数学の分野
数学 において 、 K理論 とは、大まかに言えば、 位相空間 または位相 スキーム 上の ベクトル束 によって生成される 環 の研究である。 代数位相幾何学 では、これは 位相K理論 として知られる コホモロジー理論である。 代数学 および 代数幾何学 では、これは 代数K理論 と呼ばれる。これはまた、 作用素代数 の分野における基本的なツールでもある。これは、大 規模行列 の特定の種類の 不変量 の研究と見なすことができる 。 [1]
K 理論は、 位相 空間または位相スキームから、またはより一般的には、ホモトピー カテゴリの任意のオブジェクトを関連するリングにマッピングする K 関数の族の構築を伴います。これらのリングは、元の空間またはスキームの構造のいくつかの側面を反映します。代数位相幾何学における グループ への関数の場合と同様に、この関数マッピングの理由は、マッピングされたリングからの方が、元の空間またはスキームからよりも位相特性の一部を計算するのが容易であるためです。K 理論アプローチから得られる結果の例には、 グロタンディーク-リーマン-ロッホの定理 、 ボット周期性 、 アティヤ-シンガーの指数定理 、 アダムス演算など があります。
高エネルギー物理学 では 、K理論、特に ツイストK理論が II型弦理論 に登場し、 Dブレーン 、 ラモンド・ラモンド場の強度 、 一般化複素多様体 上の特定の スピノル を分類すると推測されている 。 凝縮系物理学では、K理論は トポロジカル絶縁体 、 超伝導体 、安定 フェルミ面 を分類するために使用されている 。詳細については、 K理論（物理学） を参照。
グロタンディーク完成 アーベルモノイド からアーベル群へのグロタンディーク完備化は 、K理論を定義するために必要な要素である。なぜなら、すべての定義は、適切なカテゴリからアーベルモノイドを構築し、この普遍的な構成を通じてそれをアーベル群に変換することから始まるからである。アーベルモノイド が 与え
られたとき、
（ あ 、
+ ′
）
{\displaystyle (A,+')}
〜
{\displaystyle \sim}
あ
2
= あ × あ
{\displaystyle A^{2}=A\times A}
（
1つの
1
、
1つの
2
） 〜 （
b
1
、
b
2
）
{\displaystyle (a_{1},a_{2})\sim (b_{1},b_{2})}
が存在する場合 、集合は次の ような 群 の構造を持ちます 。
c ∈ あ
{\displaystyle c\in A}
1つの
1
+ ′
b
2
+ ′
c =
1つの
2
+ ′
b
1
+ ′
c 。
{\displaystyle a_{1}+'b_{2}+'c=a_{2}+'b_{1}+'c.}
G
(
A
)
=
A
2
/
∼
{\displaystyle G(A)=A^{2}/\sim }
(
G
(
A
)
,
+
)
{\displaystyle (G(A),+)}
[
(
a
1
,
a
2
)
]
+
[
(
b
1
,
b
2
)
]
=
[
(
a
1
+
′
b
1
,
a
2
+
′
b
2
)
]
.
{\displaystyle [(a_{1},a_{2})]+[(b_{1},b_{2})]=[(a_{1}+'b_{1},a_{2}+'b_{2})].}
この群の同値類は、アーベルモノイドの要素の形式的な差異として考えるべきである。この群は、 によって与えられる モノイド準同型にも関連しており 、これは 特定の普遍的性質 を持つ。
(
G
(
A
)
,
+
)
{\displaystyle (G(A),+)}
i
:
A
→
G
(
A
)
{\displaystyle i:A\to G(A)}
a
↦
[
(
a
,
0
)
]
,
{\displaystyle a\mapsto [(a,0)],}
この群をよりよく理解するために、 アーベルモノイドの 同値類 を考えてみましょう。ここで、の単位元を で表すと、 はの単位元になります。まず、 任意の に対して となる ので、 を設定して 同値関係から方程式を適用すると、 次 の式が得られます。 これは、
(
A
,
+
)
{\displaystyle (A,+)}
A
{\displaystyle A}
0
{\displaystyle 0}
[
(
0
,
0
)
]
{\displaystyle [(0,0)]}
(
G
(
A
)
,
+
)
.
{\displaystyle (G(A),+).}
(
0
,
0
)
∼
(
n
,
n
)
{\displaystyle (0,0)\sim (n,n)}
n
∈
A
{\displaystyle n\in A}
c
=
0
{\displaystyle c=0}
n
=
n
.
{\displaystyle n=n.}
[
(
a
,
b
)
]
+
[
(
b
,
a
)
]
=
[
(
a
+
b
,
a
+
b
)
]
=
[
(
0
,
0
)
]
{\displaystyle [(a,b)]+[(b,a)]=[(a+b,a+b)]=[(0,0)]}
したがって、 の各要素に対して加法的な逆元が存在します。これは、同値類を 形式的な差分として 考えるべきであるというヒントを与えてくれます。 もう 1 つの有用な観察は、スケーリングに対する同値類の不変性です。
G
(
A
)
{\displaystyle G(A)}
[
(
a
,
b
)
]
{\displaystyle [(a,b)]}
a
−
b
.
{\displaystyle a-b.}
(
a
,
b
)
∼
(
a
+
k
,
b
+
k
)
{\displaystyle (a,b)\sim (a+k,b+k)}
いかなる
k
∈
A
.
{\displaystyle k\in A.}
グロタンディーク完備化は 関手として見ることができ、対応する 忘却関手 に対して左随伴であるという性質を持つ。 つまり、 アーベル群の基底アーベルモノイドへの アーベルモノイドの射が与えられたとき、 一意のアーベル群射が存在する。
G
:
A
b
M
o
n
→
A
b
G
r
p
,
{\displaystyle G:\mathbf {AbMon} \to \mathbf {AbGrp} ,}
U
:
A
b
G
r
p
→
A
b
M
o
n
.
{\displaystyle U:\mathbf {AbGrp} \to \mathbf {AbMon} .}
ϕ
:
A
→
U
(
B
)
{\displaystyle \phi :A\to U(B)}
A
{\displaystyle A}
B
,
{\displaystyle B,}
G
(
A
)
→
B
.
{\displaystyle G(A)\to B.}
自然数の例 わかりやすい例として、 のグロタンディーク完備化を見てみましょう。 任意のペアに対して、 スケーリング不変性を使って
最小の代表値を見つけることができること がわかります。たとえば、スケーリング不変性から、
N
{\displaystyle \mathbb {N} }
G
(
(
N
,
+
)
)
=
(
Z
,
+
)
.
{\displaystyle G((\mathbb {N} ,+))=(\mathbb {Z} ,+).}
(
a
,
b
)
{\displaystyle (a,b)}
(
a
′
,
b
′
)
{\displaystyle (a',b')}
(
4
,
6
)
∼
(
3
,
5
)
∼
(
2
,
4
)
∼
(
1
,
3
)
∼
(
0
,
2
)
{\displaystyle (4,6)\sim (3,5)\sim (2,4)\sim (1,3)\sim (0,2)}
一般
的に、
k
:=
min
{
a
,
b
}
{\displaystyle k:=\min\{a,b\}}
(
a
,
b
)
∼
(
a
−
k
,
b
−
k
)
{\displaystyle (a,b)\sim (a-k,b-k)}
または
(
c
,
0
)
{\displaystyle (c,0)}
(
0
,
d
)
.
{\displaystyle (0,d).}
これは、を正の整数、を負の整数として 考えるべきであることを示しています 。
(
a
,
0
)
{\displaystyle (a,0)}
(
0
,
b
)
{\displaystyle (0,b)}
定義 K 理論にはいくつかの基本的な定義があります。そのうち 2 つは位相幾何学から来ており、残りの 2 つは代数幾何学から来ています。
コンパクト ハウスドルフ空間のグロタンディーク群 コンパクトな ハウスドルフ空間 が与えられたとき、上の有限次元ベクトル束の同型類の集合を と 表記し 、ベクトル束の同型類を と 表記する。ベクトル束の同型類は 直和 に関して適切に振舞うので 、同型類に対するこれらの演算は次のように記述できる。
X
{\displaystyle X}
X
{\displaystyle X}
Vect
(
X
)
{\displaystyle {\text{Vect}}(X)}
π
:
E
→
X
{\displaystyle \pi :E\to X}
[
E
]
{\displaystyle [E]}
[
E
]
⊕
[
E
′
]
=
[
E
⊕
E
′
]
{\displaystyle [E]\oplus [E']=[E\oplus E']}
はアーベルモノイドであり、単位は自明なベクトル束 で与えられること は明らかです 。次に、グロタンディーク完備化を適用して、このアーベルモノイドからアーベル群を得ることができます。これは の K 理論と呼ばれ 、 と表記されます 。
(
Vect
(
X
)
,
⊕
)
{\displaystyle ({\text{Vect}}(X),\oplus )}
R
0
×
X
→
X
{\displaystyle \mathbb {R} ^{0}\times X\to X}
X
{\displaystyle X}
K
0
(
X
)
{\displaystyle K^{0}(X)}
セール・スワン定理 といくつかの代数を用いて 、連続複素数値関数の環上のベクトル束を 射影 加群として別の形で記述することができる。すると、これらは 行列の環内の べき等 行列と同一視できる 。べき等行列の同値類を定義し、アーベルモノイドを形成することができる 。そのグロタンディーク完備化は とも呼ばれる 。位相空間のグロタンディーク群を計算する主な手法の 1 つは、 アティヤ・ヒルツェブルッフのスペクトル列 に由来しており、これによってグロタンディーク群は非常にアクセスしやすくなっている。スペクトル列を理解するために必要な計算は、球面 の 群を計算することだけである 。 [2] pg 51-110
C
0
(
X
;
C
)
{\displaystyle C^{0}(X;\mathbb {C} )}
M
n
×
n
(
C
0
(
X
;
C
)
)
{\displaystyle M_{n\times n}(C^{0}(X;\mathbb {C} ))}
Idem
(
X
)
{\displaystyle {\textbf {Idem}}(X)}
K
0
(
X
)
{\displaystyle K^{0}(X)}
K
0
{\displaystyle K^{0}}
S
n
{\displaystyle S^{n}}
代数幾何学におけるベクトル束のグロタンディーク群 代数幾何学 におけるベクトル束を考えることによって類似の構成が可能である 。 ネータースキーム に対して、上の 代数的ベクトル束 のすべての同型類の 集合が存在している 。すると、前と同様に、ベクトル束の同型類の直和が 明確に定義され、アーベルモノイド が得られる 。すると、グロタンディーク群は、 このアーベルモノイドへのグロタンディーク構成の適用によって定義される。
X
{\displaystyle X}
Vect
(
X
)
{\displaystyle {\text{Vect}}(X)}
X
{\displaystyle X}
⊕
{\displaystyle \oplus }
(
Vect
(
X
)
,
⊕
)
{\displaystyle ({\text{Vect}}(X),\oplus )}
K
0
(
X
)
{\displaystyle K^{0}(X)}
代数幾何学におけるグロタンディーク連接層の群 代数幾何学では、同じ構成を滑らかなスキーム上の代数的ベクトル束に適用できます。しかし、任意のネータースキームには別の構成があります。 連接 層の同型類を見ると、 短い完全列 がある場合、 関係によって修正できます。
X
{\displaystyle X}
Coh
(
X
)
{\displaystyle \operatorname {Coh} (X)}
[
E
]
=
[
E
′
]
+
[
E
″
]
{\displaystyle [{\mathcal {E}}]=[{\mathcal {E}}']+[{\mathcal {E}}'']}
0
→
E
′
→
E
→
E
″
→
0.
{\displaystyle 0\to {\mathcal {E}}'\to {\mathcal {E}}\to {\mathcal {E}}''\to 0.}
これは、 が滑らかな場合、 と同型な グロタンディーク群を与える 。この群は 環構造も持つため特別である。これを次のように定義する。
K
0
(
X
)
{\displaystyle K_{0}(X)}
K
0
(
X
)
{\displaystyle K^{0}(X)}
X
{\displaystyle X}
K
0
(
X
)
{\displaystyle K_{0}(X)}
[
E
]
⋅
[
E
′
]
=
∑
(
−
1
)
k
[
Tor
k
O
X
(
E
,
E
′
)
]
.
{\displaystyle [{\mathcal {E}}]\cdot [{\mathcal {E}}']=\sum (-1)^{k}\left[\operatorname {Tor} _{k}^{{\mathcal {O}}_{X}}({\mathcal {E}},{\mathcal {E}}')\right].}
グロタンディーク・リーマン・ロッホの定理 を用いると 、
ch
:
K
0
(
X
)
⊗
Q
→
A
(
X
)
⊗
Q
{\displaystyle \operatorname {ch} :K_{0}(X)\otimes \mathbb {Q} \to A(X)\otimes \mathbb {Q} }
は環の同型である。したがって、交差理論 に 使用できる 。 [3]
K
0
(
X
)
{\displaystyle K_{0}(X)}
初期の歴史 この主題は、アレクサンダー・グロタンディーク (1957) から始まったと言ってもいいでしょう。彼はこれを用いて グロタンディーク・リーマン・ロッホの定理 を定式化しました。この定理の名前は 、クラスを意味するドイツ語の Klasseに由来しています。 [4]グロタンディークは、 代数多様体 X 上の 連接層 を扱う必要がありました 。彼は、層を直接扱うのではなく、層の 同型類を 群の生成元として使い、2 つの層の任意の拡大をそれらの和と同一視する関係に従う群を定義しました。結果として得られる群は、 局所自由層 のみが 使用される場合は K ( X )、すべてが連接層の場合には G ( X ) と呼ばれます。これら 2 つの構成はどちらも グロタンディーク群 と呼ばれます 。K ( X ) は コホモロジー的 振る舞いをし 、 G ( X ) は ホモロジー的振る舞いを し ます。
X が 滑らかな多様体 である 場合 、2 つの群は同じです。滑らかな アフィン多様体 である場合、局所自由層の拡大はすべて分割されるため、群には別の定義があります。
位相幾何学 では 、同じ構成を ベクトル束 に適用することで、 マイケル・アティヤ と フリードリヒ・ヒルツェブルッフが1959年に 位相空間 X に対して K ( X )を定義し 、 ボット周期性定理を使用してそれを 特別なコホモロジー理論 の基礎とした。これは アティヤ・シンガー指数定理 の2回目の証明（1962年頃）に大きな役割を果たした。さらに、このアプローチは C*-代数に対する 非可換 K理論 につながった 。
ジャン＝ピエール・セールは 、1955 年にすでに ベクトル束 と 射影加群 の類推を用いて、 多項式環 上の有限生成射影加群はすべて 自由で あるという セールの予想 を定式化していました 。この主張は正しいのですが、20 年も経ってようやく解決されました。( スワンの定理は、 この類推の別の側面です。)
開発 代数的 K 理論のもう一つの歴史的起源は、後にホワイトヘッド捩れとして知られるようになった JHC ホワイトヘッド ら による研究でした 。
その後、高次 K 理論 の関数のさまざまな部分的な定義が存在する時期が続きました 。最終的に、 1969 年と 1972 年に Daniel Quillenによって ホモトピー理論を 使用して2 つの有用で同等な定義が与えられました。また、擬同位体の研究に関連する 空間の代数 K 理論を 研究するために、 Friedhelm Waldhausen によって別の定義も与えられました。高次 K 理論に関する現代の研究の多くは、代数幾何学と モティヴィック コホモロジー の研究に関連しています 。
補助 二次形式 を含む対応する構成は、一般に L 理論と呼ばれ、 外科手術理論 の主要なツールとなっています 。
弦理論 では、 ラモンド・ラモンド場の強度と安定な Dブレーン の電荷 のK理論分類が 1997年に初めて提案されました。 [5]
例とプロパティ
け 0 フィールドの グロタンディーク群の最も簡単な例は、体 の 点のグロタンディーク群です 。この空間上のベクトル束は有限次元ベクトル空間にすぎず、これは連接層のカテゴリ内の自由オブジェクトであり、したがって射影的であるため、同型類のモノイドは ベクトル空間の次元に対応します。グロタンディーク群が であることを示すのは簡単な演習です 。
Spec
(
F
)
{\displaystyle {\text{Spec}}(\mathbb {F} )}
F
{\displaystyle \mathbb {F} }
N
{\displaystyle \mathbb {N} }
Z
{\displaystyle \mathbb {Z} }
け 0 フィールド上のアルティニアン代数の ネータースキーム のグロタンディーク群の重要な性質の1つは、 還元に対して不変であるということです 。したがって、 です。 [6]したがって、任意の アルティン 代数のグロタンディーク群は、スペクトルの各連結成分ごとに1つずつ、 のコピーの直和です 。たとえば、
X
{\displaystyle X}
K
(
X
)
=
K
(
X
red
)
{\displaystyle K(X)=K(X_{\text{red}})}
F
{\displaystyle \mathbb {F} }
Z
{\displaystyle \mathbb {Z} }
K
0
(
Spec
(
F
[
x
]
(
x
9
)
×
F
)
)
=
Z
⊕
Z
{\displaystyle K_{0}\left({\text{Spec}}\left({\frac {\mathbb {F} [x]}{(x^{9})}}\times \mathbb {F} \right)\right)=\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} }
け 0 射影空間の グロタンディーク群の最も一般的に使用される計算の 1 つは、体上の射影空間に対する の計算です。これは、射影の交差数が を埋め込ん でプッシュ プル公式 を使用すること で計算できるためです。これにより 、 の構造を明示的に知らなくても の 元で具体的な計算を行うことができます。 [7] の
グロタンディーク群を決定する 1 つの手法は 、 としての成層化から得られます
。これは
、アフィン空間上の連接層のグロタンディーク群が に同型であり 、 の交差が 一般に
に対して である
ためです 。
K
(
P
n
)
{\displaystyle K(\mathbb {P} ^{n})}
X
{\displaystyle X}
i
:
X
↪
P
n
{\displaystyle i:X\hookrightarrow \mathbb {P} ^{n}}
i
∗
(
[
i
∗
E
]
⋅
[
i
∗
F
]
)
{\displaystyle i^{*}([i_{*}{\mathcal {E}}]\cdot [i_{*}{\mathcal {F}}])}
K
(
X
)
{\displaystyle K(X)}
K
(
P
n
)
=
Z
[
T
]
(
T
n
+
1
)
{\displaystyle K(\mathbb {P} ^{n})={\frac {\mathbb {Z} [T]}{(T^{n+1})}}}
P
n
{\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}
P
n
=
A
n
∐
A
n
−
1
∐
⋯
∐
A
0
{\displaystyle \mathbb {P} ^{n}=\mathbb {A} ^{n}\coprod \mathbb {A} ^{n-1}\coprod \cdots \coprod \mathbb {A} ^{0}}
Z
{\displaystyle \mathbb {Z} }
A
n
−
k
1
,
A
n
−
k
2
{\displaystyle \mathbb {A} ^{n-k_{1}},\mathbb {A} ^{n-k_{2}}}
A
n
−
k
1
∩
A
n
−
k
2
=
A
n
−
k
1
−
k
2
{\displaystyle \mathbb {A} ^{n-k_{1}}\cap \mathbb {A} ^{n-k_{2}}=\mathbb {A} ^{n-k_{1}-k_{2}}}
k
1
+
k
2
≤
n
{\displaystyle k_{1}+k_{2}\leq n}
け 0 射影束の グロタンディーク群のもう一つの重要な公式は、射影バンドル公式です。 [8] ネータースキーム上の 階数 r のベクトルバンドルが与えられた場合 、射影バンドルのグロタンディーク群は、 基底 を持つ 階数 r の自由 - モジュールです 。この公式を使用すると、 のグロタンディーク群を計算できます 。これにより、 またはヒルツェブルッフ面を計算できます。さらに、これは、 体 上の射影バンドルであることを観察することで、 グロタンディーク群を計算するために使用できます 。
E
{\displaystyle {\mathcal {E}}}
X
{\displaystyle X}
P
(
E
)
=
Proj
(
Sym
∙
(
E
∨
)
)
{\displaystyle \mathbb {P} ({\mathcal {E}})=\operatorname {Proj} (\operatorname {Sym} ^{\bullet }({\mathcal {E}}^{\vee }))}
K
(
X
)
{\displaystyle K(X)}
1
,
ξ
,
…
,
ξ
n
−
1
{\displaystyle 1,\xi ,\dots ,\xi ^{n-1}}
P
F
n
{\displaystyle \mathbb {P} _{\mathbb {F} }^{n}}
K
0
{\displaystyle K_{0}}
K
(
P
n
)
{\displaystyle K(\mathbb {P} ^{n})}
F
{\displaystyle \mathbb {F} }
け 0 特異空間と孤立した商特異点を持つ空間 マイナー特異点を持つ空間のグロタンディーク群を計算する最近の手法の 1 つは、と の差を評価することです 。これは、すべてのベクトル束がコヒーレント層として同値に記述できるという事実に由来します。これは、 導来非可換代数 幾何学の特異点カテゴリ [9] [10] のグロタンディーク群を使用して行われます。これは、 から始まる長い正確なシーケンスを提供します
。
ここで、高次の項は 高次の K 理論 に由来します。特異点上のベクトル束は、 滑らかな軌跡 上の ベクトル束によって与えられることに注意し てください。これにより、重み付き射影空間が通常孤立した商特異点を持つため、重み付き射影空間上のグロタンディーク群を計算することができます。特に、これらの特異点が等方性群を持つ場合 、写像は
単射であり、 に対して余核は によって
消滅します 。 [10] pg 3
K
0
(
X
)
{\displaystyle K^{0}(X)}
K
0
(
X
)
{\displaystyle K_{0}(X)}
D
s
g
(
X
)
{\displaystyle D_{sg}(X)}
⋯
→
K
0
(
X
)
→
K
0
(
X
)
→
K
s
g
(
X
)
→
0
{\displaystyle \cdots \to K^{0}(X)\to K_{0}(X)\to K_{sg}(X)\to 0}
X
{\displaystyle X}
E
→
X
s
m
{\displaystyle E\to X_{sm}}
X
s
m
↪
X
{\displaystyle X_{sm}\hookrightarrow X}
G
i
{\displaystyle G_{i}}
K
0
(
X
)
→
K
0
(
X
)
{\displaystyle K^{0}(X)\to K_{0}(X)}
lcm
(
|
G
1
|
,
…
,
|
G
k
|
)
n
−
1
{\displaystyle {\text{lcm}}(|G_{1}|,\ldots ,|G_{k}|)^{n-1}}
n
=
dim
X
{\displaystyle n=\dim X}
け 0 滑らかな射影曲線の 滑らかな射影曲線に対して、 グロタンディーク群は
の ピカール群
に対してです 。これは、 代数 K 理論 の Brown-Gersten-Quillen スペクトル列 [11] pg 72 から従います。 体上の有限型の
正則スキーム に対して、余次元点の集合、つまり 余次元 のサブスキーム
の 集合 と、サブスキームの代数関数体の収束スペクトル列が存在します。このスペクトル列は、
の Chow 環に対して [11] pg 80 の 特性を持ち 、基本的に の計算を与えます 。には 余次元点がないため 、スペクトル列の唯一の非自明な部分は であり 、したがって であることに注意してください。次に
、コニヴォー濾過を使用して 、 を目的の明示的な直和として
決定できます。これは、
左側の項が に同型で 、右側の項が に同型である正確な列を与えるためです 。なので 、上アーベル群の列は を分割し、同型性を与えます。 が 上の 種数の滑らかな射影曲線である場合 、 と
なることに注意してください
。さらに、孤立した特異点に対する導来カテゴリの特異点を使用する上記の手法は、孤立した コーエン-マコーレー 特異点に拡張でき、任意の特異代数曲線のグロタンディーク群を計算する手法になります。これは、簡約によって一般に滑らかな曲線が得られ、すべての特異点がコーエン-マコーレーであるためです。
C
{\displaystyle C}
K
0
(
C
)
=
Z
⊕
Pic
(
C
)
{\displaystyle K_{0}(C)=\mathbb {Z} \oplus {\text{Pic}}(C)}
C
{\displaystyle C}
E
1
p
,
q
=
∐
x
∈
X
(
p
)
K
−
p
−
q
(
k
(
x
)
)
⇒
K
−
p
−
q
(
X
)
{\displaystyle E_{1}^{p,q}=\coprod _{x\in X^{(p)}}K^{-p-q}(k(x))\Rightarrow K_{-p-q}(X)}
X
(
p
)
{\displaystyle X^{(p)}}
p
{\displaystyle p}
x
:
Y
→
X
{\displaystyle x:Y\to X}
p
{\displaystyle p}
k
(
x
)
{\displaystyle k(x)}
E
2
p
,
−
p
≅
CH
p
(
X
)
{\displaystyle E_{2}^{p,-p}\cong {\text{CH}}^{p}(X)}
X
{\displaystyle X}
K
0
(
C
)
{\displaystyle K_{0}(C)}
C
{\displaystyle C}
2
{\displaystyle 2}
E
1
0
,
q
,
E
1
1
,
q
{\displaystyle E_{1}^{0,q},E_{1}^{1,q}}
E
∞
1
,
−
1
≅
E
2
1
,
−
1
≅
CH
1
(
C
)
E
∞
0
,
0
≅
E
2
0
,
0
≅
CH
0
(
C
)
{\displaystyle {\begin{aligned}E_{\infty }^{1,-1}\cong E_{2}^{1,-1}&\cong {\text{CH}}^{1}(C)\\E_{\infty }^{0,0}\cong E_{2}^{0,0}&\cong {\text{CH}}^{0}(C)\end{aligned}}}
K
0
(
C
)
{\displaystyle K_{0}(C)}
0
→
F
1
(
K
0
(
X
)
)
→
K
0
(
X
)
→
K
0
(
X
)
/
F
1
(
K
0
(
X
)
)
→
0
{\displaystyle 0\to F^{1}(K_{0}(X))\to K_{0}(X)\to K_{0}(X)/F^{1}(K_{0}(X))\to 0}
CH
1
(
C
)
≅
Pic
(
C
)
{\displaystyle {\text{CH}}^{1}(C)\cong {\text{Pic}}(C)}
C
H
0
(
C
)
≅
Z
{\displaystyle CH^{0}(C)\cong \mathbb {Z} }
Ext
Ab
1
(
Z
,
G
)
=
0
{\displaystyle {\text{Ext}}_{\text{Ab}}^{1}(\mathbb {Z} ,G)=0}
C
{\displaystyle C}
g
{\displaystyle g}
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
K
0
(
C
)
≅
Z
⊕
(
C
g
/
Z
2
g
)
{\displaystyle K_{0}(C)\cong \mathbb {Z} \oplus (\mathbb {C} ^{g}/\mathbb {Z} ^{2g})}
アプリケーション
仮想バンドル グロタンディーク群の有用な応用の一つは、仮想ベクトル束を定義することである。例えば、滑らかな空間の埋め込みがある場合 、短い正確なシーケンスが存在する。
Y
↪
X
{\displaystyle Y\hookrightarrow X}
0
→
Ω
Y
→
Ω
X
|
Y
→
C
Y
/
X
→
0
{\displaystyle 0\to \Omega _{Y}\to \Omega _{X}|_{Y}\to C_{Y/X}\to 0}
ここで は における の余法線バンドルです。 滑らかな空間に埋め込まれた 特異空間がある場合、 仮想余法線バンドルを次のように定義します。
C
Y
/
X
{\displaystyle C_{Y/X}}
Y
{\displaystyle Y}
X
{\displaystyle X}
Y
{\displaystyle Y}
X
{\displaystyle X}
[
Ω
X
|
Y
]
−
[
Ω
Y
]
{\displaystyle [\Omega _{X}|_{Y}]-[\Omega _{Y}]}
仮想バンドルのもう一つの有用な応用は、空間の交差の仮想接バンドルの定義である。 を滑らかな射影多様体の射影部分多様体とする。すると、それらの交差の仮想接バンドルを 次のように
定義できる。
Y
1
,
Y
2
⊂
X
{\displaystyle Y_{1},Y_{2}\subset X}
Z
=
Y
1
∩
Y
2
{\displaystyle Z=Y_{1}\cap Y_{2}}
[
T
Z
]
v
i
r
=
[
T
Y
1
]
|
Z
+
[
T
Y
2
]
|
Z
−
[
T
X
]
|
Z
.
{\displaystyle [T_{Z}]^{vir}=[T_{Y_{1}}]|_{Z}+[T_{Y_{2}}]|_{Z}-[T_{X}]|_{Z}.}
コンツェビッチは彼の論文の一つでこの構文を使用しています。 [12]
チャーン文字 チャーン類は、空間の 位相的K理論 からその有理コホモロジー（の完備化）への環の準同型を構成するために使用できる 。直線束 L に対して、チャーン指標chは次のように定義される。
ch
(
L
)
=
exp
(
c
1
(
L
)
)
:=
∑
m
=
0
∞
c
1
(
L
)
m
m
!
.
{\displaystyle \operatorname {ch} (L)=\exp(c_{1}(L)):=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {c_{1}(L)^{m}}{m!}}.}
より一般的には、 直線束の直和の場合、第一チャーン類を用いて チャーン指標は加法的に定義される。
V
=
L
1
⊕
⋯
⊕
L
n
{\displaystyle V=L_{1}\oplus \dots \oplus L_{n}}
x
i
=
c
1
(
L
i
)
,
{\displaystyle x_{i}=c_{1}(L_{i}),}
ch
(
V
)
=
e
x
1
+
⋯
+
e
x
n
:=
∑
m
=
0
∞
1
m
!
(
x
1
m
+
⋯
+
x
n
m
)
.
{\displaystyle \operatorname {ch} (V)=e^{x_{1}}+\dots +e^{x_{n}}:=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {1}{m!}}(x_{1}^{m}+\dots +x_{n}^{m}).}
チャーン特性は、テンソル積のチャーン類の計算を容易にするため、部分的に有用である。チャーン特性は、ヒル ツェブルッフ・リーマン・ロッホの定理 で使用されている。
同変K理論 同 変代数K理論は、 Quillenの Q構成を介して、 線型代数群の作用 を伴う 代数スキーム上の 同変連接層 の カテゴリに関連付けられた 代数K理論 である 。したがって、定義により、
Coh
G
(
X
)
{\displaystyle \operatorname {Coh} ^{G}(X)}
X
{\displaystyle X}
G
{\displaystyle G}
K
i
G
(
X
)
=
π
i
(
B
+
Coh
G
(
X
)
)
.
{\displaystyle K_{i}^{G}(X)=\pi _{i}(B^{+}\operatorname {Coh} ^{G}(X)).}
特に、 は の グロタンディーク群 である 。この理論は1980年代にRWトーマスンによって開発された。 [13] 具体的には、彼は局在定理などの基本定理の同変類似を証明した。
K
0
G
(
C
)
{\displaystyle K_{0}^{G}(C)}
Coh
G
(
X
)
{\displaystyle \operatorname {Coh} ^{G}(X)}
参照
注記
^ Atiyah, Michael (2000). 「K理論の過去と現在」. arXiv : math/0012213 . ^ パーク、エフトン (2008)。複素位相的 K 理論。ケンブリッジ: ケンブリッジ大学出版局 。ISBN 978-0-511-38869-9 . OCLC 227161674. ^ グロタンディーク。 「SGA 6 - 適切なスキーマ代数における交差の形式主義」。 ^ カロウビ、2006年 ^ Ruben Minasian (http://string.lpthe.jussieu.fr/members.pl?key=7)、および Gregory Moore 著「K-theory and Ramond–Ramond Charge」。 ^ 「双対数上の射影空間のグロタンディーク群」。mathoverflow.net 。 2017年4月16日 閲覧 。 ^ 「kt.k理論とホモロジー - 双対数上の射影空間のグロタンディーク群」 。MathOverflow 。 2020年10月20日 閲覧 。 ^ マニン、ユリ I (1969-01-01)。 「代数幾何学における K 関数の講義」。 ロシアの数学的調査 。 24 (5): 1-89。 Bibcode :1969RuMaS..24....1M。 土井 ：10.1070/rm1969v024n05abeh001357。 ISSN 0036-0279。 ^ 「ag.algebraic geometry - 重み付き射影空間の代数グロタンディーク群は有限生成か？」。 MathOverflow 。 2020年10月20日 閲覧 。 ^ ab Pavic, Nebojsa; Shinder, Evgeny (2021). 「K理論と商特異点の特異点カテゴリ」 K理論年報 . 6 (3): 381–424. arXiv : 1809.10919 . doi :10.2140/akt.2021.6.381. S2CID 85502709. ^ ab Srinivas, V. (1991). 代数的K理論. ボストン: Birkhäuser. ISBN 978-1-4899-6735-0 . OCLC 624583210. ^ Kontsevich, Maxim (1995)、「トーラス作用による有理曲線の列挙」、 曲線のモジュライ空間 (Texel Island、1994) 、Progress in Mathematics、vol. 129、ボストン、MA: Birkhäuser Boston、pp. 335–368、 arXiv : hep-th/9405035 、 MR 1363062 ^ チャールズ・A・ワイベル、ロバート・W・トーマソン（1952–1995）。
参考文献
外部リンク グロタンディーク-リーマン-ロッホ マックス・カルービのページ K理論プレプリントアーカイブ
![{\displaystyle [(a_{1},a_{2})]+[(b_{1},b_{2})]=[(a_{1}+'b_{1},a_{2}+'b_{2})].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/182427e4e418cca8f96a58f86919a42086c6c672)
![{\displaystyle a\mapsto [(a,0)],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4e047ed4aef19ca8ec67bb9bf1f0121d31eed69)
![{\displaystyle [(0,0)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dea79f439d5bf46e299f412248f64c51f5af2b75)
![{\displaystyle [(a,b)]+[(b,a)]=[(a+b,a+b)]=[(0,0)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b8e26de4b3780d97370f13c63838a6bc9c5ed95)
![{\displaystyle [(a,b)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d4673f87e9f04b411addd9c344dceb4c2915dd1)
![{\displaystyle [E]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a170d18691c57fbfee5802ee401bd9f84ac8804b)
![{\displaystyle [E]\oplus [E']=[E\oplus E']}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aba77a413deb4c31f306f059e1bf1f9eff1eeb31)
![{\displaystyle [{\mathcal {E}}]=[{\mathcal {E}}']+[{\mathcal {E}}'']}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4910a33bb632381c01383bda13f87a92d3948253)
![{\displaystyle [{\mathcal {E}}]\cdot [{\mathcal {E}}']=\sum (-1)^{k}\left[\operatorname {Tor} _{k}^{{\mathcal {O}}_{X}}({\mathcal {E}},{\mathcal {E}}')\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a7186f606702b303c83f1d3c942dd13d99daae6)
![{\displaystyle K_{0}\left({\text{Spec}}\left({\frac {\mathbb {F} [x]}{(x^{9})}}\times \mathbb {F} \right)\right)=\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c26e6ba6777b92f64c57462cf93640c559679294)
![{\displaystyle i^{*}([i_{*}{\mathcal {E}}]\cdot [i_{*}{\mathcal {F}}])}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c57bd9f415c56a0c2f4b0268fefa3d19540248e6)
![{\displaystyle K(\mathbb {P} ^{n})={\frac {\mathbb {Z} [T]}{(T^{n+1})}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8ad8292ded3dd543440a078d7b103acc3c3817c)
![{\displaystyle [\Omega _{X}|_{Y}]-[\Omega _{Y}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4bc33d118bc04780270c9f36cb27e9a681ce46d)
![{\displaystyle [T_{Z}]^{vir}=[T_{Y_{1}}]|_{Z}+[T_{Y_{2}}]|_{Z}-[T_{X}]|_{Z}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7fc864d9b60c00dc0f3255ac079792dc0e8d32c5)
