双曲線

数学において、双曲線は平面上に存在する滑らかな 曲線の一種であり、その幾何学的特性またはそれが解集合となる方程式によって定義されます。双曲線は、連結成分または分岐と呼ばれる 2 つの部分から成り、これらは互いに鏡像関係にあり、2 つの無限の弓に似ています。双曲線は、平面と二重円錐の交差によって形成される3 種類の円錐断面の 1 つです(他の円錐断面は放物線と楕円です。円は楕円の特殊なケースです)。平面が二重円錐の両方の半分と交差するが、円錐の頂点を通過しない場合、円錐は双曲線です。

双曲線は円錐曲線であるほか、 2 つの固定焦点までの距離の差が一定である点の軌跡、各点における 2 つの固定焦点への光線がその点での接線を横切る反射となる曲線、または相互関係^[1]などの特定の 2変数二次方程式の解として発生することもあります。実際の応用では、双曲線は、日時計の日時計の針の先端の影がたどる経路、最も近い重力体の脱出速度を超える天体の開いた軌道の形状、または素粒子の散乱軌道などとして発生することがあります。 ${\displaystyle 1.}$

双曲線の各枝には 2 本の腕があり、双曲線の中心から離れるほど直線 (曲率が低い) になります。各枝から 1 本ずつ対角線上に伸びる腕は、極限では共通線に向かいます。この線は 2 本の腕の漸近線と呼ばれます。したがって、2 本の漸近線があり、その交点は双曲線の対称中心にあります。これは、各枝が反射して他の枝を形成する鏡像点と考えることができます。曲線の場合、漸近線は 2 つの座標軸です。^[1]${\displaystyle y(x)=1/x}$

双曲線は、離心率、焦点、準線など、楕円の解析特性の多くを共有しています。通常、いくつかの項の符号を変更するだけで対応できます。双曲放物面(鞍面)、双曲面(「ゴミ箱」)、双曲幾何学(ロバチェフスキーの有名な非ユークリッド幾何学)、双曲関数(sinh、cosh、tanh など)、ジャイロベクトル空間(相対性理論と量子力学の両方で使用するために提案された、ユークリッドではない幾何学) など、他の多くの数学的対象は双曲線に由来しています。

「双曲線」という単語は、ギリシャ語の ὑπερβολήに由来し、「過剰」または「過剰な」を意味し、英語の用語hyperboleもこの語から派生しています。双曲線は、立方体を倍にする問題の研究中にメナエクモスによって発見されましたが、当時は鈍角円錐の断面と呼ばれていました。^{[2]双曲線という用語は、}ペルガのアポロニウス(紀元前 262 年頃 - 紀元前 190 年頃) が円錐断面に関する決定的な著作である円錐曲線の中で作った造語であると考えられています。 [ ^3] 他の 2 つの一般的な円錐断面の名前である楕円と放物線は、それぞれ「不足」と「適用」を意味するギリシャ語に由来しています。これら 3 つの名前はすべて、一定面積の長方形の辺と特定の線分との比較を指した、以前のピタゴラス学派の用語から借用されたものです。長方形は線分に「適用」される（つまり、長さが等しい）か、線分より短くなるか、線分を超える可能性がある。^[4]

双曲線は、ユークリッド平面上の 点の集合（点の軌跡）として幾何学的に定義できます。

焦点を結ぶ線分の中点は、双曲線の中心と呼ばれます。 ^[6]焦点を通る線は長軸と呼ばれます。これには、中心からの距離を持つ 頂点が含まれます。焦点から中心までの距離は、焦点距離または線離心率と呼ばれます。商が離心率です。 ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle V_{1},V_{2}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle c}$${\displaystyle {\tfrac {c}{a}}}$ ${\displaystyle e}$

この方程式は、別の見方をすることもできます (図を参照)。 が中点、半径 の円である場合、円の右枝の点から焦点 までの距離は、焦点 までの距離に等しくなります。 は、 双曲線の円準線(焦点 に関連)と呼ばれます。 ^{[7] [8]}双曲線の左枝を得るためには、 に関連する円準線を使用する必要があります。 この特性を、以下の準線 (直線) を使用した双曲線の定義と混同しないでください。 ${\displaystyle \left|\left|PF_{2}\right|-\left|PF_{1}\right|\right|=2a}$
${\displaystyle c_{2}}$${\displaystyle F_{2}}$${\displaystyle 2a}$${\displaystyle P}$${\displaystyle c_{2}}$${\displaystyle F_{1}}$$${\displaystyle |PF_{1}|=|Pc_{2}|.}$$ ${\displaystyle c_{2}}$${\displaystyle F_{2}}$${\displaystyle F_{1}}$

xy座標系を原点を中心に角度だけ回転し 、新しい座標を割り当てると、 となります。半軸が等しい 直角双曲線は、新しい方程式 を持ちます。 を解くと、次の式が得られます。${\displaystyle +45^{\circ }}$${\displaystyle \xi ,\eta }$${\displaystyle x={\tfrac {\xi +\eta }{\sqrt {2}}},\;y={\tfrac {-\xi +\eta }{\sqrt {2}}}}$
${\displaystyle {\tfrac {x^{2}-y^{2}}{a^{2}}}=1}$${\displaystyle {\tfrac {2\xi \eta }{a^{2}}}=1}$${\displaystyle \eta }$${\displaystyle \eta ={\tfrac {a^{2}/2}{\xi }}\ .}$

したがって、xy座標系では、方程式を持つ 関数のグラフは、第1象限と第3象限で完全に直角双曲線となり、 ${\displaystyle f:x\mapsto {\tfrac {A}{x}},\;A>0\;,}$$${\displaystyle y={\frac {A}{x}}\;,A>0\;,}$$

• 座標軸を漸近線として、
• 線を主軸として、${\displaystyle y=x}$
• 中心と半軸​ ${\displaystyle (0,0)}$ ${\displaystyle a=b={\sqrt {2A}}\;,}$
• 頂点​ ${\displaystyle \left({\sqrt {A}},{\sqrt {A}}\right),\left(-{\sqrt {A}},-{\sqrt {A}}\right)\;,}$
• 半直筋と頂点の曲率半径${\displaystyle p=a={\sqrt {2A}}\;,}$
• 直線偏心 と偏心${\displaystyle c=2{\sqrt {A}}}$${\displaystyle e={\sqrt {2}}\;,}$
• 点における 接線${\displaystyle y=-{\tfrac {A}{x_{0}^{2}}}x+2{\tfrac {A}{x_{0}}}}$${\displaystyle (x_{0},A/x_{0})\;.}$

元の双曲線を回転すると、第2象限と第4象限全体が長方形の双曲線になり、回転の場合と同じ漸近線、中心、半直角、頂点の曲率半径、線形偏心、偏心を持ち、式は次 のようになります。${\displaystyle -45^{\circ }}$${\displaystyle +45^{\circ }}$$${\displaystyle y=-{\frac {A}{x}}\;,~~A>0\;,}$$

• 半斧 ${\displaystyle a=b={\sqrt {2A}}\;,}$
• 線を主軸として、${\displaystyle y=-x}$
• 頂点​ ${\displaystyle \left(-{\sqrt {A}},{\sqrt {A}}\right),\left({\sqrt {A}},-{\sqrt {A}}\right)\;.}$

双曲線を方程式 でシフトして新しい中心を にすると、新しい方程式 が得られ 、新しい漸近線はと になります。形状パラメータは変更されません。 ${\displaystyle y={\frac {A}{x}},\ A\neq 0\ ,}$${\displaystyle (c_{0},d_{0})}$$${\displaystyle y={\frac {A}{x-c_{0}}}+d_{0}\;,}$$${\displaystyle x=c_{0}}$${\displaystyle y=d_{0}}$${\displaystyle a,b,p,c,e}$

中心から離れて短軸に平行な 2 本の線は、双曲線の 準線と呼ばれます (図を参照)。${\textstyle d={\frac {a^{2}}{c}}}$

双曲線の任意の点について、1 つの焦点までの距離と対応する準線までの距離の商 (図を参照) は離心率に等しくなります。 このペアの証明は、およびが次の式を満たす という事実から得られます 。2 番目のケースも同様に証明されます。 ${\displaystyle P}$$${\displaystyle {\frac {|PF_{1}|}{|Pl_{1}|}}={\frac {|PF_{2}|}{|Pl_{2}|}}=e={\frac {c}{a}}\,.}$$${\displaystyle F_{1},l_{1}}$${\displaystyle |PF_{1}|^{2}=(x-c)^{2}+y^{2},\ |Pl_{1}|^{2}=\left(x-{\tfrac {a^{2}}{c}}\right)^{2}}$${\displaystyle y^{2}={\tfrac {b^{2}}{a^{2}}}x^{2}-b^{2}}$$${\displaystyle |PF_{1}|^{2}-{\frac {c^{2}}{a^{2}}}|Pl_{1}|^{2}=0\ .}$$

逆の記述も真であり、双曲線を定義するために使用できます (放物線の定義と同様の方法で)。

任意の点（焦点）、その点を通らない任意の直線（準線）、および点の集合（点の軌跡）を持つ任意の実数について、その点までの距離と直線までの距離の商が 双曲線になる。 ${\displaystyle F}$${\displaystyle l}$${\displaystyle F}$ ${\displaystyle e}$${\displaystyle e>1}$${\displaystyle e}$ $${\displaystyle H=\left\{P\,{\Biggr |}\,{\frac {|PF|}{|Pl|}}=e\right\}}$$

( を選択すると放物線になり、を選択すると楕円になります。) ${\displaystyle e=1}$${\displaystyle e<1}$

を曲線上の点と仮定します。準線は方程式 を持ちます。 とすると、関係は次の方程式を生成します。 ${\displaystyle F=(f,0),\ e>0}$${\displaystyle (0,0)}$${\displaystyle l}$${\displaystyle x=-{\tfrac {f}{e}}}$${\displaystyle P=(x,y)}$${\displaystyle |PF|^{2}=e^{2}|Pl|^{2}}$

${\displaystyle (x-f)^{2}+y^{2}=e^{2}\left(x+{\tfrac {f}{e}}\right)^{2}=(ex+f)^{2}}$そして${\displaystyle x^{2}(e^{2}-1)+2xf(1+e)-y^{2}=0.}$

代入により、次の式が得られます 。これは、楕円( )、放物線( )、または双曲線( ) の方程式です。これらの非退化円錐曲線はすべて、共通して原点を頂点としています (図を参照)。 ${\displaystyle p=f(1+e)}$$${\displaystyle x^{2}(e^{2}-1)+2px-y^{2}=0.}$$${\displaystyle e<1}$${\displaystyle e=1}$${\displaystyle e>1}$

の場合、となるように新しいパラメータを導入すると、上の式は となり、これは 中心、長軸としてx軸、長/短半軸 を 持つ双曲線の式になります。 ${\displaystyle e>1}$${\displaystyle a,b}$${\displaystyle e^{2}-1={\tfrac {b^{2}}{a^{2}}},{\text{ and }}\ p={\tfrac {b^{2}}{a}}}$$${\displaystyle {\frac {(x+a)^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1\,,}$$${\displaystyle (-a,0)}$${\displaystyle a,b}$

準線(図を参照) と焦点は円に関して逆であるため、円(図の緑色)で反転します。したがって、点はタレスの定理を使用して作成できます(図には示されていません)。準線は、点を通る直線に対する垂線です。 ${\displaystyle c\cdot {\tfrac {a^{2}}{c}}=a^{2}}$${\displaystyle L_{1}}$${\displaystyle l_{1}}$${\displaystyle F_{1}}$${\displaystyle x^{2}+y^{2}=a^{2}}$${\displaystyle E_{1}}$${\displaystyle l_{1}}$${\displaystyle {\overline {F_{1}F_{2}}}}$${\displaystyle E_{1}}$

の別の構築${\displaystyle E_{1}}$: 計算により、その点は漸近線とその垂線との交点であることが示されます(図を参照)。 ${\displaystyle E_{1}}$${\displaystyle F_{1}}$

頂点を通らず、円錐上の直線の傾きよりも大きい傾きを持つ平面と直立二重円錐との交差は双曲線です (図の赤い曲線を参照)。双曲線の定義特性 (上記を参照) を証明するには、2 つのダンデリン球 を 使用します。ダンデリン球は、円 に沿って円錐に接する球であり、点とで交差 (双曲線) 平面となります。次の点が双曲線の焦点であることがわかります。 ${\displaystyle d_{1},d_{2}}$${\displaystyle c_{1}}$ ${\displaystyle c_{2}}$${\displaystyle F_{1}}$${\displaystyle F_{2}}$${\displaystyle F_{1},F_{2}}$

1. 交差曲線上の任意の点を とします 。${\displaystyle P}$
2. 円 を含む円錐の母線は、円を点で、円を点で交差します。${\displaystyle P}$${\displaystyle c_{1}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle c_{2}}$${\displaystyle B}$
3. 線分と は球に接しており、したがって長さが等しくなります。${\displaystyle {\overline {PF_{1}}}}$${\displaystyle {\overline {PA}}}$${\displaystyle d_{1}}$
4. 線分と は球に接しており、したがって長さが等しくなります。${\displaystyle {\overline {PF_{2}}}}$${\displaystyle {\overline {PB}}}$${\displaystyle d_{2}}$
5. 結果は次のようになります。 は双曲線の点とは無関係です。なぜなら、点がどこにあっても、円、上にあり、線分は頂点を横切る必要があるからです。 したがって、点が赤い曲線 (双曲線) に沿って移動すると、線分は長さを変えずに頂点の周りを回転するだけです。${\displaystyle |PF_{1}|-|PF_{2}|=|PA|-|PB|=|AB|}$${\displaystyle P}$${\displaystyle P}$${\displaystyle A,B}$${\displaystyle c_{1}}$ ${\displaystyle c_{2}}$${\displaystyle AB}$${\displaystyle P}$${\displaystyle {\overline {AB}}}$

双曲線の焦点と円準線による定義（上記参照）は、ピン、ひも、定規を使って双曲線の円弧を描くのに使用できます。^[9]

0. 焦点 、頂点、円の準線のいずれかを選択します（例 ：半径 の円）。${\displaystyle F_{1},F_{2}}$${\displaystyle V_{1},V_{2}}$${\displaystyle c_{2}}$${\displaystyle 2a}$
1. 定規は自由に回転できる点に固定されています。点は距離でマークされています。${\displaystyle F_{2}}$${\displaystyle F_{2}}$${\displaystyle B}$${\displaystyle 2a}$
2. 長さのある文字列を用意します。${\displaystyle |AB|}$
3. 紐の一方の端は定規の点 に固定され、もう一方の端は点 に固定されます。${\displaystyle A}$${\displaystyle F_{1}}$
4. ペンを手に取り、定規の端に紐をしっかりと当てます。
5. 定規を回転させると、ペンは双曲線の右枝の円弧を描きます。これは、 (円準線による双曲線の定義を参照) によるものです。${\displaystyle F_{2}}$${\displaystyle |PF_{1}|=|PB|}$

双曲線の単一の点を構築する次の方法は、非退化円錐曲線のシュタイナー生成に依存しています。

双曲線の点を生成するには、頂点 にある線分を使用します。を双曲線の点、 とします。線分は n 個の等間隔の線分に分割され、この分割は線分に対角線を方向として平行に投影されます (図を参照)。平行投影は、必要なと にある線分間の射影写像の一部です。任意の 2 つの関連する線分と の交点は、一意に定義された双曲線の点です。 ${\displaystyle {\tfrac {x^{2}}{a^{2}}}-{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$${\displaystyle V_{1},V_{2}}$${\displaystyle P=(x_{0},y_{0})}$${\displaystyle A=(a,y_{0}),B=(x_{0},0)}$${\displaystyle {\overline {BP}}}$${\displaystyle AB}$${\displaystyle {\overline {AP}}}$${\displaystyle V_{1}}$${\displaystyle V_{2}}$${\displaystyle S_{1}A_{i}}$${\displaystyle S_{2}B_{i}}$

備考：

• より多くのポイントを得るために、細分化をポイントを超えて拡張することもできますが、交差点の決定はより不正確になります。より良いアイデアは、対称性によってすでに構築されたポイントを拡張することです (アニメーションを参照)。${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$
• シュタイナー生成は楕円や放物線にも存在します。
• シュタイナー生成法は、頂点ではなく他の点を使用できるため、長方形ではなく平行四辺形から始まるため、平行四辺形法と呼ばれることもあります。

方程式を持つ双曲線は、異なるx座標とy座標を持つ3 つの点によって一意に決定されます。形状パラメータを決定する簡単な方法は、双曲線の円周角定理を使用することです。 ${\displaystyle y={\tfrac {a}{x-b}}+c,\ a\neq 0}$${\displaystyle (x_{1},y_{1}),\;(x_{2},y_{2}),\;(x_{3},y_{3})}$${\displaystyle a,b,c}$

円周 角定理と同様に、

双曲線の円周角定理の帰結は、

双曲線の別の定義ではアフィン変換を使用します。

ユークリッド平面のアフィン変換は の形を持ち、 は正則行列（行列式は0ではない）であり、 は任意のベクトルである。が行列 の列ベクトルである場合、単位双曲線は双曲線に写像される。 ${\displaystyle {\vec {x}}\to {\vec {f}}_{0}+A{\vec {x}}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle {\vec {f}}_{0}}$${\displaystyle {\vec {f}}_{1},{\vec {f}}_{2}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle (\pm \cosh(t),\sinh(t)),t\in \mathbb {R} ,}$

$${\displaystyle {\vec {x}}={\vec {p}}(t)={\vec {f}}_{0}\pm {\vec {f}}_{1}\cosh t+{\vec {f}}_{2}\sinh t\ .}$$

${\displaystyle {\vec {f}}_{0}}$は中心であり、双曲線の点であり、この点における接線ベクトルです。 ${\displaystyle {\vec {f}}_{0}+{\vec {f}}_{1}}$${\displaystyle {\vec {f}}_{2}}$

一般にベクトルは垂直ではありません。つまり、一般には 双曲線の頂点ではありません。しかし、漸近線の方向を指します。点における接線ベクトルは 頂点で接線が双曲線の長軸に垂直であるため、方程式から頂点の パラメータが得られ 、したがって 次の式が得られます。 ${\displaystyle {\vec {f}}_{1},{\vec {f}}_{2}}$${\displaystyle {\vec {f}}_{0}\pm {\vec {f}}_{1}}$${\displaystyle {\vec {f}}_{1}\pm {\vec {f}}_{2}}$${\displaystyle {\vec {p}}(t)}$$${\displaystyle {\vec {p}}'(t)={\vec {f}}_{1}\sinh t+{\vec {f}}_{2}\cosh t\ .}$$${\displaystyle t_{0}}$$${\displaystyle {\vec {p}}'(t)\cdot \left({\vec {p}}(t)-{\vec {f}}_{0}\right)=\left({\vec {f}}_{1}\sinh t+{\vec {f}}_{2}\cosh t\right)\cdot \left({\vec {f}}_{1}\cosh t+{\vec {f}}_{2}\sinh t\right)=0}$$$${\displaystyle \coth(2t_{0})=-{\tfrac {{\vec {f}}_{1}^{\,2}+{\vec {f}}_{2}^{\,2}}{2{\vec {f}}_{1}\cdot {\vec {f}}_{2}}}\ ,}$$

$${\displaystyle t_{0}={\tfrac {1}{4}}\ln {\tfrac {\left({\vec {f}}_{1}-{\vec {f}}_{2}\right)^{2}}{\left({\vec {f}}_{1}+{\vec {f}}_{2}\right)^{2}}}.}$$

式、、が使用されました 。${\displaystyle \cosh ^{2}x+\sinh ^{2}x=\cosh 2x}$ ${\displaystyle 2\sinh x\cosh x=\sinh 2x}$${\displaystyle \operatorname {arcoth} x={\tfrac {1}{2}}\ln {\tfrac {x+1}{x-1}}}$

双曲線の 2つの頂点は${\displaystyle {\vec {f}}_{0}\pm \left({\vec {f}}_{1}\cosh t_{0}+{\vec {f}}_{2}\sinh t_{0}\right).}$

のパラメトリック表現をクラメールの定理で解き、 を使用すると、次の暗黙の表現が得られる。 ${\displaystyle \cosh t,\sinh t}$${\displaystyle \;\cosh ^{2}t-\sinh ^{2}t-1=0\;}$$${\displaystyle \det \left({\vec {x}}\!-\!{\vec {f}}\!_{0},{\vec {f}}\!_{2}\right)^{2}-\det \left({\vec {f}}\!_{1},{\vec {x}}\!-\!{\vec {f}}\!_{0}\right)^{2}-\det \left({\vec {f}}\!_{1},{\vec {f}}\!_{2}\right)^{2}=0.}$$

このセクションの双曲線の定義は、空間内のベクトルを許容する場合、空間内であっても任意の双曲線のパラメトリック表現を与えます。 ${\displaystyle {\vec {f}}\!_{0},{\vec {f}}\!_{1},{\vec {f}}\!_{2}}$

単位双曲線は双曲線とアフィン同値なので、任意の双曲線は双曲線のアフィン像（前のセクションを参照）と見なすことができます。${\displaystyle x^{2}-y^{2}=1}$${\displaystyle y=1/x}$${\displaystyle y=1/x\,}$

$${\displaystyle {\vec {x}}={\vec {p}}(t)={\vec {f}}_{0}+{\vec {f}}_{1}t+{\vec {f}}_{2}{\tfrac {1}{t}},\quad t\neq 0\,.}$$

${\displaystyle M:{\vec {f}}_{0}}$は双曲線の中心であり、ベクトルは漸近線の方向を持ち、は双曲線の点である。接線ベクトルは 頂点において接線は長軸に垂直である。したがって 、頂点のパラメータは ${\displaystyle {\vec {f}}_{1},{\vec {f}}_{2}}$${\displaystyle {\vec {f}}_{1}+{\vec {f}}_{2}}$$${\displaystyle {\vec {p}}'(t)={\vec {f}}_{1}-{\vec {f}}_{2}{\tfrac {1}{t^{2}}}.}$$$${\displaystyle {\vec {p}}'(t)\cdot \left({\vec {p}}(t)-{\vec {f}}_{0}\right)=\left({\vec {f}}_{1}-{\vec {f}}_{2}{\tfrac {1}{t^{2}}}\right)\cdot \left({\vec {f}}_{1}t+{\vec {f}}_{2}{\tfrac {1}{t}}\right)={\vec {f}}_{1}^{2}t-{\vec {f}}_{2}^{2}{\tfrac {1}{t^{3}}}=0}$$

$${\displaystyle t_{0}=\pm {\sqrt[{4}]{\frac {{\vec {f}}_{2}^{2}}{{\vec {f}}_{1}^{2}}}}.}$$

${\displaystyle \left|{\vec {f}}\!_{1}\right|=\left|{\vec {f}}\!_{2}\right|}$は と同等であり、 は双曲線の頂点です。 ${\displaystyle t_{0}=\pm 1}$${\displaystyle {\vec {f}}_{0}\pm ({\vec {f}}_{1}+{\vec {f}}_{2})}$

このセクションで紹介する双曲線の表現を使用すると、双曲線の次の特性が簡単に証明されます。

接線ベクトルは因数分解によって書き直すことができる。 これは次のことを意味する。 $${\displaystyle {\vec {p}}'(t)={\tfrac {1}{t}}\left({\vec {f}}_{1}t-{\vec {f}}_{2}{\tfrac {1}{t}}\right)\ .}$$

この特性は、双曲線上の点における接線を構築する方法を提供します。

双曲線のこの性質はパスカルの定理の3点退化のアフィンバージョンである。^[12]

灰色の平行四辺形の面積

上図の 灰色の平行四辺形の面積は であり 、したがって点 に依存しない。最後の式は、が頂点で双曲線の標準形が である場合の計算から得られる。${\displaystyle MAPB}$$${\displaystyle {\text{Area}}=\left|\det \left(t{\vec {f}}_{1},{\tfrac {1}{t}}{\vec {f}}_{2}\right)\right|=\left|\det \left({\vec {f}}_{1},{\vec {f}}_{2}\right)\right|=\cdots ={\frac {a^{2}+b^{2}}{4}}}$$${\displaystyle P}$${\displaystyle P}$${\displaystyle {\tfrac {x^{2}}{a^{2}}}-{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1\,.}$

パラメトリック表現の双曲線（簡単にするために中心が原点）の場合、次のようになります。 ${\displaystyle {\vec {x}}={\vec {p}}(t)={\vec {f}}_{1}t+{\vec {f}}_{2}{\tfrac {1}{t}}}$

簡単な証明は方程式の結果です。 ${\displaystyle {\tfrac {1}{t_{1}}}{\vec {a}}={\tfrac {1}{t_{2}}}{\vec {b}}}$

この特性により、漸近線と 1 つの点が与えられている場合に双曲線の点を構築できるようになります。

双曲線のこの性質はパスカルの定理の4点退化のアフィンバージョンである。^[13]

簡単にするために、双曲線の中心を原点とし、ベクトルの長さを等しくすることができます。最後の仮定が満たされない場合は、まずパラメータ変換 (上記参照) を適用して仮定を成立させることができます。したがって、頂点は短軸にまたがり、およびとなります。 ${\displaystyle {\vec {f}}_{1},{\vec {f}}_{2}}$${\displaystyle \pm ({\vec {f}}_{1}+{\vec {f}}_{2})}$${\displaystyle \pm ({\vec {f}}_{1}-{\vec {f}}_{2})}$${\displaystyle |{\vec {f}}_{1}+{\vec {f}}_{2}|=a}$${\displaystyle |{\vec {f}}_{1}-{\vec {f}}_{2}|=b}$

点 における接線と漸近線の交点については、点 が得られます。 三角形の 面積は、2 × 2 行列式によって計算できます。 (行列式の規則 を参照してください)。 は、 によって生成される菱形の面積です。菱形の面積は、その対角線の積の半分に等しくなります。対角線は双曲線の 半軸です。したがって、次のようになります。${\displaystyle {\vec {p}}(t_{0})={\vec {f}}_{1}t_{0}+{\vec {f}}_{2}{\tfrac {1}{t_{0}}}}$$${\displaystyle C=2t_{0}{\vec {f}}_{1},\ D={\tfrac {2}{t_{0}}}{\vec {f}}_{2}.}$$${\displaystyle M,C,D}$$${\displaystyle A={\tfrac {1}{2}}{\Big |}\det \left(2t_{0}{\vec {f}}_{1},{\tfrac {2}{t_{0}}}{\vec {f}}_{2}\right){\Big |}=2{\Big |}\det \left({\vec {f}}_{1},{\vec {f}}_{2}\right){\Big |}}$$${\displaystyle \left|\det({\vec {f}}_{1},{\vec {f}}_{2})\right|}$${\displaystyle {\vec {f}}_{1},{\vec {f}}_{2}}$${\displaystyle a,b}$

円Bを円C内で往復させると、常に双曲線などの円錐曲線が得られます。「円C内での往復」のプロセスは、幾何学図形内のすべての直線と点を、それぞれ対応する極と極性に置き換えることです。直線の極は円Cに最も近い点の反転ですが、点の極性はその逆、つまり、円 Cに最も近い点が点の反転である 直線です。

往復運動によって得られる円錐断面の離心率は、2つの円の中心間の距離と往復円Cの半径rの比である。BとCが対応する円の中心の点を表す場合、

$${\displaystyle e={\frac {\overline {BC}}{r}}.}$$

双曲線の離心率は常に 1 より大きいため、中心B は往復円Cの外側に位置している必要があります。

この定義は、双曲線が円Bの接線の極の軌跡であると同時に、円B上の点の極線の包絡線でもあることを意味します。逆に、円Bは双曲線上の点の極の包絡線であると同時に、双曲線の接線の極の軌跡でもあります。円Bの 2 つの接線は、往復円Cの中心Cを通るため、（有限の）極を持ちません。円B上の対応する接点の極は、双曲線の漸近線です。双曲線の 2 つの枝は、これらの接点によって分離された 円Bの 2 つの部分に対応します。

双曲線は、平面上の直交座標の2次方程式として定義することもできます。 ${\displaystyle (x,y)}$

$${\displaystyle A_{xx}x^{2}+2A_{xy}xy+A_{yy}y^{2}+2B_{x}x+2B_{y}y+C=0,}$$

ただし、定数とが行列式条件を満たすものとする。 ${\displaystyle A_{xx},}$ ${\displaystyle A_{xy},}$ ${\displaystyle A_{yy},}$ ${\displaystyle B_{x},}$ ${\displaystyle B_{y},}$${\displaystyle C}$

$${\displaystyle D:={\begin{vmatrix}A_{xx}&A_{xy}\\A_{xy}&A_{yy}\end{vmatrix}}<0.}$$

この行列式は慣例的に円錐曲線の判別式と呼ばれています。 ^[14]

双曲線の特殊なケース、つまり交差する 2 本の線からなる退化した双曲線は、別の行列式が 0 のときに発生します。

$${\displaystyle \Delta :={\begin{vmatrix}A_{xx}&A_{xy}&B_{x}\\A_{xy}&A_{yy}&B_{y}\\B_{x}&B_{y}&C\end{vmatrix}}=0.}$$

この行列式は円錐曲線の判別式と呼ばれることもあります。^[15]${\displaystyle \Delta }$

一般的な方程式の係数は、既知の長半径、短半径、中心座標、および回転角度（正の水平軸から双曲線の長軸までの角度）から次の式を使用して取得できます。 ${\displaystyle a,}$${\displaystyle b,}$${\displaystyle (x_{\circ },y_{\circ })}$${\displaystyle \theta }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}A_{xx}&=-a^{2}\sin ^{2}\theta +b^{2}\cos ^{2}\theta ,&B_{x}&=-A_{xx}x_{\circ }-A_{xy}y_{\circ },\\[1ex]A_{yy}&=-a^{2}\cos ^{2}\theta +b^{2}\sin ^{2}\theta ,&B_{y}&=-A_{xy}x_{\circ }-A_{yy}y_{\circ },\\[1ex]A_{xy}&=\left(a^{2}+b^{2}\right)\sin \theta \cos \theta ,&C&=A_{xx}x_{\circ }^{2}+2A_{xy}x_{\circ }y_{\circ }+A_{yy}y_{\circ }^{2}-a^{2}b^{2}.\end{aligned}}}$$

これらの式は正準方程式から導かれる。

$${\displaystyle {\frac {X^{2}}{a^{2}}}-{\frac {Y^{2}}{b^{2}}}=1}$$

座標の移動と回転によって：${\displaystyle (x,y)}$

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}X&={\phantom {+}}\left(x-x_{\circ }\right)\cos \theta &&+\left(y-y_{\circ }\right)\sin \theta ,\\Y&=-\left(x-x_{\circ }\right)\sin \theta &&+\left(y-y_{\circ }\right)\cos \theta .\end{alignedat}}}$$

直交座標における双曲線の上記の一般的なパラメータ化を考えると、離心率は円錐曲線#係数による離心率の式を使用して求めることができます。

双曲線の中心は、次の式から決定できる。 ${\displaystyle (x_{c},y_{c})}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}x_{c}&=-{\frac {1}{D}}\,{\begin{vmatrix}B_{x}&A_{xy}\\B_{y}&A_{yy}\end{vmatrix}}\,,\\[1ex]y_{c}&=-{\frac {1}{D}}\,{\begin{vmatrix}A_{xx}&B_{x}\\A_{xy}&B_{y}\end{vmatrix}}\,.\end{aligned}}}$$

新しい座標と双曲線の定義方程式を使って書くと 、${\displaystyle \xi =x-x_{c}}$${\displaystyle \eta =y-y_{c},}$

$${\displaystyle A_{xx}\xi ^{2}+2A_{xy}\xi \eta +A_{yy}\eta ^{2}+{\frac {\Delta }{D}}=0.}$$

双曲線の主軸は正の軸と角度をなしており、その角度は次のように表される。 ${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle x}$

$${\displaystyle \tan(2\varphi )={\frac {2A_{xy}}{A_{xx}-A_{yy}}}.}$$

座標軸を回転させて、-軸が横軸と一直線になるようにすると、方程式は標準形になる。${\displaystyle x}$

$${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1.}$$

長半軸と短半軸は、次の式で定義されます。 ${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}a^{2}&=-{\frac {\Delta }{\lambda _{1}D}}=-{\frac {\Delta }{\lambda _{1}^{2}\lambda _{2}}},\\[1ex]b^{2}&=-{\frac {\Delta }{\lambda _{2}D}}=-{\frac {\Delta }{\lambda _{1}\lambda _{2}^{2}}},\end{aligned}}}$$

ここで、およびは二次方程式の根である。${\displaystyle \lambda _{1}}$${\displaystyle \lambda _{2}}$

$${\displaystyle \lambda ^{2}-\left(A_{xx}+A_{yy}\right)\lambda +D=0.}$$

比較のために、退化した双曲線（交差する2本の線から成る）の対応する式は次のようになる。

$${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=0.}$$

双曲線上の 任意の点への接線は、次の式で定義される。${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$

$${\displaystyle Ex+Fy+G=0}$$

ここで、およびは次のように定義されます。 ${\displaystyle E,}$ ${\displaystyle F,}$${\displaystyle G}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}E&=A_{xx}x_{0}+A_{xy}y_{0}+B_{x},\\[1ex]F&=A_{xy}x_{0}+A_{yy}y_{0}+B_{y},\\[1ex]G&=B_{x}x_{0}+B_{y}y_{0}+C.\end{aligned}}}$$

同じ点における双曲線の 法線は次の式で与えられる。

$${\displaystyle F(x-x_{0})-E(y-y_{0})=0.}$$

法線は接線に垂直であり、両方とも同じ点を通る。${\displaystyle (x_{0},y_{0}).}$

方程式から

$${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1,\qquad 0<b\leq a,}$$

左焦点は右焦点は で、は離心率です。点から左焦点と右焦点までの距離を と表します。右枝上の点の場合、 ${\displaystyle (-ae,0)}$${\displaystyle (ae,0),}$${\displaystyle e}$${\displaystyle (x,y)}$${\displaystyle r_{1}}$${\displaystyle r_{2}.}$

$${\displaystyle r_{1}-r_{2}=2a,}$$

左の枝上の点については、

$${\displaystyle r_{2}-r_{1}=2a.}$$

これは次のように証明できます。

が双曲線上の点である場合、左焦点までの距離は ${\displaystyle (x,y)}$

$${\displaystyle r_{1}^{2}=(x+ae)^{2}+y^{2}=x^{2}+2xae+a^{2}e^{2}+\left(x^{2}-a^{2}\right)\left(e^{2}-1\right)=(ex+a)^{2}.}$$

右焦点までの距離は

$${\displaystyle r_{2}^{2}=(x-ae)^{2}+y^{2}=x^{2}-2xae+a^{2}e^{2}+\left(x^{2}-a^{2}\right)\left(e^{2}-1\right)=(ex-a)^{2}.}$$

が双曲線の右枝上の点である場合、 ${\displaystyle (x,y)}$${\displaystyle ex>a}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}r_{1}&=ex+a,\\r_{2}&=ex-a.\end{aligned}}}$$

これらの式を減算すると

$${\displaystyle r_{1}-r_{2}=2a.}$$

が双曲線の左枝上の点である場合、 ${\displaystyle (x,y)}$${\displaystyle ex<-a}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}r_{1}&=-ex-a,\\r_{2}&=-ex+a.\end{aligned}}}$$

これらの式を減算すると

$${\displaystyle r_{2}-r_{1}=2a.}$$

原点が双曲線の中心、x軸が長軸となるような直交座標を導入すると、双曲線は東西に開いた双曲線と呼ばれ、

焦点は点である、^[6]${\displaystyle F_{1}=(c,0),\ F_{2}=(-c,0)}$

頂点はである。^[6]${\displaystyle V_{1}=(a,0),\ V_{2}=(-a,0)}$

任意の点について、焦点までの距離は で、2 番目の焦点までの距離は です。したがって、次の条件が満たされる場合 、その点は双曲線上にあります。 適切な平方根を除去し、関係を使用して双曲線の方程式を取得します。 ${\displaystyle (x,y)}$${\displaystyle (c,0)}$${\textstyle {\sqrt {(x-c)^{2}+y^{2}}}}$${\textstyle {\sqrt {(x+c)^{2}+y^{2}}}}$${\displaystyle (x,y)}$$${\displaystyle {\sqrt {(x-c)^{2}+y^{2}}}-{\sqrt {(x+c)^{2}+y^{2}}}=\pm 2a\ .}$$${\displaystyle b^{2}=c^{2}-a^{2}}$

$${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1\ .}$$

この方程式は双曲線の標準形と呼ばれます。これは、任意の双曲線が、直交座標軸に対する方向や中心の位置に関係なく、変数の変更によってこの形式に変換でき、元の双曲線と一致する双曲線が得られるためです(以下を参照)。

対称軸または主軸は、横軸（頂点を端点とする長さ 2 aの線分を含む）と共役軸（横軸に垂直で、双曲線の中心を中点とする長さ 2 bの線分を含む）である。 ^[6]楕円とは対照的に、双曲線には 2 つの頂点しかありません。共役軸上の2 つの点は双曲線上には ありません。${\displaystyle (a,0),\;(-a,0)}$${\displaystyle (0,b),\;(0,-b)}$

この式から、双曲線は両方の座標軸に対して 対称であり、したがって原点に対しても対称であることがわかります。

上記の標準形の双曲線の場合、離心率は次のように表される。

$${\displaystyle e={\sqrt {1+{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}.}$$

2 つの双曲線は幾何学的に互いに相似です。つまり、同じ形状であるため、同じ離心率を持つ場合に限り、一方を他方に剛体の左右の動き、回転、鏡像の取得、およびスケーリング (拡大) によって変換できます。

双曲線の方程式（上式）を解くと、次の式が得られ ます。 これから、 の値が大きくなると双曲線は2つの直線に近づくことがわかります。 これらの2つの直線は中心（原点）で交差し、双曲線の漸近線と呼ばれます^[16]${\displaystyle y}$$${\displaystyle y=\pm {\frac {b}{a}}{\sqrt {x^{2}-a^{2}}}.}$$$${\displaystyle y=\pm {\frac {b}{a}}x}$$${\displaystyle |x|}$${\displaystyle {\tfrac {x^{2}}{a^{2}}}-{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1\ .}$

2番目の図を見ると、

${\displaystyle {\color {blue}{(1)}}}$焦点からいずれかの漸近線までの垂直距離は（半短軸）です。${\displaystyle b}$

漸近線のヘッセ正規形 と双曲線の方程式から次式が得られる: ^[17]${\displaystyle {\tfrac {bx\pm ay}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}=0}$

${\displaystyle {\color {magenta}{(2)}}}$双曲線上の点から両漸近線までの距離の積は定数であり、離心率eを使って次のように表すこともできる。${\displaystyle {\tfrac {a^{2}b^{2}}{a^{2}+b^{2}}}\ ,}$${\displaystyle \left({\tfrac {b}{e}}\right)^{2}.}$

双曲線の 方程式（上記）から次の式を導き出すことができます。${\displaystyle y=\pm {\frac {b}{a}}{\sqrt {x^{2}-a^{2}}}}$

${\displaystyle {\color {green}{(3)}}}$点Pから2つの頂点までの直線の傾きの積は定数である。${\displaystyle b^{2}/a^{2}\ .}$

さらに、上記（２）から次のことがわかる。^[17]

${\displaystyle {\color {red}{(4)}}}$ 双曲線上の点から漸近線までの距離と、漸近線に平行な線に沿った距離の積は定数である。${\displaystyle {\tfrac {a^{2}+b^{2}}{4}}.}$

双曲線の長軸に垂直な焦点の 1 つを通る弦の長さは、大腿直角と呼ばれます。その半分は半大腿直角 です。計算により、 半大腿直角は頂点の 曲率半径とみなすこともできます。${\displaystyle p}$$${\displaystyle p={\frac {b^{2}}{a}}.}$$${\displaystyle p}$

ある点における接線の方程式を決定する最も簡単な方法は、双曲線の方程式を暗黙的に微分することです。dy /dxをy′と表記すると、次の式が得られます 。 に関して、点における接線の方程式は${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$${\displaystyle {\tfrac {x^{2}}{a^{2}}}-{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$$${\displaystyle {\frac {2x}{a^{2}}}-{\frac {2yy'}{b^{2}}}=0\ \Rightarrow \ y'={\frac {x}{y}}{\frac {b^{2}}{a^{2}}}\ \Rightarrow \ y={\frac {x_{0}}{y_{0}}}{\frac {b^{2}}{a^{2}}}(x-x_{0})+y_{0}.}$$${\displaystyle {\tfrac {x_{0}^{2}}{a^{2}}}-{\tfrac {y_{0}^{2}}{b^{2}}}=1}$${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$$${\displaystyle {\frac {x_{0}}{a^{2}}}x-{\frac {y_{0}}{b^{2}}}y=1.}$$

特定の接線によって、双曲線は他の円錐曲線と区別されます。^[18]頂点V (双曲線と 2 つの焦点を通る軸の両方) から近い方の焦点までの距離をfとします。すると、その軸に垂直な線に沿って、その焦点から双曲線上の点 P までの距離は 2 fより大きくなります。P における双曲線の接線は、点 Q でその軸と 45° より大きい角度 ∠PQV で交差します。

この場合、双曲線は、その漸近線が直角に交わるため、直角双曲線（または正角双曲線）と呼ばれます。 この場合、線形離心率は、離心率は、半直角双曲線 です。 方程式のグラフは直角双曲線です。 ${\displaystyle a=b}$${\displaystyle c={\sqrt {2}}a}$${\displaystyle e={\sqrt {2}}}$${\displaystyle p=a}$${\displaystyle y=1/x}$

双曲線正弦関数と双曲線余弦関数 を使用すると、楕円のパラメトリック表現に似た双曲線のパラメトリック表現が得られます。 これは、次の理由で直交座標系方程式を満たします。${\displaystyle \cosh ,\sinh }$${\displaystyle {\tfrac {x^{2}}{a^{2}}}-{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$$${\displaystyle (\pm a\cosh t,b\sinh t),\,t\in \mathbb {R} \ ,}$$${\displaystyle \cosh ^{2}t-\sinh ^{2}t=1.}$

さらなるパラメトリック表現については、以下の「パラメトリック方程式」のセクションで説明します。

を交換して共役双曲線の方程式を得る（図を参照）。 これは次のようにも書ける。 ${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}}$${\displaystyle {\frac {y^{2}}{b^{2}}}}$$${\displaystyle {\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {x^{2}}{a^{2}}}=1\ ,}$$$${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=-1\ .}$$

双曲線とその共役な曲線は、共役な直径を持つことがあります。特殊相対性理論では、そのような直径は時間と空間の軸を表し、一方の双曲線は中心から特定の空間距離にあるイベントを表し、もう一方は中心から対応する時間距離にあるイベントを表します。

双曲線に最も一般的に使用される極座標は、最初の図に示すように、焦点に原点があり、x 軸が「標準座標系」の原点を指す直交座標系を基準として定義されます。

この場合の角度は真異常と呼ばれます。 ${\displaystyle \varphi }$

この座標系に相対すると、

$${\displaystyle r={\frac {p}{1\mp e\cos \varphi }},\quad p={\frac {b^{2}}{a}}}$$

そして

$${\displaystyle -\arccos \left(-{\frac {1}{e}}\right)<\varphi <\arccos \left(-{\frac {1}{e}}\right).}$$

「標準座標系」に対する極座標（2番目の図を参照）では、

$${\displaystyle r={\frac {b}{\sqrt {e^{2}\cos ^{2}\varphi -1}}}.\,}$$

双曲線の右枝の範囲は ${\displaystyle \varphi }$$${\displaystyle -\arccos \left({\frac {1}{e}}\right)<\varphi <\arccos \left({\frac {1}{e}}\right).}$$

極座標を使用する場合、双曲線の離心率は次のように表すことができます。ここで、は角座標の限界です。この限界に近づくと、rは無限大に近づき、上記のいずれかの式の分母はゼロに近づきます。したがって、次のようになります。^{[19] : 219}${\displaystyle \sec \varphi _{\text{max}}}$${\displaystyle \varphi _{\text{max}}}$${\displaystyle \varphi }$

$${\displaystyle e^{2}\cos ^{2}\varphi _{\text{max}}-1=0}$$

$${\displaystyle 1\pm e\cos \varphi _{\text{max}}=0}$$

$${\displaystyle \implies e=\sec \varphi _{\text{max}}}$$

方程式を持つ双曲線は、いくつかのパラメトリック方程式で記述できます。 ${\displaystyle {\tfrac {x^{2}}{a^{2}}}-{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$

1. 双曲三角関数を通じて$${\displaystyle {\begin{cases}x=\pm a\cosh t,\\y=b\sinh t,\end{cases}}\qquad t\in \mathbb {R} .}$$
2. 合理的な表現として$${\displaystyle {\begin{cases}x=\pm a{\dfrac {t^{2}+1}{2t}},\\[1ex]y=b{\dfrac {t^{2}-1}{2t}},\end{cases}}\qquad t>0}$$
3. 円周三角関数を通じて$${\displaystyle {\begin{cases}x={\frac {a}{\cos t}}=a\sec t,\\y=\pm b\tan t,\end{cases}}\qquad 0\leq t<2\pi ,\ t\neq {\frac {\pi }{2}},\ t\neq {\frac {3}{2}}\pi .}$$
4. 接線勾配をパラメータとして:
   双曲線の点における接線の傾きを使用するパラメトリック表現は、楕円の場合と同様に取得できます。楕円の場合にを で置き換え、双曲線関数の公式を使用します。次の式が得られます。ここで、は双曲線の上半分、 は下半分です。垂直接線を持つ点 (頂点) は、この表現ではカバーされません。${\displaystyle m}$${\displaystyle b^{2}}$${\displaystyle -b^{2}}$$${\displaystyle {\vec {c}}_{\pm }(m)=\left(-{\frac {ma^{2}}{\pm {\sqrt {m^{2}a^{2}-b^{2}}}}},{\frac {-b^{2}}{\pm {\sqrt {m^{2}a^{2}-b^{2}}}}}\right),\quad |m|>b/a.}$$${\displaystyle {\vec {c}}_{-}}$${\displaystyle {\vec {c}}_{+}}$${\displaystyle (\pm a,0)}$
   点における接線の方程式は、双曲線の接線のこの記述は、双曲線の正投影を決定するための重要なツールです。${\displaystyle {\vec {c}}_{\pm }(m)}$$${\displaystyle y=mx\pm {\sqrt {m^{2}a^{2}-b^{2}}}.}$$

三角関数が単位円で定義されるのと同様に、双曲関数もこの図に示すように単位双曲線で定義されます。単位円では、角度 (ラジアン単位) は、その角度が張る円扇形の面積の 2 倍に等しくなります。類似の双曲角も同様に、双曲扇形の面積の 2 倍として定義されます。

を軸と原点を通る直線と単位双曲線との交点との間の面積の2倍とし、を交点の座標として定義します。すると、双曲扇形の面積は三角形の面積から頂点を越えた​​曲線部分を引いたものになります。 これは、双曲余弦面積に簡略化されます。 を解くと、双曲余弦の指数形式が得られます。 から 、その逆関数である双曲正弦面積が得られます 。 他の双曲関数は、双曲余弦と双曲正弦に従って定義されます。たとえば、 ${\displaystyle a}$${\displaystyle x}$${\textstyle (x,y)=(\cosh a,\sinh a)=(x,{\sqrt {x^{2}-1}})}$${\displaystyle (1,0)}$$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {a}{2}}&={\frac {xy}{2}}-\int _{1}^{x}{\sqrt {t^{2}-1}}\,dt\\[1ex]&={\frac {1}{2}}\left(x{\sqrt {x^{2}-1}}\right)-{\frac {1}{2}}\left(x{\sqrt {x^{2}-1}}-\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)\right),\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle a=\operatorname {arcosh} x=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right).}$$${\displaystyle x}$$${\displaystyle x=\cosh a={\frac {e^{a}+e^{-a}}{2}}.}$$${\displaystyle x^{2}-y^{2}=1}$$${\displaystyle y=\sinh a={\sqrt {\cosh ^{2}a-1}}={\frac {e^{a}-e^{-a}}{2}},}$$$${\displaystyle a=\operatorname {arsinh} y=\ln \left(y+{\sqrt {y^{2}+1}}\right).}$$$${\displaystyle \operatorname {tanh} a={\frac {\sinh a}{\cosh a}}={\frac {e^{2a}-1}{e^{2a}+1}}.}$$

ある点における接線は、直線間の角度を二等分します。これは双曲線の光学特性または反射特性と呼ばれます。 ^[20]${\displaystyle P}$${\displaystyle {\overline {PF_{1}}},{\overline {PF_{2}}}.}$

証拠

を、焦点までの距離が である直線上の点とします(図を参照、は双曲線の長半径)。直線は、直線 間の角度の二等分線です。 が点 における接線であることを証明するために、と異なる直線 上の点は双曲線上にはあり得ないことを確認します。したがって、は双曲線と点 のみを共有し、したがって は点 における接線です。 図と三角不等式から、 が成り立つことがわかります。これは、 を意味します。ただし、 が双曲線の点である場合、その差は である必要があります。 ${\displaystyle L}$${\displaystyle {\overline {PF_{2}}}}$${\displaystyle 2a}$${\displaystyle F_{2}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle w}$${\displaystyle {\overline {PF_{1}}},{\overline {PF_{2}}}}$${\displaystyle w}$${\displaystyle P}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle w}$${\displaystyle P}$${\displaystyle w}$${\displaystyle P}$${\displaystyle P}$
${\displaystyle |QF_{2}|<|LF_{2}|+|QL|=2a+|QF_{1}|}$${\displaystyle |QF_{2}|-|QF_{1}|<2a}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle 2a}$

双曲線の平行弦の中点は中心を通る線上にあります (図を参照)。

任意の弦の点は、双曲線の異なる枝上に位置する場合があります。

中点に関する性質の証明は、双曲線について行うのが最もよい。任意の双曲線は双曲線のアフィン像であり（以下のセクションを参照）、アフィン変換は線分の平行性と中点を保存するため、この性質はすべての双曲線に当てはまる。双曲線の 2点について、${\displaystyle y=1/x}$${\displaystyle y=1/x}$
${\displaystyle P=\left(x_{1},{\tfrac {1}{x_{1}}}\right),\ Q=\left(x_{2},{\tfrac {1}{x_{2}}}\right)}$${\displaystyle y=1/x}$

弦の中点は${\displaystyle M=\left({\tfrac {x_{1}+x_{2}}{2}},\cdots \right)=\cdots ={\tfrac {x_{1}+x_{2}}{2}}\;\left(1,{\tfrac {1}{x_{1}x_{2}}}\right)\ ;}$

弦の傾きは${\displaystyle {\frac {{\tfrac {1}{x_{2}}}-{\tfrac {1}{x_{1}}}}{x_{2}-x_{1}}}=\cdots =-{\tfrac {1}{x_{1}x_{2}}}\ .}$

平行弦の場合、傾きは一定であり、平行弦の中点は直線上にある。${\displaystyle y={\tfrac {1}{x_{1}x_{2}}}\;x\ .}$

結果:弦の任意の2 つの点に対して、軸 (固定された点の集合) が双曲線の中心を通過する斜め反射が存在し、これにより点が交換され、双曲線 (全体として) が固定されます。斜め反射は、線 を横切る通常の反射の一般化であり、すべての点像のペアは に垂直な線上にあります。 ${\displaystyle P,Q}$${\displaystyle P,Q}$${\displaystyle m}$${\displaystyle m}$

斜め反射では双曲線は固定されるため、漸近線も固定されます。したがって、弦の中点は、漸近線間の関連する線分も半分に分割します。これは、 を意味します。この特性は、点と漸近線が与えられている 場合、双曲線のさらなる点の構築に使用できます。${\displaystyle M}$${\displaystyle PQ}$${\displaystyle {\overline {P}}\,{\overline {Q}}}$${\displaystyle |P{\overline {P}}|=|Q{\overline {Q}}|}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle P}$

弦が接線に退化する場合、接点は漸近線間の線分を 2 つに分割します。

双曲線の場合、直交接線の交点は円上にあります。 この円は、与えられた双曲線の直交円と呼ばれます。 ${\textstyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1,\,a>b}$${\displaystyle x^{2}+y^{2}=a^{2}-b^{2}}$

接線は双曲線の異なる枝上の点に属する場合があります。

直交接線のペアが存在しない 場合。${\displaystyle a\leq b}$

任意の双曲線は、適切な座標系で方程式で記述できます。双曲線の点における接線の方程式は、点を原点とは異なる任意の点とすると、 ${\displaystyle {\tfrac {x^{2}}{a^{2}}}-{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$${\displaystyle P_{0}=(x_{0},y_{0})}$${\displaystyle {\tfrac {x_{0}x}{a^{2}}}-{\tfrac {y_{0}y}{b^{2}}}=1.}$${\displaystyle P_{0}=(x_{0},y_{0})}$

点は双曲線の中心を通るのではなく、直線上にマッピングされます。${\displaystyle P_{0}=(x_{0},y_{0})\neq (0,0)}$${\displaystyle {\frac {x_{0}x}{a^{2}}}-{\frac {y_{0}y}{b^{2}}}=1}$

点と線の間のこの関係は一対一の関係です。

逆関数のマップ

点に線を引いて${\displaystyle y=mx+d,\ d\neq 0}$${\displaystyle \left(-{\frac {ma^{2}}{d}},-{\frac {b^{2}}{d}}\right)}$

点に線を引く${\displaystyle x=c,\ c\neq 0}$${\displaystyle \left({\frac {a^{2}}{c}},0\right)\ .}$

円錐曲線によって生成される点と線の間のこのような関係は、極-極関係または単に極性と呼ばれます。極は点であり、極は線です。「極と極性」を参照してください。

計算により、双曲線の極-極関係の次の特性を確認します。

• 双曲線上の点（極）の場合、極座標はこの点における接線です（図を参照）。${\displaystyle P_{1},\ p_{1}}$
• 双曲線の外側の極の場合、その極と双曲線の交点は、通過する 2 つの接線の接点です(図を参照)。${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$${\displaystyle P_{2},\ p_{2},\ P_{3},\ p_{3}}$
• 双曲線内の点の場合、極座標は双曲線と共通する点を持ちません。(図を参照: )。${\displaystyle P_{4},\ p_{4}}$

備考：

1. 2 つの極 (例: ) の交点は、それらの極を通る線 (ここでは ) の極です。${\displaystyle p_{2},p_{3}}$${\displaystyle P_{2},P_{3}}$
2. 焦点とおよび準線とそれぞれは、極と極のペアに属します。${\displaystyle (c,0),}$${\displaystyle (-c,0)}$${\displaystyle x={\tfrac {a^{2}}{c}}}$${\displaystyle x=-{\tfrac {a^{2}}{c}}}$

楕円や放物線にも極-極関係が存在します。

• 以下のものは共存する：（１）双曲線の焦点を通り双曲線の中心を中心とする円、（２）頂点で双曲線に接する線のいずれか、および（３）双曲線の漸近線のいずれか。^{[21] [22]}
• 以下のものも同時に存在します: (1) 双曲線の中心を中心とし、双曲線の頂点を通る円、(2) いずれかの準線、(3) いずれかの漸近線。^[22]
• 横軸と共役軸は両方とも対称軸なので、双曲線の対称群はクラインの四元群です。
• 長方形双曲線xy =定数は、双曲線を不変集合として持つスクイーズ写像による群作用を許容します。

双曲線の弧の長さには基本的な式はありません。双曲線の上半分は次のようにパラメータ化できます。

$${\displaystyle y=b{\sqrt {{\frac {x^{2}}{a^{2}}}-1}}.}$$

からまでの弧の長さを与える積分は次のように計算できます。 ${\displaystyle s}$${\displaystyle x_{1}}$${\displaystyle x_{2}}$

$${\displaystyle s=b\int _{\operatorname {arcosh} {\frac {x_{1}}{a}}}^{\operatorname {arcosh} {\frac {x_{2}}{a}}}{\sqrt {1+\left(1+{\frac {a^{2}}{b^{2}}}\right)\sinh ^{2}v}}\,\mathrm {d} v.}$$

置換 を使用した後、これはパラメータ を持つ第2種不完全楕円積分を使用して表すこともできます。 ${\displaystyle z=iv}$ ${\displaystyle E}$${\displaystyle m=k^{2}}$

$${\displaystyle s=ib{\Biggr [}E\left(iv\,{\Biggr |}\,1+{\frac {a^{2}}{b^{2}}}\right){\Biggr ]}_{\operatorname {arcosh} {\frac {x_{2}}{a}}}^{\operatorname {arcosh} {\frac {x_{1}}{a}}}.}$$

実数のみを用いると、これは^{[23]となる。}

$${\displaystyle s=b\left[F\left(\operatorname {gd} v\,{\Biggr |}-{\frac {a^{2}}{b^{2}}}\right)-E\left(\operatorname {gd} v\,{\Biggr |}-{\frac {a^{2}}{b^{2}}}\right)+{\sqrt {1+{\frac {a^{2}}{b^{2}}}\tanh ^{2}v}}\,\sinh v\right]_{\operatorname {arcosh} {\tfrac {x_{1}}{a}}}^{\operatorname {arcosh} {\tfrac {x_{2}}{a}}}}$$

ここで、 はパラメータ を持つ第 1 種不完全楕円積分であり、はグーデルマン関数です。 ${\displaystyle F}$${\displaystyle m=k^{2}}$${\displaystyle \operatorname {gd} v=\arctan \sinh v}$

反転によって双曲線から他のいくつかの曲線を導くことができ、これらはいわゆる双曲線の逆曲線である。反転の中心を双曲線自身の中心として選ぶと、逆曲線はベルヌーイのレムニスケートとなる。レムニスケートは、直角双曲線を中心とし原点を通る円の包絡線でもある。反転の中心を双曲線の焦点または頂点として選ぶと、結果として得られる逆曲線はそれぞれリマソンまたはストロフォイドとなる。

共焦点双曲線の族は、2次元の楕円座標系の基礎となる。これらの双曲線は、次の式で記述される。

$${\displaystyle \left({\frac {x}{c\cos \theta }}\right)^{2}-\left({\frac {y}{c\sin \theta }}\right)^{2}=1}$$

ここで、焦点はx軸上の原点から距離cに位置し、 θ は漸近線とx軸のなす角度です。この族のすべての双曲線は、同じ焦点を共有するすべての楕円と直交します。この直交性は、直交座標系w = z + 1/ zの等角写像で示すことができます。ここで、z = x + iyは元の直交座標であり、w = u + ivは変換後の座標です。

双曲線を含む他の直交 2 次元座標系は、他の等角写像によって得られる場合があります。たとえば、写像w = z ²は、直交座標系を 2 つの直交双曲線族に変換します。

円錐曲線は、円、楕円、放物線、双曲線の統一的な記述を提供するほか、観察されるシーンが円、またはより一般的には楕円で構成されている場合の遠近法の幾何学の自然なモデルとしても理解できます。観察者は通常、カメラまたは人間の目であり、シーンのイメージはイメージ プレーンへの中心投影です。つまり、すべての投影光線は固定点O、つまり中心を通過します。レンズ プレーンは、レンズOでイメージ プレーンに平行な平面です。

円cのイメージは

（円平面が点Oを含む特殊な位置は省略します。）

これらの結果は、投影プロセスが 2 つのステップで見られることを認識すれば理解できます。1) 円 c と点O が円錐を生成し、2) その円錐が画像平面によって切断されて画像が生成されます。

レンズ面によって切り取られた円の一部が目に入ると、必ず双曲線が見えます。目に見える枝の腕がほとんど見えず、2 番目の枝がまったく存在しないため、人間の視覚システムが双曲線とのつながりを認識することは事実上不可能です。

多くの日時計には双曲線が見られます。どの日でも、太陽は天球上を円を描いて回転し、日時計上の点に当たるその光線は光の円錐を描きます。この円錐と地面の水平面の交点が円錐曲線を形成します。人口の多いほとんどの緯度では、また一年のほとんどの時期に、この円錐曲線は双曲線です。実際的には、ポールの先端の影は一日かけて地面に双曲線を描きます (この経路は赤緯線と呼ばれます)。この双曲線の形状は地理的な緯度と一年の時期によって変化します。これらの要因が地平線に対する太陽光線の円錐に影響を与えるからです。特定の場所における一年間のこのような双曲線の集合は、両刃の斧に似ていることから、ギリシャ人によって ペレキノンと呼ばれていました。

双曲線は、マルチラテレーション問題を解くための基礎となります。マルチラテレーション問題とは、ある点から特定の点までの距離の差、または、それと同等に、ある点と特定の点との間の同期信号の到着時間の差から、ある点の位置を特定する作業です。このような問題は、特に水上での航行において重要です。船舶は、LORANまたはGPS送信機からの信号の到着時間の差から、その位置を特定できます。逆に、ホーミング ビーコンまたは任意の送信機は、2 つの別々の受信局での信号の到着時間を比較することによって、その位置を特定できます。このような技術は、物体や人を追跡するために使用できます。特に、特定の 2 点からの距離差が 2 aである点の可能な位置の集合は、その焦点が特定の 2 点である頂点間隔が 2 aの双曲線です。

古典的なケプラー問題において、どの粒子もたどる経路は円錐曲線である。特に、粒子の全エネルギーEがゼロより大きい場合（つまり、粒子が束縛されていない場合）、そのような粒子の経路は双曲線である。この特性は、高エネルギー粒子を散乱させることによって原子および亜原子の力を研究する際に有用である。例えば、ラザフォードの実験では、金原子からのアルファ粒子の散乱を調べることで原子核の存在を実証した。短距離の核相互作用を無視すると、原子核とアルファ粒子は反発するクーロン力によってのみ相互作用し、これはケプラー問題の逆二乗則の要件を満たす。 ^[24]

双曲三角関数は、管内のソリトン波の運動を記述する コルテウェグ・ド・フリース方程式の解の 1 つとして現れます。${\displaystyle \operatorname {sech} \,x}$

ペルガのアポロニウスが初めて示したように、双曲線は任意の角度を三等分するのに使用できます。これは幾何学でよく研究されている問題です。角度が与えられたら、まず頂点O を中心とし、点AとBで角度の辺と交差する円を描きます。次に、端点AとB を持つ線分 とその垂直二等分線を描きます。 を準線、B を焦点として、離心率e =2の双曲線を作成します。双曲線と円の交点 (上) をPとします。角POB は角AOB を三等分します。 ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle \ell }$

これを証明するには、線分OP を線分 P について反射し、点P' をPの像として得ます。線分AP' は反射により線分BPと同じ長さになりますが、線分PP' は双曲線の離心率により線分BPと同じ長さになります。 ^[25] OA、OP'、OP、OB はすべて同じ円の半径（したがって長さも同じ）なので、三角形OAP'、OPP'、OPBはすべて合同です。したがって、3× POB = AOBなので、角度は三等分されています。^[26]${\displaystyle \ell }$

ポートフォリオ理論では、平均分散効率の高いポートフォリオの軌跡（効率的フロンティアと呼ばれる）は、ポートフォリオのリターンの標準偏差を水平にプロットし、その期待値を垂直にプロットして描かれた双曲線の東側の枝の上半分です。この理論によれば、すべての合理的な投資家はこの軌跡上のある点によって特徴付けられるポートフォリオを選択します。

生化学と薬理学において、ヒル方程式とヒル・ラングミュア方程式はそれぞれ、リガンド濃度の関数として生物学的反応とタンパク質-リガンド複合体の形成を記述します。これらは両方とも直角双曲線です。

双曲線は次の二次曲線の平面切断として現れます。

• 楕円錐
• 双曲円筒
• 双曲放物面
• 一枚の双曲面
• 2枚の双曲面

• 
  楕円錐
• 
  双曲円筒
• 
  双曲放物面
• 
  一枚の双曲面
• 
  2枚の双曲面

• カザリノフ、ニコラス・D.（1970）「定規と円」、ボストン：プリンドル、ウェーバー＆シュミット、ISBN 0-87150-113-9
• オークリー、CO、Ph.D.（1944）、微積分学の概要、ニューヨーク：バーンズ＆ノーブル{{citation}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
• プロッター、マレー H. ;モリー、チャールズ B. ジュニア(1970)、大学微積分学と解析幾何学(第 2 版)、読書: Addison-Wesley、LCCN  76087042

• 「双曲線」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
• アポロニウスによる収束点における双曲線の導出
• フランス・ファン・スホーテン：数学オーフェニンゲン、1659
• ワイスタイン、エリック・W.「双曲線」。マスワールド。