ヴェイユ予想

数学において、ヴェイユ予想はアンドレ・ヴェイユ（1949年）による非常に影響力のある提案でした。この予想は、数十年にわたる成功した証明プログラムにつながり、多くの一流研究者が現代の代数幾何学と数論 の枠組みを開発しました。

この予想は、有限体上の代数多様体上の点を数えることから導かれる生成関数（局所ゼータ関数として知られる）に関するものである。q個の元を持つ有限体上の多様体Vには、元の体の任意の有限拡大内の座標を持つ点だけでなく、元の体の任意の有限拡大内の座標を持つ点も有限個存在する。生成関数には、 q ^k個の元を持つ拡大体上の点の数N _kから導かれる係数がある。

ヴェイユは、滑らかな多様体に対するそのようなゼータ関数は有理関数であり、特定の関数方程式を満たし、零点が制限された場所にあると予想した。最後の2つの部分は、リーマンゼータ関数を意図的にモデル化したもので、これは素数に対する生成関数の一種であり、関数方程式に従い、（推測では）リーマン予想によって零点が制限されている。その合理性はベルナール・ドゥワーク （1960年）によって、関数方程式はアレクサンダー・グロタンディーク （1965年）によって、リーマン予想の類似物はピエール・ドリーニュ （1974年）によって証明された。

ヴェイユ予想の最も古い先駆者はカール・フリードリヒ・ガウスによるもので、彼の著書『算術論』（Mazur 1974）の第 VII 節に登場し、1 の根と ガウス周期について論じている。記事 358 では、ガウスは、2 次拡大の塔を構築する周期から、正多角形の構築へと移り、p は3 を法として 1 と合同な素数であると仮定している。すると、p 次の 1 の根の円分体の内部に巡回 3 次体があり、この体の整数の周期の正規整基底が存在する（ヒルベルト・スパイザーの定理の一例）。ガウスは、乗法の下でp を法として非ゼロ剰余の巡回群( Z / p Z ) ^{× と}、指数 3 の一意のサブグループに対応する、順序 3 の周期を構築している。ガウスは、、、をその剰余類とする。 exp(2 πi / p )に適用されたこれらの剰余類に対応する周期（単位根の和）を取って、これらの周期には計算可能な乗算表があることを指摘する。 積は周期の線形結合であり、彼は係数を決定する。 彼は、例えば、を、 に含まれ、1 増やされた後、 にも含まれるZ / p Zの要素の数に等しく設定する。 彼は、この数と関連する数が周期の積の係数であることを証明する。 これらの集合とヴェイユ予想の関係を見るには、αとα + 1が両方とも に含まれる場合、 Z / p Zにxとy が存在し、x ³ = αかつy ³ = α + 1となることに注目する。したがって、x ³ + 1 = y ^{3 となる}。したがって、は有限体Z / p Zにおけるx ³ + 1 = y ³の解の数に関係している。他の係数も同様の解釈がある。ガウスの周期積の係数の決定は、したがってこれらの上の点の数を数える。 ${\displaystyle {\mathfrak {R}}}$${\displaystyle {\mathfrak {R}}'}$${\displaystyle {\mathfrak {R}}''}$${\displaystyle ({\mathfrak {R}}{\mathfrak {R}})}$${\displaystyle {\mathfrak {R}}}$${\displaystyle {\mathfrak {R}}}$${\displaystyle {\mathfrak {R}}}$${\displaystyle ({\mathfrak {R}}{\mathfrak {R}})}$彼は楕円曲線を研究し、その副産物としてリーマン予想の類似物を証明した。

代数曲線の特殊なケースにおけるヴェイユ予想は、エミール・アルティン (1924)によって予想された。有限体上の曲線の場合はヴェイユによって証明され、有限体上の楕円曲線に関するハッセの定理によって開始されたプロジェクトが完了した。彼らの関心は数論の内部から十分に明らかであり、解析的数論における基本的な関心事である指数和の上限を暗示していた(Moreno 2001)。

他の数学分野の観点から本当に目を引くのは、代数的位相幾何学との関連が提案されたことです。有限体は本質的に離散的であり、位相幾何学は連続体についてのみ語るので、ヴェイユの詳細な定式化（いくつかの例の解明に基づく）は印象的で斬新でした。それは、有限体上の幾何学がベッティ数、レフシェッツの不動点定理など に関連するよく知られたパターンに適合するはずであることを示唆しました。

位相幾何学との類似性から、代数幾何学に適用する新しいホモロジー理論を構築する必要があることが示唆された。これには、セールの最初の示唆を基にして20年を要した（これはアレクサンダー・グロタンディークの研究と学派の中心的目的であった） 。予想の合理性部分は、p進法を使用して、ベルナール・ドゥワーク （1960）によって最初に証明された。グロタンディーク（1965）と彼の協力者は、グロタンディーク（1960）で概説されているように、ヴェイユ予想を攻撃するためにグロタンディークとミヒャエル・アルティンによって開発された新しいコホモロジー理論であるエタールコホモロジーの特性を使用して、合理性予想、関数方程式、およびベッティ数との関連を確立した。4つの予想のうち、リーマン予想の類似物が最も証明が困難であった。セール (1960) によるケーラー多様体に対するヴェイユ予想の類似物の証明に刺激を受けて、グロタンディークは代数的サイクルに関する彼の標準予想 (クライマン 1968) に基づく証明を思い描いた。しかし、グロタンディークの標準予想は未解決のままであり (困難なレフシェッツ定理を除く。これは、ドゥリーニュがヴェイユ予想の研究を拡張して証明した)、リーマン予想の類似物は ドゥリーニュ (1974) によってエタールコホモロジー理論を使用して証明されたが、独創的な議論によって標準予想の使用を回避した。

Deligne (1980) は、層のプッシュフォワードの重みを制限する、Weil 予想の一般化を発見し、証明しました。

Xがq個の元を持つ体F _q上の非特異な n次元射影代数多様体であるとする。Xのゼータ関数ζ ( X , s )は定義により

${\displaystyle \zeta (X,s)=\exp \left(\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {N_{m}}{m}}q^{-ms}\right)}$

ここで、N _{m は}F _qのm次拡大F _{q ^m}上で定義されたX の点の数です。

ヴェイユ予想は次のように述べています。

1. (合理性) ζ ( X , s )はT = q ^{− s}の有理関数である。より正確には、ζ ( X , s ) は有限交代積として表すことができる。

${\displaystyle \prod _{i=0}^{2n}P_{i}(q^{-s})^{(-1)^{i+1}}={\frac {P_{1}(T)\dotsb P_{2n-1}(T)}{P_{0}(T)\dotsb P_{2n}(T)}},}$

ここで各P _i ( T )は整多項式である。さらに、P ₀ ( T ) = 1 − T、P _{2 n} ( T ) = 1 − q ⁿ Tであり、1 ≤ i ≤ 2 n − 1に対して、P _i ( T )はいくつかの数α _ijに対してC上で因数分解される。${\displaystyle \textstyle \prod _{j}(1-\alpha _{ij}T)}$

2. （関数方程式とポアンカレ双対性）ゼータ関数は

${\displaystyle \zeta (X,ns)=\pm q^{nE/2-Es}\zeta (X,s)}$

または同等

${\displaystyle \zeta (X,q^{-n}T^{-1})=\pm q^{nE/2}T^{E}\zeta (X,T)}$

ここで、E はXのオイラー特性です。特に、各iについて、数α _{2 n − i ,1}、α _{2 n − i ,2}、... は、数q ⁿ / α _{i ,1}、q ⁿ / α _{i ,2}、... と何らかの順序で等しくなります。

3. (リーマン予想)すべての1 ≤ i ≤ 2 n − 1およびすべてのjに対して| α _{i , j} | = q ^{i /2 。これは、} P _k ( T )のすべての零点が、実部がk /2である複素数sの「臨界線」上にあることを意味します。

4. (ベッティ数) X が複素数体に埋め込まれた数体上で定義された非特異射影多様体Yの(良い)「p を法とする縮小」である場合、 P _iの次数はYの複素点の空間のi^番目のベッティ数です。

最も簡単な例（点以外）は、Xを射影直線とすることです。q m 個の元を持つ体上のXの点の数は、^N m = q _m + 1^です（ここで「+ 1 」は「無限遠点」に由来します）。ゼータ関数は、

${\displaystyle {\frac {1}{(1-q^{-s})(1-q^{1-s})}}.}$

ヴェイユ予想のすべての部分を直接確認するのは簡単です。たとえば、対応する複素多様体はリーマン球面であり、その初期ベッティ数は 1、0、1 です。

n次元射影空間を計算するのはそれほど難しくありません。q ^m個の元を持つ体上のXの点の数は、 N _m = 1 + q ^m + q ^{2 m} + ⋯ + q ^nmです。ゼータ関数は、

${\displaystyle {\frac {1}{(1-q^{-s})(1-q^{1-s})\dots (1-q^{ns})}}.}$

ヴェイユ予想のすべての部分を直接確認することも簡単です。(複素射影空間は関連するベッティ数を与え、それが答えをほぼ決定します。)

射影直線と射影空間上の点の数は、有限個のアフィン空間のコピーの互いに素な和集合として記述できるため、計算が非常に簡単です。グラスマン多様体や旗多様体など、同じ「舗装」特性を持つ他の空間に対するヴェイユ予想の証明も簡単です。

これらは、ヴェイユ予想（ハッセによって証明された）の最初の非自明なケースを与える。Eがq個の元を持つ有限体上の楕円曲線である場合、 q ^m個の元を持つ体上で定義されたEの点の数は1 − α ^m − β ^m + q ^mである。ここで、αとβ は絶対値√ qを持つ複素共役である。ゼータ関数は

${\displaystyle {\frac {(1-\alpha q^{-s})(1-\beta q^{-s})}{(1-q^{-s})(1-q^{1-s})}}.}$

ベッティ数はトーラス、1、2、1 で与えられ、分子は二次関数です。

例として、超楕円曲線^{[1]を考えてみましょう。}

${\displaystyle C:y^{2}+y=x^{5},}$

これは種数、次元である。最初は有理数 上で定義された曲線として見られるが、この曲線はすべての素数 で良好な縮小を持つ。したがって、 を法として縮小すると、となる種数 2 の超楕円曲線が得られる。例として、ヴェイユ多項式、および のゼータ関数は次のような形をとる。 ${\displaystyle g=2}$${\displaystyle n=1}$${\displaystyle C/\mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle 5\neq q\in \mathbb {P} }$${\displaystyle q\neq 5}$${\displaystyle C/{\bf {F}}_{q}:y^{2}+h(x)y=f(x)}$${\displaystyle h(x)=1,f(x)=x^{5}\in {\bf {F}}_{q}[x]}$${\displaystyle q=41}$${\displaystyle P_{i}(T)}$${\displaystyle i=0,1,2,}$${\displaystyle C/{\bf {F}}_{41}}$

${\displaystyle \zeta (C/{\bf {F}}_{41},s)={\frac {P_{1}(T)}{P_{0}(T)\cdot P_{2}(T)}}={\frac {1-9\cdot T+71\cdot T^{2}-9\cdot 41\cdot T^{3}+41^{2}\cdot T^{4}}{(1-T)(1-41\cdot T)}}.}$

および の値は、それぞれおよび上の解の数を数え、これら2つの数のそれぞれに1を加えて無限大 の点を考慮することによって決定できます。この数え上げにより、 およびが得られます。これは次のようになります。^[2]${\displaystyle c_{1}=-9}$${\displaystyle c_{2}=71}$${\displaystyle (x,y)}$${\displaystyle y^{2}+y=x^{5}}$${\displaystyle {\bf {F}}_{41}}$${\displaystyle {\bf {F}}_{41^{2}}}$${\displaystyle \infty }$${\displaystyle N_{1}=33}$${\displaystyle N_{2}=1743}$

${\displaystyle c_{1}=N_{1}-1-q=33-1-41=-9}$   そして

${\displaystyle c_{2}=(N_{2}-1-q^{2}+c_{1}^{2})/2=(1743-1-41^{2}+(-9)^{2})/2=71.}$

の零点はと（これらの実数部と虚数部の小数展開は小数点第 5 位以下を切り捨てる）であり、その複素共役は とである。したがって、 を因数分解すると となる。ヴェイユ予想の第 3 部（リーマン予想）で述べられているように、については となる。 ${\displaystyle P_{1}(T)}$${\displaystyle z_{1}:=0.12305+{\sqrt {-1}}\cdot 0.09617}$${\displaystyle z_{2}:=-0.01329+{\sqrt {-1}}\cdot 0.15560}$${\displaystyle z_{3}:={\bar {z}}_{1}}$${\displaystyle z_{4}:={\bar {z}}_{2}}$${\displaystyle P_{1}(T)=\prod _{j=1}^{4}(1-\alpha _{1,j}T)}$${\displaystyle \alpha _{1,j}=1/z_{j}}$${\displaystyle |\alpha _{1,j}|={\sqrt {41}}}$${\displaystyle j=1,2,3,4}$

に属する非特異な射影複素多様体にはベッティ数 が存在します。^[3]ヴェイユ予想の第4部で述べたように、（位相的に定義された）ベッティ数は、 すべての素数に対して、 ヴェイユ多項式 の次数と一致します。${\displaystyle C/\mathbb {Q} }$${\displaystyle B_{0}=1,B_{1}=2g=4,B_{2}=1}$${\displaystyle P_{i}(T)}$${\displaystyle q\neq 5}$${\displaystyle {\rm {deg}}(P_{i})=B_{i},\,i=0,1,2}$

アーベル面は2次元アーベル多様体である。つまり、アーベル多様体は、群の構成と逆写像と両立する形で、群の構造も持つ射影多様体である。楕円曲線は1次元アーベル多様体を表す。有限体上に定義されたアーベル面の例として、種数2の曲線の ヤコビ多様体^[4]を考える。 ${\displaystyle X:={\text{Jac}}(C/{\bf {F}}_{41})}$

${\displaystyle C/{\bf {F}}_{41}:y^{2}+y=x^{5},}$

これは超楕円曲線のセクションで導入された。 の次元はの種数に等しいので、 となる代数的整数が存在する^[5]${\displaystyle X}$${\displaystyle C}$${\displaystyle n=2}$${\displaystyle \alpha _{1},\ldots ,\alpha _{4}}$

1. 多項式には係数があります。${\displaystyle P(x)=\prod _{j=1}^{4}(x-\alpha _{j})}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$
2. ${\displaystyle M_{m}:=|{\text{Jac}}(C/{\bf {F}}_{41^{m}})|=\prod _{j=1}^{4}(1-\alpha _{j}^{m})}$すべてに対して; そして${\displaystyle m\in \mathbb {N} }$
3. ${\displaystyle |\alpha _{j}|={\sqrt {41}}}$のために。${\displaystyle j=1,\ldots ,4}$

のゼータ関数は次のように与えられる 。${\displaystyle X}$

${\displaystyle \zeta (X,s)=\prod _{i=0}^{4}P_{i}(q^{-s})^{(-1)^{i+1}}={\frac {P_{1}(T)\cdot P_{3}(T)}{P_{0}(T)\cdot P_{2}(T)\cdot P_{4}(T)}},}$

ここで、、、はゼータ関数の複素変数を表します。Weil多項式は次のような特定の形式を持ちます（Kahn 2020）。 ${\displaystyle q=41}$${\displaystyle T=q^{-s}\,{\stackrel {\rm {def}}{=}}\,{\text{exp}}(-s\cdot {\text{log}}(41))}$${\displaystyle s}$${\displaystyle P_{i}(T)}$

${\displaystyle P_{i}(T)=\prod _{1\leq j_{1}<j_{2}<\ldots <j_{i-1}<j_{i}\leq 4}(1-\alpha _{j_{1}}\cdot \ldots \cdot \alpha _{j_{i}}T)}$

、 および${\displaystyle i=0,1,\ldots ,4}$

${\displaystyle P_{1}(T)=\prod _{j=1}^{4}(1-\alpha _{j}T)=1-9\cdot T+71\cdot T^{2}-9\cdot 41\cdot T^{3}+41^{2}\cdot T^{4}}$

は曲線（上のセクションを参照）とそのヤコビ多様体について同じです。つまり、 の逆根はの多くの異なる逆根の積です。したがって、多項式のすべての係数はパラメータ の多項式関数として表すことができ、に現れます。の係数に対するこれらの多項式関数を計算すると、次のことがわかります。 ${\displaystyle C}$${\displaystyle X}$${\displaystyle P_{i}(T)}$${\displaystyle \alpha _{j_{1}}\cdot \ldots \cdot \alpha _{j_{i}}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle P_{1}(T)}$${\displaystyle P_{i}(T)}$${\displaystyle c_{1}=-9}$${\displaystyle c_{2}=71}$${\displaystyle q=41}$${\displaystyle P_{1}(T)=1+c_{1}T+c_{2}T^{2}+qc_{1}T^{3}+q^{2}T^{4}.}$${\displaystyle P_{i}(T)}$

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}P_{0}(T)&=1-T\\P_{1}(T)&=1-3^{2}\cdot T+71\cdot T^{2}-3^{2}\cdot 41\cdot T^{3}+41^{2}\cdot T^{4}\\P_{2}(T)&=(1-41\cdot T)^{2}\cdot (1+11\cdot T+3\cdot 7\cdot 41\cdot T^{2}+11\cdot 41^{2}\cdot T^{3}+41^{4}\cdot T^{4})\\P_{3}(T)&=1-3^{2}\cdot 41\cdot T+71\cdot 41^{2}\cdot T^{2}-3^{2}\cdot 41^{4}\cdot T^{3}+41^{6}\cdot T^{4}\\P_{4}(T)&=1-41^{2}\cdot T\end{alignedat}}}$

多項式は有限体とその拡大体上のヤコビ多様体の元の数を計算することを可能にする：^{[6] [7]}${\displaystyle P_{1}}$${\displaystyle {\text{Jac}}(C)}$${\displaystyle {\bf {F}}_{41}}$${\displaystyle {\bf {F}}_{41^{2}}}$

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}M_{1}&\;{\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\;|{\text{Jac}}(C/{\bf {F}}_{41})|=P_{1}(1)=\prod _{j=1}^{4}[1-\alpha _{j}T]_{T=1}\\&=[1-9\cdot T+71\cdot T^{2}-9\cdot 41\cdot T^{3}+41^{2}\cdot T^{4}]_{T=1}=1-9+71-9\cdot 41+41^{2}=1375=5^{3}\cdot 11{\text{, and}}\\M_{2}&\;{\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\;|{\text{Jac}}(C/{\bf {F}}_{41^{2}})|=\prod _{j=1}^{4}[1-\alpha _{j}^{2}T]_{T=1}\\&=[1+61\cdot T+3\cdot 587\cdot T^{2}+61\cdot 41^{2}\cdot T^{3}+41^{4}\cdot T^{4}]_{T=1}=2930125=5^{3}\cdot 11\cdot 2131.\end{alignedat}}}$

の零点の逆は、 の絶対値の期待値を持ちます(リーマン予想)。さらに、写像は、の零点の逆と の零点の逆を相関させます。素数 41 で良好な簡約を持つ非特異複素射影代数多様体は、多項式 の次数であるため、ベッティ数 を持たなければなりません。 の オイラー特性は、これらの次数/ベッティ数の交代和によって与えられます。 ${\displaystyle \alpha _{i,j}}$${\displaystyle P_{i}(T)}$${\displaystyle 41^{i/2}}$${\displaystyle \alpha _{i,j}\longmapsto 41^{2}/\alpha _{i,j},}$ ${\displaystyle j=1,\ldots ,\deg P_{i},}$${\displaystyle P_{i}(T)}$${\displaystyle P_{4-i}(T)}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X={\text{Jac}}(C/{\bf {F}}_{41})}$ ${\displaystyle B_{0}=B_{4}=1,B_{1}=B_{3}=4,B_{2}=6}$${\displaystyle P_{i}(T).}$${\displaystyle E}$${\displaystyle X}$${\displaystyle E=1-4+6-4+1=0}$

の対数を取ると

${\displaystyle \zeta ({\text{Jac}}(C/{\bf {F}}_{41}),s)\,=\,\exp \left(\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {M_{m}}{m}}(41^{-s})^{m}\right)\,=\,\prod _{i=0}^{4}\,P_{i}(41^{-s})^{(-1)^{i+1}}={\frac {P_{1}(T)\cdot P_{3}(T)}{P_{0}(T)\cdot P_{2}(T)\cdot P_{4}(T)}},}$

すると

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\sum _{m=1}^{\infty }&{\frac {M_{m}}{m}}(41^{-s})^{m}\,=\,\log \left({\frac {P_{1}(T)\cdot P_{3}(T)}{P_{0}(T)\cdot P_{2}(T)\cdot P_{4}(T)}}\right)\\&=1375\cdot T+2930125/2\cdot T^{2}+4755796375/3\cdot T^{3}+7984359145125/4\cdot T^{4}+13426146538750000/5\cdot T^{5}+O(T^{6}).\end{alignedat}}}$

すでに知られている値と以外に、このテイラー級数から、曲線の上で定義されたヤコビ多様体の -有理数元の他のすべての数、 、を読み取ることができます。たとえば、および です。その際、は常に を意味します。なぜなら、は のサブグループだからです。 ${\displaystyle M_{1}}$${\displaystyle M_{2}}$${\displaystyle M_{m}}$${\displaystyle m\in \mathbb {N} }$${\displaystyle {\bf {F}}_{41^{m}}}$${\displaystyle {\bf {F}}_{41}}$${\displaystyle C/{\bf {F}}_{41}}$${\displaystyle M_{3}=4755796375=5^{3}\cdot 11\cdot 61\cdot 56701}$${\displaystyle M_{4}=7984359145125=3^{4}\cdot 5^{3}\cdot 11\cdot 2131\cdot 33641}$${\displaystyle m_{1}|m_{2}}$${\displaystyle M_{m_{1}}|M_{m_{2}}}$${\displaystyle {\text{Jac}}(C/{\bf {F}}_{41^{m_{1}}})}$${\displaystyle {\text{Jac}}(C/{\bf {F}}_{41^{m_{2}}})}$

ヴェイユは、この予想は、複素多様体に対する通常の有理係数コホモロジーに似た、有限体上の多様体に対する適切な「ヴェイユコホモロジー理論」の存在から導かれると示唆した。彼の考えは、 Fが有限体上のフロベニウス自己同型ならば、位数q ^mの体上の多様体Xの点の数は、 （代数閉包上で定義された多様体Xのすべての点に作用する） F ^mの不動点の数である、というものである。代数位相幾何学では、自己同型の不動点の数は、コホモロジー群上のトレースの交代和として与えられるレフシェッツの不動点定理を使用して計算できる。したがって、有限体上の多様体に対して同様のコホモロジー群があれば、ゼータ関数はそれらの用語で表現できる。

これに関する最初の問題は、ヴェイユコホモロジー理論の係数体は有理数にはなり得ないということである。これを理解するには、特性pの有限体上の超特異 楕円曲線の場合を考えてみよう。この自己準同型環は有理数上の四元数代数の順序であり、複素楕円曲線の場合と同様に係数体上の 2 次元ベクトル空間である最初のコホモロジー群に作用するはずである。しかし、有理数上の四元数代数は有理数上の 2 次元ベクトル空間に作用することはできない。同じ議論により、係数体が実数またはp進数である可能性も排除される。なぜなら、四元数代数は依然としてこれらの体上の除算代数だからである。しかし、係数体が何らかの素数ℓ ≠ pに対するℓ進数体である可能性は排除されない。なぜなら、これらの体上では除算代数が分割されて行列代数になり、2次元ベクトル空間に作用できるからである。グロタンディークとミヒャエル・アルティンは、素数ℓ ≠ pごとにℓ進数体上の適切なコホモロジー理論、すなわちℓ進コホモロジーを構築することに成功した。

1964 年末までに、グロタンディークはアルティン、ジャン＝ルイ・ヴェルディエ(および 1960 年のドゥワークによる研究) とともに、上記の最も困難な 3 番目の予想 (「リーマン予想」予想) を除くヴェイユ予想を証明しました (Grothendieck 1965)。エタール コホモロジーに関する一般定理により、グロタンディークはℓ進コホモロジー理論に対するレフシェッツの不動点公式の類似物を証明し、それをフロベニウスの自己同型Fに適用することで、ゼータ関数の予想された公式を証明することができました。

${\displaystyle \zeta (s)={\frac {P_{1}(T)\cdots P_{2n-1}(T)}{P_{0}(T)P_{2}(T)\cdots P_{2n}(T)}}}$

ここで各多項式P _{i は}ℓ進コホモロジー群H ⁱ上のI  −  TFの行列式である。

ゼータ関数の有理性は直ちに明らかになる。ゼータ関数の関数方程式はℓ進コホモロジーのポアンカレ双対性から導かれ、リフトの複素ベッティ数との関係は複素多様体のℓ進コホモロジーと通常のコホモロジーの比較定理から導かれる。

より一般的には、グロタンディークは層F ₀のゼータ関数（または「一般化 L 関数」）に対して同様の式を証明しました。

${\displaystyle Z(X_{0},F_{0},t)=\prod _{x\in |X_{0}|}\det(1-F_{x}^{*}t^{\deg(x)}\mid F_{0})^{-1}}$

コホモロジー群上の積として:

${\displaystyle Z(X_{0},F_{0},t)=\prod _{i}\det(1-F^{*}t\mid H_{c}^{i}(F))^{(-1)^{i+1}}}$

定数層の特殊なケースでは、通常のゼータ関数が得られます。

Verdier (1974)、Serre (1975)、Katz (1976)、および Freitag & Kiehl (1988) は Deligne (1974) の最初の証明について解説した。ℓ進コホモロジーに関する背景の多くは(Deligne 1977) で説明されている。

残る3番目のヴェイユ予想（「リーマン予想」）に対するドリーニュの最初の証明は、次の手順で行われた。

• グロタンディークはゼータ関数をℓ進コホモロジー群上のフロベニウスのトレースで表現したので、q個の元を持つ有限体上のd次元多様体Vに対するヴェイユ予想は、 Vのi番目のℓ進コホモロジー群H ⁱ ( V )に作用するフロベニウスの固有値αが絶対値 | α | =  q ^{i /2を持つことを示すことに依存します (} Q _ℓの代数的要素を複素数に埋め込むため)。
• V を膨らませて 基本体を拡張した後、多様体V は射影直線P ¹上への射を持ち、非常に緩やかな（二次）特異点を持つ有限個の特異ファイバーを持つと仮定できる。レフシェッツ（1924）によって複素多様体（および通常のコホモロジー）に対して導入され、グロタンディーク（1972）とデリーニュ＆カッツ（1973）によってℓ進コホモロジーに拡張されたレフシェッツ・ペンシルのモノドロミー理論は、 Vのコホモロジーをそのファイバーのコホモロジーに関連付ける。この関係は、特異ファイバー上で消滅する類によって張られる、非特異ファイバーV _xのコホモロジーH ^{d −1} ( V _x ) の部分空間である消失サイクルの空間E _xに依存する。
• ルレイスペクトル列は、Vの中間コホモロジー群をファイバーと基底のコホモロジーに関連付けます。扱いにくい部分は、多かれ少なかれグループH ¹ ( P ¹ , j _* E ) = Hです。¹
  _カップ( U , E )、ここでUは非特異なファイバーを持つ射影直線上の点、j はUの射影直線への包含、E は消失サイクルの空間E _{xのファイバーを持つ層です。}

ドリーニュの証明の核心は、U上の層Eが純粋であることを示すこと、言い換えれば、その茎上のフロベニウスの固有値の絶対値を見つけることである。これは、Eの偶数冪E ^kのゼータ関数を調べ、コホモロジー群上の交代積​​としてのゼータ関数に対するグロタンディークの公式を適用することによって行われる。Eの偶数k冪を考慮するという重要なアイデアは、論文Rankin (1939) に触発されたものであり、Rankin は、ラマヌジャンのタウ関数を有界化するためにk  = 2 で同様のアイデアを使用した。Langlands (1970、セクション 8) は、 kのより高い偶数値に対する Rankin の結果を一般化するとラマヌジャン予想が導かれると指摘し、ドリーニュは、多様体のゼータ関数の場合、層のゼータ関数に関するグロタンディークの理論がこの一般化の類似物を提供することを認識した。

• E ^kのゼータ関数の極はグロタンディークの公式を使って求められる。

${\displaystyle Z(U,E^{k},T)={\frac {\det(1-F^{*}T\mid H_{c}^{1}(E^{k}))}{\det(1-F^{*}T\mid H_{c}^{0}(E^{k}))\det(1-F^{*}T\mid H_{c}^{2}(E^{k}))}}}$

分母のコホモロジー群を明示的に計算する。H⁰
_秒項は通常1である。なぜならUは通常コンパクトではないからであり、H²
_カップは次のように明示的に計算できる。ポアンカレ双対性はH²
_カップ( E ^k ) からH⁰
( E ^k ) は、モノドロミー群の共変量の空間であり、モノドロミー群は、ある点で E k のファイバーに作用する U の幾何学的基本群です。Eのファイバーは 、^カップ積によって誘導される双線型形式を持ち、 dが偶数の場合に反対称となり、E をシンプレクティック空間にします。 （これは少し不正確です。ドリーニュは後に、硬いレフシェッツ定理を使ってE ∩ E ^⊥ = 0 であることを示しましたが、これにはヴェイユ予想が必要であり、ヴェイユ予想の証明には実際にはEではなくE / E ∩ E ^{⊥を使ったもう少し複雑な議論を使わなければなりません。）カズダンとマルギュリスの議論は、}ピカール・レフシェッツ公式で与えられるEに作用するモノドロミー群の像はシンプレクティック群においてザリスキ稠密であり、したがって古典的な不変量理論でよく知られているのと同じ不変量を持つことを示しました。この計算でフロベニウスの作用を追跡すると、その固有値はすべてq ^{k ( d −1)/2+1であることがわかります。したがって、} Z ( E ^k , T )のゼータ関数はT  = 1/ q ^{k ( d −1)/2+1}でのみ極を持ちます。

• E ^kのゼータ関数のオイラー積は

${\displaystyle Z(E^{k},T)=\prod _{x}{\frac {1}{Z(E_{x}^{k},T)}}}$

kが偶数の場合、右側の因子の係数（Tのべき級数として考える）はすべて非負です。これは次のように書くことができます。

${\displaystyle {\frac {1}{\det(1-T^{\deg(x)}F_{x}\mid E^{k})}}=\exp \left(\sum _{n>0}{\frac {T^{n}}{n}}\operatorname {Trace} (F_{x}^{n}\mid E)^{k}\right)}$

また、 Fのべき乗の跡は有理数であるという事実を利用して、 kが偶数であるため、それらのkべき乗は非負になります。Deligne は、跡を多様体の点の数に関連付けることで跡の有理性を証明します。これらの点の数は常に (有理数) 整数です。

• Z ( E ^k , T )のべき級数は、その唯一の可能な極の絶対値 1/ q ^{k ( d −1)/2+1}より小さいTに対して収束します。k が偶数のとき、そのすべてのオイラー因子の係数は非負であるため、各オイラー因子の係数はZ ( E ^k , T ) の係数の定数倍で制限され、したがって同じ領域に収束し、この領域に極はありません。したがって、kに対して多項式 Z ( E^キロ
  _×、T ) はこの領域で零点を持たない、つまりE ^kの茎上のフロベニウスの固有値は絶対値が最大でq ^{k ( d −1)/2+1}である。
• この推定値は、 Eのファイバー上のフロベニウスの任意の固有値αの絶対値を次のように求めるのに使用できます。任意の整数kに対して、αk^はEk^の茎上のフロベニウスの固有値であり、 kに対して偶数q1 ^{+ k ( d −1)/2}で制限されます。したがって、

${\displaystyle |\alpha ^{k}|\leq q^{k(d-1)/2+1}}$

これはkが任意の大きさであっても成り立つので、

${\displaystyle |\alpha |\leq q^{(d-1)/2}.}$

ポアンカレ双対性は、

${\displaystyle |\alpha |=q^{(d-1)/2}.}$

この推定値からリーマン予想を導き出すことは、標準的な手法をかなり簡単に使用して、次のように行われます。

• H上のフロベニウスの固有値¹
  _カップ( U , E ) は層Eのゼータ関数の零点なので推定できます。このゼータ関数はEの茎のゼータ関数のオイラー積として表すことができ、これらの茎上の固有値の推定値を使用すると、この積は | T | <  q ^{− d /2−1/2}で収束し、この領域にはゼータ関数の零点がないことがわかります。これは、E上のフロベニウスの固有値の絶対値が最大でq ^{d /2+1/2であることを意味します (実際、それらの絶対値は正確に}q ^{d /2}であることがすぐにわかります)。議論のこのステップは、オイラー積として書くことでリーマンゼータ関数に実部が 1 より大きい零点がないことの通常の証明と非常によく似ています。
• この結論は、中間コホモロジー群上の偶数次元dのフロベニウス多様体の固有値αが次式を満たすということである。