点（幾何学）

幾何学において、点とは、物理的空間における、大きさのない正確な位置の抽象的な理想化である^[1]、あるいはそれを他の種類の数学的空間に一般化したものである。0次元の物体である点は通常、1次元の曲線、2次元の面、およびより高次元の物体を構成する空間を構成する基本的な不可分な要素であると考えられる。逆に、点は、頂点またはコーナーと呼ばれる2つの曲線または3つの面の交点によって決定することができる。

古典的なユークリッド幾何学では、点は「部分を持たないもの」と定義される基本概念です。点やその他の基本概念は、他の概念によって定義されるのではなく、公理と呼ばれる、満たさなければならない特定の形式的特性によってのみ定義されます。たとえば、 「 2 つの異なる点を通過する直線は1 本だけ存在する」などです。物理的な図として、幾何学的図形は、コンパス、スクライバー、ペンなどのツールで作成されます。これらのツールの先端で、点を表す小さな点をマークしたり、小さな穴を開けたり、または表面に描いて曲線を表すことができます。

解析幾何学の出現以来、点は数値座標で定義または表現されることが多くなりました。現代数学では、点の空間は通常、集合、つまり点集合として扱われます。

孤立点とは、ある点のサブセットの要素であり、そのサブセットの他の点を含まない 近傍を持ちます。

ユークリッド幾何学の枠組みの中で考えてみると、点は最も基本的な物体の一つである。ユークリッドはもともと点を「部分のない物」と定義した。^[2] 2次元ユークリッド平面では、点は( x ,  y ) の順序付き数値ペアで表現され、最初の数値は慣例的に水平方向を表しxで示されることが多く、2番目の数値は慣例的に垂直方向を表しyで示されることが多い。この考え方は3次元ユークリッド空間に簡単に一般化でき、点は ( x ,  y ,  z ) の順序付き3つ組で表現され、さらに3番目の数値は深さを表しzで示されることが多い。さらに一般化すると、n項の順序付き組( a ₁ ,  a ₂ , … ,  a _n )で表現され、 n は点が位置する空間の次元である。 ^[3]

ユークリッド幾何学における多くの構成は、特定の公理に従う点の無限集合から成ります。これは通常、点の集合によって表されます。たとえば、線は、 c ₁からc _nおよびdが定数で、n が空間の次元である形式の点の無限集合です 。平面、線分、およびその他の関連概念を定義する同様の構成が存在します。^[4] 1 つの点のみからなる線分は、退化した線分と呼ばれます。^[要出典]$${\displaystyle L=\lbrace (a_{1},a_{2},...a_{n})\mid a_{1}c_{1}+a_{2}c_{2}+...a_{n}c_{n}=d\rbrace ,}$$

点と点に関連する構成の定義に加えて、ユークリッドは点に関する重要な考え、つまり任意の 2 点は直線で結ばれるという考え方を提唱した。^[5]これはユークリッド幾何学の近代的拡張によって容易に確認でき、導入時に永続的な影響を及ぼし、当時知られていたほぼすべての幾何学的概念の構築を可能にした。しかし、ユークリッドの点の提唱は完全でも決定的でもなかったため、直線上の点の順序や特定の点の存在など、彼の公理から直接導かれない点に関する事実を仮定することもあった。それにもかかわらず、この体系の近代的拡張はこれらの仮定を取り除くのに役立つ。^[6]

数学には、次元に関して同等でない定義がいくつかあります。一般的な定義のすべてにおいて、点は 0 次元です。

ベクトル空間の次元は、線形独立な部分集合の最大サイズです。単一の点 (ゼロベクトル0でなければなりません) からなるベクトル空間には、線形独立な部分集合は存在しません。ゼロベクトル自体は線形独立ではありません。なぜなら、それをゼロにする非自明な線形結合があるからです。 ${\displaystyle 1\cdot \mathbf {0} =\mathbf {0} }$

位相空間の位相次元は、 の任意の有限開被覆が の有限開被覆を許容し、その開被覆の細分化において、どの点もn +1 個を超える要素に含まれないようなnの最小値として定義されます。このような最小のn が存在しない場合は、空間は無限被覆次元であると言われます。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

空間のすべての開被覆には単一の開集合からなる細分化が存在するため、点は被覆次元に関して 0 次元です。

X を距離空間とする。S ⊂ Xかつd ∈ [0, ∞)ならば、Sのd次元ハウスドルフ内容は、各i ∈ Iに対してr _i > 0でS を覆う球の (インデックス付き) 集合が存在するような数δ ≥ 0の最小値である。 ${\displaystyle \{B(x_{i},r_{i}):i\in I\}}$$${\displaystyle \sum _{i\in I}r_{i}^{d}<\delta .}$$

Xのハウスドルフ次元は次のように定義される 。$${\displaystyle \operatorname {dim} _{\operatorname {H} }(X):=\inf\{d\geq 0:C_{H}^{d}(X)=0\}.}$$

点は、任意の小さな半径を持つ単一の球で覆うことができるため、ハウスドルフ次元は 0 になります。

点の概念は、主流の幾何学や位相幾何学において一般的に基本的なものと考えられているが、非可換幾何学や無点位相幾何学など、点の概念を省いた体系もいくつかある。「無点」または「点なし」空間は、集合として定義されるのではなく、集合上のよく知られた関数空間、つまり連続関数の代数または集合の代数に似た何らかの構造（それぞれ代数的または論理的）を介して定義される。より正確には、そのような構造は、よく知られた関数空間を一般化して、「この点で値を取る」という操作が定義されない可能性がある。^[7]さらなる伝統は、AN Whiteheadのいくつかの書籍から始まり、その中で領域の概念は、包含または接続の概念とともにプリミティブであると想定されている。^[8]

物理学や数学では、点が非ゼロの質量や電荷を持つと考えると便利なことがよくある（これは特に、電子が非ゼロの電荷を持つ点として理想化される古典的電磁気学で一般的である）。ディラックのデルタ関数（δ関数）は、（非公式には）実数直線上の一般化された関数であり、ゼロ以外のすべての点でゼロで、実数直線全体にわたって積分すると1になる。 ^[9]デルタ関数は、原点における無限に高く、無限に細いスパイクで、スパイクの下の全面積が1であると考えられることもあり、物理的には理想的な点質量または点電荷を表す。^{[10]これは理論物理学者}ポール・ディラックによって導入された。信号処理の文脈では、単位インパルス記号（または関数）と呼ばれることが多い。 ^[11]離散的な類似物はクロネッカーのデルタ関数で、通常は有限領域で定義され、0と1の値を取る。

ウィキメディア・コモンズには、点 (数学)に関連するメディアがあります。

• 「ポイント」。PlanetMath 。
• ワイスタイン、エリック・W.「ポイント」。マスワールド。