数字とゲームについて

数字とゲームについて

初版
著者	ジョン・ホートン・コンウェイ
言語	英語
ジャンル	数学
出版社	アカデミックプレス社
出版地	アメリカ合衆国
メディアタイプ	印刷
ページ	238ページ。
番号	0-12-186350-6

数とゲームについて（On Numbers and Games）は、ジョン・ホートン・コンウェイが1976年に初めて出版した数学書である^{。 [1]}この本は著名な数学者によって書かれ、他の数学者に向けたものである。しかし、内容は遊び心があり気取らない方法で展開されており、多くの章は数学者でない人にも理解しやすい。 マーティン・ガードナーは、 1976年9月のサイエンティフィック・アメリカン誌の「数学ゲーム」コラムで、この本、特にコンウェイの超実数の構成について長々と論じた。 ^[2]

この本は、大まかに言って 2 つのセクションに分かれています。前半 (または第 0 部)は数について、後半 (または第 1 部) はゲームについてです。第 0 部では、コンウェイは算術の公理、つまり加算、減算、乗算、除算、不等式を示しています。これにより、整数、実数、可算な無限大、無限順序数の塔全体など、数と順序数の算術の公理的な構成が可能になります。これらの公理が適用されるオブジェクトは、{L|R} という形式を取り、これは特殊な種類の集合、つまり 2 面集合の一種として解釈できます。L<R であると主張することで、この 2 面集合はデデキント切断に似ています。結果として得られる構成により、現在では超実数と呼ばれる体が生成されます。順序数はこの体に埋め込まれます。この構成は公理的集合論に根ざしており、ツェルメロ・フランケル公理​​と密接に関連している。原著では、コンウェイはこの分野を単に「数」と呼んでいる。後にドナルド・クヌースの提案により、 「超実数」という用語が採用された。

第 1 部で、コンウェイは、L<R という制約を削除することで、公理は依然として適用され、構成は成立するが、結果として得られるオブジェクトはもはや数値として解釈できないことを指摘しています。これらは、すべての 2 人用ゲームのクラスとして解釈できます。より大きいとより小さいの公理は、2 人のプレーヤーのうちどちらが勝つかに対応する、ゲームの自然な順序付けであると考えられます。本の残りの部分は、 nim 、 hackenbush 、地図を色付けするゲームの colとsnortなど、さまざまな (非伝統的で数学に触発された) 2 人用ゲームの探求に費やされています。展開には、スコアリング、 Sprague–Grundy の定理のレビュー、および数値との相互関係(無限小との関係を含む) が含まれます。

この本は、1976年にAcademic PressからISBN 0-12-186350-6として最初に出版され、第2版は2001年にAK Petersからリリースされました（ ISBN 1-56881-127-6）。   

第 0 部、第 0 章で、コンウェイは集合表記の特殊な形式を導入します。これは {L|R} という形式です。ここで、L と R もこの形式であり、再帰的に構築され、{|} で終わります。これは空集合の類似物として読み取られます。このオブジェクトが与えられれば、加算、減算、乗算、除算、不等式の公理的な定義を与えることができます。L<R であると主張する限り (これは、L または R が空集合のときに空虚に真になります)、結果として得られるオブジェクトのクラスは数、つまり超実数として解釈できます。この場合、{L|R} 表記はデデキント切断に似ています。

順序数は超限帰納法によって構築されます。従来の順序数と同様に、を定義できます。減算の公理的定義のおかげで、も首尾一貫して定義できます。つまり、 は より小さく、"明らかな" 等式に従います。それでも、どの自然数よりも大きいです。 ${\displaystyle \omega}$${\displaystyle \omega +1}$${\displaystyle \omega -1}$${\displaystyle \omega}$${\displaystyle (\omega -1)+1=\omega .}$

この構成により、体 を形成する特異数、超実数の完全な動物園が可能になります。例としては、、、などが挙げられます。 ${\displaystyle \omega /2}$${\displaystyle 1/\omega }$${\displaystyle {\sqrt {\omega }}=\omega ^{1/2}}$${\displaystyle \omega ^{1/\omega }}$

第 1 部では、Conway は L<R という制約を放棄し、形式 {L|R} を 2 人用ゲーム、つまり 2 人のプレーヤー、LeftとRight の間の競争における位置として解釈します。各プレーヤーには、順番に選択するオプションと呼ばれるゲームセットがあります。ゲームは {L|R} と表記されます。ここで、L はLeft のオプションセット、R はRight のオプションセットです。^[3]最初はゲームがまったく存在しないため、空セット(つまり、メンバーがないセット) がプレーヤーに提供できる唯一のオプション セットです。これがゲーム {|} を定義し、0と呼ばれます。ターンをプレイする必要があるがオプションを持たないプレーヤーはゲームに負けたと見なします。このゲーム 0 を考えると、空セットと唯一の要素が 0 であるセットの 2 つのオプション セットが存在することになります。ゲーム {0|} は 1 と呼ばれ、ゲーム {|0} は -1 と呼ばれます。ゲーム {0|0} は* (星)と呼ばれ、数字ではない最初のゲームです。

すべての数字は正、負、ゼロのいずれかであり、左のプレイヤーが勝利戦略を持っている場合はゲームが正、右のプレイヤーが勝利戦略を持っている場合は負、2番目のプレイヤーが勝利戦略を持っている場合はゼロであると言います。数字ではないゲームには4番目の可能性があります。それは、最初のプレイヤーが勝利戦略を持っていることを意味するファジーゲームである可能性があります。* はファジーゲームです。^[4]

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