リーマン曲率テンソル

微分幾何学の数学分野では、リーマン曲率テンソルまたはリーマン・クリストッフェルテンソル（ベルンハルト・リーマンとエルヴィン・ブルーノ・クリストッフェルにちなんで命名）は、リーマン多様体の曲率を表す最も一般的な方法です。これは、リーマン多様体の各点にテンソルを割り当てます（つまり、テンソル場です）。これは、2 次共変微分が可換でないことを測るリーマン計量の局所不変量です。リーマン多様体の曲率がゼロになるのは、それが平坦である場合、つまりユークリッド空間と局所的に等長である場合のみです。^[¹^]曲率テンソルは、任意の擬リーマン多様体、またはアフィン接続を備えた任意の多様体に対しても定義できます。

これは、現代の重力理論である一般相対性理論における中心的な数学的ツールである。時空の曲率は、原理的には測地線偏差方程式によって観測可能である。曲率テンソルは、ヤコビ方程式によって厳密に定義された意味で、測地線に沿って移動する剛体が受ける潮汐力を表す。

意味

させて $(M,g)$ リーマン多様体または擬リーマン多様体であり、 ${\mathfrak {X}}(M)$ 上のすべてのベクトル場の空間とする $M$ リーマン曲率テンソルを写像として定義します。 ${\mathfrak {X}}(M)\times {\mathfrak {X}}(M)\times {\mathfrak {X}}(M)\rightarrow {\mathfrak {X}}(M)$ 次の式^{[ 2 ]}により、 $\nabla$ レヴィとチヴィタのつながりとは：

R(X,Y)Z=\nabla _{X}\nabla _{Y}Z-\nabla _{Y}\nabla _{X}Z-\nabla _{[X,Y]}Z

または同等に

R(X,Y)=[\nabla _{X},\nabla _{Y}]-\nabla _{[X,Y]}

どこ $[X,Y]$ はベクトル場のリー括弧であり、 $[\nabla _{X},\nabla _{Y}]$ これは微分演算子の交換子です。右辺は実際にはベクトル場の値のみに依存することがわかります。 $X,Y,Z$ ある特定の点において、これは注目すべき点である。なぜなら、ベクトル場の共変微分は、その点の近傍における場の値にも依存するからである。したがって、 $R$ は $(1,3)$ -テンソル場。固定の場合 $X,Y$ 線形変換 $Z\mapsto R(X,Y)Z$ これは曲率変換または自己準同型とも呼ばれます。曲率テンソルは、場合によっては反対の符号で定義されます。

曲率テンソルは共変微分の非可換性を測定するものであり、そのため、ユークリッド空間（この文脈では平坦空間と呼ばれる）との等長写像の存在に対する積分可能性の障害となる。

レヴィ・チヴィタ接続はねじれがないため、その曲率は2次共変微分を用いて表現することもできます^{[ 3 ]。}

{\textstyle \nabla _{X,Y}^{2}Z=\nabla _{X}\nabla _{Y}Z-\nabla _{\nabla _{X}Y}Z}

これは、 $X,Y$ ある点において、曲率は次のように表すことができます。

R(X,Y)=\nabla _{X,Y}^{2}-\nabla _{Y,X}^{2}

したがって、曲率テンソルは、2 次共変微分の非可換性を測定する。抽象的なインデックス表記では、 $R^{d}{}_{cab}Z^{c}=\nabla _{a}\nabla _{b}Z^{d}-\nabla _{b}\nabla _{a}Z^{d}.$ リーマン曲率テンソルは、任意の共変ベクトルの共変微分の交換子でもある。 $A_{\nu }$ それ自体との比較: ^{[ 4 ]}^{[ 5 ]}

{\displaystyle A_{\nu

この公式はしばしばリッチ恒等式と呼ばれます。^{[ 6 ]}これは、リッチとレヴィ＝チヴィタがリーマン曲率テンソルの式を得るために使用した古典的な方法です。 ^{[ 7 ]}この恒等式は、任意のテンソルの 2 つの共変微分の交換子を次のように一般化することができます。 ^{[ 8 ]}

{\begin{aligned}&\nabla _{\delta }\nabla _{\gamma }T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r}}{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s}}-\nabla _{\gamma }\nabla _{\delta }T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r}}{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s}}\\[3pt]={}&R^{\alpha _{1}}{}_{\rho \delta \gamma }T^{\rho \alpha _{2}\cdots \alpha _{r}}{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s}}+\ldots +R^{\alpha _{r}}{}_{\rho \delta \gamma }T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r-1}\rho }{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s}}-R^{\sigma }{}_{\beta _{1}\delta \gamma }T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r}}{}_{\sigma \beta _{2}\cdots \beta _{s}}-\ldots -R^{\sigma }{}_{\beta _{s}\delta \gamma }T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r}}{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s-1}\sigma }\end{aligned}}

この公式は、変更なしにテンソル密度にも適用されます。なぜなら、レヴィ・チヴィタ（一般ではない）接続の場合、次の式が得られるからです。^{[ 6 ]}

\nabla _{\mu }\left({\sqrt {g}}\right)\equiv \left({\sqrt {g}}\right)_{;\mu }=0,

どこ

g=\left|\det \left(g_{\mu \nu }\right)\right|.

曲率テンソルの純粋に共変なバージョンを次のように定義することも便利な場合がある。

R_{\sigma \mu \nu \rho }=g_{\rho \zeta }R^{\zeta }{}_{\sigma \mu \nu }.

幾何学的意味

非公式に

曲がった空間の影響は、テニスコートと地球を比較することで理解できます。テニスコートの右下隅からスタートし、ラケットを北に向けて構えます。コートの輪郭に沿って歩きながら、一歩ごとにラケットの向きを前の位置と平行に保つようにします。一周すると、ラケットは最初のスタート位置と平行になります。これは、テニスコートの表面が平らに作られているためです。一方、地球の表面は曲がっています。地球の表面で一周することができます。赤道からスタートし、地球の表面に沿ってラケットを北に向けてください。ここでも、ラケットは常に地平線の局所的な平面を基準として、前の位置と平行を保つ必要があります。この経路では、まず北極まで歩き、次に横向きに（つまり、向きを変えずに）歩き、次に赤道まで下り、最後にスタート位置まで戻ります。すると、旅を始めたときは北を指していたにもかかわらず、体を一度も回転させていないにもかかわらず、ラケットは西を指していることになります。このプロセスは、経路に沿ってベクトルを平行移動させることに似ており、違いは「直線」に見える線が局所的にのみ「直線」であることを示している。ループが完了するたびに、テニスラケットは、距離と表面の曲率に応じて、初期位置からさらに偏向する。曲面に沿って、平行移動が平面空間と同じように機能する経路を特定することは可能である。これらは空間の測地線であり、たとえば球の大円の任意のセグメントである。

数学における曲面空間の概念は、日常会話における用法とは異なります。例えば、上記の処理を円柱に対して行った場合、円柱の周囲の曲率が円柱に沿った平面度と相殺されるため、全体としては曲面空間にはならないことがわかります。これはガウス曲率とガウスの驚異の定理の結果です。この例として、幅方向に曲がっていても長さ方向には硬いままの、ふにゃふにゃとしたピザ一切れが挙げられます。

リーマン曲率テンソルは、固有曲率の尺度を捉える方法です。ベクトルの成分を書き出すように、その成分で表すと、偏微分の和と積からなる多次元配列になります（これらの偏微分の中には、曲面上を直線で歩く人に課せられる曲率を捉えることに似ているものも考えられます）。

正式に

ユークリッド空間内のベクトルをループに沿って平行移動させると、元の位置に戻った後には再び元の方向を指すようになります。しかし、この性質は一般的には成り立ちません。リーマン曲率テンソルは、一般的なリーマン多様体におけるこの性質の破綻を直接的に測定します。この破綻は、多様体の非ホロノミーとして知られています。

させて $x_{t}$ リーマン多様体における曲線である $M$ で表す $\tau _{x_{t}}:T_{x_{0}}M\to T_{x_{t}}M$ 平行移動マップに沿って $x_{t}$ 平行移動マップは共変微分と次の関係にある。

\nabla _{{\dot {x}}_{0}}Y=\lim _{h\to 0}{\frac {1}{h}}\left(\tau _{x_{h}}^{-1}\left(Y_{x_{h}}\right)-Y_{x_{0}}\right)=\left.{\frac {d}{dt}}\left(\tau _{x_{t}}^{-1}(Y_{x_{t}})\right)\right|_{t=0}

各ベクトル場について $Y$ 曲線に沿って定義される。

仮に $X$ そして $Y$ は可換なベクトル場のペアである。これらのベクトル場はそれぞれ、近傍で微分同相写像の1パラメータ群を生成する。 $x_{0}$ で表す $\tau _{tX}$ そして $\tau _{tY}$ それぞれ、流れに沿った平行輸送 $X$ そして $Y$ 時間のために $t$ ベクトルの平行移動 $Z\in T_{x_{0}}M$ 四角形の周囲に辺がある $tY$ 、 $sX$ 、 $-tY$ 、 $-sX$ は

\tau _{sX}^{-1}\tau _{tY}^{-1}\tau _{sX}\tau _{tY}Z.

これと $Z$ 並列輸送が戻らないことを測定する $Z$ 接空間内の元の位置へ $T_{x_{0}}M$ ループを縮小して送信する $s,t\to 0$ この偏差の微小な記述を与える。

\left.{\frac {d}{ds}}{\frac {d}{dt}}\tau _{sX}^{-1}\tau _{tY}^{-1}\tau _{sX}\tau _{tY}Z\right|_{s=t=0}=\left(\nabla _{X}\nabla _{Y}-\nabla _{Y}\nabla _{X}-\nabla _{[X,Y]}\right)Z=R(X,Y)Z

どこ $R$ はリーマン曲率テンソルです。

座標表現

テンソル添え字表記に変換すると、リーマン曲率テンソルは次のように表される。

R^{\rho }{}_{\sigma \mu \nu }=dx^{\rho }\left(R\left(\partial _{\mu },\partial _{\nu }\right)\partial _{\sigma }\right)

どこ $\partial _{\mu }=\partial /\partial x^{\mu }$ これらは座標ベクトル場です。上記の式はクリストッフェル記号を用いて次のように表すことができます。

R^{\rho }{}_{\sigma \mu \nu }=\partial _{\mu }\Gamma ^{\rho }{}_{\nu \sigma }-\partial _{\nu }\Gamma ^{\rho }{}_{\mu \sigma }+\Gamma ^{\rho }{}_{\mu \lambda }\Gamma ^{\lambda }{}_{\nu \sigma }-\Gamma ^{\rho }{}_{\nu \lambda }\Gamma ^{\lambda }{}_{\mu \sigma }

（リーマン幾何学の公式一覧も参照のこと。）

対称性と恒等性

リーマン曲率テンソルは、以下の対称性と恒等式を持つ。

括弧がある場所 $\langle ,\rangle$ は、計量テンソルによって誘導される接空間上の内積を指し、添え字の括弧と丸括弧は、それぞれ反対称化演算子と対称化演算子を表します。がゼロでない場合、ビアンキ恒等式にはねじれテンソルが含まれます。

最初の（代数的）ビアンキ恒等式はリッチによって発見されましたが、微分ビアンキ恒等式と似ているため、しばしば最初のビアンキ恒等式または代数的ビアンキ恒等式と呼ばれます。

最初の3つの恒等式は曲率テンソルの対称性の完全なリストを形成します。つまり、上記の恒等式を満たす任意のテンソルが与えられた場合、ある点でそのような曲率テンソルを持つリーマン多様体を見つけることができるということです。簡単な計算により、そのようなテンソルは $n^{2}\left(n^{2}-1\right)/12$ 独立成分。^{[ 9 ]}これらから交換対称性が導かれる。代数対称性は、R が分割 2+2 に対応するヤング対称化子の像に属すると言うことと同等である。

リーマン多様体上では、共変微分が成り立つ。 $\nabla _{u}R$ そして、ビアンキ恒等式（しばしば第2ビアンキ恒等式または微分ビアンキ恒等式と呼ばれる）は、表の最後の恒等式の形をとる。

リッチ曲率

リッチ曲率テンソルは、リーマンテンソルの第1添え字と第3添え字を縮約したものである。

\underbrace {R_{ab}} _{\text{Ricci}}\equiv R^{c}{}_{acb}=g^{cd}\underbrace {R_{cadb}} _{\text{Riemann}}

特別なケース

表面

2次元曲面の場合、ビアンキ恒等式はリーマンテンソルが独立成分を1つしか持たないことを意味し、これはリッチスカラーがリーマンテンソルを完全に決定することを意味します。必要な対称性を満たすリーマンテンソルの有効な表現は1つしかありません。

R_{abcd}=f(R)\left(g_{ac}g_{db}-g_{ad}g_{cb}\right)

そして、計量値を2回縮約することで、明示的な形式が得られます。

R_{abcd}=K\left(g_{ac}g_{db}-g_{ad}g_{cb}\right),

どこ $g_{ab}$ は計量テンソルであり、 $K=R/2$ はガウス曲率と呼ばれる関数であり、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ そして $d$ 値は1または 2のいずれかをとります。リーマンテンソルは、機能的に独立した成分を1つだけ持ちます。ガウス曲率は曲面の断面曲率と一致します。また、 2次元多様体のスカラー曲率のちょうど半分であり、曲面のリッチ曲率テンソルは単純に次のように与えられます。

R_{ab}=Kg_{ab}.

空間形態

リーマン多様体は、その断面曲率が定数に等しい場合、空間形式である。 $K$ 空間形式のリーマンテンソルは次のように与えられる。

R_{abcd}=K\left(g_{ac}g_{db}-g_{ad}g_{cb}\right).

逆に、2次元を除いて、リーマン多様体の曲率が何らかの関数に対してこの形式である場合 $K$ すると、ビアンキ恒等式は、 $K$ は一定であり、したがって多様体は（局所的に）空間形式である。

引用文献

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参考文献

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小林茂、野水健（1963）『微分幾何学の基礎』第1巻、インターサイエンス
ミスナー、チャールズ・W.、ソーン、キップ・S.、ウィーラー、ジョン・A. (1973) 『重力』 WHフリーマン、ISBN 978-0-7167-0344-0

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リーマン曲率テンソル

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対称性と恒等性

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