パーフェクトイド空間

数学において、パーフィクトイド空間は、特性素数pの留数体を持つ特性0の局所体などの「混合特性」の問題の研究で発生する特殊な種類の進空間です。

パーフィクトイド体とは、階数 1 の非離散値によって位相が誘導される完全な位相体 Kであり、フロベニウス自己準同型Φ はK °/ p上で射影的であり、K ° は冪制限された元の環を表します。

パーフィクトイド空間は、混合特性状況と純粋に有限特性状況を比較するために使用できます（そしてそのために発明されました）。これを正確に行うための技術的なツールは、傾斜同値とほぼ純度定理です。これらの概念は、2012年にピーター・ショルツによって導入されました。^[1]

任意のパーフェクトイド体Kに対して、傾き K ^♭があり、これは有限特性pのパーフェクトイド体である。集合として、それは次のように定義される。

${\displaystyle K^{\flat }=\varprojlim _{x\mapsto x^{p}}K.}$

明示的には、 K ^♭の元は、 Kの元の無限列（x ₀、x ₁、x ₂、...）であり、x _i = x^π
_{i +1 です}K ^♭の乗算は項ごとに定義されますが、加算はより複雑です。K が有限特性を持つ場合、K ≅ K ♭^です。Kがのp進完備化である場合、K ^{♭は の}t進完備化です。 ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}(p^{1/p^{\infty }})}$${\displaystyle \mathbb {F} _{p}((t))(t^{1/p^{\infty }})}$

パーフェクトイド体K上のパーフェクトイド代数とパーフェクトイド空間の概念があり、これらは体上の可換代数とスキームとほぼ類似している。傾斜操作はこれらのオブジェクトに拡張される。X がパーフェクトイド体K上のパーフェクトイド空間である場合、 K ^♭上のパーフェクトイド空間X ^♭を形成できる。傾斜同値とは、傾斜関数(-) ^{♭ が}K上のパーフェクトイド空間とK ^{♭上のパーフェクトイド空間の間に}カテゴリの同値をもたらすという定理である。有限特性のパーフェクトイド体には同型でない「傾斜」が複数存在する可能性があるが、それらのパーフェクトイド空間のカテゴリはすべて同値になる点に注意する。

このカテゴリの同値は、射のいくつかの追加的な性質を尊重する。スキームの射の多くの性質は、進空間の射に類似している。パーフィクトイド空間のほぼ純度定理は、有限 エタール射に関係している。これは、 p進ホッジ理論におけるファルティングスのほぼ純度定理の一般化である。この名前は、証明で使用されるほぼ数学と、遠縁の古典的な枝軌跡の純度に関する定理に由来している。^[2]

このステートメントは 2 つの部分から構成されます。Kをパーフィクトイド体とします。

• X → Y がK上の進空間の有限エタール射であり、Yが完全写像である場合、Xも完全写像である。
• K上のパーフィクトイド空間の射X → Yが有限エタールとなるのは、傾きX ^♭ → Y ^♭がK ^♭上の有限エタールとなる場合のみである。

体への有限エタール写像はまさに有限の可分体 拡大なので、ほぼ純度定理は、任意のパーフィクトイド体Kに対して、 KとK ^♭の絶対ガロア群が同型であることを意味します。

• 完璧なフィールド

• Bhatt, Bhargav. 「パーフェクトイド空間とは何か？」(PDF)。AMS 紀要。 2020 年1 月 2 日閲覧。
• 「「パーフェクトイド空間」とは何か?」MathOverflow。
• マシュー・モロー著『パーフェクトイド空間の基礎』
• リーンパーフェクトイド空間。リーン定理証明器で形式化されたパーフェクトイド空間の定義