単純なグループ

環状群${\displaystyle G=(\mathbb {Z} /3\mathbb {Z} ,+)=\mathbb {Z} _{3}}$3を法とする合同類 ( モジュラー算術を参照) は単純です。${\displaystyle H}$は、この群の部分群であり、その位数（要素の数）は、の位数の約数でなければならない。${\displaystyle G}$つまり3です。3は素数なので、約数は1と3だけです。${\displaystyle H}$は${\displaystyle G}$、 または${\displaystyle H}$は自明な群である。一方、群は${\displaystyle G=(\mathbb {Z} /12\mathbb {Z} ,+)=\mathbb {Z} _{12}}$単純ではない。${\displaystyle H}$0、4、8 を法 12 とする合同類の群は位数 3 の部分群であり、アーベル群の任意の部分群は正規部分群であるため、正規部分群である。同様に、整数の加法群は${\displaystyle (\mathbb {Z} ,+)}$単純ではない。偶数の集合は非自明な真正規部分群である。^{[ 1 ]}

同様の推論を任意のアーベル群に適用すれば、単純アーベル群は素数位数の巡回群のみであると推論できる。非アーベル単純群の分類ははるかに複雑である。最小の非アーベル単純群は交代群である。${\displaystyle A_{5}}$位数60の群であり、位数60のすべての単純群は、${\displaystyle A_{5}}$[ ^{2 ]} 2番目に小さい非可換単純群は位数168の射影特殊線形群PSL(2,7)^であり、位数168のすべての単純群はPSL(2,7)と同型である。^{[ 3 ] [ 4 ]}

無限交代群${\displaystyle A_{\infty }}$すなわち、整数の偶数個の有限個のサポートを持つ順列の群は単純群である。この群は、有限単純群の増加和として表すことができる。${\displaystyle A_{n}}$標準的な埋め込みに関して${\displaystyle A_{n}\rightarrow A_{n+1}}$無限単純群の別の例の族は、${\displaystyle PSL_{n}(F)}$、 どこ${\displaystyle F}$は無限の場であり、${\displaystyle n\geq 2}$。

有限生成無限単純群を構成することははるかに困難である。最初の存在結果は明示的ではなく、グラハム・ヒグマンによるもので、ヒグマン群の単純商群から成る。^{[ 5 ]}有限に表現できる明示的な例としては、無限トンプソン群などが挙げられる。${\displaystyle T}$そして${\displaystyle V}$有限表示可能なねじれのない無限単純群は、BurgerとMozesによって構築された。^{[ 6 ]}

有限単純群は、ある意味で全ての有限群の「基本構成要素」であるため重要です。これは、素数が整数の基本構成要素であるのとやや似ています。これは、ジョルダン・ヘルダーの定理によって表現され、与えられた群の任意の2つの合成列は、置換と同型を除いて 、同じ長さと因子を持つことを示しています。大規模な共同作業により、有限単純群の分類は1983年にダニエル・ゴレンシュタインによって完了したと宣言されましたが、いくつかの問題が浮上しました（特に準単純群の分類において、2004年に解決されました）。

簡単に言うと、有限単純群は18の族のいずれかに属するか、26の例外のいずれかに分類されます。

• ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$–素数の巡回群
• ${\displaystyle A_{n}}$–交互のグループ${\displaystyle n\geq 5}$

  交代群は、この族と次の族を結びつける1つの要素を持つ体上のリー型群とみなすことができ、したがって、非可換有限単純群のすべての族はリー型であるとみなすことができる。

• リー型群またはその派生群 の16のファミリーのうちの1つ

  ティッツ群は一般的にこの形式であると考えられているが、厳密に言えばそれはリー型ではなく、リー型群のインデックス2である。

• 26の例外のうちの1つである散発的グループのうち、20はモンスターグループのサブグループまたはサブクォーシェントであり、「ハッピーファミリー」と呼ばれ、残りの6はパリアと呼ばれています。

単純群は、少なくとも初期のガロア理論以来研究されてきた。エヴァリスト・ガロアは、 5 点以上の交代群が単純である（したがって解けない）という事実に気づき、1831 年にそれを証明したが、これが根号で 5 次式を解けない理由である。ガロアはまた、素数有限体上の平面の射影特殊線形群PSL(2, p )を構成し、 pが 2 または 3 ではない場合に単純であると指摘した。これは、シュヴァリエへの最後の手紙^{[ 10 ]}に含まれており、次の有限単純群の例である^{[ 11 ] 。}

次の発見は1870年にカミーユ・ジョルダンによってなされた。 ^{[ 12 ]}ジョルダンは素数位数の有限体上の単純行列群の4つの族を発見しており、これらは現在古典群として知られている。

ほぼ同時期に、マチュー群と呼ばれる5つの群の族が単純であることが示されました。これらの群は、1861年と1873年にエミール・レオナール・マチューによって初めて記述されました。これらの5つの群は、無限の可能性を生み出す方法ではない方法で構築されたため、ウィリアム・バーンサイドは1897年の教科書でこれらを「散発的」と呼びました。

後に、ジョーダンの古典群に関する結果は、ヴィルヘルム・キリングによる複素単純リー代数の分類に従って、レナード・ディクソンによって任意の有限体に一般化された。ディクソンはまた、G ₂型およびE _{6型の例外群も構成したが、F 4 型}、E ₇型、または E ₈型は構成しなかった( Wilson 2009 、p. 2)。1950 年代には、リー型群の研究が続けられ、クロード・シュヴァレーは 1955 年の論文で古典群と例外型群の統一的な構成を与えた。これは、シュヴァレー構成を「ねじる」ことによって得られた特定の既知の群 (射影ユニタリ群) を省略した。残りのリー型群は、スタインバーグ、ティッツ、ヘルツィヒ ( ³ D ₄ ( q ) および² E ₆ ( q ) を作成した) と鈴木とリー (鈴木-リー群) によって作成された。 

これらの群（リー型の群、巡回群、交代群、および 5 つの例外的なマチュー群）は完全なリストであると考えられていましたが、マチューの研究以来ほぼ 1 世紀の停滞の後、1964 年に最初のヤンコ群が発見され、残りの 20 個の散在群が 1965 ～ 1975 年にかけて発見または予想され、1981 年にロバート グリースがベルント フィッシャーの「モンスター群」を構築したと発表したことで頂点に達しました。モンスターは、位数が 808,017,424,794,512,875,886,459,904,961,710,757,005,754,368,000,000,000 である最大の散在単純群です。モンスターは、196,884次元のグリース代数において、忠実な196,883次元表現を持ちます。つまり、モンスターの各要素は、196,883×196,883の行列として表現できます。

完全な分類は、一般的に1962年から1963年のフェイト＝トンプソン定理から始まり、2004年に完了したとされている。

1981年にモンスターが構築された直後、1983年にダニエル・ゴレンシュタインによって、1万ページを超える証明が提出され、すべての有限単純群を列挙することに成功したと主張された。しかし、これは時期尚早であり、後に準単純群の分類に欠落が発見された。これらの欠落は2004年に1300ページに及ぶ準単純群の分類によって埋められ、現在ではこの証明は一般的に完全なものとして受け入れられている。

• Knapp, Anthony W. (2006), Basic algebra , Springer, ISBN 978-0-8176-3248-9
• ロトマン、ジョセフ・J. (1995)、『群論入門』、大学院数学テキスト、第 148巻、シュプリンガー、ISBN 978-0-387-94285-8
• スミス、ジェフ、タバチニコワ、オルガ (2000)、『群論のトピックス』、シュプリンガー大学学部数学シリーズ（第2 版）、シュプリンガー、ISBN 978-1-85233-235-8