ピエール＝シモン・ラプラス

アイザック・ニュートン卿は1687年に『自然哲学の数学的原理』を出版し、その中で自身の運動法則と万有引力の法則から惑星の運動を記述するケプラーの法則を導出した。しかし、ニュートンは微積分法を独自に開発していたものの、出版された著作はすべて煩雑な幾何学的推論を用いており、惑星間の相互作用のより微妙な高次の効果を説明するには不向きであった。ニュートン自身も全体の数学的解決の可能性を疑い、太陽系の安定性を保証するには周期的な神の介入が必要であると結論づけていた。神の介入の仮説を捨てることは、ラプラスの科学者生活における主要な活動となる。 ^{[ 24 ]}現在では、ラプラスの方法だけでは、理論の発展に不可欠ではあるものの、太陽系の安定性を証明するには十分な精度ではないと一般的に考えられている。現在^、太陽系は粗いスケールでは概ね安定しているものの、細かいスケールでは概して混沌としていると理解されている。 ^{[ 25 ]： 83、93}

観測天文学における特に問題となったのは、木星の軌道が縮小しているように見える一方で土星の軌道が拡大しているように見えるという見かけ上の不安定性であった。この問題は、 1748年にレオンハルト・オイラー、 1763年にジョセフ・ルイ・ラグランジュによって取り組まれたが、成功しなかった。^{[ 26 ]} 1776年、ラプラスは、光を伝えるエーテル、あるいは瞬時に作用しない重力の法則の可能性のある影響を初めて探求した論文を発表した。彼は最終的にニュートン重力への知的投資に戻った。 ^{[ 27 ]}オイラーとラグランジュは、運動方程式の小さな項を無視することで実用的な近似を行った。ラプラスは、項自体は小さいが、時間積分すると重要になる可能性があることに気づいた。ラプラスは、 3次項を含む高次の項まで分析を進めた。このより正確な分析を用いて、ラプラスは任意の2つの惑星と太陽は相互に平衡状態にあると結論付け、それによって太陽系の安定性に関する研究を開始した。^{[ 28 ]}ジェラルド・ジェームズ・ウィットローはこの業績を「ニュートン以来の物理天文学における最も重要な進歩」と評した。^{[ 24 ]}

ラプラスはあらゆる科学分野に精通しており、アカデミーでの議論を支配していた。^{[ 29 ]}ラプラスは解析を物理的な問題に取り組むための手段としか考えていなかったようだが、必要な解析を考案する能力は驚異的である。結果が正しければ、彼はその結果に至るまでの手順を説明することにほとんど労力を費やさなかった。彼は自分の過程における優雅さや対称性を研究することはなく、議論している特定の問題を何らかの方法で解決できればそれで十分だった。^{[ 13 ]}

ニュートンは潮汐発生力を記述することで潮汐を説明し、ベルヌーイは地球上の水の潮汐ポテンシャルに対する静的反応を記述したが、1775年にラプラスによって開発された潮汐の動的理論^{[ 30 ]}は、潮汐力に対する海洋の実際の反応を記述している^{[ 31 ]}。ラプラスの海洋潮汐理論は、摩擦、共鳴、および海洋盆地の自然周期を考慮に入れた。それは世界の海洋盆地の大きな両潮系を予測し、実際に観測されている海洋潮汐を説明する^{[ 32 ] [ 33 ] 。}

太陽と月の重力勾配に基づく平衡理論は、地球の自転、大陸の影響、その他の重要な影響を無視しているため、実際の海洋潮汐を説明できませんでした。^{[ 34 ] [ 35 ] [ 36 ] [ 32 ] [ 37 ] [ 38 ] [ 39 ] [ 40 ] [ 41 ]}

測定によって理論が確認されたため、潮汐が深海海嶺や海山列とどのように相互作用し、深海から表層へ栄養分を運ぶ深層渦を発生させるかなど、多くの事柄に説明が可能になりました。^{[ 42 ]}平衡潮汐理論では潮汐波の高さは0.5メートル未満と計算されますが、動的理論では潮汐が最大15メートルになる理由が説明されます。^{[ 43 ]}衛星観測により動的理論の正確さが確認され、現在では世界中の潮汐が数センチメートル以内の精度で測定されています。^{[ 44 ] [ 45 ]} CHAMP衛星からの測定値は、TOPEXデータに基づくモデルとよく一致しています。^{[ 46 ] [ 47 ]}重力や海面水位の変化を計算する際には、潮汐による変動を測定値から除​​去する必要があるため、世界中の潮汐の正確なモデルは研究に不可欠です。^{[ 48 ]}

1776年、ラプラスは、順圧二次元シート流として記述される潮汐流に対する線形偏微分方程式の単一セットを定式化した。コリオリ効果と重力による横方向の力も導入されている。ラプラスは流体力学方程式を簡略化することでこれらの方程式を得たが、ラグランジュ方程式を介してエネルギー積分からも導出できる。

平均厚さDの流体シートの場合、垂直潮位ζおよび水平速度成分uとv (それぞれ緯度φ方向と経度λ方向) は、ラプラスの潮汐方程式を満たします。^{[ 49 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \zeta }{\partial t}}&+{\frac {1}{a\cos(\varphi )}}\left[{\frac {\partial }{\partial \lambda }}(uD)+{\frac {\partial }{\partial \varphi }}\left(vD\cos(\varphi )\right)\right]=0,\\[2ex]{\frac {\partial u}{\partial t}}&-v\left(2\Omega \sin(\varphi )\right)+{\frac {1}{a\cos(\varphi )}}{\frac {\partial }{\partial \lambda }}\left(g\zeta +U\right)=0\qquad {\text{and}}\\[2ex]{\frac {\partial \end{aligned}$

ここで、 Ωは惑星の自転角周波数、 gは平均海洋表面における惑星の重力加速度、aは惑星の半径、Uは外部の重力潮汐強制力ポテンシャルである。

ウィリアム・トムソン（ケルビン卿）は、回転を用いてラプラスの運動量方程式を書き換え、渦度の式を導き出した。特定の条件下では、この式はさらに渦度保存則として書き換えることができる。

1783年、アドリアン＝マリー・ルジャンドルはアカデミーに送った論文の中で、現在では関連ルジャンドル関数として知られるものを導入した。^{[ 13 ]}平面上の2点の極座標が( r , θ)と( r ' , θ')で、r ' ≥ rである場合、基本的な操作により、2点間の距離dの逆数は次のように表すことができる。

${\displaystyle {\frac {1}{d}}={\frac {1}{r'}}\left[1-2\cos(\theta '-\theta ){\frac {r}{r'}}+\left({\frac {r}{r'}}\right)^{2}\right]^{-{\tfrac {1}{2}}}.}$

この式は、ニュートンの一般化二項定理を用いてr / r 'のべき乗に展開すると、次のようになる。

${\displaystyle {\frac {1}{d}}={\frac {1}{r'}}\sum _{k=0}^{\infty }P_{k}^{0}(\cos(\theta '-\theta ))\left({\frac {r}{r'}}\right)^{k}.}$

関数列P 0 ^k ₍ cos φ) は、いわゆる「ルジャンドル関連関数」の集合であり、円上の点のあらゆる関数をこれらの関数の級数として展開できるという事実から、その有用性が生まれます。 ^{[ 13 ]}

ラプラスは、ルジャンドルの功績をほとんど顧みることなく、この結果を3次元に非自明な形で拡張し、より一般的な関数群である球面調和関数またはラプラス係数を導出した。後者の用語は現在では一般的に使用されていない。^{[ 13 ]： 340頁以降}

この論文は、スカラーポテンシャルの概念を発展させた点でも注目に値する。^{[ 13 ]}物体に作用する重力は、現代の言葉で言えば、大きさと方向を持つベクトルである。ポテンシャル関数は、ベクトルがどのように振る舞うかを定義するスカラー関数である。スカラー関数は、ベクトル関数よりも計算的にも概念的にも扱いやすい。

アレクシス・クレローは、ニュートン型の幾何学的推論を用いて同様の問題に取り組んでいた1743年にこのアイデアを最初に提案した。ラプラスはクレローの業績を「最も美しい数学的成果のクラスに属する」と評した。^{[ 50 ]}しかし、ラウズ・ボールは、このアイデアは「1773年、1777年、1780年の回想録でこのアイデアを使用したジョゼフ・ルイ・ラグランジュから盗用された」と主張している。 ^{[ 13 ]}「ポテンシャル」という用語自体は、1738年の回想録『Hydrodynamica』で導入したダニエル・ベルヌーイによるものである。しかし、ラウズ・ボールによれば、「ポテンシャル関数」という用語は、ジョージ・グリーンの1828年の『電気と磁気の理論への数学的解析の応用に関するエッセイ』まで、実際には（ラプラスの意味で空間座標の関数Vを指すために）使用されていなかった。^{[ 51 ] [ 52 ]}

ラプラスはポテンシャル関数に微積分学の言語を適用し、それが常に微分方程式を満たすことを示した。^{[ 13 ]}

${\displaystyle \nabla ^{2}V={\partial ^{2}V \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2}V \over \partial y^{2}}+{\partial ^{2}V \over \partial z^{2}}=0.}$

流体の速度ポテンシャルに関する同様の結果は、数年前にレオンハルト・オイラーによって得られていた。^{[ 53 ] [ 54 ]}

ラプラスのその後の重力引力に関する研究はこの結果に基づいていた。量 ∇ ² VはVの集中と呼ばれ、任意の点におけるその値は、その点の近傍における V の平均値に対するその点の Vの値の「超過」を示している。 ^{[ 55 ]}ポアソン方程式の特殊な場合であるラプラス方程式は、数理物理学で至る所に現れる。ポテンシャルの概念は、流体力学、電磁気学、その他の分野で現れる。ラウズ・ボールは、ポテンシャルはカントの知覚理論におけるアプリオリ形式の 1 つの「外的な兆候」と見なせるかもしれないと推測した。^{[ 13 ]}

球面調和関数は、ラプラス方程式の実用的な解法において極めて重要な役割を果たすことがわかっています。天球図の作成などに用いられる球面座標系におけるラプラス方程式は、中心点からの距離のみに依存する半径方向の部分と、角度方向または球面方向の部分とに変数を分離する方法を用いることで簡略化できます。方程式の球面部分の解は、ラプラスの球面調和関数の級数として表すことができ、実用計算を簡略化できます。

ラプラスは、1784年、1785年、1786年に、惑星の不等式に関する論文を3つのセクションに分けて発表した。この論文は主に、現在「大木星-土星不等式」として知られる摂動の特定と説明を扱っている。ラプラスは、これらの惑星の運動の研究と予測における長年の問題を解決した。彼は一般的な考察によって、まず、2つの惑星の相互作用が軌道の離心率と傾斜角に大きな変化をもたらすことは決してないことを示したが、さらに重要なことに、木星と土星の平均運動がほぼ一致するため、木星-土星系に特異性が生じることを示した。^{[ 6 ] [ 56 ]}

この文脈において、可換性とは、2つの惑星の平均運動の比が、2つの小さな整数の比に非常に近いことを意味します。土星の太陽周回軌道の2周期は、木星の5周期とほぼ等しくなります。平均運動の倍数間の対応する差、(2 n _J − 5 n _S ) は、約900年の周期に相当し 、この周期を持つ非常に小さな摂動力を積分する際の小さな除数として現れます。その結果、この周期を持つ積分された摂動は不釣り合いに大きく、土星では軌道経度で約0.8°、木星では約0.3°の弧になります。

惑星運動に関するこれらの定理のさらなる発展は、1788年と1789年の彼の2つの論文で述べられているが、ラプラスの発見の助けを借りて、木星と土星の運動表はついにずっと正確になった。ドランブルが天文表を計算したのは、ラプラスの理論に基づいていた。^{[ 13 ]}

ラプラスは、太陽系が抱える大きな力学的問題を完全に解決し、理論を観測と非常に密接に一致させることで、経験式が天文表に載る必要がなくなるような著作を書くことを自らに課した。^{[ 6 ]}その結果は、『世界の体系の解説』と『天体の力学』に具体化されている。^{[ 13 ]}

前者は1796年に出版され、現象の一般的な説明はしているものの、詳細は一切省略している。天文学史の概要が含まれている。この概要によって著者はフランス学士院の40人の会員に選ばれる栄誉を得、フランス文学の傑作の一つとして広く評価されているが、扱っている後期の時代については必ずしも信頼できるとは言えない。^{[ 13 ]}

ラプラスは、エマヌエル・スウェーデンボルグが最初に提唱し、イマヌエル・カントが拡張した、太陽系の形成に関する星雲説を発展させた。この説は、惑星系の起源の研究において最も広く受け入れられているモデルである。ラプラスの説によれば、太陽系は、重心を通る軸を中心に回転する白熱したガスの球状塊から進化した。この塊が冷えると収縮し、外縁から次々と環が分離した。これらの環は、さらに冷えて最終的に惑星に凝縮し、太陽は残った中心核を表していた。この見解では、ラプラスは、太陽から遠い惑星は、太陽に近い惑星よりも古いと予測した。^{[ 13 ] [ 57 ]}

前述の通り、星雲説の考え方は1755年にイマヌエル・カントによって概説されており^{[ 57 ]} 、彼はまた「流星の集積」と潮汐摩擦が太陽系の形成に影響を与えた原因であると示唆していた。ラプラスはおそらくこのことを知っていたが、同時代の多くの著述家と同様に、彼は一般的に他人の研究を参照しなかった^{[ 8 ] 。}

ラプラスによる太陽系の解析的考察は、全5巻からなる『天体力学』に記されている。1799年に出版された第1巻と第2巻には、惑星の運動を計算し、その形状を決定し、潮汐問題を解決する方法が収められている。^{[ 6 ]} 1802年と1805年に出版された第3巻と第4巻には、これらの方法の応用例といくつかの天文表が収められている。1825年に出版された第5巻は主に歴史的内容だが、付録としてラプラスの最新の研究成果が掲載されている。『天体力学』にはラプラス自身の研究が数多く含まれているが、多くの成果は他の著者の研究成果をほとんど、あるいは全く引用せずに流用している。歴史家によって、ラプラスだけでなく他の著者による1世紀にわたる研究の体系的な成果と評されるこの巻の結論は、ラプラス自身によってあたかも彼自身の発見であるかのように提示されている。^{[ 13 ]}

ラプラスが出版用に改訂するのを手伝ったジャン＝バティスト・ビオは、ラプラス自身も推論の連鎖の詳細を思い出すことがしばしばできず、結論が正しいと確信した場合は、「 Il est aisé à voir que...」（「～であることは容易にわかる」）というフレーズを挿入するだけで満足していたと述べている。『天体力学』は、ニュートンの『プリンキピア・マテマティカ』を微分積分学の言語に翻訳しただけでなく、ニュートンが詳細を埋めることができなかった部分を補完している。この研究は、フェリックス・ティスランの『天体力学論』 （1889～1896年）でより洗練された形で進められたが、ラプラスの論文は依然として標準的な権威となっている。^{[ 13 ]} 1784～1787年に、ラプラスは並外れた力を持ついくつかの回想録を作成した。中でも重要なのは、1784年に発表され、『天体力学』第3巻に再録された論文である。この論文において、彼は球体とその外部にある粒子との間の引力を完全に解明した。この論文は、物理科学に幅広く応用可能な有用な数学的概念であるポテンシャルを解析学に導入したことで知られている。

ラプラスは粒子理論を用いてブラックホールの概念を提唱することにも近づいた。彼は重力が光に影響を与える可能性があり、重力が非常に大きいため光さえも表面から脱出できないような巨大な星が存在する可能性があると示唆した（脱出速度を参照）。^{[ 61 ] [ 1 ] [ 62 ] [ 63 ]}しかし、この洞察は時代をはるかに先取りしていたため、科学発展の歴史において何の役割も果たさなかった。^{[ 64 ]}

ラプラスは著書『確率に関する哲学的試論』 （1814年）の中で、確率に基づいた帰納的推論の数学的体系を提示した。これは今日ではベイズ推論として認識されている。彼はこの著作を確率の原理の連続から始めており、最初の7つは以下の通りである。

1. 確率は、「起こりやすい事象」の数と起こりうる事象の総数との比率である。
2. 第一原理は、すべての事象の確率が等しいことを前提としている。これが成り立たない場合は、まず各事象の確率を決定する必要がある。そして、確率は、起こりうるすべての好ましい事象の確率の合計となる。
3. 独立事象の場合、すべての事象が発生する確率は、それぞれの事象が発生する確率を掛け合わせたものに等しい。
4. 2つの事象AとBが互いに依存している場合、複合事象の確率は、事象Aが発生する確率に、事象Aが発生したときに事象Bが発生する確率を掛け合わせたものになります。
5. Bが発生したという条件の下でAが発生する確率は、AとBの両方が発生する確率をBが発生する確率で割った値です。 
6. 第6原理には、ベイズ規則に相当する3つの系が与えられている。事象A _i ∈ { A ₁ , A ₂ , ... A _n } が事象Bの考えられる原因のリストをすべて網羅する場合、Pr( B ) = Pr( A ₁ , A ₂ , ..., A _n )となる。${\displaystyle \Pr(A_{i}\mid B)=\Pr(A_{i}){\frac {\Pr(B\mid A_{i})}{\sum _{j}\Pr(A_{j})\Pr(B\mid A_{j})}}.}$
7. 将来の事象Cの確率は、観測された事象Aから抽出された各原因B _iの確率と、この原因が存在する場合に将来の事象が発生する確率との積の合計です。記号で表すと、${\displaystyle \Pr(C|A)=\sum _{i}\Pr(C|B_{i})\Pr(B_{i}|A).}$

彼の体系から生まれた有名な公式の一つに、第7原理として示されている継承の法則がある。ある試行には「成功」と「失敗」という2つの結果しかないとしよう。結果の相対的な可能性について事前にほとんど何もわかっていないという仮定の下で、ラプラスは次の試行が成功する確率の公式を導き出した。

${\displaystyle \Pr({\text{次の結果は成功}})={\frac {s+1}{n+2}}}$

ここで、sは過去に観測された成功回数、nは観測された試行の総数です。イベント空間が分かっているものの、サンプル数が少ない場合、これはイベントの確率の推定値として依然として使用されます。

継承の法則は、ラプラスがそれを説明するために選んだ例も含め、多くの批判を受けてきた。彼は、過去に太陽が昇らなかったことが一度もないという条件の下で、明日太陽が昇る確率は、

$\displaystyle \Pr({\text{明日太陽が昇る}})={\frac {d+1}{d+2}}}$

ここでdは過去に太陽が昇った回数である。この結果は不条理だと嘲笑され、一部の著者は継承の法則のすべての適用は必然的に不条理であると結論付けている。しかし、ラプラスはこの結果の不条理さを十分に認識しており、例の直後に次のように書いている。「しかし、この数 [すなわち、明日太陽が昇る確率] は、日と季節を律する原理を現象の全体の中で見て、現時点では何もその進行を止めることができないと認識している人にとって、はるかに大きい。」^{[ 69 ]}

好ましいケースの数と可能なケースの総数の比率を推定する方法は、1779 年に書かれた論文でラプラスによって既に示されていました。それは、任意の関数の連続する値を、別の変数を参照した別の関数の展開における係数として扱うことから成ります。^{[ 6 ]}したがって、後者は前者の確率生成関数と呼ばれます。 ^{[ 6 ]}次に、ラプラスは補間によって、これらの係数が生成関数からどのように決定されるかを示します。次に彼は逆の問題に取り組み、係数から生成関数を見つけます。これは、有限差分方程式を解くことによって行われます。^{[ 13 ]}

この論文の第4章には最小二乗法の解説が含まれており、これはラプラスが解析の過程を熟知していたことを示す注目すべき証拠である。1805年にルジャンドルは最小二乗法を発表したが、それを確率論と結びつけようとはしなかった。1809年にガウスは、観測値の算術平均が測定量の最も可能性の高い値を与えるという原理から正規分布を導き出した。そして、この議論を逆にして、観測誤差が正規分布に従う場合、最小二乗推定値が回帰状況における係数の最も可能性の高い値を与えることを示した。これら2つの研究は、ラプラスが1783年にはすでに構想していた確率論に関する論文を完成させるきっかけとなったようだ。^{[ 67 ]}

1810 年と 1811 年の 2 つの重要な論文で、ラプラスはまず、大標本理論のツールとして特性関数を開発し、最初の一般的な中心極限定理を証明しました。次に、ガウスの研究を見た後に書いた 1810 年の論文の補足で、中心極限定理が最小二乗法のベイズ的正当化を与えることを示しました。つまり、多数の独立した観測値の平均である観測値を組み合わせる場合、最小二乗推定値は、事後分布として考えられる尤度関数を最大化するだけでなく、期待される事後誤差も最小化します。これは、誤差分布に関する仮定や算術平均の原理への循環的訴えなしに行われます。^{[ 67 ]} 1811 年にラプラスは、異なる非ベイズ的なアプローチを取りました。線形回帰問題を検討し、線形係数の線形不偏推定量に注意を限定しました。観測数が多い場合、このクラスの要素がほぼ正規分布に従うことを示した後、彼は最小二乗法が「最良」の線形推定量を提供すると主張した。ここで「最良」とは、漸近分散を最小化し、誤差の期待絶対値を最小化すると同時に、誤差分布がどうであれ、推定値が未知の係数の周りの任意の対称区間内に含まれる確率を最大化するという意味である。彼の導出には、2 つのパラメータの最小二乗推定量の同時極限分布が含まれていた。^{[ 67 ]}

ラプラスが純粋数学および応用数学において発見したその他の業績には、以下のようなものがある。

• アレクサンドル＝テオフィル・ヴァンデルモンドと同時期に行われた、行列式の一般理論についての議論（1772年）；^{[ 13 ]}
• 奇数次のすべての方程式は少なくとも１つの実数二次因子を持つという証明；^{[ 13 ]}
• 積分を近似するためのラプラス法
• 2階線形偏微分方程式の解； ^{[ 13 ]}
• 彼は混合差分方程式に含まれる難しい問題を最初に検討し、1次および2階の有限差分方程式の解は常に連分数の形で得られることを証明した。^{[ 6 ] [ 13 ]}
• 彼の確率論では：
  • 二項分布を正規分布で近似するド・モアブル・ラプラスの定理
  • いくつかの一般的な定積分の評価; ^{[ 13 ]}
  • ラグランジュ反転定理の一般的な証明。^{[ 13 ]}

ラプラスは、イギリスの博学者トーマス・ヤングの定性的な研究に基づいて、毛細管現象の理論とヤング・ラプラス方程式を発展させた。

1816年にラプラスは、空気中の音速が比熱比に依存することを初めて指摘した。ニュートンの元の理論は、空気の断熱圧縮によって局所的に温度と圧力が上昇することを考慮していないため、低すぎる値を与えていた。ラプラスの実用物理学における研究は、1782年から1784年にかけてラヴォアジエと共同で行った、さまざまな物体の比熱に関する研究に限られていた。^{[ 13 ]}

ラプラスは若い頃、政治に関わらないように、また科学アカデミー以外の生活にも関わらないように細心の注意を払っていた。革命の最も激しい時期には、賢明にもパリから身を引いた。^{[ 76 ]}

1799年11月、ブリュメール18日のクーデターで権力を掌握した直後、ナポレオンはラプラスを内務大臣に任命した。^{[ 6 ]}しかし、この任命はわずか6週間しか続かず、その後、ナポレオンの弟であるリュシアン・ボナパルトがその地位に就いた。^{[ 6 ]}明らかに、ナポレオンの権力掌握が確固たるものになると、政府に名声はあるものの経験の浅い科学者は必要なくなった。^{[ 77 ]}ナポレオンは後に（ 『サント・エレーヌ回想録』の中で）ラプラスの解任について次のように書いている。^{[ 13 ]}

一流の幾何学者であったラプラスは、すぐに平均以下の管理者であることが明らかになった。彼の就任後最初の行動から、我々は自分たちの間違いに気づいた。ラプラスはどんな問題も正しい角度から考察せず、あらゆることに些末な点ばかりを求め、問題ばかりを思い描き、ついには「無限小」の精神を行政に持ち込んでしまったのだ。

しかし、グラッタン＝ギネスはこれらの発言を「偏向的」だと評している。なぜなら、ラプラスは「ナポレオンが権力を固めるまでの一時的な名目上の人物、つまり一時的な地位の保持者として任命されたに過ぎない」ことは疑いの余地がないからである。^{[ 77 ]}

ラプラスは官職を解かれたものの、忠誠心を維持することが望まれていた。そのため彼は元老院議員に昇格し、『天体力学』第3巻の冒頭に、そこに記された真理の中で著者にとって最も貴重なのは、ヨーロッパの平和の使者に対する彼の献身をこのように宣言したことであると記した注釈を付した。^{[ 6 ]}ブルボン復古後に販売された版では、この注釈は削除された。（ピアソンは、いずれにせよ検閲官が許可しなかっただろうと指摘している。）1814年には帝国が崩壊しつつあることが明らかになり、ラプラスは急いでブルボン家に奉仕を申し出、1817年の復古期には侯爵の称号を与えられた。

ラウズ・ボールによれば、この件における彼の行動に対する、より誠実な同僚たちの軽蔑は、ポール・ルイス・クーリエ誌の紙面から読み取ることができる。彼の知識は、彼が務めた数多くの科学委員会で役立ち、ラウズ・ボールによれば、おそらくそれが彼の政治的な不誠実さが見過ごされた理由だろう。^{[ 13 ]}

ロジャー・ハーンは2005年の伝記で、ラプラスを日和見主義者で裏切り者と描写することに異議を唱え、フランスの多くの人々と同様に、彼もナポレオンのロシア遠征の惨敗を深刻な懸念をもって見守っていたと指摘している。1813年9月に唯一の娘ソフィーを出産時に亡くしたラプラス夫妻は、皇帝と共に東部戦線にいた息子エミールの身の安全を案じていた。ナポレオンは当初、安定を約束して権力を握ったが、明らかに戦線を拡大しすぎて国家を危険にさらしていた。ラプラスの忠誠心が弱まり始めたのはまさにこの時だった。彼は依然としてナポレオンに容易に会うことができたものの、皇帝との個人的な関係は著しく冷え込んでいた。悲しみに暮れる父親として、彼は特にナポレオンの無神経さに深く傷ついた。ジャン＝アントワーヌ・シャプタルが伝えたやり取りにはこうある。「ライプツィヒでの敗戦から戻ったナポレオンは、ラプラス氏にこう言った。『ああ！ずいぶん痩せたな。陛下、娘を亡くしたのです。』『ああ！それは痩せる理由にはなりません。あなたは数学者です。この出来事を方程式に当てはめてみれば、合計がゼロになることがわかるでしょう。』」^{[ 78 ]}

『哲学試論』の第二版（1814年）で、ラプラスは政治と統治についていくつかの示唆に富むコメントを追加した。彼によれば、「社会を生み出し維持するのは、理性、正義、人道という永遠の原理の実践である」ので、これらの原理に従うことは大きな利点であり、そこから逸脱することは非常に不賢明である。^{[ 79 ] [ 80 ]}野心的な指導者がこれらの原理を無視したときに「人々が陥った悲惨の深淵」に言及し、ラプラスはナポレオンの行動を遠回しに批判している。「征服欲に酔いしれた大国が世界支配を企むたびに、不当に脅かされた国々の間の自由の感覚が連合を生み出し、大国は常にそれに屈する。」ラプラスは、「様々な国家を方向づけ、制約する複数の原因の真っただ中に、自然の限界」が作用し、「帝国の安定と繁栄のためには、その限界内に留まることが重要である」と主張する。これらの限界を超えた国家は、「激しい嵐によって海底が持ち上げられた海が、重力の作用によって元の水位に戻るのと同様に」、その限界に「戻される」ことを避けることはできない。^{[ 81 ] [ 82 ]}

ラプラスは、自身が目撃した政治的激変について、物理学から導き出された一連の原理を定式化し、革命的な変化よりも漸進的な変化を優先するよう提唱した。

自然科学において非常に役立ってきた観察と計算に基づく方法を、政治学や倫理学にも適用しよう。啓蒙の進歩から得られる必然的な恩恵に対して、無益でしばしば有害な抵抗をするのではなく、長年採用してきた制度や慣習を極めて慎重にのみ変更しよう。過去の経験から、それらが引き起こす欠点はわかっているが、変化がもたらす弊害の程度は知らない。このような無知に直面して、確率論はあらゆる変化、特に道徳界においても物理界においても生命力の著しい喪失なしには決して起こらない急激な変化を避けるよう教えている。^{[ 83 ]}

これらの行で、ラプラスは革命と帝政を経験した後にたどり着いた見解を表明した。彼は、科学的発見によって明らかになった自然の安定性が、人類の存続に最も役立つモデルを提供すると信じていた。「こうした見解は、彼の揺るぎない性格とも一致していた」とハーンは述べている。^{[ 82 ]}

ラプラスは『哲学試論』の中で、大数の法則を適用して、科学アカデミーの新会員を選出する際に用いられたボルダ方式の投票で候補者の整数値の順位を正当化することで、政治学における確率の可能性も示している。ラプラスの言葉による議論は非常に厳密なので、形式的な証明に容易に変換できる。^{[ 84 ] [ 85 ]}

ラプラスとナポレオンの間で交わされたとされる、神の存在に関するやり取りはよく引用されるが、真偽は定かではない。問題の会話は実際にあったものの、ラプラスが使った正確な言葉や意図した意味は不明である。典型的なバージョンはラウズ・ボールによって提供されている。^{[ 13 ]}

ラプラスはナポレオンに自らの著作の写しを献上するために国賓として出向き、その会見の以下の記述は十分に信憑性があり、関係者全員の特徴をよく表しているので、全文を引用する。誰かがナポレオンに、その本には神の名前が一切出てこないと告げた。ナポレオンは困惑させるような質問をするのが好きだったので、それを「ラプラスさん、あなたは宇宙の体系についてこの大著を書いたのに、創造主について一度も言及していないと聞きました」という言葉で受け止めた。ラプラスは、最も柔軟な政治家ではあったが、哲学に関しては殉教者のように頑固だったので、背筋を伸ばして率直に答えた。 「私はその仮説を必要としませんでした。」ナポレオンは大いに面白がり、この返答をラグランジュに伝えた。ラグランジュは「ああ！それは素晴らしい仮説だ。多くのことを説明してくれる」と叫んだ。「ああ、それは素晴らしい仮説だ。多くのことを説明できる。」

ラプラスの名前は言及されていないものの、それ以前の報告はアントマルキの『ナポレオンの最期の瞬間』（1825年）に見られる。^{[ 87 ]}

Je m'entretenais avec L ..... je le félicitais d'un ouvrage qu'il venait de publier et lui needais comment le nom de Dieu, qui se reprodusait sans cesse sous la plume de Lagrange, ne s'était pas présenté une seule fois sous la sienne. C'est, me repondit-il, que je n'ai pas eu besoin de cette 仮説。 （「Lと話しているとき……私は彼が出版したばかりの作品を祝福し、ラグランジュの作品に際限なく登場する神の名がなぜ彼の作品には一度も出てこないのかと尋ねました。彼はそのような仮説は必要ないと答えました。」）

しかし、1884年に天文学者のエルヴェ・フェイ^{[ 88 ] [ 89 ]}は、ラプラスとナポレオンのやり取りに関するこの記述は、実際に起こったことを「奇妙に変容させた」（étrangement transformée）あるいは歪曲したバージョンであると断言した。ラプラスが仮説として扱ったのは神ではなく、単に特定の時点での彼の介入であった。

実際、ラプラスはそんなことは言っていません。私が思うに、本当のところはこうです。ニュートンは、自らの理論で概説した世俗的な摂動が、いずれ太陽系を破壊するだろうと考え、神が時折介入して悪を正し、何とかして太陽系が正常に機能し続けるようにしなければならない、とどこかで述べています。しかし、これは、ニュートンが私たちの小さな世界の安定性の条件を不完全にしか理解していなかったことから思いついた、単なる推測に過ぎませんでした。当時の科学はまだ十分に進歩しておらず、これらの条件を完全に把握することはできませんでした。しかし、深い分析によってこれらの条件を発見したラプラスは、第一執政官に対し、ニュートンが時折世界の機械（la machine du monde）を調整するために神の介入を誤って持ち出したのであり、自分はそのような仮定を必要としないと答えたでしょう。したがって、ラプラスが仮説として扱ったのは神そのものではなく、ある特定の場所における神の介入だったのです。

ラプラスの若い同僚で天文学者のフランソワ・アラゴは、1827年にフランス学士院で追悼演説を行ったが、^{[ 90 ]}ラプラスがナポレオンとのやり取りの歪んだバージョンが世に出回らないようにしようとしたことをフェイに語った。フェイは次のように書いている。^{[ 88 ] [ 89 ]}

アラゴ氏の証言によると、ラプラスは死の直前、その逸話が伝記集に掲載される予定だと知らされ、出版社に削除を要求するようアラゴ氏に依頼したという。説明を加えるか削除するかのどちらかが必要だったが、後者の方が簡単だった。しかし残念ながら、削除も説明もされなかった。

スイス系アメリカ人の数学史家フロリアン・カジョリはフェイの研究を知らなかったようだが、1893年に同様の結論に達した。^{[ 91 ]}スティーブン・ホーキングは1999年にこう述べている。 ^{[ 70 ]}「ラプラスは神が存在しないと主張していたわけではないと思う。ただ、神は科学の法則を破るために介入しないだけだ。」

ラプラスとナポレオンのやり取りを目撃した唯一の記録は、イギリスの天文学者ウィリアム・ハーシェル卿の日記の1802年8月8日の記述である。^{[ 92 ]}

第一執政官は天文学と天体の構造に関するいくつかの質問をし、私は彼に大変満足していただけるような回答をしました。彼はまた、同じ主題についてラプラス氏にも話しかけ、その著名な数学者とかなりの議論を交わしましたが、意見は異なりました。意見の相違は、第一執政官が（恒星天体の広がりについて話していた際に）感嘆の口調で「これらすべての作者は誰だ！」と叫んだことがきっかけでした。ラプラス氏は、一連の自然的原因によってこの驚くべき体系が構築され、維持されていることを示そうとしました。第一執政官はこれにやや反対しました。この主題については多くのことが言えますが、両者の議論を合わせると、「自然と自然の神」という結論に至るでしょう。

これはラプラスが「私はその仮説を必要としなかった」と言ったことには触れていないため、ダニエル・ジョンソン^{[ 93 ]}は「ラプラスは彼に帰せられているような言葉を使ったことは一度もない」と主張している。しかし、アラゴの証言は、彼がその言葉を使ったことを示唆しているように見えるが、それは神の存在に関してではない。

カトリック教徒として育ったラプラスは、成人してからは理神論に傾倒していたようだ（彼の著作に見られる唯一の立場であることから、おそらくこれが彼の熟慮された見解であろう）。しかし、同時代の人物の中には彼を無神論者だと考える者もおり、近年の研究者の中には彼を不可知論者と評する者もいる。

フェイはラプラスが「無神論を公言していなかった」と考えていたが^{[ 88 ]} 、ナポレオンはセントヘレナ島でガスパール・グルゴー将軍に「私はよくラプラスに神についてどう思うか尋ねた。彼は自分が無神論者であることを認めた」と語った^{[ 94 ]} 。ロジャー・ハーンはラプラスの伝記の中で、「地質学者のジャン＝エティエンヌ・ゲタールがラプラスの神の存在に対する大胆な非難に驚愕した」晩餐会について述べている。ゲタールには、ラプラスの無神論は「徹底した唯物論によって支えられている」ように見えた^{[ 95 ]}。しかし、1820年代にラプラスをよく知っていた化学者のジャン＝バティスト・デュマは、ラプラスは「唯物論者にもっともらしい議論を提供したが、彼らの信念を共有していなかった」と書いている^{[ 96 ] [ 97 ] 。}

ハーンは、「ラプラスの著作には、公私を問わず、どこにも神の存在を否定する記述はない」と述べている。^{[ 98 ]}彼の私信には、無神論と矛盾すると思われる表現が見られる。^{[ 6 ]}例えば、1809年6月17日、彼は息子に「神があなたの日々を見守ってくださるよう祈ります。あなたの父と母と同様に、神が常にあなたの心の中にいてくださいますように」と書いている。^{[ 89 ] [ 99 ]}イアン・S・グラスは、ハーシェルによるナポレオンとの有名なやり取りの記述を引用し、ラプラスは「明らかにハーシェルのような理神論者であった」と書いている。^{[ 100 ]}

『世界の体系の解説』の中で、ラプラスはニュートンの「太陽、惑星、彗星の驚くべき配置は、全能で知的な存在の働きでしかない」という主張を引用している。^{[ 101 ]}ラプラスによれば、これは「ニュートンが我々が示した事実、すなわち惑星とその衛星の配置条件がまさにその安定性を保証する条件であることを知っていれば、さらに確信を深めたであろう考え」である。^{[ 102 ]}ラプラスは、惑星の「驚くべき」配置が運動法則によって完全に説明できることを示すことで、ニュートンが「そうさせた」ように「至高の知性」が介入する必要性を排除した。^{[ 103 ]}ラプラスは、太陽系の秩序を回復するために神の介入を求めたニュートンに対するライプニッツの批判を賛同して引用している。「これは神の知恵と力について非常に狭い考えを持っているということだ。」^{[ 104 ]}彼は明らかに、ニュートンの「神は機械をひどく粗悪に作ったので、何らかの特別な手段で介入しない限り、時計はすぐに動かなくなるだろう」という信念に、ライプニッツと同様に驚いていた。^{[ 105 ]}

科学アカデミーの図書館で黒い封筒に厳重に保管され、ハーンによって初めて出版された一連の手稿の中で、ラプラスはキリスト教に対する理神論的批判を展開した。彼は、「奇跡的な事実を真実ではないとして拒絶することは、最も基本的で絶対的な原則である」と述べている。 ^{[ 106 ]}化体説については、「理性、経験、五感の証言、自然の永遠の法則、そして至高の存在について私たちが抱くべき崇高な観念を同時に侵害する」と述べている。「宇宙の主権者である立法者が、自らが定め、常に維持してきたと思われる法則を停止する」と考えるのは、全くの不条理である。^{[ 107 ]}

ラプラスは神学における確率の使用も嘲笑した。パスカルの賭けで示されたパスカルの推論に従ったとしても、賭けをする価値はない。なぜなら、利益の期待値（証言の価値（無限に小さい）と証言が約束する幸福の価値（重要だが有限）の積に等しい）は必然的に無限に小さくなるからである。^{[ 108 ]}

晩年、ラプラスは神についての疑問に引き続き興味を持ち^{[ 109 ]}、スイスの天文学者ジャン＝フレデリック＝テオドール・モーリスとキリスト教について頻繁に議論した^{[ 110 ]} 。彼はモーリスに「キリスト教は実に美しいものだ」と言い、その文明化の影響力について称賛した。モーリスは、ラプラスの信念の根拠は少しずつ変化しているものの、自然法則の不変性が超自然的な出来事を許さないという信念は固く持ち続けていると考えていた^{[ 109 ]} 。ラプラスの死後、ポアソンはモーリスに「ご存じの通り、私はあなたの（宗教的な）意見には賛同しませんが、良心があなたにきっと喜んでいただけるであろうことをお話しさせてください」と言った。ポアソンがラプラスの「輝かしい発見」を褒め称えたとき、死にゆくラプラスは物思いにふけるような表情で彼を見つめ、「ああ！私たちは幻影（キメラ）を追い求めているのだ」と答えた。^{[ 111 ]}これらは彼の最後の言葉であり、モーリスはそれを地上の追求の究極的な「虚しさ」の悟りと解釈した。 ^{[ 112 ]}ラプラスは、宣教団（彼が埋葬されることになる教区）の司祭^{[ 97 ]}とアルクイユの司祭^{[ 112 ]}から終油の秘蹟を受けた。

伝記作家のロジャー・ハーンによれば、ラプラスが「きちんとしたカトリック的な最期を迎えた」というのは「信じがたい」ことであり、彼は生涯の最後まで「懐疑主義者であり続けた」という。^{[ 113 ]}ラプラスは晩年、不可知論者であったと評されている。^{[ 114 ] [ 115 ] [ 116 ]}

1470年、人文主義者の学者バルトロメオ・プラティナは^{[ 117 ]}、 1456年のハレー彗星の出現の際に、教皇カリストゥス3世がトルコ人からの救済を祈願したと記した。プラティナの記述は、彗星について言及していない教会の記録とは一致しない。ラプラスは、教皇がハレー彗星を「破門」したと主張して話を誇張したとされている^{[ 118 ]。}ラプラスが実際に『世界の体系の解説』（1796年）で述べたのは、教皇が彗星を「悪魔払い」（conjuré ）するよう命じたということである。破門について最初に言及したのは、アラゴの『一般彗星論』 （1832年）である^{[ 119 ] [ 120 ] [ 121 ]。}

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  N. ボウディッチ(翻訳) (1829–1839) Mécanique céleste、4 巻、ボストン
  • 新版（再版サービス）ISBN 0-7812-2022-X
• – [1829–1839] (1966–1969)天体力学、全5巻、フランス語原著を含む
• パウンド、J.（訳）（1809）『世界の体系』全2巻、ロンドン：リチャード・フィリップス
• _世界のシステム（第1巻）
• _世界のシステム（第2巻）
• – [1809] (2007)世界のシステム、第1巻、ケシンジャー、ISBN 1-4326-5367-9
• トプリス、J.（訳）（1814）解析力学に関する論文ノッティンガム：H.バーネット
• ラプラス、ピエール・シモン・マルキ・ド（2007）[1902]。確率論に関する哲学的エッセイ。FWトラスコットおよびFLコジモ・エモリー訳。ISBN 978-1-60206-328-0。フランス語版第6版（1840年）からの翻訳
  • インターネットアーカイブにある『確率に関する哲学的エッセイ』（1902年）
• デール、アンドリュー・I.、ラプラス、ピエール＝シモン（1995）。『確率論に関する哲学的エッセイ』。数学史および物理科学史資料集、第13巻。アンドリュー・ I・デール訳。シュプリンガー。doi : 10.1007 /978-1-4612-4184-3。hdl : 2027/coo1.ark : /13960/t3126f008。ISBN 978-1-4612-8689-9。フランス語版第5版（1825年）からの翻訳