解析関数

数学解析において、解析関数とは、局所的に収束するべき級数で表される関数のことである。より正確には、実関数または複素関数は、ある点の近傍において、その点を中心とするべき級数に等しい場合に、その点で解析的である。したがって、解析関数は、その係数、あるいは等価的に展開の中心における導関数によって局所的に決定される。言い換えれば、解析関数とは、局所的に収束するテイラー級数で表される関数のことである。

解析関数は、実解析と複素解析の両方に、わずかに異なる形で現れます。実解析関数または複素解析関数は、必ず滑らかであり、すべての階数の導関数を持ちます。しかし、滑らかな実関数は必ずしも解析的であるとは限りません。対照的に、開集合上の複素関数は、正則関数、つまり集合のすべての点で複素微分可能である場合に限り解析的です。このため、複素解析では、解析関数と正則関数という用語はしばしば同義語として使用されます。複素解析と実解析という用語は、これらの場合を区別します。信号処理では、複素解析関数は解析信号と呼ばれることもあります。

解析性は、強力な正則性条件です。解析関数は、局所的な挙動が厳密に決まります。例えば、連結領域において、零点が集積点を持つ解析関数は、必ず恒等的にゼロになります。標準的な例としては、多項式、指数関数、および解析性領域における三角関数などが挙げられます。

形式的には、関数${\displaystyle f}$開集合上で実解析的である${\displaystyle D}$実数直線では、すべての${\displaystyle x_{0}\in D}$書くことができる $${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\left(x-x_{0}\right)^{n}=a_{0}+a_{1}(x-x_{0})+a_{2}(x-x_{0})^{2}+\cdots }$$ 係数は${\displaystyle a_{0}}$⁠、 ⁠${\displaystyle a_{1}}$⁠、...は実数であり、この級数（この等式の右辺）はに収束する。${\displaystyle f(x)}$のために${\displaystyle x}$近隣の​${\displaystyle x_{0}}$（つまり、開集合を含む集合です）${\displaystyle x_{0}}$⁠ )

あるいは、実解析関数とは、各点におけるテイラー級数が無限に微分可能な関数である。${\displaystyle x_{0}}$その領域内で $${\displaystyle T(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(x_{0})}{n!}}(x-x_{0})^{n}}$$ 収束して${\displaystyle f(x)}$のために${\displaystyle x}$近隣の${\displaystyle x_{0}}$点ごとに。^{[ a ]}与えられた集合上のすべての実解析関数の集合${\displaystyle D}$はしばしば で表されます。$\displaystyle {\mathcal {C}}^{\omega }(D)}$⁠、または単に$\displaystyle {\mathcal {C}}^{\omega }}$ドメインが理解されている場合。

関数${\displaystyle f}$実数直線の何らかの部分集合上で定義された関数は、ある点において実解析的であると言われる。${\displaystyle x}$近隣地域がある場合${\displaystyle D}$の${\displaystyle x}$で${\displaystyle f}$真の分析です。

複素解析関数の定義は、上記の定義において「実数」を「複素数」に、「実数直線」を「複素平面」に置き換えることによって得られます。関数が複素解析関数であるのは、それが正則関数、すなわち複素微分可能である場合に限ります。このため、このような関数に対しては、「正則関数」と「解析関数」という用語はしばしば同義語として用いられます。^{[ 1 ]}

複素解析において、関数は開集合において解析的であると呼ばれる。${\displaystyle U}$⁠各点において（複素）微分可能であれば、${\displaystyle U}$⁠ . ^{[ 2 ]}

解析関数の典型的な例は次のとおりです。

• 以下の基本関数：
  • すべての多項式：多項式の次数が の場合${\displaystyle n}$⁠、次数が⁠より大きい項${\displaystyle n}$テイラー級数展開では、すぐに 0 に収束しなければならないので、この級数は自明に収束します。さらに、すべての多項式はそれ自身のマクローリン級数です。
  • 指数関数は解析的である。この関数の任意のテイラー級数は、 の場合だけでなく、 の場合にも収束する。${\displaystyle x}$十分近い​${\displaystyle x_{0}}$（定義にあるように）ただし、すべての値に対して${\displaystyle x}$（実数または複素数）。
  • 三角関数は、その定義域の任意の開集合上で解析的である。
  • 自然対数は、その分岐が単一値である任意の開集合上で解析的である。${\displaystyle (0,\infty )}$または、任意の単純な弧を結ぶリーマン球面の補弧${\displaystyle 0}$に${\displaystyle \infty }$。
  • べき関数は、非負の整数べきの場合はあらゆる場所で解析的であり、負の整数べきの場合はゼロから離れた場所で解析的であり、対数が解析的である複素平面の任意の開部分集合上では任意の複素べきの場合は解析的である。
• 多くの特殊関数は、適切な定義域において解析的である。
  • 適切な領域における超幾何関数
  • 適切な領域におけるベッセル関数
  • ゼロと負の整数における極から離れたガンマ関数
  • リーマンゼータ関数は、${\displaystyle 1}$
• 代数関数は、極や分岐点から離れた場所では解析的です。分岐点の近くでは、代数関数は収束するピュイズー級数で表すことができます。つまり、変数変換の後、${\displaystyle za=t^{e}}$の関数として解析的になる${\displaystyle t}$。

解析的でない関数の典型的な例は次のとおりです。

• 絶対値関数${\displaystyle x\mapsto |x|}$実数では解析的ではない${\displaystyle 0}$対応する関数${\displaystyle z\mapsto |z|}$複素数上の複素解析は、空でない任意の開部分集合上で複素解析的ではない。${\displaystyle \mathbb {C} }$。
• 区分的に定義された関数（異なる領域で異なる式で表される関数）は、通常、それらの境界が接する部分では解析的ではありません。
• 複素共役関数​$\displaystyle z\to z^{*}}$は複素解析的ではないが、実数直線への制限は恒等関数であり、したがって実解析的である。また、 からの関数としては実解析的である。$\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$へ​$\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$⁠ .
• その他の非解析的な滑らかな関数、特に任意の滑らかな関数${\displaystyle f}$コンパクトサポートが厳密にゼロではない、つまり$${\displaystyle f\in C_{0}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})\setminus \{0\}}$$すべてにおいて分析的であることはできない$\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$[ ^{3 ]​}

以下の条件は同等である。

1. ${\displaystyle f}$開集合上で実解析的である${\displaystyle D}$⁠ .
2. 複雑な解析的拡張がある${\displaystyle f}$オープンセットへ${\displaystyle G\subset \mathbb {C} }$含まれるもの${\displaystyle D}$⁠ .
3. ${\displaystyle f}$滑らかで、コンパクトセットすべてに対応${\displaystyle K\subset D}$定数が存在する${\displaystyle C}$すべての${\displaystyle x\in K}$そしてすべての非負整数${\displaystyle k}$以下の境界が成り立つ。^{[ 4 ]}$${\displaystyle \left|{\frac {d^{k}f}{dx^{k}}}(x)\right|\leq C^{k+1}k!}$$

複素解析関数は正則関数と完全に等価であり、したがってはるかに容易に特徴づけることができる。

複数の変数を持つ解析関数の場合（下記参照）、実際の解析性はフーリエ・ブロス・イアゴルニッツァー変換を用いて特徴付けることができる。

多変数の場合、実解析関数は第3の特徴付けの直接的な一般化を満たす。^{[ 5 ]}$\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{n}}$を開集合とし、 とする。${\displaystyle f:U\to \mathbb {R} }$⁠。それから${\displaystyle f}$実際の分析は${\displaystyle U}$かつその場合に限り${\displaystyle f\in C^{\infty }(U)}$そしてコンパクトカーのすべて${\displaystyle K\subseteq U}$定数が存在する${\displaystyle C}$すべての多重インデックスに対して${\displaystyle \alpha \in \mathbb {Z} _{\geq 0}^{n}}$以下の境界が成り立つ^{[ 6 ]}$$${\displaystyle \sup _{x\in K}\left|{\frac {\partial ^{\alpha }f}{\partial x^{\alpha }}}(x)\right|\leq C^{|\alpha |+1}\alpha$$$ !}

• 解析関数の和、積、合成は解析関数である。
• ゼロにならない解析関数の逆数は解析関数である。
• 1変数の場合、導関数がどこでもゼロにならない1対1解析関数の逆関数は解析関数である。多変数の場合、対応する条件は、導関数が可逆な線形写像であること、または同等に、ヤコビ行列式がゼロでないことである。
• 解析関数は滑らかであり、すなわち無限回微分可能である。実関数についてはその逆は成り立たない。実際、ある意味では、実解析関数はすべての実無限回微分可能関数に比べて疎である。複素数についてはその逆が成り立つ。開集合上で複素微分が1つだけの関数は、その集合上で解析的である（§ 解析性と微分可能性を参照）。
• 任意の開集合 に対して${\displaystyle \Omega \subseteq \mathbb {C} }$⁠、セット⁠${\displaystyle A(\Omega )}$すべての解析関数${\displaystyle u:\Omega \to \mathbb {C} }$はコンパクト集合上の一様収束に関してフレシェ空間である。解析関数のコンパクト集合上の一様極限が解析的であるという事実は、モレラの定理から容易に導かれる。集合${\displaystyle A_{\infty }(\Omega )}$上限ノルムを持つすべての有界解析関数はバナッハ空間である。
• 対照的に、開集合上の実解析関数は、コンパクト部分集合上の一様収束位相の下では完全ではない。なぜなら、実解析関数のコンパクト開極限は必ずしも実解析関数であるとは限らないからである。実解析関数は、コンパクト開位相における連続関数の空間において稠密である。

多項式は、零点が多すぎる場合、零多項式でない限り、零点が多すぎることはありません（より正確には、零点の数は多項式の次数以下です）。解析関数についても同様の、ただしより弱い記述が成り立ちます。解析関数の零点の集合が⁠${\displaystyle f}$領域内に集積点がある場合、${\displaystyle f}$⁠ は、集積点を含む連結成分上のすべての場所でゼロになります。言い換えれば、 ⁠${\displaystyle (r_{n})}$は、異なる数の列であり、${\displaystyle f(r_{n})=0}$すべての人々のために${\displaystyle n}$そしてこの数列は一点に収束する${\displaystyle r}$の領域において${\displaystyle D}$⁠、それから⁠${\displaystyle f}$はの連結成分上で恒等的にゼロである。${\displaystyle D}$含有​​${\displaystyle r}$これは恒等定理として知られています。

また、解析関数のある点におけるすべての導関数がゼロである場合、その関数は対応する連結成分上で定数となる。

これらの記述は、解析関数は多項式よりも自由度が高いものの、依然としてかなり柔軟性に欠けることを示唆している。

前述のとおり、任意の関数（実数関数または複素数関数）は、収束するべき級数に等しい近傍において無限回微分可能です。解析点の近傍には、その近傍における関数に等しい収束するべき級数が存在するため、その関数はそこで無限回微分可能です。解析的でない滑らかな実数関数も存在します。詳しくは「非解析的な滑らかな関数」を参照してください。実際、そのような関数は多数存在します。

複素解析関数と複素導関数を考えると、状況は全く異なります。中心が である開円盤内の任意の複素微分可能な関数は${\displaystyle z=z_{0}}$（正則関数）はそこで解析的であり、逆に複素変数の収束べき級数で与えられる任意の関数は${\displaystyle z-z_{0}}$収束円盤上で複素微分可能（かつ無限回微分可能）である。したがって、複素解析においては、解析関数という用語は正則関数と同義である。

実解析関数と複素解析関数には重要な違いがあります（微分可能性との関係性の違いからもそれがわかります）。複素関数の解析性はより制約の多い性質であり、より制約の多い必要条件があり、複素解析関数は実数関数よりも構造が複雑です。^{[ 7 ]}

リウヴィルの定理によれば、複素平面全体で定義された有界複素解析関数は定数関数である。複素平面を実数直線に置き換えた実解析関数に対する対応する記述は明らかに誤りである。これは、以下によって示される。 $${\displaystyle f(x)={\frac {1}{x^{2}+1}}.}$$

また、複素解析関数が点の周りの開球で定義されている場合、${\displaystyle x_{0}}$⁠、そのべき級数展開は⁠${\displaystyle x_{0}}$⁠は開球全体で収束します (正則関数は解析的です)。実解析関数 (開球とは複素平面の開円盤ではなく実数直線の開区間を意味します) に関するこの記述は一般には真ではありません。上記の例の関数は⁠の例を示しています。${\displaystyle x_{0}=0}$半径がを超える球 ${\displaystyle 1}$べき級数なので${\displaystyle 1-x^{2}+x^{4}-x^{6}+\ldots }$発散する​${\displaystyle \vert x\vert \geq 1}$⁠ .

実数直線上の任意の開集合上の実解析関数は、複素平面上の任意の開集合上の複素解析関数に拡張できます。ただし、実数直線全体で定義されたすべての実解析関数が、複素平面全体で定義された複素関数に拡張できるわけではありません。関数⁠${\displaystyle f(x)}$上記の段落で定義されているは反例であり、 に対しては定義されていない。${\displaystyle x=\pm i}$⁠。これが、テイラー級数が⁠である理由を説明する。${\displaystyle f(x)}$発散する​${\displaystyle \vert x\vert >1}$つまり、収束半径は${\displaystyle 1}$なぜなら、複素化された関数は距離に極を持つからである。${\displaystyle 1}$評価の観点から${\displaystyle 0}$半径の開いた円盤内にはそれ以上の極はない${\displaystyle 1}$評価ポイント付近。

関数が解析的である場合${\displaystyle a}$すると、そのテイラー級数は、の開近傍で関数に収束する。${\displaystyle a}$より一般的には、任意の冪級数に対して $${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(xa)^{n},}$$ 数があります${\displaystyle R}$収束半径と呼ばれるもので、負でない任意の数値または${\displaystyle +\infty }$、べき級数が絶対収束する${\displaystyle |xa|<R}$そして分岐する${\displaystyle |xa|>R}$^{[ 8 ] [ 9 ]}したがって、テイラー級数が収束する場合、それは次の点を中心とする開区間で収束する。${\displaystyle a}$実際のケースでは、または中心が${\displaystyle a}$複素数の場合。^{[ 10 ] [ 11 ]}テイラー級数は、開区間または円盤の境界点の一部、すべて、またはどれにも絶対収束または条件収束する可能性があります。^{[ 12 ]}

複素解析において、ある点における正則関数の収束半径は、その点を中心とする最大の開円盤の半径であり、その円盤上では関数は正則性を保つ。多くの一般的なケースでは、これは複素平面における関数の最も近い特異点までの距離である。 ^{[ 13 ]}

これは、よく知られているテイラー級数の収束半径が異なる理由を説明しています。${\displaystyle e^{z}}$、${\displaystyle \sin z}$、 そして${\displaystyle \cos z}$これらは複素平面上に特異点を持たない整関数であるため、無限の収束半径を持つ。 ^{[ 14 ] [ 15 ]}対照的に、テイラー級数は${\displaystyle \log(1+z)}$その周り${\displaystyle z=0}$収束半径を持つ${\displaystyle 1}$最も近い特異点は${\displaystyle z=-1}$[ ^{16 ]​}

複素特異点は、実数直線上で滑らかな関数であっても収束半径を決定する可能性がある。例えば、 $${\displaystyle f(x)={\frac {1}{1+x^{2}}}}$$ すべてのリアルにとってスムーズです${\displaystyle x}$、そのテイラー級数の収束半径は${\displaystyle x=0}$は${\displaystyle 1}$なぜなら、対応する複素関数は${\displaystyle x=i}$そして${\displaystyle x=-i}$これらは複素単位円の点である。^{[ 17 ]}したがって、実数値関数であっても、複素特異点の役割は重要である。関数は実数全体で無限回微分可能であっても、収束半径が有限のテイラー級数を持つ可能性がある。これは、限界の障害が実軸上の滑らかさの失敗ではなく、対応する複素関数の特異点から生じる可能性があるためである。^{[ 18 ]}

べき級数は収束円盤の境界のすべての点で収束する可能性があるが、それでもその円盤を超えて正則に拡張できないことがある。たとえば、${\displaystyle \alpha >0}$が整数でない場合、二項級数は$${\displaystyle (1+z)^{\alpha }=\sum _{n=0}^{\infty }{\binom {\alpha }{n}}z^{n}}$$ 収束半径を持つ${\displaystyle R=1}$[ ^{19 ]}この級数は、境界点を含む閉じた単位円盤上のあらゆる場所で収束します。ただし、非整数の場合^、${\displaystyle \alpha }$関数${\displaystyle (1+z)^{\alpha }}$は、単一値正則関数として、のどの近傍にも拡張されない。${\displaystyle z=-1}$^{[ 20 ]}したがって、境界点における解析接続の障害${\displaystyle z=-1}$これはべき級数の収束の失敗でも、極や本質的特異点でもなく、解析接続の分岐である。実際には、${\displaystyle z=-1}$は関数の分岐点である。 ^{[ 21 ] [ 22 ]}これは、閉円盤上での収束が境界を超えた正則拡張可能性よりも弱いことを示している。

解析関数は局所的にべき級数で表現されるため、ある小さな領域における関数の値が、より広い領域における値を決定できる場合があります。このプロセスは解析接続と呼ばれます。ある領域におけるべき級数表現から始めて、それを用いて重なり合う領域における関数を定義し、定義域内の経路に沿ってこのプロセスを継続することができます。

解析接続は、連結領域上で存在する場合に一意となる。より正確には、連結開集合上の2つの解析関数が、空でない開部分集合上で一致する場合、あるいはより一般的には、その領域内に集積点を持つ集合上で一致する場合、それらの関数はその連結開集合上のあらゆる場所で一致する。これは恒等定理の一種である。

しかし、解析接続は必ずしもどこでも可能である必要はなく、また、一値である必要もありません。例えば、自然対数は、ある区間では局所的に解析的です。${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \{0\}}$しかし、閉じた経路を囲むように継続する${\displaystyle 0}$の整数倍だけ値を変える${\displaystyle 2\pi i}$このため、次のような領域では、対数の単一値分岐を定義できます。${\displaystyle \mathbb {C} \setminus (-\infty ,0]}$しかし、すべての${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \{0\}}$ディスク内の単一の解析関数を取り、その可能なすべての解析的接続を構成すると、一般にリーマン球面の開部分集合を覆うリーマン面が得られます。このようにして得られる大域的解析関数は、関数というよりは自然な層です。各芽は、あるディスク内の収束する冪級数ですが、複数の芽が互いに積み重ねられることがあります。^{[ 23 ]}

代数関数は、多価解析接続のもう一つの源泉となる。例えば、関数${\displaystyle f(z)={\sqrt {1-z}}}$は解析的であり、その分岐は${\displaystyle f(0)=1}$円盤内で収束するべき級数を持つ${\displaystyle |z|<1}$ループを囲むように続けることができます。${\displaystyle z=1}$しかし、1回のループの後には負の値に変化する。代数関数に関連付けられたリーマン面は、リーマン球面の有限分岐被覆である。

多くの特殊関数は、まず制限された領域におけるべき級数または積分式によって定義され、その後解析接続によって拡張されます。例えば、リーマンゼータ関数は、最初はディリクレ級数によって定義されます。$${\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}}$$ のために${\displaystyle \operatorname {Re} (s)>1}$しかし、複素平面への有理型接続を持ち、単一の単純極が にあります。${\displaystyle s=1}$。

複数の変数に関する解析関数は、それらの変数に関するべき級数を用いて定義することができる（べき級数を参照）。複数の変数に関する解析関数は、1つの変数に関する解析関数と共通する性質をいくつか持っている。しかし、特に複雑な解析関数においては、2つ以上の複素次元において、新しく興味深い現象が現れる。

• 複数の変数を持つ複素解析関数のゼロ集合は、空集合でない限り決して離散的ではない。これはハルトッグスの拡張定理によって証明できる。
• 単値関数の正則領域は、任意の（連結な）開集合から構成される。しかし、多変数複素関数においては、連結な開集合のうち、正則領域となるのは一部の集合のみである。正則領域の特徴付けは、擬凸性の概念につながる。

解析性に関する類似の概念は、他の完備値体上でも定式化できる。実数と複素数は、絶対値がアルキメデス的である最も代表的な2つの体である。解析関数は、 p進数などの非アルキメデス的局所体上でも定義できる。${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$および有限拡大体、形式的ローラン級数の体${\displaystyle \mathbb {F} _{q}((t))}$有限体上。^{[ 24 ]}

もし${\displaystyle K}$は完備値体であり、点の近傍上の関数である。${\displaystyle a\in K}$局所的に収束するべき級数で表される場合、それは解析的であると呼ばれる。 $${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(x-a)^{n}}$$ 係数は${\displaystyle K}$非アルキメデス的ケースでは、収束は超距離絶対値によって支配され、結果として得られる理論は実解析と複素解析の両方と大きく異なる。^{[ 25 ]}

例えば、${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}}$$p進整数 上の解析関数に収束する${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}=\{x\in \mathbb {Q} _{p}\mid |x|_{p}\leq 1\}}$かつその場合に限り $${\displaystyle |a_{n}|_{p}\to 0.}$$ 同様に、有限拡大体上の級数${\displaystyle K}$p進体の整数環への収束は、以下の条件を満たす場合に限ります。${\displaystyle |a_{n}|_{K}\to 0}$その理由は超距離基準です。${\displaystyle |x|_{K}\leq 1}$、 それから${\displaystyle |a_{n}x^{n}|\leq |a_{n}|}$超距離性とは、系列の任意の中間セグメントが以下を満たすことを意味する。 $${\displaystyle \left|\sum _{n=N}^{M}a_{n}x^{n}\right|_{K}\leq \max _{N\leq n\leq M}|a_{n}|.}$$

より一般的には、閉じた円盤上で $${\displaystyle a+\pi ^{m}{\mathcal {O}}_{K}=\{x:|x-a|\leq |\pi |^{m}\},}$$ 一連の $${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(x-a)^{n}}$$ その円盤上で収束するのは、 $${\displaystyle |b_{n}|\,|\pi |^{mn}\to 0.}$$ ここ${\displaystyle \pi }$は、${\displaystyle K|\mathbb {Q} _{p}}$。

非アルキメデス体上では、閉円盤上の解析関数の環は、係数が十分に速くゼロに収束するべき級数の代数であるテイト代数と関連している。この観点は、剛体解析幾何学やその他の非アルキメデス解析幾何学の形式において基本的である。^{[ 26 ]}

• コーシー・リーマン方程式
• 正則関数
• ペイリー・ウィーナーの定理
• 準解析関数
• 解析関数の無限合成
• 非解析的な滑らかな関数

• コンウェイ、ジョン・B. (1978). 1変数複素関数 I.大学院数学テキスト11 (第2 版). シュプリンガー・フェルラーク. ISBN 978-0-387-90328-6。
• クランツ、スティーブン；パークス、ハロルド・R. (2002).実解析関数入門（第2 版）. ビルクハウザー. ISBN 0-8176-4264-1。
• ガムリン、セオドア W. (2004)。複雑な分析。スプリンガー。ISBN 9788181281142。

• 「解析関数」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
• ワイススタイン、エリック W. 「解析関数」 . MathWorld .
• 長方形領域内にある複素解析関数のすべての零点を求めるソルバー（イワン・B・イワノフ著）