セユアン・ハイジン

*円の寸法を測る海鏡図*における基本図形は、すべての問題で使用されている。これは、直角三角形と正方形に内接する「*円形の町」を示している。*

『測圆海鏡』（簡体字:测圆海鏡、繁体字:測圓海鏡、拼音: cè yuán hǎi jìng、直訳: 「円の測定の海の鏡」）は、モンゴル帝国時代の1248年に数学者李志によって書かれた、天元書の代数を用いて幾何学の問題を解くための論文である。これは692の公式と170の問題を集めたもので、すべて直角三角形と正方形に内接する「円形の町」という同じ基本図から導き出されている。これらの問題には、互いに見えるようになるまで直線上を歩く2人の人物、または特定の場所にある木や塔に出会う、あるいは到達する人物が登場することが多い。

幾何学の問題の大部分は多項式方程式で解かれ、それは「天元書」と呼ばれる方法で表されます。「係数配列法」または文字通り「天の未知数の方法」とも呼ばれます。李志はこの方法の現存する最古の資料ですが、彼以前にも何らかの形で知られていました。これは、棒数字を用いて多項式方程式を表す位置記数法です。

『蔡源海経』は、1902年に出版された著書『中国文学覚書』の中で、イギリスのプロテスタント宣教師アレクサンダー・ワイリーによって初めて西洋に紹介された。彼は次のように記している。

最初のページには、三角形の中に円が入った図があり、それが15の図形に分割されています。次に、各部分の定義と比率が示され、続いて170の問題があり、そこで新しい科学の原理がうまく示されています。全体を通して、著者による解説と注釈があります。^{[ 1 ]}

この論文は全12巻から構成されている。

第1巻

円形都市の図

この研究書は、「円城図式」と呼ばれる基本図から始まる。この図は、直角三角形に内接する円と、4本の水平線、4本の垂直線を示している。

TLQは、水平線LQ、垂直線TQ、斜辺TLを持つ大きな直角三角形です。

C：円の中心：

NCS: 点Cを通る垂直線が円と線LQをN（南、城壁の北側）で交わり、円の南側をS（南）で交わる。
NCSR、線分NCSを延長して斜辺TLと点R(日)で交わる
WCE：中心Cを通る水平線で、円と線TQをW（西、城壁の西側）で、円をE（東、城壁の東側）で交わる。
WCEB:直線WCEを延長して斜辺と点B(川)で交わる
KSYV: 点Sにおける水平接線は、直線TQと点K(坤)で交わり、斜辺TLと点Y(月)で交わる。
HEMV: 点Eにおける円の垂直接線が直線LQと点Hで交わり、斜辺がM（山）となる。
HSYY、KSYV、HNQ、QSKは正方形を形成し、その内接円はCである。
直線YS（Yから垂直に引いた線）は直線LQと点S（泉）で交わる。
点Bから垂直に引いた線BJは、線LQと点Jで交わる（夕、夜）。
点Rから引いた水平線RDは、直線TQと点D（旦、日）で交わる。

李志の図における北、南、東、西の方向は、現在の慣習とは逆である。

三角形とその辺

三角形TLQ、4本の水平線、および4本の垂直線の交点によって形成される直角三角形は全部で15個あります。

これらの直角三角形の名称とその辺の長さを以下の表にまとめました。

第2巻から第12巻までの問題では、これらの三角形の名前は非常に簡潔な表現で使われています。例えば

「明差」とは、明三角形の縦辺と横辺の差を指します。

「叀差」、「荘差」とは、「荘三角形の縦辺と横辺の差」を指します。

「明差叀差并」は「明の差と艮の差の合計」を意味します。

(b_{14}-a_{14})+(b_{15}-a_{15})

線分の長さ

このセクション（今問正数）では、円周図における線分の長さ、和と差、およびそれらの組み合わせを列挙します。ただし、内接円の半径 r は、 $r=120$ 歩調 $a_{1}=320$ 、 $b_{1}=640$ 。

i番目の三角形（i=1～15）の13個の線分は以下のとおりです。

低位線 $c_{i}$
水平 $a_{i}$
垂直 $b_{i}$
:勾股和 :水平と垂直の和 $a_{i}+b_{i}$
:勾股校:縦横の差 $b_{i}-a_{i}$
:勾弦和: 水平線と斜辺の和 $a_{i}+c_{i}$
:勾弦校:斜辺と水平線の差 $c_{i}-a_{i}$
:股弦和:斜辺と垂直の和 $b_{i}+c_{i}$
:股弦校: 斜辺と垂直辺の差 $c_{i}-b_{i}$
:弦校和: 差と斜辺の和 $c_{i}+(b_{i}-a_{i})$
:弦校校: 斜辺の差と差 $c_{i}-(b_{i}-a_{i})$
:弦和和:斜辺の和と縦横の和 $a_{i}+b_{i}+c_{i}$
:弦和校: 水平方向と垂直方向の合計と斜辺の差 $a_{i}+b_{i}$

15個の直角三角形のうち、2組の同一の三角形が存在する。

\triangle TRD

=

\triangle RMZ

、

\triangle YSG

=

\triangle BLJ

それは

a_{6}=a_{7}

;

b_{6}=b_{7}

;

c_{6}=c_{7}

;

a_{8}=a_{9}

;

b_{8}=b_{9}

;

c_{8}=c_{9}

;

セグメント番号

15 x 13 = 195 個の項があり、それらの値は表 1 に示されています: ^{[ 2 ]}

定義と公式

その他の式

^{[ 3 ]}

$(c_{1}-a_{1})*(c_{1}*b_{1})$ = $1 \over 2$ * $(d_{1})^{2}$
$a_{10}*b_{11}$ = $1 \over 2$ $(d_{1})^{2}$
$a_{13}*b_{1}$ = $1 \over 2$ $(d_{1})^{2}$
$a_{1}*b_{13}$ = $1 \over 2$ $(d_{1})^{2}$
$b_{2}*b_{15}$ = $(r_{1})^{2}$
$a_{14}*a_{3}$ = $(r_{1})^{2}$
$a_{5}*b_{4}$ = $(d_{1})^{2}$
$a_{8}*b_{6}$ = $a_{9}*b_{7}$ $=(r_{1})^{2}$
$(b_{14}*c_{14})*(a_{15}+c_{15})$ = $(r_{1})^{2}$
$c_{6}*c_{8}$ = $c_{7}*c_{9})$ = $a_{13}*b_{13}$

5つの和と5つの差

$a_{2}+b_{2}+c_{2}=b_{1}+c_{1}$ ^{[ 4 ]}
$a_{3}+b_{3}+c_{3}=a_{1}+c_{1}$
$a_{4}+b_{4}+c_{4}=2b_{1}$
$a_{5}+b_{5}+c_{5}=2a_{1}$
$a_{6}+b_{6}+c_{6}=b_{1}$
$a_{7}+b_{7}+c_{7}=b_{1}$
$a_{8}+b_{8}+c_{8}=a_{1}$
$a_{9}+b_{9}+c_{9}=a_{1}$
$a_{10}+b_{10}+c_{10}=b_{1}+c_{1}-a_{1}$
$a_{11}+b_{11}+c_{11}=c_{1}-b_{1}+a_{1}$
$a_{12}+b_{12}+c_{12}=c_{1}$
$a_{13}+b_{13}+c_{13}=a_{1}+b_{1}-c_{1}$
$a_{14}+b_{14}+c_{14}=c_{1}-a_{1}$
$a_{15}+b_{15}+c_{15}=c_{1}-c_{1}$

$(b_{7}-a_{7})+(b_{8}-a_{8})+(b_{14}-a_{14})+(b_{15}-a_{15})=2*(b_{12}-a_{12})$
$a_{8}+(b_{7}-a_{7})+(b_{8}-a_{8})=b_{7}$

李志は『策源海経』で合計692の式を導き出した。そのうち8つの式は誤りであり、残りはすべて正しい^{[ 5 ]。}

第2巻から第12巻までには170問の問題があり、各問題はこれらの公式から選択された数個を使用して2次から6次の多項式方程式を形成します。実際、3次の多項式方程式を生成する問題が21問、4次の多項式方程式を生成する問題が13問、6次の多項式を生成する問題が1問あります^{[ 6 ]。}

第2巻

この巻は一般的な仮説から始まります^{[ 7 ]}

続く170問はすべて、与えられた複数の線分、あるいはそれらの和や差から円形の町の半径や直径を求める問題です。すべての問題はほぼ同じ形式に従っており、まず質問があり、次にアルゴリズムの説明があり、場合によっては手順を段階的に説明するという流れになっています。

9種類の内接円

最初の10問は天元書を用いずに解かれた。これらの問題は様々な種類の内接円に関するものである。

質問1: 2人の男性AとBが角Qから出発します。Aは東へ320歩歩いて立ち止まります。Bは南へ600歩歩いてBを見ます。円形都市の直径はどれくらいですか？; 答え：円形の町の直径は240歩です。; これは内接円の問題で、 $\triangle TLQ$; アルゴリズム： $d={2a_{1}\times b_{1} \over a_{1}+b_{1}+c_{1}}$; $={2*320*600 \over 320+600+{\sqrt {(}}320^{2}+600^{2})}=240$
質問2: 2人の男性AとBが西門から出発します。Bは東へ256歩歩き、Aは南へ480歩歩いてBに出会います。町の直径はどれくらいですか？; 答えは240歩です; これは内接円の問題で、 $\triangle TWB$; 表1より、256 = $a_{2}$ ; 480 = $b_{2}$; アルゴリズム：; ${2a_{2}\times b_{2} \over a_{2}+b_{2}+c_{2}}=d$; $={2*256*480 \over 256+600+{\sqrt {(}}256^{+}600^{2})}=240$
質問3: 内接円問題に関連する $\triangle RDN$

${2a_{3}\times b_{3} \over a_{3}+b_{3}+c_{3}}=d$

質問4：内接円の問題に関連する $\triangle RSC$

${2a_{12}\times b_{12} \over c_{12}}=d$

質問 5：内接円の問題に関連する $\triangle TWB$

${2a\times b \over a+b}=d$

質問6

${2a_{10}\times b_{10} \over b_{10}-a_{10}+c_{10}}=d$

質問7

${2a_{11}\times b_{11} \over b_{11}-a_{11}+c_{11}}=d$

質問8

${2a_{13}\times b_{13} \over b_{13}+a_{13}-c_{13}}=d$

質問9

${2a_{14}\times b_{14} \over c_{14}-a_{14}}=d$

質問10

${2a_{15}\times b_{15} \over c_{15}-b_{15}}=d$

ティエン・ユエン・シュー

From problem 14 onwards, Li Zhi introduced "Tian yuan one" as unknown variable, and set up two expressions according to Section Definition and formula, then equate these two tian yuan shu expressions. He then solved the problem and obtained the answer.

Question 14:"Suppose a man walking out from West gate and heading south for 480 paces and encountered a tree. He then walked out from the North gate heading east for 200 paces and saw the same tree. What is the radius of the round own?"

Algorithm: Set up the radius as Tian yuan one, place the counting rods representing southward 480 paces on the floor, subtract the tian yuan radius to obtain

： $480-x$

元

。

Then subtract tian yuan from eastward paces 200 to obtain:

$200-x$

元

multiply these two expressions to get：

x^{2}-680x+96000

元

that is $x^{2}-680x+96000=2x^{2}$

thus： $-x^{2}-680x+96000=0$

元

Solve the equation and obtain $r=120$

Volume 3

17 problems associated with segment

b_{2}

i.e TW in

\triangle TWB

^[8]

The $a_{10}$ pairs with $b_{11}$ , $a_{11}$ pairs with $b_{10}$ and $a_{15}$ pairs with $b_{14}$ in problems with same number of volume 4. In other words, for example, change $a_{11}$ of problem 2 in vol 3 into $b_{10}$ turns it into problem 2 of Vol 4.^[9]

Volume 4

17 problems, given

a_{3}

and a second segment, find diameter of circular city.^[10]

。

Volume 5

18 problems, given $b_{1}$ 。^[10]

Volume 6

18 problems.

Q1-11，13-19 given

a_{1}

，and a second line segment, find diameter d.^[10]

Q12：given

a_{1}+c_{3}

and another line segment, find diameter d.

Volume 7

18 problems, given two line segments find the diameter of round town^[11]

Volume 8

17 problems, given three to eight segments or their sum or difference, find diameter of round city.^[12]

Problem 14

Given the sum of GAO difference and MING difference is 161 paces and the sum of MING difference and ZHUAN difference is 77 paces. What is the diameter of the round city?

Answer: 120 paces.

Algorithm:^[13]

Given

(b_{7}-a_{7})+(b_{8}-a_{8})=161

(b_{14}-a_{14})+(b_{15}-a_{15})=77

：Add these two items, and divide by 2; according to #Definitions and formula, this equals to HUANGJI difference:

(b_{7}-a_{7})+(b_{8}-a_{8})+(b_{14}-a_{14})+(b_{15}-a_{15}) \over 2

=(b_{12}-a_{12})

b_{12}-a_{12}=

161+77 \over 2

=119

Let Tian yuan one as the horizontal of SHANGPING (SG):

x=a_{8}

x+161

=

x+(b_{7}-a_{7})+(b_{8}-a_{8})=a_{8}+(b_{7}-a_{7})+(b_{8}-a_{8})

=b_{7}

(#Definition and formula)

Since

a_{8}+b_{7}=c_{12}

(Definition and formula)

c_{12}=x+b_{7}=2*x+(b_{7}-a_{7})+(b_{8}-a_{8})=2*x+161

c_{12}^{2}=(x+b_{7})^{2}=(2*x+161)^{2}=4*x^{2}+644*x+25921

c_{12}^{2}-(b_{12}-a_{12})^{2}

=4*x^{2}+644*x+25921-

((b_{7}-a_{7})+(b_{8}-a_{8})+(b_{14}-a_{14})+(b_{15}-a_{15}))^{2} \over 4

=4*x^{2}+644*x+11760=d

(diameter of round town),

d^{2}=(4*x^{2}+644*x+11760)^{2}=16*x^{4}+5152*x^{3}+508816*x^{2}+15146880*x+138297600

Now, multiply the length of RZ by

4*x

4*x*b_{7}=4*x*(x+(b_{7}-a_{7})+(b_{8}-a_{8}))=4*x*(x+161)=4*x^{2}+644*x

multiply it with the square of RS:

d^{2}=4*x*b_{7}*c_{12}^{2}=

(4*x^{2}+644*x)*(4*x^{2}+644*x+25921)=

16*x^{4}+5152*x^{3}+518420*x^{2}+16693124

equate the expressions for the two

d^{2}

thus

16*x^{4}+5152*x^{3}+518420*x^{2}+16693124=

16*x^{4}+5152*x^{3}+508816*x^{2}+15146880*x+138297600

We obtain:

$9604*x^{2}+1546244*x-138297600=0$

solve it and we obtain

x=a_{8}=64

;

これは、セグメント番号のSHANGPING 8番目の三角形の水平線と一致します。^{[ 14 ]}

第9巻

パート1

パートII

第10巻

8つの問題^{[ 15 ]}

第11巻

：その他18問：^{[ 16 ]}

第12巻

分数に関する14の問題^{[ 17 ]}

研究

1913年、フランスの数学者L. van Hoeは『Ceyuan haijing』に関する論文を執筆した。1982年、K. Chemlaは博士論文『Etude du Livre Reflects des Mesuers du Cercle sur la mer de Li Ye』を発表した。1983年、シンガポール大学数学教授Lam Lay Yongは『Chinese Polynomial Equations in the Thirteenth Century』を発表した。

脚注

↑アレクサンダー・ワイリー著『中国文学覚書』上海、116ページ、ケシンガー出版より復刻
↑孔国平著62-66ページより抜粋
↑白尚書p24-25。
↑呉文君第二章 p80
↑白尚書、p3、序文
↑呉文君、p87
↑白尚寿、p153-154
↑李燕 p75-88
↑マルツロフ、147ページ
1 2 3李燕 p88-101
↑孔国平 p169-184
↑孔国平 p192-208
↑白尚書、p562-566
↑脚注：第8巻の問題14で、李志はx=64で計算を止めています。しかし、答えは#その他の公式の8番目の公式から明らかです。 $a_{9}*b_{7}=r^{2}$ 、そして#線分の長さ $a_{8}=a_{9}$ 、したがって $a_{8}*b_{7}=r^{2}$ 円形都市の半径は容易に求められる。実際、第11巻の問題6はまさにそのような問題である。 $a_{8}$ そして $b_{7}$ 円形の町の半径を求める。
↑孔国平 p220-224
↑孔国平 p234-248
↑ P255-263

参考文献

ジャン＝クロード・マルツロフ著『中国数学史』、シュプリンガー社、1997年、ISBN 3-540-33782-2
Kong Guoping、『 Ceyuan Haijing へのガイド』、湖北教育出版局、1966 孔国平。《测圆海镜今导读》《今问正数》湖北教育出版社。 1995年
Bai Shangshu: Li Yeh Ceyuan haijingの現代中国語訳。 Shandong Education Press 1985 李冶著白尚恕译钟善基校。《测圆海镜今译》山东教育出版社。 1985年
呉文軍The Grand Series of History of Chinese Mathematics Vol 6吴文俊主编《中国数学史大系》第六卷
Li Yan、Ceyuan haijing の歴史的研究、Li Yan と Qian Baocong の作品を集めた第 8 巻《李俨.钱宝琮科学史全集》卷8、李俨《测圆海镜研究历程考》

[1] アレクサンダー・ワイリー著『中国文学覚書』上海、116ページ、ケシンガー出版より復刻

[孔国平_今问-2] 孔国平著62-66ページより抜粋

[Bai-3] 白尚書p24-25。

[吴文俊_vI-4] 呉文君第二章 p80

[Bai_2-5] 白尚書、p3、序文

[Wu-6] 呉文君、p87

[Bai_p153-7] 白尚寿、p153-154

[李俨_8_75-8] 李燕 p75-88

[Martzloff-9] マルツロフ、147ページ

[李俨_8_88-10] 1 2 3李燕 p88-101

[Kong_Guoping-11] 孔国平 p169-184

[Kong_Guoping_p192-12] 孔国平 p192-208

[Bai_p562-13] 白尚書、p562-566

[continue-14] 脚注：第8巻の問題14で、李志はx=64で計算を止めています。しかし、答えは#その他の公式の8番目の公式から明らかです。 $a_{9}*b_{7}=r^{2}$ 、そして#線分の長さ $a_{8}=a_{9}$ 、したがって $a_{8}*b_{7}=r^{2}$ 円形都市の半径は容易に求められる。実際、第11巻の問題6はまさにそのような問題である。 $a_{8}$ そして $b_{7}$ 円形の町の半径を求める。

[Kong_Guoping_p220-15] 孔国平 p220-224

[Kong_Guoping_p234-16] 孔国平 p234-248

[Kong_Guoping_p255-17] P255-263

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第1巻