sum _{b\in A_{i}}g_{i}(\sigma )(b)}}&a\in A_{i}\end{cases}}}$$

それぞれが${\displaystyle f_{i}}$は有効な混合戦略です${\displaystyle \Delta _{i}}$それぞれの${\displaystyle f_{i}}$は連続関数である${\displaystyle \sigma }$、したがって${\displaystyle f}$は連続関数です。有限個のコンパクトな凸集合の外積として、${\displaystyle \Delta }$もコンパクトかつ凸である。ブロワーの不動点定理を適用すると、${\displaystyle f}$そして${\displaystyle \Delta }$我々は以下の結論を下す。${\displaystyle f}$固定点を持つ${\displaystyle \Delta }$それを呼ぶ${\displaystyle \sigma ^{*}}$私たちは主張します${\displaystyle \sigma ^{*}}$はナッシュ均衡である${\displaystyle G}$この目的のためには、以下を示すだけで十分である。 $${\displaystyle \forall i\in \{1,\cdots ,N\},\forall a\in A_{i}:\quad {\text{Gain}}_{i}(\sigma ^{*},a)=0.}$$

これは、各プレイヤーが一方的に戦略を変更しても何の利益も得られないことを単純に示しており、まさにナッシュ均衡の必要条件である。

ここで、利益がすべてゼロではないと仮定します。したがって、${\displaystyle \exists i\in \{1,\cdots ,N\},}$そして${\displaystyle a\in A_{i}}$そのため${\displaystyle {\text{Gain}}_{i}(\sigma ^{*},a)>0}$。 それから $${\displaystyle \sum _{a\in A_{i}}g_{i}(\sigma ^{*},a)=1+\sum _{a\in A_{i}}{\text{Gain}}_{i}(\sigma ^{*},a)>1.}$$

だから $${\displaystyle C=\sum _{a\in A_{i}}g_{i}(\sigma ^{*},a).}$$

また、我々は${\displaystyle {\text{Gain}}(i,\cdot )}$アクションによってインデックス付けされたゲインベクトルとして${\displaystyle A_{i}}$。 以来${\displaystyle \sigma ^{*}}$これが我々が持つ固定点です。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma ^{*}=f(\sigma ^{*})&\Rightarrow \sigma _{i}^{*}=f_{i}(\sigma ^{*})\\&\Rightarrow \sigma _{i}^{*}={\frac {g_{i}(\sigma ^{*})}{\sum _{a\in A_{i}}g_{i}(\sigma ^{*})(a)}}\\[6pt]&\Rightarrow \sigma _{i}^{*}={\frac {1}{C}}\left(\sigma _{i}^{*}+{\text{Gain}}_{i}(\sigma ^{*},\cdot )\right)\\[6pt]&\Rightarrow C\sigma _{i}^{*}=\sigma _{i}^{*}+{\text{Gain}}_{i}(\sigma ^{*},\cdot )\\&\Rightarrow \left(C-1\right)\sigma _{i}^{*}={\text{Gain}}_{i}(\sigma ^{*},\cdot )\\&\Rightarrow \sigma _{i}^{*}=\left({\frac {1}{C-1}}\right){\text{Gain}}_{i}(\sigma ^{*},\cdot ).\end{aligned}}}$$

以来${\displaystyle C>1}$私たちはそれを持っています${\displaystyle \sigma _{i}^{*}}$これはベクトルの正のスケーリングです${\displaystyle {\text{Gain}}_{i}(\sigma ^{*},\cdot )}$では、私たちはこう主張します。 $${\displaystyle \forall a\in A_{i}:\quad \sigma _{i}^{*}(a)(u_{i}(a_{i},\sigma _{-i}^{*})-u_{i}(\sigma _{i}^{*},\sigma _{-i}^{*}))=\sigma _{i}^{*}(a){\text{Gain}}_{i}(\sigma ^{*},a)}$$

これを見るには、まず${\displaystyle {\text{Gain}}_{i}(\sigma ^{*},a)>0}$すると、これはゲイン関数の定義により真となります。ここで、${\displaystyle {\text{Gain}}_{i}(\sigma ^{*},a)=0}$これまでの記述から、 $${\displaystyle \sigma _{i}^{*}(a)=\left({\frac {1}{C-1}}\right){\text{Gain}}_{i}(\sigma ^{*},a)=0}$$

したがって、左辺の項はゼロとなり、式全体は次のようになります。${\displaystyle 0}$必要に応じて。

ついにそれが $${\displaystyle {\begin{aligned}0&=u_{i}(\sigma _{i}^{*},\sigma _{-i}^{*})-u_{i}(\sigma _{i}^{*},\sigma _{-i}^{*})\\&=\left(\sum _{a\in A_{i}}\sigma _{i}^{*}(a)u_{i}(a_{i},\sigma _{-i}^{*})\right)-u_{i}(\sigma _{i}^{*},\sigma _{-i}^{*})\\&=\sum _{a\in A_{i}}\sigma _{i}^{*}(a)(u_{i}(a_{i},\sigma _{-i}^{*})-u_{i}(\sigma _{i}^{*},\sigma _{-i}^{*}))\\&=\sum _{a\in A_{i}}\sigma _{i}^{*}(a){\text{Gain}}_{i}(\sigma ^{*},a)&&{\text{ by the previous statements }}\\&=\sum _{a\in A_{i}}\left(C-1\right)\sigma _{i}^{*}(a)^{2}>0\end{aligned}}}$$

ここで最後の不等式は、${\displaystyle \sigma _{i}^{*}}$はゼロでないベクトルです。しかし、これは明らかに矛盾しているので、すべての利得は確かにゼロでなければなりません。したがって、${\displaystyle \sigma ^{*}}$はナッシュ均衡である${\displaystyle G}$必要に応じて。

マッチングペニーゲームでは、プレイヤーAとBが同じ戦略をとった場合、AはBに1ポイントを失い、異なる戦略をとった場合はBから1ポイントを獲得します。混合戦略ナッシュ均衡を計算するには、Aに確率を割り当てます。${\displaystyle p}$H をプレイすることと${\displaystyle (1-p)}$Tをプレイする確率をBに割り当て、${\displaystyle q}$H をプレイすることと${\displaystyle (1-q)}$Tをプレイすること。

$${\displaystyle {\begin{aligned}&\mathbb {E} [{\text{payoff for A playing H}}]=(-1)q+(+1)(1-q)=1-2q,\\&\mathbb {E} [{\text{payoff for A playing T}}]=(+1)q+(-1)(1-q)=2q-1,\\&\mathbb {E} [{\text{payoff for A playing H}}]=\mathbb {E} [{\text{payoff for A playing T}}]\implies 1-2q=2q-1\implies q={\frac {1}{2}}.\\&\mathbb {E} [{\text{payoff for B playing H}}]=(+1)p+(-1)(1-p)=2p-1,\\&\mathbb {E} [{\text{payoff for B playing T}}]=(-1)p+(+1)(1-p)=1-2p,\\&\mathbb {E} [{\text{payoff for B playing H}}]=\mathbb {E} [{\text{payoff for B playing T}}]\implies 2p-1=1-2p\implies p={\frac {1}{2}}.\end{aligned}}}$$

したがって、このゲームにおける混合戦略ナッシュ均衡は、各プレイヤーがランダムにHまたはTを選択し、${\displaystyle p={\frac {1}{2}}}$そして${\displaystyle q={\frac {1}{2}}}$。