ベルヌーイ数

数学において、ベルヌーイ数 B _{n は}、解析学で頻繁に出現する有理数の列である。ベルヌーイ数は、正接関数と双曲正接関数のテイラー級数展開、最初のn個の正の整数のm乗の和に対するファウルハーバーの公式、オイラー・マクローリンの公式、およびリーマンゼータ関数の特定の値の式に現れ、定義することができる。

最初の 20 個のベルヌーイ数の値は、次の表に示されています。文献では 2 つの表記法が使用されており、ここでは と で表されます。これらは、 n = 1の場合のみ異なります( と)。 n > 1 の奇数ごとに、B _n = 0です。 n > 0 の偶数ごとに、 nが4で割り切れる場合はB _{n は}負になり、そうでない場合は正になります。ベルヌーイ数は、 およびのベルヌーイ多項式の特別な値です。^[1]${\displaystyle B_{n}^{-{}}}$${\displaystyle B_{n}^{+{}}}$${\displaystyle B_{1}^{-{}}=-1/2}$${\displaystyle B_{1}^{+{}}=+1/2}$ ${\displaystyle B_{n}(x)}$${\displaystyle B_{n}^{-{}}=B_{n}(0)}$${\displaystyle B_{n}^{+}=B_{n}(1)}$

ベルヌーイ数は、スイスの数学者ヤコブ・ベルヌーイ（ベルヌーイの名前の由来）と、日本の数学者関孝和（関孝和）によってほぼ同時期に発見された。関の発見は、関の死後1712年に発表された^{[2] [3] [4]。}ベルヌーイの発見は、同じく死後1713年 に発表された『予想の技術』で発表された。エイダ・ラヴレースの1842年のノート「解析機関に関するG」には、バベッジの機械でベルヌーイ数を生成するアルゴリズムが説明されているが、 ^[5]ラヴレースとバベッジのどちらがアルゴリズムを開発したかについては議論がある。その結果、ベルヌーイ数は、初めて公開された複雑なコンピュータプログラムの主題という栄誉を得た。

この記事で使用されている上付き文字± は、ベルヌーイ数の 2 つの符号規則を区別します。影響を受けるのはn = 1 の項のみです。

• B⁻
  _いいえ Bと⁻
  ₁= − ⁠1/2⁠ ( OEIS : A027641 / OEIS : A027642 ) は、 NISTおよびほとんどの現代の教科書で規定されている符号規則です^{。 [6]}
• B⁺
  _いいえBと⁺
  ₁= + ⁠1/2⁠ ( OEIS : A164555 / OEIS : A027642 ) は、古い文献^[1]や (2022年以降)ドナルド・クヌース^[7]によってピーター・ルシュニーの「ベルヌーイ宣言」に従って使用されています。 ^[8]

以下の式では、関係式を使用して、ある符号規則から別の符号規則に切り替えることができます。また、整数n = 2 以上の場合は、単にこれを無視します。 ${\displaystyle B_{n}^{+}=(-1)^{n}B_{n}^{-}}$

n > 1 の奇数に対してB _n = 0であり、多くの式では偶数指数のベルヌーイ数のみを扱うため、一部の著者はB _{2 n}ではなく「 B _n 」と書きます。この記事ではその表記法には従いません。  

ベルヌーイ数は、古代から数学者の関心を集めてきた整数の累乗の和の計算の初期の歴史に根ざしています。

最初のn個の正の整数の合計、最初のn個の正の整数の平方と立方の合計を計算する方法は知られていましたが、実際の「公式」はなく、完全に言葉で説明されているだけでした。この問題を検討した古代の偉大な数学者には、ピタゴラス(紀元前 572 年 - 497 年頃、ギリシャ)、アルキメデス(紀元前 287 年 - 212 年、イタリア)、アリヤバータ(紀元前 476 年 - インド)、アブ・バクル・アル・カラージ(1019 年没、ペルシャ)、アブ・アリ・アル・ハサン・イブン・アル・ハサン・イブン・アル・ハイサム(965 年 - 1039 年、イラク) がいました。

16 世紀後半から 17 世紀初頭にかけて、数学者たちは大きな進歩を遂げました。西洋では、イギリスのトーマス・ハリオット(1560–1621)、ドイツのヨハン・ファウルハーバー(1580–1635)、ピエール・ド・フェルマー(1601–1665)、そして同じくフランスの数学者ブレーズ・パスカル(1623–1662) が重要な役割を果たしました。

トーマス・ハリオットは記号表記法を使って累乗の和の公式を導出し、書いた最初の人物のようですが、彼でさえ 4 乗の和までしか計算していませんでした。ヨハン・ファウルハーバーは 1631 年の著書『アカデミア代数』で、それまでの誰よりもずっと高い 17 乗までの累乗の和の公式を示しましたが、一般的な公式は示しませんでした。

ブレーズ・パスカルは1654年に、( n +1) ^{k +1を、} p =0,1,2,..., kの最初のn個の正の整数のp乗の和に関連付けるパスカルの等式を証明した。

_{スイスの数学者ヤコブ・ベルヌーイ（1654-1705）は、}すべての累乗の和に対して統一的な公式を与える定数B0、B1、B2、…の単一の列の存在_を初めて認識した。 ^[9]

ベルヌーイが、任意の正の整数cのc乗の和を求める公式の係数を迅速かつ容易に計算するために必要なパターンを思いついたときの喜びは、彼のコメントからうかがえます。彼は次のように書いています。

「この表のおかげで、最初の 1000 個の数字の 10 乗を足し合わせると、合計が 91,409,924,241,424,243,424,241,924,242,500 になることが 15 分もかからずにわかりました。」

ベルヌーイの成果は、ベルヌーイの死後、1713年に『予想の理論』で発表された。関孝和 は独立してベルヌーイ数を発見し、その結果は1年前、やはり死後の1712年に発表された。^[2]しかし、関は定数列に基づく式として自分の方法を提示しなかった。

ベクトールの累乗和の公式は、現在までに最も有用かつ一般化可能な公式です。ベクトールの公式の係数は、アブラハム・ド・モアブルの提案に従って、現在ではベクトール数と呼ばれています。

ベルヌーイの公式は、冪乗和を計算する驚くべき方法を発見したものの、ベルヌーイの公式を明言しなかったヨハン・ファウルハーバーにちなんで、ファウルハーバーの公式と呼ばれることもあります。クヌース^[9]によると、ファウルハーバーの公式の厳密な証明は、 1834年にカール・ヤコビによって初めて発表されました。 ^[10]クヌースによるファウルハーバーの公式の詳細な研究は、次のように結論づけています（左辺の非標準的な表記については、後ほど説明します）。

「ファウルハーバーはベルヌーイ数を発見しなかった。つまり、定数 B ₀、B ₁、B ₂、 …の単一の列が均一な値を与えることに気づかなかったのだ。

${\textstyle \sum n^{m}={\frac {1}{m+1}}\left(B_{0}n^{m+1}-{\binom {m+1}{1}}B_{1}n^{m}+{\binom {m+1}{2}}B_{2}n^{m-1}-\cdots +(-1)^{m}{\binom {m+1}{m}}B_{m}n\right)}$

彼は、例えば、 Σnmの式を^N の多項式からnの多項式に変換した後、係数のほぼ半分がゼロになったという事実については決して言及しなかった。」^[11]

上記で Knuth は を意味していましたが、代わりに次の式を使用すると減算が回避されます。 ${\displaystyle B_{1}^{-}}$${\displaystyle B_{1}^{+}}$

${\textstyle \sum n^{m}={\frac {1}{m+1}}\left(B_{0}n^{m+1}+{\binom {m+1}{1}}B_{1}^{+}n^{m}+{\binom {m+1}{2}}B_{2}n^{m-1}+\cdots +{\binom {m+1}{m}}B_{m}n\right).}$

ベルヌーイ数OEIS : A164555 (n)/ OEIS : A027642 (n) は、ヤコブ・ベルヌーイの死後 1713 年に出版された著書Ars Conjectandiの 97 ページで導入されました。主要な式は、対応する複製の後半部分で確認できます。ベルヌーイによってA、B、C、Dと表記された定数係数は、現在広く使用されているA = B ₂、B = B ₄、C = B ₆、D = B ₈という表記法にマッピングされています。式c · c −1· c −2· c −3はc ·( c −1)·( c −2)·( c −3)を意味します。小さな点はグループ化の記号として使用されます。今日の用語を使用すると、これらの式は階乗降 c ^kとなります。階乗表記k ! 1 × 2 × ... × kの省略形としてこの記号が導入されたのは、それから 100 年後のことでした。左辺の積分記号は、1675 年にゴットフリート・ヴィルヘルム・ライプニッツが「summa」(合計) の長い文字S^{として使用したことに由来します。 [b]}左辺の文字n は合計のインデックスではなく、合計の範囲の上限を示し、1、2、...、nとして理解されます。まとめると、c が正の場合、今日の数学者はベルヌーイの公式を次のように記述する可能性があります。

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{c}={\frac {n^{c+1}}{c+1}}+{\frac {1}{2}}n^{c}+\sum _{k=2}^{c}{\frac {B_{k}}{k!}}c^{\underline {k-1}}n^{c-k+1}.}$

この式は、B ₁ = ⁠と設定することを示唆している。1/2⁠偶数インデックス 2、4、6... のみを使用するいわゆる「古い」列挙から、現代​​的な形式に切り替えるとき (次の段落でさまざまな慣例について詳しく説明します)。このコンテキストで最も印象的なのは、下降階乗 c ^{k −1}がk = 0に対して値を持つという事実です⁠1/1は⁠ . ^[12]ベルヌーイの公式は次のように書ける。

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{c}=\sum _{k=0}^{c}{\frac {B_{k}}{k!}}c^{\underline {k-1}}n^{c-k+1}}$

B ₁ = 1/2の場合、その位置の係数にベルヌーイが与えた値が再現されます。

上記のベルヌーイの引用文の前半にあるの式の最後の項に誤りがあり、ではなく とすべきです。 ${\displaystyle \textstyle \sum _{k=1}^{n}k^{9}}$${\displaystyle -{\tfrac {3}{20}}n^{2}}$${\displaystyle -{\tfrac {1}{12}}n^{2}}$

ベルヌーイ数の特徴づけは過去 300 年間に数多く発見されており、それぞれがこれらの数を紹介するために使用できます。ここでは、最も有用な 4 つだけを紹介します。

• 再帰方程式、
• 明確な式、
• 生成関数、
• 積分表現。

4つのアプローチの同等性の証明のため。 ^[13]

ベルヌーイ数は和の公式に従う^[1]

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=0}^{m}{\binom {m+1}{k}}B_{k}^{-{}}&=\delta _{m,0}\\\sum _{k=0}^{m}{\binom {m+1}{k}}B_{k}^{+{}}&=m+1\end{aligned}}}$

ここで、δ はクロネッカーのデルタを表します。 ${\displaystyle m=0,1,2...}$

これらのうち最初のものは、時には式（m > 1の場合）として 書かれる^[14] 。ここで、べき乗は二項定理を使用して正式に展開され、に置き換えられます。 $${\displaystyle (B+1)^{m}-B_{m}=0,}$$${\displaystyle B^{k}}$${\displaystyle B_{k}}$

を解くと再帰式が得られる^[15]${\displaystyle B_{m}^{\mp {}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}B_{m}^{-{}}&=\delta _{m,0}-\sum _{k=0}^{m-1}{\binom {m}{k}}{\frac {B_{k}^{-{}}}{m-k+1}}\\B_{m}^{+}&=1-\sum _{k=0}^{m-1}{\binom {m}{k}}{\frac {B_{k}^{+}}{m-k+1}}.\end{aligned}}}$

1893年にルイ・ザールシュッツはベルヌーイ数を表す公式を合計38個挙げており、^[16]通常は古い文献を参考にしている。そのうちの1つは（ について）である。 ${\displaystyle m\geq 1}$

${\displaystyle {\begin{aligned}B_{m}^{-}&=\sum _{k=0}^{m}{\frac {1}{k+1}}\sum _{j=0}^{k}{\binom {k}{j}}(-1)^{j}j^{m}\\B_{m}^{+}&=\sum _{k=0}^{m}{\frac {1}{k+1}}\sum _{j=0}^{k}{\binom {k}{j}}(-1)^{j}(j+1)^{m}.\end{aligned}}}$

指数関数の生成関数は

${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}{\frac {t}{e^{t}-1}}&={\frac {t}{2}}\left(\operatorname {coth} {\frac {t}{2}}-1\right)&&=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {B_{m}^{-{}}t^{m}}{m!}}\\{\frac {te^{t}}{e^{t}-1}}={\frac {t}{1-e^{-t}}}&={\frac {t}{2}}\left(\operatorname {coth} {\frac {t}{2}}+1\right)&&=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {B_{m}^{+}t^{m}}{m!}}.\end{alignedat}}}$

ここで、置換は です。2 つの生成関数はtだけ異なります。 ${\displaystyle t\to -t}$

（通常の）生成関数

${\displaystyle z^{-1}\psi _{1}(z^{-1})=\sum _{m=0}^{\infty }B_{m}^{+}z^{m}}$

は漸近級数である。これはガンマ関数 ψ ₁を含む。

上記の生成関数から、偶数ベルヌーイ数に対する次の積分式を得ることができます。

${\displaystyle B_{2n}=4n(-1)^{n+1}\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{2n-1}}{e^{2\pi t}-1}}\mathrm {d} t}$

ベルヌーイ数はリーマンゼータ関数で表すことができます。

B⁺
_いいえ= − n ζ (1 − n ) （ n ≥ 1 の           場合）  。

ここで、ゼータ関数の引数は0または負です。負の偶数（自明なゼロ）の場合、はゼロになりますが、n>1が奇数の場合、はゼロになります。 ${\displaystyle \zeta (k)}$${\displaystyle \zeta (1-n)}$

ゼータ関数方程式とガンマ反射公式を用いると、次の関係が得られる。^[17]

${\displaystyle B_{2n}={\frac {(-1)^{n+1}2(2n)!}{(2\pi )^{2n}}}\zeta (2n)\quad }$n ≥ 1 の場合 。

これでゼータ関数の引数は正になります。

ζ → 1 ( n → ∞ )とスターリングの公式から次の式が導かれる。

${\displaystyle |B_{2n}|\sim 4{\sqrt {\pi n}}\left({\frac {n}{\pi e}}\right)^{2n}\quad }$n → ∞の場合 。

いくつかのアプリケーションでは、ベルヌーイ数B ₀からB _{p − 3}をp を法として計算できると便利です。ここでpは素数です。たとえば、ヴァンディバーの予想がpに対して成り立つかどうかをテストしたり、 pが不規則素数かどうかを単に判断したりする場合などです。上記の再帰式を使用してこのような計算を実行することは、少なくともp ^{2 の}算術演算(の定数倍) が必要になるため、実行できません。幸いなことに、 O ( p (log p ) ² ) 回の演算 (大きなO表記を参照)のみを必要とする、より高速な方法が開発されています^[18]。

David Harvey ^[19]は、多数の小さな素数 p についてpを法としてB _{n を}計算し、その後中国剰余定理によってB _{n を}再構築することによってベルヌーイ数を計算するアルゴリズムについて説明しています。Harveyは、このアルゴリズムの漸近的時間計算量はO ( n ² log( n ) ^{2 + ε} )であると記述し、この実装は他の方法に基づく実装よりも大幅に高速であると主張しています。この実装を使用して、Harveyはn = 10 ⁸についてB _{n を}計算しました。Harveyの実装は、バージョン3.1以降、 SageMathに含まれています。それ以前には、Bernd Kellner ^{[20]が2002年12月に}n = 10 ⁶について完全な精度でB _{n を}計算し、Oleksandr Pavlyk ^[21]が2008年4月に Mathematicaを使用してn = 10 ⁷についてB n を計算しました。

*数字は、 B _{n が}正規化された科学的記数法で実数として表記されている場合の 10 の指数として理解されます。

数学におけるベルヌーイ数の最も重要な応用は、オイラー・マクローリン公式での使用であると言える。fが十分に微分可能な関数であると仮定すると、オイラー・マクローリン公式は次のように表される^[22]。

${\displaystyle \sum _{k=a}^{b-1}f(k)=\int _{a}^{b}f(x)\,dx+\sum _{k=1}^{m}{\frac {B_{k}^{-}}{k!}}(f^{(k-1)}(b)-f^{(k-1)}(a))+R_{-}(f,m).}$

この定式化は、慣例Bを前提としている。⁻
₁= − ⁠1/2⁠ . 慣例Bを使用する⁺
₁= + ⁠1/2⁠式は次のようになります

${\displaystyle \sum _{k=a+1}^{b}f(k)=\int _{a}^{b}f(x)\,dx+\sum _{k=1}^{m}{\frac {B_{k}^{+}}{k!}}(f^{(k-1)}(b)-f^{(k-1)}(a))+R_{+}(f,m).}$

ここで（つまり のゼロ階微分はである）。さらに、の不定理をと表す。微積分学の基本定理により、 ${\displaystyle f^{(0)}=f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f^{(-1)}}$${\displaystyle f}$

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=f^{(-1)}(b)-f^{(-1)}(a).}$

したがって、最後の式はさらに簡略化され、オイラー・マクローリンの公式の次の簡潔な形になる。

${\displaystyle \sum _{k=a+1}^{b}f(k)=\sum _{k=0}^{m}{\frac {B_{k}}{k!}}(f^{(k-1)}(b)-f^{(k-1)}(a))+R(f,m).}$

この形式は、例えばゼータ関数の重要なオイラー・マクローリン展開の元となっている。

${\displaystyle {\begin{aligned}\zeta (s)&=\sum _{k=0}^{m}{\frac {B_{k}^{+}}{k!}}s^{\overline {k-1}}+R(s,m)\\&={\frac {B_{0}}{0!}}s^{\overline {-1}}+{\frac {B_{1}^{+}}{1!}}s^{\overline {0}}+{\frac {B_{2}}{2!}}s^{\overline {1}}+\cdots +R(s,m)\\&={\frac {1}{s-1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{12}}s+\cdots +R(s,m).\end{aligned}}}$

ここでsk^は上昇階乗を表す。^[23]

ベルヌーイ数は他の種類の漸近展開でも頻繁に使用されます。次の例は、ディガンマ関数 ψの古典的なポアンカレ型漸近展開です。

${\displaystyle \psi (z)\sim \ln z-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{k}^{+}}{kz^{k}}}}$

ベルヌーイ数は、最初のn個の正の整数のm乗の和の閉じた形式の表現で顕著に現れる。m、n ≥ 0の場合、次のように定義される。

${\displaystyle S_{m}(n)=\sum _{k=1}^{n}k^{m}=1^{m}+2^{m}+\cdots +n^{m}.}$

この式は常に、次数m + 1のnの多項式として書き直すことができます。これらの多項式の係数は、ベルヌーイの公式によってベルヌーイ数に関連付けられます。

${\displaystyle S_{m}(n)={\frac {1}{m+1}}\sum _{k=0}^{m}{\binom {m+1}{k}}B_{k}^{+}n^{m+1-k}=m!\sum _{k=0}^{m}{\frac {B_{k}^{+}n^{m+1-k}}{k!(m+1-k)!}},}$

どこ（^{メートル+ 1}
_キロ) は二項係数を表します。

たとえば、m を1 にすると、三角数は 0、1、3、6、...になります 。OEIS : A000217。

${\displaystyle 1+2+\cdots +n={\frac {1}{2}}(B_{0}n^{2}+2B_{1}^{+}n^{1})={\tfrac {1}{2}}(n^{2}+n).}$

mを 2 とすると、四角錐の数は 0、1、5、14、…となります 。OEIS : A000330。

${\displaystyle 1^{2}+2^{2}+\cdots +n^{2}={\frac {1}{3}}(B_{0}n^{3}+3B_{1}^{+}n^{2}+3B_{2}n^{1})={\tfrac {1}{3}}\left(n^{3}+{\tfrac {3}{2}}n^{2}+{\tfrac {1}{2}}n\right).}$

一部の著者はベルヌーイ数に別の規則を使用し、ベルヌーイの公式を次のように述べています。

${\displaystyle S_{m}(n)={\frac {1}{m+1}}\sum _{k=0}^{m}(-1)^{k}{\binom {m+1}{k}}B_{k}^{-{}}n^{m+1-k}.}$

ベルヌーイの公式は、冪乗の和を計算する驚くべき方法を発見したヨハン・ファウルハーバーにちなんで、ファウルハーバーの公式と呼ばれることもあります。

ファウルハーバーの公式はV. GuoとJ. Zengによってq類似体に一般化された。^[24]

ベルヌーイ数は、多くの三角関数や双曲関数のテイラー級数展開に現れます。

$${\displaystyle {\begin{aligned}\tan x&={\hphantom {1 \over x}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}}{(2n)!}}\;x^{2n-1},&&\left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}.\\\cot x&={1 \over x}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}B_{2n}(2x)^{2n}}{(2n)!}},&0<&|x|<\pi .\\\tanh x&={\hphantom {1 \over x}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}}{(2n)!}}\;x^{2n-1},&&|x|<{\frac {\pi }{2}}.\\\coth x&={1 \over x}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {B_{2n}(2x)^{2n}}{(2n)!}},&0<&|x|<\pi .\end{aligned}}}$$

ベルヌーイ数は以下のローラン級数に現れる：^[25]

ディガンマ関数:${\displaystyle \psi (z)=\ln z-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{k}^{+{}}}{kz^{k}}}}$

平行化可能な多様体を束縛する異種(4 n − 1)球面の微分同相類の巡回群の位数に対するケルヴェア・ミルノアの公式にはベルヌーイ数が含まれる。ES n_をn ≥ 2の異種球面の数とすると、

${\displaystyle {\textit {ES}}_{n}=(2^{2n-2}-2^{4n-3})\operatorname {Numerator} \left({\frac {B_{4n}}{4n}}\right).}$

4 n次元の滑らかな有向閉多様体のL種数に対するヒルツェブルッフの署名定理にもベルヌーイ数が関係します。

ベルヌーイ数とさまざまな種類の組合せ数との関連は、古典的な有限差分理論と、基本的な組合せ原理である包含-排他原理の例としてのベルヌーイ数の組合せ論的解釈に基づいています。

これから述べる定義は、1883年にジュリアス・ウォーピツキーによって考案された。初等算術のほかに、階乗関数^{n!とべき乗関数km}のみが用いられる。符号なしウォーピツキー数は次のように定義される。

${\displaystyle W_{n,k}=\sum _{v=0}^{k}(-1)^{v+k}(v+1)^{n}{\frac {k!}{v!(k-v)!}}.}$

これらは第二種スターリング数によっても表現できる。

${\displaystyle W_{n,k}=k!\left\{{n+1 \atop k+1}\right\}.}$

ベルヌーイ数は、調和数列1 で重み付けされたウォルピツキー数の包含排他和として導入される。1/2⁠、  ⁠1/3⁠、...

${\displaystyle B_{n}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\frac {W_{n,k}}{k+1}}\ =\ \sum _{k=0}^{n}{\frac {1}{k+1}}\sum _{v=0}^{k}(-1)^{v}(v+1)^{n}{k \choose v}\ .}$

₀ = 1です

B ₁ = 1 − ⁠1/2⁠

B ₂ = 1 − ⁠3/2⁠ + ⁠2/3⁠

B ₃ = 1 − ⁠7/2⁠ + ⁠12/3⁠ − ⁠6/4⁠

B ₄ = 1 − ⁠15/2⁠ + ⁠50/3⁠ − ⁠60/4⁠ + ⁠24/5⁠

B ₅ = 1 − ⁠31/2⁠ + ⁠180/3⁠ − ⁠390/4⁠ + ⁠360/5⁠ − ⁠120/6⁠

B ₆ = 1 − ⁠63/2⁠ + ⁠602/3⁠ − ⁠2100/4⁠ + ⁠3360/5⁠ − ⁠2520/6⁠ + ⁠720/7⁠

この表現にはB⁺
₁= + ⁠1/2⁠ .

シーケンスs _n、n ≥ 0について考えます。Worpitzky 数OEIS : A028246、OEIS : A163626をs ₀、s ₀、s ₁、s ₀、s ₁、s ₂、s ₀、s ₁、s ₂、s ₃、...に適用すると、 s _nに適用した Akiyama–Tanigawa 変換と同一になります(「第一種スターリング数との関連」を参照)。これは次の表からわかります。

最初の行はs ₀、s ₁、s ₂、s ₃、s ₄を表します。

したがって、2番目の分数オイラー数OEIS :A198631 ( n )/ OEIS :A006519 ( n +1 )は次のようになります。

₀ = 1です

E ₁ = 1 − ⁠1/2⁠

E ₂ = 1 − ⁠3/2⁠ + ⁠2/4⁠

E ₃ = 1 − ⁠7/2⁠ + ⁠12/4⁠ − ⁠6/8⁠

E ₄ = 1 − ⁠15/2⁠ + ⁠50/4⁠ − ⁠60/8⁠ + ⁠24/16⁠

E ₅ = 1 − ⁠31/2⁠ + ⁠180/4⁠ − ⁠390/8⁠ + ⁠360/16⁠ − ⁠120/32⁠

E ₆ = 1 − ⁠63/2⁠ + ⁠602/4⁠ − ⁠2100/8⁠ + ⁠3360/16⁠ − ⁠2520/32⁠ + ⁠720/64⁠

ベルヌーイ数をウォルピツキー数で表す2番目の式は、n ≥ 1の場合である。

${\displaystyle B_{n}={\frac {n}{2^{n+1}-2}}\sum _{k=0}^{n-1}(-2)^{-k}\,W_{n-1,k}.}$

2 番目のベルヌーイ数の簡略化された 2 番目のウォルピツキー表現は次のとおりです。

OEIS : A164555 ( n + 1 ) / OEIS : A027642 ( n + 1 ) = ⁠1 + 1です/2n ⁺²⁻² 2^は、⁠ × OEIS : A198631 ( n ) / OEIS : A006519 ( n + 1 )

これは第 2 ベルヌーイ数を第 2 分数オイラー数に結び付けます。始まりは次のようになります。

⁠1/2⁠、⁠1/6⁠ , 0, − ⁠1/30⁠ , 0, ⁠1/42⁠、... = ( ⁠1/2⁠、⁠1/3⁠、⁠3/14⁠、⁠2/15⁠、⁠5/62⁠、⁠1/21⁠、...) × (1, ⁠1/2⁠ , 0, − ⁠1/4⁠ , 0, ⁠1/2⁠、...)

最初の括弧の分子はOEIS : A111701です(第 1 種のスターリング数との関連を参照)。

ベルヌーイ多項式 Bk ( j )_を次のように定義すると: ^[26]

${\displaystyle B_{k}(j)=k\sum _{m=0}^{k-1}{\binom {j}{m+1}}S(k-1,m)m!+B_{k}}$

ここで、B _k ( k = 0, 1, 2,...)はベルヌーイ数であり、S(k,m)は第2種のスターリング数です。

ベルヌーイ多項式については次の式もある。^[26]

${\displaystyle B_{k}(j)=\sum _{n=0}^{k}{\binom {k}{n}}B_{n}j^{k-n}.}$

（におけるjの係数^jm _+1
です）は⁠(−1)^メートル/メートル+1⁠ .

ベルヌーイ多項式の 2 つの表現における jの係数を比較すると、次のようになります。

${\displaystyle B_{k}=\sum _{m=0}^{k-1}(-1)^{m}{\frac {m!}{m+1}}S(k-1,m)}$

（結果としてB ₁ = + ⁠1/2⁠）はベルヌーイ数の明示的な公式であり、フォン・シュタウト・クラウゼンの定理を証明するために使用できます。 ^{[27] [28] [29]}

第一種 符号なしスターリング数に関する2つの主な公式[ⁿ
_m]をベルヌーイ数（ B ₁ = + ⁠1/2⁠）は

${\displaystyle {\frac {1}{m!}}\sum _{k=0}^{m}(-1)^{k}\left[{m+1 \atop k+1}\right]B_{k}={\frac {1}{m+1}},}$

そしてこの和の逆数（n ≥ 0、m ≥ 0の場合）

${\displaystyle {\frac {1}{m!}}\sum _{k=0}^{m}(-1)^{k}\left[{m+1 \atop k+1}\right]B_{n+k}=A_{n,m}.}$

ここで、数A _{n、m は}有理秋山・谷川数であり、その最初のいくつかは次の表に示されています。

秋山-谷川数は、ベルヌーイ数を繰り返し計算するために利用できる単純な再帰関係を満たします。これにより、上記の「アルゴリズムの説明」セクションに示されているアルゴリズムが実現します。OEIS : A051714 / OEIS : A051715を参照してください。

オートシーケンスは、その逆二項変換が符号付きシーケンスに等しいシーケンスです。主対角線がゼロ = OEIS : A000004の場合、オートシーケンスは第 1 種です。例: OEIS : A000045、フィボナッチ数列。主対角線が最初の上対角線の 2 倍である場合、それは第 2 種です。例: OEIS : A164555 / OEIS : A027642、第 2 ベルヌーイ数列 ( OEIS : A190339を参照)。2 ^{− n} = 1/ OEIS : A000079に Akiyama–Tanigawa 変換を適用すると、OEIS : A198631 ( n ) / OEIS : A06519 ( n + 1)になります。したがって、次のように なります。

OEIS :A209308およびOEIS :A227577を参照してください。OEIS :A198631 ( n ) / OEIS :A006519 ( n + 1 ) は、2 番目の (分数) オイラー数であり、第 2 種の自動数列です 。

（⁠OEIS : A164555 ( n + 2 )/OEIS : A027642 ( n + 2 )⁠ = ⁠1/6⁠ , 0, − ⁠1/30⁠ , 0, ⁠1/42⁠、...） × ( ⁠2n ^{+ 3} − 2で^ある。/2 + 2です⁠ = 3, ⁠14/3⁠、⁠15/2⁠、⁠62/5⁠、21、...）= ⁠OEIS : A198631 ( n + 1 )/OEIS : A006519 ( n + 2 )⁠ = ⁠1/2⁠ , 0, − ⁠1/4⁠ , 0, ⁠1/2⁠、 ...。

OEIS : A027641 / OEIS : A027642にも役立ちます(Worpitzky 数との関連を参照)。

パスカルの三角形とベルヌーイ数を結びつける公式がある^[c]

${\displaystyle B_{n}^{+}={\frac {|A_{n}|}{(n+1)!}}~~~}$

ここで、パスカルの三角形のn 行 n列のヘッセンベルク行列部分の行列式は次のようになります。${\displaystyle |A_{n}|}$${\displaystyle a_{i,k}={\begin{cases}0&{\text{if }}k>1+i\\{i+1 \choose k-1}&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

例：

${\displaystyle B_{6}^{+}={\frac {\det {\begin{pmatrix}1&2&0&0&0&0\\1&3&3&0&0&0\\1&4&6&4&0&0\\1&5&10&10&5&0\\1&6&15&20&15&6\\1&7&21&35&35&21\end{pmatrix}}}{7!}}={\frac {120}{5040}}={\frac {1}{42}}}$

オイラー数を 結びつける公式がある⟨ⁿ
_m⟩ベルヌーイ数へ:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{m=0}^{n}(-1)^{m}\left\langle {n \atop m}\right\rangle &=2^{n+1}(2^{n+1}-1){\frac {B_{n+1}}{n+1}},\\\sum _{m=0}^{n}(-1)^{m}\left\langle {n \atop m}\right\rangle {\binom {n}{m}}^{-1}&=(n+1)B_{n}.\end{aligned}}}$

両方の式は、 B ₁が⁠に設定されている場合、n ≥ 0に対して有効です。1/2⁠ . B ₁が − に設定されている場合⁠1/2⁠これらはそれぞれn ≥ 1およびn ≥ 2の場合にのみ有効です。

スターリング多項式σn ( x )は_{ベルヌーイ}数とBn = _n ! σn (1)の関係_にある。SCウーン(SC Woon)はσn (1)_を二分木として計算するアルゴリズムを説明した: ^[30]

Woon の再帰アルゴリズム ( n ≥ 1 ) は、ルートノードN = [1,2]を割り当てることから始まります。ツリーのノードN = [ a ₁ , a ₂ , ..., a _k ]を考えると、ノードの左の子はL ( N ) = [− a ₁ , a ₂ + 1, a ₃ , ..., a _k ]で、右の子はR ( N ) = [ a ₁ , 2, a ₂ , ..., a k ]です。ノードN = [ a ₁ , a ₂ , ..., a _k ]は、上記で表されたツリーの最初の部分では±[ a ₂ , ..., a _k ]と書かれ、 ± はa _1の符号を示します。

ノードNが与えられたとき、 Nの階乗は次のように定義される。

${\displaystyle N!=a_{1}\prod _{k=2}^{\operatorname {length} (N)}a_{k}!.}$

固定されたツリーレベルnのノードNに制限され、合計は⁠1/ん！⁠ はσ _n (1)なので、

${\displaystyle B_{n}=\sum _{\stackrel {N{\text{ node of}}}{{\text{ tree-level }}n}}{\frac {n!}{N!}}.}$

例えば：

B ₁ = 1!( ⁠1/2！⁠ )

B ₂ = 2!(− ⁠1/3！⁠ + ⁠1/2!2!⁠ )

B ₃ = 3!( ⁠1/4！⁠ − ⁠1/2!3!⁠ − ⁠1/3!2!⁠ + ⁠1/2！2！2！⁠ )

積分​

${\displaystyle b(s)=2e^{si\pi /2}\int _{0}^{\infty }{\frac {st^{s}}{1-e^{2\pi t}}}{\frac {dt}{t}}={\frac {s!}{2^{s-1}}}{\frac {\zeta (s)}{{}\pi ^{s}{}}}(-i)^{s}={\frac {2s!\zeta (s)}{(2\pi i)^{s}}}}$

特別な値として、n > 0の場合、b (2 n ) = B _{2 n}を持ちます。

例えば、b (3) = ⁠3/2⁠ ξ (3) π ⁻³ iおよびb (5) = − ⁠15/2⁠ ζ (5) π ⁻⁵ i。ここで、 ζはリーマンゼータ関数、 iは虚数単位である。レオンハルト・オイラー（オペラ・オムニア、第1シリーズ、第10巻、351ページ）はこれらの数を考慮して計算した。

${\displaystyle {\begin{aligned}p&={\frac {3}{2\pi ^{3}}}\left(1+{\frac {1}{2^{3}}}+{\frac {1}{3^{3}}}+\cdots \right)=0.0581522\ldots \\q&={\frac {15}{2\pi ^{5}}}\left(1+{\frac {1}{2^{5}}}+{\frac {1}{3^{5}}}+\cdots \right)=0.0254132\ldots \end{aligned}}}$

もう一つの同様の積分表現は

${\displaystyle b(s)=-{\frac {e^{si\pi /2}}{2^{s}-1}}\int _{0}^{\infty }{\frac {st^{s}}{\sinh \pi t}}{\frac {dt}{t}}={\frac {2e^{si\pi /2}}{2^{s}-1}}\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{\pi t}st^{s}}{1-e^{2\pi t}}}{\frac {dt}{t}}.}$

オイラー数はベルヌーイ数と密接に関係する整数の列である。ベルヌーイ数とオイラー数の漸近展開を比較すると、オイラー数E _{2 n}の大きさはおよそ⁠2/π⁠ (4 ^{2 n} − 2 ^{2 n} )倍ベルヌーイ数B _{2 n}より大きくなります。結果として:

${\displaystyle \pi \sim 2(2^{2n}-4^{2n}){\frac {B_{2n}}{E_{2n}}}.}$

この漸近方程式は、π がベルヌーイ数とオイラー数の共通根にあることを示しています。実際、π はこれらの有理近似から計算できます。

ベルヌーイ数はオイラー数で表すことができ、逆もまた同様です。n が奇数の場合、 B n ₌ E n ₌ 0 ( B ₁を除く) であるため、 nが偶数の場合を考えれば十分です。

${\displaystyle {\begin{aligned}B_{n}&=\sum _{k=0}^{n-1}{\binom {n-1}{k}}{\frac {n}{4^{n}-2^{n}}}E_{k}&n&=2,4,6,\ldots \\[6pt]E_{n}&=\sum _{k=1}^{n}{\binom {n}{k-1}}{\frac {2^{k}-4^{k}}{k}}B_{k}&n&=2,4,6,\ldots \end{aligned}}}$

これらの変換式は、ベルヌーイ数とオイラー数の関係を表しています。しかし、より重要なのは、両方の数に共通する深い算術的根源があり、それはπとも密接に結びついたより基本的な数列で表現できるということです。これらの数はn ≥ 1に対して次のように定義されます^{[31] [32]}

${\displaystyle S_{n}=2\left({\frac {2}{\pi }}\right)^{n}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{kn}}{(2k+1)^{n}}}=2\left({\frac {2}{\pi }}\right)^{n}\lim _{K\to \infty }\sum _{k=-K}^{K}(4k+1)^{-n}.}$

これらの数の魔法は、それらが有理数であるという事実にあります。これは、レオンハルト・オイラーの画期的な論文「逆数の級数の和について」で初めて証明され、それ以来数学者を魅了してきました。^[33]これらの数の最初のいくつかは、

${\displaystyle S_{n}=1,1,{\frac {1}{2}},{\frac {1}{3}},{\frac {5}{24}},{\frac {2}{15}},{\frac {61}{720}},{\frac {17}{315}},{\frac {277}{8064}},{\frac {62}{2835}},\ldots }$( OEIS : A099612 / OEIS : A099617 )

これらは、 sec x + tan xの展開における係数です。

ベルヌーイ数とオイラー数は、数列S _nから選択され、特殊なアプリケーションで使用するためにスケーリングされた 、これらの数の特別なビューとして理解できます。

${\displaystyle {\begin{aligned}B_{n}&=(-1)^{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }[n{\text{ even}}]{\frac {n!}{2^{n}-4^{n}}}\,S_{n}\ ,&n&=2,3,\ldots \\E_{n}&=(-1)^{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }[n{\text{ even}}]n!\,S_{n+1}&n&=0,1,\ldots \end{aligned}}}$

式 [ n even] は、 nが偶数の場合は値 1 になり、そうでない場合は値 0 になります (アイバーソン括弧)。

これらの等式は、このセクションの冒頭にあるベルヌーイ数とオイラー数の商がR _n = ⁠の特別な場合であることを示している。2ス_​/Sn _+1は⁠ nが偶数のとき_{。R n は}πの有理近似値であり、連続する 2 つの項は常にπの真の値を囲みます。n = 1から数列が始まります ( OEIS : A132049 / OEIS : A132050 )。

${\displaystyle 2,4,3,{\frac {16}{5}},{\frac {25}{8}},{\frac {192}{61}},{\frac {427}{136}},{\frac {4352}{1385}},{\frac {12465}{3968}},{\frac {158720}{50521}},\ldots \quad \longrightarrow \pi .}$

これらの有理数は、上で引用したオイラーの論文の最後の段落にも登場します。

OEIS :A046978 ( n +2 )/ OEIS :A016116 ( n +1 )の秋山-谷川変換を考える。

2番目から、最初の列の分子はオイラーの公式の分母です。最初の列は− ⁠1/2⁠ × OEIS :A163982 .

数列S _{n に}は、予期せぬ重要な特性がもう 1 つあります。それは、 S _{n +1}の分母が階乗nを割り切れることです。言い換えると、数T _n  =  S _{n + 1} n !は、オイラージグザグ数とも呼ばれ、整数です。

${\displaystyle T_{n}=1,\,1,\,1,\,2,\,5,\,16,\,61,\,272,\,1385,\,7936,\,50521,\,353792,\ldots \quad n=0,1,2,3,\ldots }$( OEIS : A000111 )。( OEIS : A253671 )を参照。

それらの指数生成関数は、正割関数と正接関数の合計です。

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }T_{n}{\frac {x^{n}}{n!}}=\tan \left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {x}{2}}\right)=\sec x+\tan x}$。

したがって、ベルヌーイ数とオイラー数の上記の表現は、この数列を使って次のように書き直すことができる。

${\displaystyle {\begin{aligned}B_{n}&=(-1)^{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }[n{\text{ even}}]{\frac {n}{2^{n}-4^{n}}}\,T_{n-1}\ &n&\geq 2\\E_{n}&=(-1)^{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }[n{\text{ even}}]T_{n}&n&\geq 0\end{aligned}}}$

これらの恒等式により、ベルヌーイ数とオイラー数の計算が容易になります。オイラー数E _{2 n は}T _{2 n}によって直ちに与えられ、ベルヌーイ数B _{2 n は}有理数演算を回避してT _{2 n - 1}から簡単なシフトによって 得られる分数です。

残っているのは、 T _{n を}計算する便利な方法を見つけることです。しかし、すでに 1877 年にフィリップ・ルートヴィヒ・フォン・ザイデルがT _{n の}計算を簡単にする独創的なアルゴリズムを発表しました。^[34]

1. まず行0に1を入れ、kは現在埋められている行の番号を表します。
2. kが奇数の場合、行k − 1の左端の数字を行kの最初の位置に置き、行を左から右に埋めます。各エントリは、左側の数字と上部の数字の合計になります。
3. 行の最後に最後の数字を複製します。
4. kが偶数の場合は、反対方向にも同様に進みます。

^{ザイデルのアルゴリズムは実際にははるかに一般的なものであり（ドミニク・デュモン[35]}の説明を参照）、その後も何度か再発見されました。

ザイデルのアプローチと同様に、DEクヌースとTJバックホルツは数T _{2 n}の再帰方程式を与え、この方法を「整数に対する単純な演算のみを使用する電子計算機上で」 B _{2 n}とE _{2 nを}計算するために推奨した。^[36]

VIアーノルド^{[37]はザイデルのアルゴリズムを再発見し、後にミラー、スローン、ヤングはザイデルのアルゴリズムを}ブストロフェドン変換という名前で普及させた。

三角形の形:

OEISには、1 が 1 つあるOEIS : A000657と、1 が 2 つある OEIS : A214267のみが含まれています。

次の行に補助的な 1 と 1 つの 0 を含む分布:

これはOEIS : A239005で、 OEIS : A008280の符号付きバージョンです。主対角線はOEIS : A122045です。主対角線はOEIS : A155585です。中央の列はOEIS : A099023です。行の合計は 1、1、−2、−5、16、61.... OEIS : A163747を参照してください。下記の 1、1、0、−2、0、16、0 で始まる配列を参照してください。

秋山・谷川アルゴリズムをOEIS : A046978 ( n + 1 ) / OEIS : A016116 ( n ) に適用すると、次の結果が得られます。

1.最初の列はOEIS : A122045です。これを二項変換すると次のようになります。

この配列の最初の行はOEIS : A155585です。増加する反角線の絶対値はOEIS : A008280です。反角線の合計は− OEIS : A163747 ( n + 1 ) です。

2. 2列目は1 1 −1 −5 5 61 −61 −1385 1385...です。これを二項変換すると次のようになります。

この配列の最初の行は1 2 2 −4 −16 32 272 544 −7936 15872 353792 −707584...です。2 番目の二等分値の絶対値は、最初の二等分値の絶対値の 2 倍です。

OEIS : A046978 ( n ) / ( OEIS : A158780 ( n + 1 ) = abs( OEIS : A117575 ( n )) + 1 = 1, 2, 2, ⁠に適用される秋山・谷川アルゴリズムを考えてみましょう。3/2⁠、1、⁠3/4⁠、⁠3/4⁠、⁠7/8⁠、1、⁠17/16⁠、⁠17/16⁠、⁠33/32⁠ ...。

絶対値がOEIS : A000111である最初の列は、三角関数の分子である可能性があります。

OEIS : A163747は第 1 種のオートシーケンスです (主対角線はOEIS : A000004です)。対応する配列は次のようになります。

最初の2つの上側対角線は−1 3 −24 402... = (−1) ^{n + 1}  ×  OEIS : A002832です。反対角線の合計は0 −2 0 10... = 2 ×  OEIS : A122045 ( n  + 1) です。

− OEIS : A163982は、例えばOEIS : A164555 / OEIS : A027642のような2番目の種類の自動シーケンスです。したがって、配列は次のようになります。

主対角線（ここでは2 −2 8 −92... ）は、最初の上側の対角線（ここではOEIS : A099023 ）の2倍です。反対角線の合計は2 0 −4 0... = 2 ×  OEIS : A155585 ( n + 1 ) です。OEIS : A163747  −  OEIS : A163982 = 2 ×  OEIS : A122045です。

ザイデルのアルゴリズムの発表から3年後の1880年頃、デジレ・アンドレは、今では古典的な組み合わせ解析の結果を証明しました。^{[38] [39]}三角関数 tan xとsec xのテイラー展開の最初の項を見て、アンドレは驚くべき発見をしました。

${\displaystyle {\begin{aligned}\tan x&=x+{\frac {2x^{3}}{3!}}+{\frac {16x^{5}}{5!}}+{\frac {272x^{7}}{7!}}+{\frac {7936x^{9}}{9!}}+\cdots \\[6pt]\sec x&=1+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {5x^{4}}{4!}}+{\frac {61x^{6}}{6!}}+{\frac {1385x^{8}}{8!}}+{\frac {50521x^{10}}{10!}}+\cdots \end{aligned}}}$

係数はそれぞれ奇数と偶数の指数を持つオイラー数です。結果として、tan x + sec xの通常の展開は、有理数S _{n を}係数として持ちます。

${\displaystyle \tan x+\sec x=1+x+{\tfrac {1}{2}}x^{2}+{\tfrac {1}{3}}x^{3}+{\tfrac {5}{24}}x^{4}+{\tfrac {2}{15}}x^{5}+{\tfrac {61}{720}}x^{6}+\cdots }$

その後、アンドレは再帰的議論によって、奇数サイズの交代順列は奇数指数のオイラー数 (正接数とも呼ばれる) によって列挙され、偶数サイズの交代順列は偶数指数のオイラー数 (割線数とも呼ばれる) によって列挙されることを示すことに成功しました。

最初のベルヌーイ数と2番目のベルヌーイ数の算術平均は、準ベルヌーイ数です: B ₀ = 1、B ₁ = 0、B ₂ = ⁠1/6⁠、 B ₃ = 0、 B ₄ = − ⁠1/30⁠、 OEIS : A176327 / OEIS : A027642 。その逆秋山–谷川変換OEIS : A177427の2行目を経て、バルマー級数OEIS : A061037 / OEIS : A061038につながります。

OEIS :A060819 ( n +4 )/ OEIS :A145979 ( n )にAkiyama–Tanigawaアルゴリズムを適用すると、B1_のないベルヌーイ数OEIS :A027641 / OEIS :A027642、OEIS :A164555 / OEIS :A027642 _、またはOEIS :A176327OEIS :A176289が得られ、これらは固有ベルヌーイ数Bi ( n )と呼ばれます。

したがって、 OEIS : A145979 ( n ) を介した固有ベルヌーイ数とバルマー級数の間のもう一つのリンクが存在します。

OEIS : A145979 ( n − 2 ) = 0, 2, 1, 6,... は負でない数の順列です。

最初の行の項は f(n) = ⁠1/2⁠ + ⁠1/2 + 2です⁠ . 2, f(n) は第2種の自動列です。3/2, f(n) は逆二項変換により 3/2 −1/2 1/3 −1/4 1/5 ... = 1/2 + log 2 になります。

g(n) = 1/2 – 1 / (n+2) = 0、1/6、1/4、3/10、1/3 を考えます。Akiyama-Tanagiwa 変換は次のようになります。

0, g(n)は第2種のオートシーケンスです。

オイラーOEIS : A198631 ( n ) / OEIS : A006519 ( n + 1 ) の第2項なし ( ⁠1/2⁠）は分数固有オイラー数E _i ( n ) = 1, 0, − ⁠1/4⁠ , 0, ⁠1/2⁠ , 0, − ⁠17/8⁠ , 0, ...対応する秋山変換は次のようになります。

最初の行はEu ( n )です。先頭に 0 が付いたEu ( n ) は、第 1 種の自動数列です。これは、オレーム数にリンクされています。2 行目の分子は、先頭に 0 が付いたOEIS : A069834です。差分表は次のとおりです。

ベルヌーイ数はリーマンゼータ関数を用いてB _n = − nζ (1 − n )と表すことができる。n ≥ 0の整数に対して、 n = 0の場合には式− nζ (1 − n )が極限値として理解され、慣例B ₁ = ⁠1/2⁠が使われます。これは、それらを負の整数におけるゼータ関数の値と密接に関連させます。そのため、それらは深い算術的性質を持つと予想され、実際に持っています。たとえば、アゴ–ジュガ予想は、 pが素数であるための必要十分条件として、 pB _{p − 1}がp を法として −1 と合同であると仮定します。ベルヌーイ数の割り切れる性質は、クンマーの定理とそのエルブラン–リベットの定理における強化によって円分体のイデアル類群に、アンケニー–アルティン–チョウラによって実二次体の類数に関連します。

ベルヌーイ数はフェルマーの最終定理（FLT）とクンマーの定理^[40]によって関連しており、次のように述べられている。

奇数素数p がベルヌーイ数B ₂、B ₄、 ...、B _{p − 3}の分子のいずれをも割り切れない場合、 x ^p + y ^p + z ^p = 0には非ゼロの整数における解が存在しません。

この性質を持つ素数は正素数と呼ばれる。クンマーのもう一つの古典的な結果は、次の合同性である。^[41]

pを奇数の素数、bを偶数として、 p  − 1でbが割り切れないものとする。すると、任意の非負整数kに対して

${\displaystyle {\frac {B_{k(p-1)+b}}{k(p-1)+b}}\equiv {\frac {B_{b}}{b}}{\pmod {p}}.}$

これらの合同性の一般化はp進連続性と呼ばれます。

b、m、nが正の整数で、mとn がp − 1で割り切れず、m ≡ n (mod p ^{b − 1} ( p − 1))である場合、

${\displaystyle (1-p^{m-1}){\frac {B_{m}}{m}}\equiv (1-p^{n-1}){\frac {B_{n}}{n}}{\pmod {p^{b}}}.}$

B _n = − nζ (1 − n )なので、これは次のようにも書ける。

${\displaystyle \left(1-p^{-u}\right)\zeta (u)\equiv \left(1-p^{-v}\right)\zeta (v){\pmod {p^{b}}},}$

ここでu = 1 − m、v = 1 − nなので、uとv は非正で、p − 1を法として 1 と合同ではありません。これは、オイラー積の公式から1 − p ^{− s}を除いたリーマンゼータ関数が、p − 1を法として特定のa ≢ 1 mod ( p − 1)と合同な奇数の負の整数上のp進数で連続していることを示しており、したがって、すべてのp進整数、つまり p 進ゼータ関数に対して連続関数ζ p ₍ s )に拡張できます。 ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p},}$

ラマヌジャンによる次の関係は、元の再帰的定義によって与えられたものよりも効率的なベルヌーイ数の計算方法を提供します。

${\displaystyle {\binom {m+3}{m}}B_{m}={\begin{cases}{\frac {m+3}{3}}-\sum \limits _{j=1}^{\frac {m}{6}}{\binom {m+3}{m-6j}}B_{m-6j},&{\text{if }}m\equiv 0{\pmod {6}};\\{\frac {m+3}{3}}-\sum \limits _{j=1}^{\frac {m-2}{6}}{\binom {m+3}{m-6j}}B_{m-6j},&{\text{if }}m\equiv 2{\pmod {6}};\\-{\frac {m+3}{6}}-\sum \limits _{j=1}^{\frac {m-4}{6}}{\binom {m+3}{m-6j}}B_{m-6j},&{\text{if }}m\equiv 4{\pmod {6}}.\end{cases}}}$

フォン シュタウト-クラウゼンの定理は、 1840 年にカール ゲオルグ クリスチャン フォン シュタウト^[42]とトーマス クラウゼン^{[43]によって独立して与えられました。この定理は、すべての}n > 0について、

${\displaystyle B_{2n}+\sum _{(p-1)\,\mid \,2n}{\frac {1}{p}}}$

は整数です。和はp − 1 が2 nを割り切るすべての素数 pにわたります。

この結果、B _{2 n}の分母は、 p − 1 が2 nを割り切るすべての素数pの積で与えられる。特に、これらの分母は平方根がなく、6 で割り切れる。

合計

${\displaystyle \varphi _{k}(n)=\sum _{i=0}^{n}i^{k}-{\frac {n^{k}}{2}}}$

は、指数nの負の値に対しても評価できます。そうすることで、kが偶数の場合に奇関数であることが示され、和には奇指数の項のみが含まれることになります。これとベルヌーイ和の公式から、m が偶数で_{2 k} + 1 − m > 1の場合、 B 2 k + 1 _{− m}は 0 になり、 B ₁の項は減算によって打ち消されます。ヴォルピツキーの表現と組み合わせたフォン・シュタウト・クラウゼンの定理も、この質問に対する組合せ論的な答えを与えます ( n > 1に有効)。

フォン・シュタウト・クラウゼンの定理から、奇数n > 1に対して数2 B _nは整数であることが分かっている。問題の整数が0であることが事前に分かっている場合、これは自明であるように思える。しかし、ウォーピツキーの表現を適用すると、

${\displaystyle 2B_{n}=\sum _{m=0}^{n}(-1)^{m}{\frac {2}{m+1}}m!\left\{{n+1 \atop m+1}\right\}=0\quad (n>1{\text{ is odd}})}$

整数の和として表されますが、これは自明ではありません。ここで、奇数指数のベルヌーイ数が消えることを説明する組み合わせ論的事実が浮かび上がります。S _{n , m を}{1, 2, ..., n }から{1, 2, ..., m }_への全射写像の数とすると、 S _n , _m = m ! {ⁿ
_m}。最後の式が成り立つのは、

${\displaystyle \sum _{{\text{odd }}m=1}^{n-1}{\frac {2}{m^{2}}}S_{n,m}=\sum _{{\text{even }}m=2}^{n}{\frac {2}{m^{2}}}S_{n,m}\quad (n>2{\text{ is even}}).}$

この方程式は帰納法で証明できる。この方程式の最初の2つの例は次の通りである。

n = 4: 2 + 8 = 7 + 3、

n = 6: 2 + 120 + 144 = 31 + 195 + 40 .

したがって、ベルヌーイ数は奇数指数で消滅します。これは、ベルヌーイ数にいくつかの非自明な組み合わせの恒等式が組み込まれているためです。

ベルヌーイ数とリーマンゼータ関数の関係は、ベルヌーイ数のみを用いたリーマン予想（RH）の別の定式化を提供できるほど強い。実際、マルセル・リースはRHが次の主張と同等であることを証明した：^[44]

すべてのεについて> ⁠1/4⁠定数C _ε > 0 ( εに依存) が存在し、 x → ∞のときに| R ( x ) | < C _ε x ^{ε が}成立します。

ここでR ( x )はリース関数である。

${\displaystyle R(x)=2\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{\overline {k}}x^{k}}{(2\pi )^{2k}\left({\frac {B_{2k}}{2k}}\right)}}=2\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{\overline {k}}x^{k}}{(2\pi )^{2k}\beta _{2k}}}.}$

n ^{k は}DE Knuthの表記法における階乗の上昇を表します。数値β _n = ⁠Bn_​/ん⁠ はゼータ関数の研究では頻繁に登場し、 β _nがp -整数（ただし p − 1 は n を割り切れない）であるため重要です。β nはベルヌーイの_除数と呼ばれます。

一般化ベルヌーイ数は、ベルヌーイ数と同様に定義される特定の代数的数であり、ベルヌーイ数がリーマンゼータ関数の特殊値と関係しているのと同様に、 ディリクレL関数の特殊値と関係しています。

χ をf を法とするディリクレ指標とする。χ に付随する一般化ベルヌーイ数は次のように定義される。

${\displaystyle \sum _{a=1}^{f}\chi (a){\frac {te^{at}}{e^{ft}-1}}=\sum _{k=0}^{\infty }B_{k,\chi }{\frac {t^{k}}{k!}}.}$

例外的なB _1,1 = ⁠1/2⁠、任意のディリクレ指標χに対して、 χ (−1) ≠ (−1) ^kの場合にはB _{k , χ} = 0 となります。

ベルヌーイ数とリーマンゼータ関数の非正整数における値の関係を一般化すると、すべての整数k ≥ 1に対して次の式が得られます。

${\displaystyle L(1-k,\chi )=-{\frac {B_{k,\chi }}{k}},}$

ここでL ( s , χ )はχのディリクレL関数である。^[45]

アイゼンシュタイン-クロネッカー数は、虚数二次体に対する一般化ベルヌーイ数の類似物である。^{[46] [47]これらは}ヘッケ指標の臨界L値と関連している。^[47]

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