トムスペース

数学において、代数位相幾何学および微分位相幾何学のトム空間、 トム複体、またはポントリャーギン-トム構成（ルネ・トムとレフ・ポントリャーギンにちなんで命名）は、任意の準コンパクト空間上のベクトル束に関連付けられた位相空間です。

この空間を構築する一つの方法は次のとおりです。

${\displaystyle p\colon E\to B}$

をパラコンパクト空間B上の階数n の 実 ベクトル束とします。このとき、 B 内の各点 b に対して、ファイバーは n次元の実ベクトル空間です。各ファイバーの1 点コンパクト化を取り、それらを接着して全体の空間を得ることにより、n球面束を形成できます。 ^{[さらなる説明が必要]}最後に、全体の空間から、をBで割った商としてトム空間を取得します。つまり、すべての新しい点を 1 つの点 と同一視し、その点を の基点とすることで得られます。Bがコンパクトであれば、 はEの 1 点コンパクト化です。 ${\displaystyle E_{b}}$ ${\displaystyle \operatorname {Sph} (E)\to B}$${\displaystyle \operatorname {Sph} (E)}$ ${\displaystyle T(E)}$${\displaystyle \operatorname {Sph} (E)}$${\displaystyle \infty}$${\displaystyle T(E)}$${\displaystyle T(E)}$

たとえば、E が自明なバンドル である場合、 は となり、分離した基点を持つBについて書くと、は とのスマッシュ積、つまり のn番目の縮小サスペンションとなります。 ${\displaystyle B\times \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \operatorname {Sph} (E)}$${\displaystyle B\times S^{n}}$${\displaystyle B_{+}}$${\displaystyle T(E)}$${\displaystyle B_{+}}$${\displaystyle S^{n}}$${\displaystyle B_{+}}$

あるいは、^{[引用が必要]} B はパラコンパクトであるため、Eにユークリッド計量を与え、Eの単位円板バンドルをEの単位球面バンドルで割った商として定義することができます。 ${\displaystyle T(E)}$${\displaystyle (n-1)}$

この構成の重要性は、ファイバー束のコホモロジーという主題に属する次の結果から始まります。(向き付け可能性から生じる複雑さを避けるために、係数で結果を述べました。ベクトル束の向き#トム空間も参照してください。) ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$

を階数nの実ベクトル束とする。このとき、トム同型と呼ばれる同型が存在する。${\displaystyle p:E\to B}$

${\displaystyle \Phi :H^{k}(B;\mathbb {Z} _{2})\to {\widetilde {H}}^{k+n}(T(E);\mathbb {Z} _{2}),}$

すべてのkが 0 以上の場合、右辺は既約コホモロジーです。

この定理は、ルネ・トムが1952年に発表した有名な論文で定式化され、証明されました。

この定理は、局所的自明化上の懸架同型のグローバル一般化として解釈できる。なぜなら、ランクkのB上の自明バンドルのトム空間は、分離点が追加されたBのk番目の懸架と同型だからである(トム空間の構築を参照)。これは、トム空間を参照しない定理の定式化でより簡単に見ることができる。 ${\displaystyle B_{+}}$

簡潔に言えば、定理の最後の部分は、u が右 - 加群として自由に生成することを述べています。クラスuは通常、Eのトムクラスと呼ばれます。プルバックは環同型なので、次の式で与えられます。 ${\displaystyle H^{*}(E,E\setminus B;\Lambda )}$${\displaystyle H^{*}(E;\Lambda )}$${\displaystyle p^{*}:H^{*}(B;\Lambda )\to H^{*}(E;\Lambda )}$${\displaystyle \Phi }$

${\displaystyle \Phi (b)=p^{*}(b)\smile u.}$

特に、トム同型はの単位元をuに送ります。注: この式が意味を成すように、u はの元として扱われます (環は省略します)。 ${\displaystyle H^{*}(B)}$${\displaystyle \Lambda }$

${\displaystyle {\tilde {H}}^{n}(T(E))=H^{n}(\operatorname {Sph} (E),B)\simeq H^{n}(E,E\setminus B).}$^[1]

Thom 同型性の標準的な参考文献は、Bott と Tu による本です。

1952 年の論文で、トムはトム類、スティーフェル・ホイットニー類、およびスティーンロッド演算がすべて関連していることを示した。彼はこれらのアイデアを使用して、1954 年の論文Quelques propriétés globales des variétés differentiables で、コボルディズム群が特定のトム空間MG ( n ) のホモトピー群として計算できることを証明した。この証明は滑らかな多様体の横断特性に依存し、密接に関連している—トム横断定理を参照。この構成を逆にすることで、ジョン・ミルナーとセルゲイ・ノビコフは(他の多くの人々とともに) 高次元多様体の存在と一意性に関する質問に答えることができ、これは現在では手術理論として知られている。さらに、空間MG(n) は互いに適合して現在トムスペクトルとして知られるスペクトルMG を形成し、コボルディズム群は実際に安定している。したがって、トムの構成は微分位相幾何学と安定ホモトピー理論を統合するものでもあり、特に球面の安定ホモトピー群に関する知識に不可欠です。

スティーンロッド演算が利用できる場合は、それと定理の同型性を利用してスティーフェル・ホイットニー類を構築できる。スティーンロッド演算（mod 2）は自然変換であることを思い出すと、

${\displaystyle Sq^{i}:H^{m}(-;\mathbb {Z} _{2})\to H^{m+i}(-;\mathbb {Z} _{2}),}$

はすべての非負整数mに対して定義されます。 の場合、 はカップスクエアと一致します。ベクトルバンドルのi番目の Stiefel–Whitney クラスを次のように定義できます。 ${\displaystyle i=m}$${\displaystyle Sq^{i}}$${\displaystyle w_{i}(p)}$${\displaystyle p:E\to B}$

${\displaystyle w_{i}(p)=\Phi ^{-1}(Sq^{i}(\Phi (1)))=\Phi ^{-1}(Sq^{i}(u)).}$

上記のバンドルを滑らかな多様体の接バンドルとすると、上記の結論はWu 公式と呼ばれ、次のような強い帰結が得られます。スティーンロッド演算はホモトピー同値性の下で不変なので、多様体のスティーフェル・ホイットニー類も同様に不変であると結論付けられます。これは、他の特性類には一般化できない驚くべき結果です。セルゲイ・ノビコフによる、有理ポンチャギン類の位相的不変性を確立する同様の有名で難しい結果が存在します。

ボルディズムについては2つの考え方がある。1つは、2つの-多様体が共形であるとは、境界を持つ -多様体が存在する場合である。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle M,M'}$${\displaystyle (n+1)}$${\displaystyle W}$

${\displaystyle \partial W=M\coprod M'}$

この種の情報をエンコードする別の手法は、埋め込みを取り、通常のバンドルを考慮すること である。${\displaystyle M\hookrightarrow \mathbb {R} ^{N+n}}$

${\displaystyle \nu :N_{\mathbb {R} ^{N+n}/M}\to M}$

埋め込み多様体と正規バンドルの同型類は、実際には共ボルディズム類と同じ情報をエンコードします。これは、共ボルディズムを使用して、以下で定義されるトム空間への写像のホモトピー類を与える埋め込みを見つけることによって示されます^[2]。 ${\displaystyle [M]}$${\displaystyle W}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{N_{W}+n}\times [0,1]}$${\displaystyle MO(n)}$

${\displaystyle \pi _{n}MO\cong \Omega _{n}^{O}}$

もう少し作業が必要です。^[3]

定義によれば、トムスペクトル^[4]はトム空間の列である。

${\displaystyle MO(n)=T(\gamma ^{n})}$

ここで、階数nの普遍ベクトル束について書きました。この数列はスペクトルを形成します。^[5] Thom の定理によれば、 は無向コボルディズム環です。^[6]この定理の証明は、 Thom の横断性定理に大きく依存しています。^[7]横断性がないため、Thom のスペクトルから、たとえば位相多様体のコボルディズム環を計算することはできません。 ${\displaystyle \gamma ^{n}\to BO(n)}$${\displaystyle \pi _{*}(MO)}$

• コボルディズム
• コホモロジー演算
• スティーンロッド問題
• 服部・ストン定理

• サリバン、デニス(2004)。「ルネ・トムの幾何学的ホモロジーおよびボルディズムに関する研究」。アメリカ数学会報。41 (3): 341–350。doi : 10.1090/ S0273-0979-04-01026-2。
• ボット、ラウル、トゥ、ローリング（1982）。代数的位相幾何学における微分形式。ニューヨーク：シュプリンガー。ISBN 0-387-90613-4。微分位相幾何学の古典的な参考書で、ポアンカレ双対性、球面束のオイラー類、トム類、トム同型性などへのリンクを扱っています。
• ミルナー、ジョン.特性クラス.は、Thom クラスと Thom 同型性に関するもう 1 つの標準的なリファレンスです。特に段落 18 を参照してください。
• メイ、J.ピーター（1999年）。 『代数的位相幾何学の簡潔な講座』シカゴ大学出版局。pp.183-198。ISBN 0-226-51182-0。この教科書では、自明なベクトル束に対する Thom クラスの詳細な構成を示し、任意のベクトル束の場合の定理も定式化します。
• ストング、ロバート E. (1968)。コボルディズム理論に関するノート。プリンストン大学出版局。
• トム、ルネ（1954年）。 「グローバルな独自性と差別化の可能性」。数学ヘルヴェティチの解説。28：17-86。土井：10.1007/BF02566923。S2CID  120243638。
• Ando, Matthew; Blumberg, Andrew J.; Gepner, David J.; Hopkins, Michael J .; Rezk, Charles (2014). 「リングスペクトルとトムスペクトルの単位」. Journal of Topology . 7 (4): 1077–1117. arXiv : 0810.4535 . doi :10.1112/jtopol/jtu009. MR  0286898. S2CID  119613530.

• http://ncatlab.org/nlab/show/Thom+spectrum
• 「トム空間」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]