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調和解析と数論において、保型形式とは位相群からの良好な性質を持つ関数である。離散部分群の作用の下で不変な複素数（または複素ベクトル空間）へ位相群の。保型形式は、ユークリッド空間における周期関数の概念を一般の位相群に一般化したものである。
モジュラー形式は、群SL(2, R )またはPSL(2, R )上で定義される正則保型形式であり、離散部分群はモジュラー群またはその合同部分群のいずれかです。この意味で、保型形式の理論はモジュラー形式の理論の拡張です。より一般的には、アデリックアプローチを合同部分群の族全体を一度に扱う方法として使用できます。この観点から、群上の保型形式は代数群の場合そして代数的数体は、上の複素数値関数である。それは不変のままであるそして、一定の滑らかさと成長条件を満たす。
アンリ・ポアンカレは、三角関数と楕円関数の一般化として保型形式を最初に発見しました。ラングランズ予想を通じて、保型形式は現代の数論において重要な役割を果たしています。[ 1 ]
数学において、自己同型因子の概念は、複素解析多様体に作用する群 に対して生じる。群を仮定する。複素解析多様体上で作用する。 それから、また、正則関数の空間にも作用する。複素数へ。関数以下の条件が満たされる場合、それは保型形式と呼ばれる。
どこは至るところでゼロでない正則関数である。言い換えれば、保型形式とは、その因子が の作用の下で不変である関数である。。
保型形式の保型因子関数は保型関数は、はアイデンティティです。
保型形式とは、 G上の関数F（ベクトル値の場合、ある固定された有限次元ベクトル空間Vに値をとる）であり、次の 3 つの条件を満たすものです。
これらのうち最初のものがFを保型にする、つまり、F ( g ) とF ( γg )を関連付ける興味深い関数方程式を満たす。ベクトル値の場合、仕様には、成分に作用してそれらを「ねじる」有限次元群表現ρが含まれることがあります。カシミール演算子条件は、いくつかのラプラシアンがFを固有関数として持つことを示しています。これにより、Fが優れた解析的性質を持つことが保証されますが、実際に複素解析関数であるかどうかは、特定のケースに依存します。3番目の条件は、 G /Γがコンパクトではなく尖点を持つ場合を処理することです。
この定式化には、群コホモロジーの用語でいう1-コサイクルの一種である、Γの自己同型因子jの一般的な概念が必要となる。jの値は複素数、あるいは実際には複素正方行列であり、ベクトル値自己同型形式の可能性に対応する。自己同型因子に課されるコサイクル条件は、 jがヤコビ行列から導出される際に、連鎖律を用いて日常的に確認できるものである。
類体理論を用いた、より直接的だが技術的に高度な定義では、保型形式とその対応する関数を、ガロア群をその基礎となる大域体拡張に埋め込むものとして構成します。この定式化では、保型形式は、アルティン相互法則の下でイデル類群から写像される特定の有限不変量です。ここで、そのL関数の解析的構造は、さまざまな代数幾何学的性質を持つ一般化を可能にし、結果としてラングランズ・プログラムが生まれます。簡単に言えば、この一般的な観点における保型形式は、最も抽象的な意味で数体の不変性を定量化する解析的汎関数であり、したがって、その基本構造の「原始性」を示しています。事実上あらゆる数値構造の不変構成を分析するための強力な数学的ツールを提供します。
明示的で抽象化されていない状態の保型形式の例は入手が困難であるが、中には直接解析的な性質を持つものもある。
-特定の体拡大上のアーベル群としてのアイゼンシュタイン級数（これは典型的なモジュラー形式である）。
-ディリクレL関数をクラス体論的対象として具体的に一般化したもの。
- 一般に、ガロア群上の関手として、そのイデアル類群（またはイデアル）上で不変な調和解析対象。
一般的な原則として、保型形式は抽象構造上の解析関数と考えることができ、その基本イデアル （または抽象化された既約基本表現）の一般化された類似物に関して不変です。前述のように、保型関数は、保型構造上の何らかのゼータ関数類似物によって構築されたモジュラー形式（したがって楕円曲線）の一般化と見なすことができます。最も単純な意味では、保型形式は、その対称性の性質により、一般のリー群上で定義されたモジュラー形式です。したがって、より簡単に言えば、構造の基本「形態」に関して構造の不変性を分析する一般的な関数です。
この非常に一般的な設定が提案される以前（1960年頃）には、モジュラー形式以外の保型形式について既にかなりの発展があった。Γがフックス群である場合は、1900年以前に既に注目されていた（下記参照）。ヒルベルト・モジュラー形式（ヒルベルト＝ブルーメンタール形式とも呼ばれる）はその後まもなく提案されたが、完全な理論が確立されるまでには長い時間がかかった。Gがシンプレクティック群であるジーゲル・モジュラー形式は、モジュライ空間とシータ関数を考察することから自然に生じた。戦後の多変数複素数への関心により、形式が実際に複素解析的である場合に保型形式の概念を追求することが自然な流れとなった。特にイリヤ・ピアテツキ＝シャピロは、1960年頃に、このような理論を構築するために多くの研究を行った。他の研究者によって応用されたセルバーグ・トレース公式の理論は、この理論の相当な深さを示した。ロバート・ラングランズは、（多くの特殊なケースは知られているものの、一般的には）リーマン・ロッホの定理を保型形式の次元の計算に適用できることを示した。これは、概念の妥当性に対する一種の事後検証である。彼はまた、スペクトル理論の用語でこの問題の「連続スペクトル」に相当するアイゼンシュタイン級数の一般理論も発表し、尖点形式または離散部分を調査対象とした。数論の観点からは、尖点形式はシュリニヴァーサ・ラマヌジャン以来、問題の本質であると認識されてきた。
その後の「保型表現」の概念は、アデリック代数群として扱われる代数群Gを扱う際に、技術的に大きな価値があることが証明されています。これは、アデリックアプローチが合同部分群の族全体を一度に扱う方法であるため、上で紹介した保型形式の考え方を完全に包含するものではありません。G のアデリック形式の商に対する L 2 空間内では、保型表現は、無限素数(s)に対する特定の包絡代数表現を持つp 進群の表現の無限テンソル積である表現です。重点の転換を表現する 1 つの方法は、ここでヘッケ作用素が事実上カシミール作用素と同じレベルに置かれているということです。これは関数解析の観点からは自然ですが、数論の観点からはそれほど明白ではありません。この概念が、ラングランズ哲学の定式化の基礎となっています。
ポアンカレが1880年代に数学で最初に発見した概念の一つに、保型関数がある。彼は数学者ラザルス・フックスにちなんで、これをフックス関数と名付けた。フックスは優れた教師として知られ、微分方程式と関数論の研究を行っていたからである。ポアンカレは実際に、博士論文の一部としてこれらの関数の概念を発展させた。ポアンカレの定義によれば、保型関数とは、定義域で解析的であり、離散的な無限群の線形分数変換の下で不変な関数である。したがって、保型関数は三角関数と楕円関数の両方を一般化したものである。
ポアンカレは、フックス関数をどのように発見したかを次のように説明している。
15日間、私は後にフックス関数と呼ぶことになるような関数は存在しないことを証明しようと奮闘しました。当時の私は非常に無知で、毎日作業台に座り、1、2時間かけて無数の組み合わせを試しましたが、成果は得られませんでした。ある晩、いつもの習慣に反してブラックコーヒーを飲んだところ、眠れませんでした。アイデアが次々と湧き上がり、それらが衝突し、いわばペアが絡み合って安定した組み合わせになるのを感じました。翌朝までに、私は超幾何級数から得られるフックス関数のクラスの存在を確立しました。あとは結果を書き出すだけで、それもほんの数時間で済みました。
Wikiquoteにある「自己同型形式」に関する引用文
ウィキメディア・コモンズにある、自己形態に関連するメディア
