順序数に基づく論理体系

順序数に基づく論理体系は、数学者アラン・チューリングの博士論文である。 ^{[ 1 ]}

この論文はプリンストン大学でアロンゾ・チャーチの指導のもと完成し、順序論理の概念を導入した数学の古典的名著となった。^{[ 2 ]}

この論文は、ゲーデルの定理以降の形式数学体系の探求である。ゲーデルは、算術を表現するのに十分な力を持つ任意の形式体系Sに対して、真であるが体系では証明できない 定理Gが存在することを示した。Gは証明の代わりに体系に追加の公理として加えることができる。しかし、これによって証明不可能な真の定理G'を持つ新しい体系S'が生成され、以下同様となる。チューリングの論文は、このプロセスを単純に繰り返して元の理論に追加するための無限の新しい公理の集合を生成した場合に何が起こるかを考察し、さらに一歩進んで超限再帰を使用して「無限を超えて」進み、各順序数αに対応する新しい理論の集合Gα_を生成する。

チューリングの論文は、新しいタイプの形式論理に関するものではなく、また、相対的な真偽に基づいて真理状態を比較できる、順序数や相対数から派生したいわゆる「ランク付き論理」システムにも関心を持っていなかった。むしろ、チューリングはカントールの無限の方法を用いてゲーデルの不完全性条件を解決する可能性を研究したのである。

マーティン・デイビスは、チューリングによる計算オラクルの使用は博士論文の主要な焦点ではないものの、多項式時間階層など、理論計算機科学において非常に大きな影響力を持っていると述べている。^{[ 3 ]}

「ファクシミリ」(PDF)。シーリー・G・マッド写本図書館、プリンストン、ニュージャージー州: webspace.princeton.edu – archive.org経由。

「転記」（PDF）。 www.dcc.fc.up.pt - Departamento de Ciência de Computadores Faculdade de Ciências da Universidade do Porto:ポルト大学。

• https://rauterberg.employee.id.tue.nl/lecturenotes/DDM110%20CAS/Turing/Turing-1939%20Sysyems%20of%20logic%20based%20on%20ordinals.pdf
• 「チューリングのプリンストン大学博士論文」。プリンストン大学出版局。2012年1月10日取得。
• Solomon Feferman (2006年11月)、「チューリングのテーゼ」(PDF)、Notices of the AMS、53 (10)
• チューリング、アラン (1938)。「順序数に基づく論理体系」。ロンドン数学会紀要。s2-45 (1)。プリンストン大学。doi : 10.1112 /plms/s2-45.1.161。hdl : 21.11116 /0000-0001-91CE - 3。ProQuest 301792588。