ガウス和

代数的整数論において、ガウス和またはガウス和は、 1の根の有限和の一種であり、典型的には

${\displaystyle G(\chi ):=G(\chi ,\psi )=\sum \chi (r)\cdot \psi (r)}$

ここで、和は有限可換環Rの要素rに関するものであり、ψは加法群R ⁺から単位円への群準同型であり、χは単位群R ^×から単位円への群準同型であり、非単位rに拡張され、その値は 0 となる。ガウス和は有限体におけるガンマ関数の類似物である。^{[ 1 ]} 

このような和は数論において遍在する。例えば、ディリクレL関数の関数方程式に現れる。ディリクレ指標χに対して、L ( s , χ )とL (1  − s , χ  ) (ここでχはχの複素共役)の関係式には、ある因子が含まれる。

${\displaystyle {\frac {G(\chi )}{|G(\chi )|}}.}$

カール・フリードリヒ・ガウスが最初に検討したのは、Rを素数pを法とする剰余体、χ をルジャンドル記号とする二次ガウス和でした。この場合、ガウスは、p がそれぞれ 4 を法として1 または 3 に合同な場合、G ( χ ) = p ^{1 ⁄ 2}または ip ^{1 ⁄ 2}であることを証明しました (二次ガウス和は、フーリエ解析や経路積分によっても評価できます)。

このガウス和の別の形式は次のとおりです。

${\displaystyle \sum e^{2\pi ir^{2}/p}}$。

二次ガウス和は、シータ関数の理論と密接に関連している。

ガウス和の一般理論は、19世紀初頭にヤコビ和と円分体におけるそれらの素因数分解を用いて発展した。整数剰余環（法N）上のガウス和は、ガウス周期と呼ばれる密接に関連した和の線形結合である。

ガウス和の絶対値は、通常、有限群に対するプランシュレルの定理の適用として求められます。Rがp個の要素を持つ体であり、 χが非自明な場合、絶対値はp ^{1 ⁄ 2}です。ガウスの二次の場合の結果に倣って、一般のガウス和の正確な値を決定することは、長年の課題です。いくつかのケースについては、クンマー和を参照してください。

ディリクレ指標のガウス和（法N）は

${\displaystyle G(\chi )=\sum _{a=1}^{N}\chi (a)e^{2\pi ia/N}.}$

χも原始的である場合、

${\displaystyle |G(\chi )|={\sqrt {N}},}$

特に、それはゼロではない。より一般的に、N ₀がχの導手であり、χ ₀がχを誘導するN ₀を法とする原始ディリクレ指標である場合、 χのガウス和はχ ₀のガウス和と次の関係にある。

${\displaystyle G(\chi )=\mu \left({\frac {N}{N_{0}}}\right)\chi _{0}\left({\frac {N}{N_{0}}}\right)G\left(\chi _{0}\right)}$

ここでμはメビウス関数_である。したがって、G ( χ )は、N / N0が平方因子を持たず、_N0と互いに素である場合に限り、ゼロではない。^{[ 2 ]}

G ( χ )と他の指標のガウス和との間のその他の関係には、

${\displaystyle G({\overline {\chi }})=\chi (-1){\overline {G(\chi )}},}$

ここで、χは複素共役ディリクレ指標であり、χ ′がN ′を法とするディリクレ指標で、NとN ′が互いに素である場合、

${\displaystyle G\left(\chi \chi ^{\prime }\right)=\chi \left(N^{\prime }\right)\chi ^{\prime }(N)G(\chi )G\left(\chi ^{\prime }\right).}$

χとχ 'が同じ係数である( χχ 'が原始的である)場合のG ( χχ ')、G ( χ )、およびG ( χ ')間の関係は、ヤコビ和J ( χ , χ ')によって測定されます。具体的には、

${\displaystyle G\left(\chi \chi ^{\prime }\right)={\frac {G(\chi )G\left(\chi ^{\prime }\right)}{J\left(\chi ,\chi ^{\prime }\right)}}.}$

• ガウス和は、 2次相互法則、3次相互法則、および4次相互法則を証明するために使用できます。
• ガウス和は有限体上の多項式方程式の解の数を計算するために使用でき、したがって特定のゼータ関数を計算するために使用できる。

• 二次ガウス和
• 楕円ガウス和
• ヤコビ和
• クンマー・サム
• クルースターマンのサム
• ガウス周期
• ハッセとダベンポートの関係
• チョウラ・モーデルの定理
• スティッケルベルガーの定理

• アポストル、トム M. (1976)、解析的整数論入門、数学学部教科書、ニューヨーク-ハイデルベルク：シュプリンガー・フェルラーク、ISBN 978-0-387-90163-3MR 0434929、Zbl 0335.10001​  
• Berndt, BC ; Evans, RJ; Williams, KS (1998). Gauss and Jacobi Sums . Canadian Mathematical Society Series of Monographs and Advanced Texts. Wiley. ISBN 0-471-12807-4. Zbl 0906.11001 . 
• アイルランド、ケネス；ローゼン、マイケル（1990）。現代数論への古典的入門。大学院数学テキスト。第 84巻（第2 版）。シュプリンガー・フェルラーク。ISBN 0-387-97329-X. Zbl 0712.11001 . 
• Iwaniec, Henryk ; Kowalski, Emmanuel (2004) 『解析的整数論』、アメリカ数学会コロキウム出版物、第53巻、プロビデンス、ロードアイランド州：アメリカ数学会、ISBN 3.4節  978-0-8218-3633-0MR 2061214、Zbl 1059.11001​