開写像定理（関数解析）

関数解析において、開写像定理（バナッハ・シャウダー定理またはバナッハ定理^{[ 1 ]}とも呼ばれる）（シュテファン・バナッハとユリウス・シャウダーにちなんで命名）は、バナッハ空間間の有界または連続線形作用素が全射であれば、それは開写像であると述べる基本的な結果である。

特殊なケースとして、有界逆定理（逆写像定理またはバナッハ同型定理とも呼ばれる）があり、これは全単射有界線形演算子が${\displaystyle T}$あるバナッハ空間から別のバナッハ空間への逆関数は有界である$\displaystyle T^{-1}}$。

ここでの証明はベールのカテゴリー定理と両方の完全性を使用しています${\displaystyle E}$そして${\displaystyle F}$は定理に不可欠です。どちらかの空間がノルムベクトル空間のみであると仮定すると、定理の記述はもはや真ではありません。§ 反例を参照してください。

証明は、それ自体も興味深い以下の補題に基づいている。線形写像${\displaystyle f:E\to F}$位相ベクトル空間間の は、各近傍に対して、${\displaystyle U}$ゼロの閉包${\displaystyle {\overline {f(U)}}}$ゼロの近傍を含む。次の補題は、開写像定理の弱いバージョンと考えることができる。

証明：縮小${\displaystyle U}$我々は、${\displaystyle U}$は、ゼロを中心とする開いた球です。${\displaystyle f(E)=f\left(\bigcup _{n\in \mathbb {N} }nU\right)=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }f(nU)}$したがって、${\displaystyle {\overline {f(nU)}}}$内部点を含む${\displaystyle y}$つまり、ある半径に対して${\displaystyle r>0}$、

${\displaystyle B(y,r)\subset {\overline {f(nU)}}.}$

そして、どんな${\displaystyle v}$で${\displaystyle F}$と${\displaystyle \|v\|<r}$線形性、凸性、${\displaystyle (-1)U\サブセット U}$、

${\displaystyle v=v-y+y\in {\overline {f(-nU)}}+{\overline {f(nU)}}\subset {\overline {f(2nU)}}}$、

これは、で割ることによって補題を証明する。${\displaystyle 2n}$。${\displaystyle \square }$（同じ証明が以下の場合にも有効です）${\displaystyle E,F}$（フレシェ以前の空間である。）

ドメインの完全性により、ほぼオープンな状態からオープンな状態へのアップグレードが可能になります。

証明:${\displaystyle y}$いる${\displaystyle B(0,\delta )}$そして${\displaystyle c_{n}>0}$何らかのシーケンス。以下がそれに該当します。${\displaystyle {\overline {B(0,\delta )}}\subset {\overline {f(B(0,1))}}}$したがって、各${\displaystyle \epsilon >0}$そして${\displaystyle z}$で${\displaystyle F}$見つけることができる${\displaystyle x}$と${\displaystyle \|x\|<\delta ^{-1}\|z\|}$そして${\displaystyle z}$で${\displaystyle B(f(x),\epsilon )}$したがって、${\displaystyle z=y}$すると、${\displaystyle x_{1}}$そのため

${\displaystyle \|yf(x_{1})\|<c_{1},\,\|x_{1}\|<\delta ^{-1}\|y\|.}$

同じ議論を適用すると${\displaystyle z=yf(x_{1})}$すると、${\displaystyle x_{2}}$そのため

$\displaystyle \|yf(x_{1})-f(x_{2})\|<c_{2},\,\|x_{2}\|<\delta ^{-1}c_{1}}$

我々が観察したところ${\displaystyle \|x_{2}\|<\delta ^{-1}\|z\|<\delta ^{-1}c_{1}}$などなど。したがって、${\displaystyle c:=\sum c_{n}<\infty }$配列が見つかりました${\displaystyle x_{n}}$そのため${\displaystyle x=\sum _{1}^{\infty }x_{n}}$収束し、${\displaystyle f(x)=y}$。 また、

${\displaystyle \|x\|\leq \sum _{1}^{\infty }\|x_{n}\|\leq \delta ^{-1}\|y\|+\delta ^{-1}c.}$

以来${\displaystyle \delta ^{-1}\|y\|<1}$作成することによって${\displaystyle c}$十分に小さいので、${\displaystyle \|x\|<1}$。${\displaystyle \square }$（ここでも同じ証明が有効です）${\displaystyle E,F}$（フレシェ以前の空間である。）

定理の証明：ベールのカテゴリー定理により、第一の補題が成り立つ。そして、第二の補題から定理の結論が導かれる。${\displaystyle \square }$

一般に、位相空間間の連続全単射は必ずしも同相写像ではない。開写像定理が適用される場合、全単射性だけで十分である。

上記の有界逆定理は開写像定理の特殊な場合であるが、開写像定理はそこから導かれる。実際、全射連続線形作用素は${\displaystyle T:E\to F}$要因として

${\displaystyle T:E{\overset {p}{\to }}E/\operatorname {ker} T{\overset {T_{0}}{\to }}F.}$

ここ、${\displaystyle T_{0}}$は連続かつ全単射であるため、有界逆写像定理により同相写像である。特に、これは開写像である。位相群の商写像は開写像であるため、${\displaystyle T}$その時は開いています。

開写像定理と有界逆写像定理は本質的に同じ結果であるため、これらはしばしば単にバナッハの定理と呼ばれます。

開写像定理は、完備でないノルム空間では成り立たない可能性がある。これを最も簡単に理解する方法は、開写像定理の帰結である閉グラフ定理が、完備性なしでは成り立たないことに注目することである。しかし、より具体的な反例を以下に示す。空間 を考えてみよう。${\displaystyle X}$配列の${\displaystyle x:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {R} }$上限ノルムを備えた有限個の非ゼロ項のみを持つ写像。${\displaystyle T:X\rightarrow X}$定義される

$${\displaystyle Tx=\left(x_{1},{\frac {x_{2}}{2}},{\frac {x_{3}}{3}},\dots \right)}$$

有界で線形かつ可逆であるが、${\displaystyle T^{-1}}$は有界ではない。これは有界逆関数定理と矛盾しない。${\displaystyle X}$は完備ではないため、バナッハ空間ではない。完備でないことを示すために、シーケンスのシーケンスを考えてみよう。${\displaystyle x^{(n)}\in X}$によって与えられた

$${\displaystyle x^{(n)}=\left(1,{\frac {1}{2}},\dots ,{\frac {1}{n}},0,0,\dots \right)}$$

収束する${\displaystyle n\rightarrow \infty }$シーケンスへ${\displaystyle x^{(\infty )}}$によって与えられた

$${\displaystyle x^{(\infty )}=\left(1,{\frac {1}{2}},\dots ,{\frac {1}{n}},\dots \right),}$$

すべての項がゼロではないため、${\displaystyle X}$。

完成${\displaystyle X}$空間は${\displaystyle c_{0}}$ゼロに収束するすべての数列のうち、これはℓ ^p空間の（閉じた）部分空間である。${\displaystyle \ell ^{\infty }(\mathbb {N} )}$これは、すべての有界シーケンスの空間です。ただし、この場合、マップは${\displaystyle T}$これは全射ではないので、全単射ではない。これを確認するには、数列が

$${\displaystyle x=\left(1,{\frac {1}{2}},{\frac {1}{3}},\dots \right),}$$

は${\displaystyle c_{0}}$しかし、範囲外です${\displaystyle T:c_{0}\to c_{0}}$同じ論理は、${\displaystyle T}$また、${\displaystyle \ell ^{\infty }}$、 例えば${\displaystyle x=\left(1,1,1,\dots \right)}$範囲外${\displaystyle T}$。

定義域が完備（または値域が完備）であっても、開写像定理は両方の空間が完備であることを要求します。これを確認するには、空間からの恒等写像を考えてみましょう。${\displaystyle Y}$空間への 1-ノルムを持つ絶対総和可能数列 (つまり、有限の 1-ノルムを持つ数列)${\displaystyle Y}$上限ノルムを持つ。この写像はノルム減少なので有界であるが、開集合ではない。定義域が完備であることも確認するために、${\displaystyle (Z,\|\cdot \|)}$不連続な線形関数を持つバナッハ空間である${\displaystyle f}$それについて。それから。${\displaystyle (Z,\|\cdot \|+|f(\cdot )|)}$は不完全なノルム空間であり、 からの恒等写像は${\displaystyle (Z,\|\cdot \|+|f(\cdot )|)}$に${\displaystyle (Z,\|\cdot \|)}$これはノルム減少（したがって有界）写像であり、開写像ではない。

開写像定理には、いくつかの重要な帰結がある。

• もし${\displaystyle T:X\to Y}$はバナッハ空間間の全単射連続線形作用素である。${\displaystyle X}$そして${\displaystyle Y,}$すると逆演算子${\displaystyle T^{-1}:Y\to X}$も連続である（これは有界逆関数定理と呼ばれる）。^{[ 10 ]}
• もし${\displaystyle T:X\to Y}$はバナッハ空間間の線形作用素である。${\displaystyle X}$そして${\displaystyle Y,}$そして、すべてのシーケンスについて${\displaystyle \left(x_{n}\right)}$で${\displaystyle X}$と${\displaystyle x_{n}\to 0}$そして${\displaystyle Tx_{n}\to y}$したがって、${\displaystyle y=0,}$それから${\displaystyle T}$連続である（閉グラフ定理）。^{[ 11 ]}
• 有界作用素が与えられた場合${\displaystyle T:E\to F}$ノルム空間の間で、${\displaystyle T}$少なくなく、もし${\displaystyle E}$完了したら、${\displaystyle T}$は開放かつ全射であり、${\displaystyle F}$完了している（これを確認するには、定理の証明にある 2 つの補題を使用してください）。^{[ 12 ]}
• バナッハ空間（またはより一般的にはフレシェ空間）の完全列は位相的に完全である。
• 閉範囲定理とは、（ある仮定の下で）演算子が閉像を持つのは、その転置演算子が閉像を持つ場合かつその場合に限る、という定理である（閉範囲定理#証明の概略を参照）。

開写像定理は、連続全射線形作用素が連続線形切断を持つことを意味しません。我々が持っているのは次のことです。^{[ 9 ]}

• バナッハ空間間の全射連続線形作用素が連続線形切断を持つのは、核が位相的に補完されている場合に限る。

特に、上記はヒルベルト空間間の作用素または有限次元核を持つ作用素に適用される（ハーン・バナッハの定理による）。切断が線形であるという要件を取り除けば、バナッハ空間間の全射連続線形作用素は連続切断を許容する。これがバートル・グレイブスの定理である。^{[ 13 ] [ 14 ]}

局所凸性${\displaystyle X}$または${\displaystyle Y}$ は証明に必須ではないが、完全性は必須である。定理は、次の場合にも真である。${\displaystyle X}$そして${\displaystyle Y}$これらはF空間である。さらに、この定理はベールのカテゴリー定理と次のように組み合わせることができる。

（証明は基本的にバナッハやフレシェの場合と同じですが、凸性を用いないように証明を若干修正します。）

さらに、後者の場合、${\displaystyle N}$は核心です${\displaystyle A,}$すると、${\displaystyle A}$形式で $${\displaystyle X\to X/N{\overset {\alpha }{\to }}Y}$$ どこ${\displaystyle X/N}$は、​${\displaystyle X}$閉じた部分空間によって${\displaystyle N.}$ 商マッピング${\displaystyle X\to X/N}$開いており、マッピング${\displaystyle \alpha }$位相ベクトル空間の同型写像である。^{[ 16 ]}

この定理の重要な特殊ケースは次のように述べることもできる。

一方、最初の定式化を含意する、より一般的な定式化も以下のように示すことができる。

ほぼ開いた線形地図

線形マップ${\displaystyle A:X\to Y}$2 つの位相ベクトル空間 (TVS) 間の関係は、ほぼオープンマップ（または、ほぼオープンマップ）各近隣地域について${\displaystyle U}$領域内の原点の、その像の閉包${\displaystyle \operatorname {cl} A(U)}$は、${\displaystyle Y.}$^{[ 18 ]} 多くの著者は、「ほぼ/ほぼ開いたマップ」の異なる定義を使用しており、${\displaystyle A(U)}$起源の近隣である${\displaystyle A(X)}$ではなく${\displaystyle Y,}$^{[ 18 ]}しかし、全射写像の場合、これらの定義は同等です。全単射線形写像は、その逆写像が連続である場合に限り、ほぼ開写像です^{。 [ 18 ]}局所凸TVS樽型TVSへの すべての全射線形写像ほぼ開。 ^{[ 19 ]} TVSからベールへのすべての全射線形写像についても同様です。 ^{[ 19 ]}

ウェブ空間とは、開写像定理と閉グラフ定理が成り立つ位相ベクトル空間の一種である。

• 閉じたグラフ– トポロジーにおける関数の特性リダイレクト先の簡単な説明を表示するページ 
• 閉グラフ定理– グラフの連続性に関する定理 
• 閉グラフ定理（関数解析）– グラフの連続性と閉包性を結びつける定理 
• 開写像定理（複素解析）－正則関数に関する定理 
• フレシェ空間の射影― 射影性の特性 
• ウルセスクの定理― 閉グラフ、開写像、および一様有界性定理の一般化 
• 網状空間– 開写像定理と閉グラフ定理が成り立つ空間 

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この記事は、 PlanetMathに掲載されている Proof of open mapping theorem の資料を組み込んでおり、Creative Commons Attribution-Share-Alike Licenseの下でライセンスされています。

• 「バナッハ空間の複体が縮約アーベル群と完全に一致するのはどのような場合か？」 MathOverflow 2021年2月6日