Associative algebra

In mathematics, an associative algebraA over a commutative ring (often a field) K is a ringA together with a ring homomorphism from K into the center of A. This is thus an algebraic structure with an addition, a multiplication, and a scalar multiplication (the multiplication by the image of the ring homomorphism of an element of K). The addition and multiplication operations together give A the structure of a ring; the addition and scalar multiplication operations together give A the structure of a module or vector space over K. In this article we will also use the term K-algebra to mean an associative algebra over K. A standard first example of a K-algebra is a ring of square matrices over a commutative ring K, with the usual matrix multiplication.

A commutative algebra is an associative algebra for which the multiplication is commutative, or, equivalently, an associative algebra that is also a commutative ring.

In this article associative algebras are assumed to have a multiplicative identity, denoted 1; they are sometimes called unital associative algebras for clarification. In some areas of mathematics this assumption is not made, and we will call such structures non-unital associative algebras. We will also assume that all rings are unital, and all ring homomorphisms are unital.

Every ring is an associative algebra over its center and over the integers.

Definition

Let R be a commutative ring (so R could be a field). An associative R-algebra A (or more simply, an R-algebra A) is a ringA that is also an R-module in such a way that the two additions (the ring addition and the module addition) are the same operation, and scalar multiplication satisfies

r\cdot (xy)=(r\cdot x)y=x(r\cdot y)

for all r in R and x, y in the algebra. (This definition implies that the algebra, being a ring, is unital, since rings are supposed to have a multiplicative identity.)

Equivalently, an associative algebra A is a ring together with a ring homomorphism from R to the center of A. If f is such a homomorphism, the scalar multiplication is (r, x) ↦ f(r)x (here the multiplication is the ring multiplication); if the scalar multiplication is given, the ring homomorphism is given by r ↦ r ⋅ 1_A. (See also § From ring homomorphisms below).

Every ring is an associative Z-algebra, where Z denotes the ring of the integers.

A commutative algebra is an associative algebra that is also a commutative ring.

As a monoid object in the category of modules

The definition is equivalent to saying that a unital associative R-algebra is a monoid object in R-Mod (the monoidal category of R-modules). By definition, a ring is a monoid object in the category of abelian groups; thus, the notion of an associative algebra is obtained by replacing the category of abelian groups with the category of modules.

Pushing this idea further, some authors have introduced a "generalized ring" as a monoid object in some other category that behaves like the category of modules. Indeed, this reinterpretation allows one to avoid making an explicit reference to elements of an algebra A. For example, the associativity can be expressed as follows. By the universal property of a tensor product of modules, the multiplication (the R-bilinear map) corresponds to a unique R-linear map

m:A\otimes _{R}A\to A

.

The associativity then refers to the identity:

m\circ ({\operatorname {id} }\otimes m)=m\circ (m\otimes \operatorname {id} ).

From ring homomorphisms

An associative algebra amounts to a ring homomorphism whose image lies in the center. Indeed, starting with a ring A and a ring homomorphism η : R → A whose image lies in the center of A, we can make A an R-algebra by defining

r\cdot x=\eta (r)x

for all r ∈ R and x ∈ A. If A is an R-algebra, taking x = 1, the same formula in turn defines a ring homomorphism η : R → A whose image lies in the center.

If a ring is commutative then it equals its center, so that a commutative R-algebra can be defined simply as a commutative ring A together with a commutative ring homomorphism η : R → A.

The ring homomorphism η appearing in the above is often called a structure map. In the commutative case, one can consider the category whose objects are ring homomorphisms R → A for a fixed R, i.e., commutative R-algebras, and whose morphisms are ring homomorphisms A → A′ that are under R; i.e., R → A → A′ is R → A′ (i.e., the coslice category of the category of commutative rings under R.) The prime spectrum functor Spec then determines an anti-equivalence of this category to the category of affine schemes over Spec R.

How to weaken the commutativity assumption is a subject matter of noncommutative algebraic geometry and, more recently, of derived algebraic geometry. See also: Generic matrix ring.

Algebra homomorphisms

A homomorphism between two R-algebras is an R-linear ring homomorphism. Explicitly, φ : A₁ → A₂ is an associative algebra homomorphism if

{\begin{aligned}\varphi (r\cdot x)&=r\cdot \varphi (x)\\\varphi (x+y)&=\varphi (x)+\varphi (y)\\\varphi (xy)&=\varphi (x)\varphi (y)\\\varphi (1)&=1\end{aligned}}

The class of all R-algebras together with algebra homomorphisms between them form a category, sometimes denoted R-Alg.

The subcategory of commutative R-algebras can be characterized as the coslice categoryR/CRing where CRing is the category of commutative rings.

Examples

The most basic example is a ring itself; it is an algebra over its center or any subring lying in the center. In particular, any commutative ring is an algebra over any of its subrings. Other examples abound both from algebra and other fields of mathematics.

Algebra

Any ring A can be considered as a Z-algebra. The unique ring homomorphism from Z to A is determined by the fact that it must send 1 to the identity in A. Therefore, rings and Z-algebras are equivalent concepts, in the same way that abelian groups and Z-modules are equivalent.
Any ring of characteristicn is a (Z/nZ)-algebra in the same way.
Given an R-module M, the endomorphism ring of M, denoted End_R(M) is an R-algebra by defining (r·φ)(x) = r·φ(x).
Any ring of matrices with coefficients in a commutative ring R forms an R-algebra under matrix addition and multiplication. This coincides with the previous example when M is a finitely-generated, freeR-module.
- In particular, the square n-by-nmatrices with entries from the field K form an associative algebra over K.
The complex numbers form a 2-dimensional commutative algebra over the real numbers.
The quaternions form a 4-dimensional associative algebra over the reals (but not an algebra over the complex numbers, since the complex numbers are not in the center of the quaternions).
Every polynomial ringR[x₁, ..., x_n] is a commutative R-algebra. In fact, this is the free commutative R-algebra on the set {x₁, ..., x_n}.
The free R-algebra on a set E is an algebra of "polynomials" with coefficients in R and noncommuting indeterminates taken from the set E.
The tensor algebra of an R-module is naturally an associative R-algebra. The same is true for quotients such as the exterior and symmetric algebras. Categorically speaking, the functor that maps an R-module to its tensor algebra is left adjoint to the functor that sends an R-algebra to its underlying R-module (forgetting the multiplicative structure).
Given a module M over a commutative ring R, the direct sum of modules R ⊕ M has a structure of an R-algebra by thinking M consists of infinitesimal elements; i.e., the multiplication is given as (a + x)(b + y) = ab + ay + bx. The notion is sometimes called the algebra of dual numbers.
A quasi-free algebra, introduced by Cuntz and Quillen, is a sort of generalization of a free algebra and a semisimple algebra over an algebraically closed field.

If R is commutative and X is any set then A = R^X = { f : X → R } with the pointwise operations is a commutative algebra.

Representation theory

The universal enveloping algebra of a Lie algebra is an associative algebra that can be used to study the given Lie algebra.
Gを群、Rを可換環とすると、有限台を持つGからRへのすべての関数の集合は、畳み込みを乗法とするR代数を形成する。これはGの群代数と呼ばれる。この構成は、（離散）群の研究への応用の出発点となる。
G が代数群(例えば、半単純複素リー群)である場合、 Gの座標環は、 Gに対応するホップ代数Aです。G の多くの構造は、Aの構造に変換されます。
有向グラフの箙代数（または経路代数）とは、グラフ内の経路によって生成される体上の自由結合代数のことである。

分析

任意のバナッハ空間Xに対して、連続線形演算子A : X → Xは結合代数を形成します (演算子の合成を乗算として使用)。これはバナッハ代数です。
任意の位相空間Xが与えられたとき、 X上の連続な実数値関数または複素数値関数は、実数または複素数の結合代数を形成します。ここで、関数は各要素ごとに加算および乗算されます。
フィルタリングされた確率空間(Ω, F , ( F _t ) _t_≥0 , P)上で定義されたセミマルチンゲールの集合は、確率積分の下で環を形成する。
ワイル代数
東谷代数

幾何学と組み合わせ論

クリフォード代数は、幾何学や物理学において有用である。
局所的に有限な半順序集合の接続代数は、組み合わせ論で考察される結合代数である。
分割代数とその部分代数（ブラウアー代数およびテンパーリー・リープ代数を含む）。
微分次数付き代数は、次数と微分を伴う結合代数である。例えば、ド・ラーム代数 ${\textstyle \Omega (M)=\bigoplus _{p=0}^{n}\Omega ^{p}(M)}$ 、どこ $\textstyle \Omega ^{p}(M)}$ 多様体M上の微分p形式から構成される微分次数付き代数である。

数理物理学

ポアソン代数は、体上の可換結合代数とリー代数の構造を併せ持ち、リー括弧{,}がライプニッツ規則を満たす。すなわち、{ fg , h } = f { g , h } + g { f , h }である。
ポアソン代数が与えられた場合 ${\mathfrak {a}}$ ベクトル空間を考える ${\mathfrak {a}}[\![u]\!]$ 形式的冪級数の ${\mathfrak {a}}$ 。もし ${\mathfrak {a}}[\![u]\!]$ 乗法を伴う結合代数の構造を持つ $*$ そのため、 $f,g\in {\mathfrak {a}}$ 、
$f*g=fg-{\frac {1}{2}}\{f,g\}u+\cdots ,$

それから

{\mathfrak {a}}[\![u]\!]

これは変形量子化と呼ばれます

{\mathfrak {a}}

。

量子化された包絡代数。このような代数の双対は結合代数であることが判明し（§ 結合代数の双対を参照）、哲学的に言えば量子群の（量子化された）座標環である。
ゲルステンハーバー代数

建設

部分代数: R代数Aの部分代数とは、Aの部分集合であって、Aの部分環かつ部分加群であるようなものである。すなわち、加算、環乗法、スカラー乗法に関して閉じており、かつAの単位元を含まなければならない。
商代数: A をR代数とする。Aの任意の環論的イデアルIは、 r · x = ( r 1 _A ) xであることから、自動的にR加群となる。これにより、商環A / IはR加群の構造を持ち、実際にはR代数となる。したがって、Aの任意の環準同型像もまたR代数となる。
直接製品: R代数の族の直積は、環論的な直積である。これは、明らかなスカラー乗法を持つR代数となる。
無料商品: R代数の自由積は、群の自由積と同様の方法で構成できる。自由積は、 R代数の圏における余積である。
テンソル積: The tensor product of two R-algebras is also an R-algebra in a natural way. See tensor product of algebras for more details. Given a commutative ring R and any ring A the tensor productR ⊗_Z A can be given the structure of an R-algebra by defining r · (s ⊗ a) = (rs ⊗ a). The functor which sends A to R ⊗_ZA is left adjoint to the functor which sends an R-algebra to its underlying ring (forgetting the module structure). See also: Change of rings.
Free algebra: A free algebra is an algebra generated by symbols. If one imposes commutativity; i.e., take the quotient by commutators, then one gets a polynomial algebra.

Dual of an associative algebra

Let A be an associative algebra over a commutative ring R. Since A is in particular a module, we can take the dual module A^* of A. A priori, the dual A^* need not have a structure of an associative algebra. However, A may come with an extra structure (namely, that of a Hopf algebra) so that the dual is also an associative algebra.

For example, take A to be the ring of continuous functions on a compact group G. Then, not only A is an associative algebra, but it also comes with the co-multiplication Δ(f)(g, h) = f(gh) and co-unit ε(f) = f(1).^[1] The "co-" refers to the fact that they satisfy the dual of the usual multiplication and unit in the algebra axiom. Hence, the dual A^* is an associative algebra. The co-multiplication and co-unit are also important in order to form a tensor product of representations of associative algebras (see § Representations below).

Enveloping algebra

可換環R上の結合代数Aが与えられたとき、Aの包絡代数A ^eは、著者によってA ⊗ _R A ^opまたはA ^op ⊗ _R Aとなる。 ^[²^]

A上の双加群は、 A上の左加群^eと全く同じであることに注意してください。

分離代数

A を可換環R上の代数とする。このとき、代数Aは、作用x ⋅ ( a ⊗ b ) = axb を持つA ^e := A ^op ⊗ _R A上の右^{[ a ]}加群である。定義により、乗法写像A ⊗ _R A → A : x ⊗ y ↦ xyがA ^e線形写像として分割される場合、 Aは分離可能であると言われる。 ^[³^]ここで、A ⊗ Aは( x ⊗ y ) ⋅ ( a ⊗ b ) = ax ⊗ ybによってA ^e加群となる。同様に、^[^b^] AがA ^e上の射影加群である場合、A は分離可能である。したがって、AのA ^e射影次元（ Aの双次元と呼ばれることもある）は、分離可能性の失敗を測定する。

有限次元代数

Kを体とする有限次元代数をAとする。このとき、Aはアルティン環である。

可換の場合

Aはアルティン環であるため、可換であれば、それは基底体k上の代数である剰余体を持つアルティン局所環の有限積である。さて、縮約アルティン局所環は体であるため、以下は同値である^[⁴^{] 。}

$A$ 分離可能である。
$A\otimes {\overline {k}}$ 減少する、 ${\overline {k}}$ はkの何らかの代数的閉包である。
$A\otimes {\overline {k}}={\overline {k}}^{n}$ あるnについて。
$\dim _{k}A$ は、 $k$ -代数準同型写像 $A\to {\overline {k}}$ 。

させて $\Gamma =\operatorname {Gal} (k_{s}/k)=\varprojlim \operatorname {Gal} (k'/k)$ 、kの有限ガロア拡大のプロ有限群。すると $A\mapsto X_{A}=\{k{\text{-代数準同型 }}A\to k_{s}\}$ これは、有限次元の分離可能なk代数の圏と連続な有限集合の圏との間の反同値である。 $\Gamma$ -アクション。^{[ 5 ]}

非可換の場合

単純アルティン環は除算環上の（完全）行列環であるため、Aが単純代数であれば、Aはk上の除算代数D上の（完全）行列代数になります。つまり、A = M _n ( D )です。より一般的には、A が半単純代数であれば、それは（さまざまな除算k代数上の）行列代数の有限積になります。この事実は、アルティン・ウェダーバーン定理として知られています。

Aがアルティン環であるという事実は、ヤコブソン根基の概念を単純化します。アルティン環の場合、Aのヤコブソン根基は、すべての（両側）極大イデアルの共通部分です（これに対し、一般に、ヤコブソン根基は、すべての左極大イデアルの共通部分、またはすべての右極大イデアルの共通部分です）。

ウェダーバーン主定理は次のように述べている。^{[ 6 ]}冪零イデアルIを持つ有限次元代数Aに対して、包絡代数( A / I ) ^e上の加群としてのA / Iの射影次元が最大で 1 であるならば、自然な全射p : A → A / I は分裂する。すなわち、A は部分代数Bを含み、p | _B : B ~ → A / Iは同型である。I をヤコブソン根基とすると、この定理は特にヤコブソン根基が半単純代数によって補完されることを述べている。この定理は、リー代数に対するレヴィの定理の類似物である。

格子と秩序

R を分数体Kを持つネーター整域とする(例えば、分数はZやQなど)。有限次元Kベクトル空間V内の格子Lは、 Vを張る有限生成R部分加群である。言い換えれば、L ⊗ _R K = Vである。

A _Kを有限次元のK代数とする。A _Kにおける順序とは、束であるR部分代数のことである。一般に、束よりも順序の数の方がはるかに少ない。例えば、1 / 2 ZはQにおける束であるが、順序ではない（代数ではないため）。^[⁷^]

最大順序とは、すべての順序の中で最大の順序のことである。

表現

代数Aの表現は、 Aから何らかのベクトル空間 (またはモジュール) Vの自己準同型代数への代数準同型ρ : A → End( V )である。ρ が代数準同型であるという性質は、 ρが乗法演算を保存すること (つまり、Aのすべてのxとyに対してρ ( xy ) = ρ ( x ) ρ ( y )であること)、およびρ がAの単位元を End( V )の単位元(つまり、Vの恒等自己準同型) に写すことを意味する。

AとB が2 つの代数であり、ρ : A → End( V )とτ : B → End( W )が 2 つの表現である場合、ベクトル空間V ⊗ W上にテンソル積代数A ⊗ Bの(標準的な) 表現A ⊗ B → End( V ⊗ W )が存在します。しかし、何らかの追加条件を課さない限り、単一の結合代数の 2 つの表現のテンソル積を、結果が依然としてその代数 (それ自身とのテンソル積ではない) の表現となるように定義する自然な方法はありません。ここで、表現のテンソル積とは、通常の意味、つまり、結果が積ベクトル空間上の同じ代数の線形表現であることを意味します。このような追加構造を課すと、以下に示すように、ホップ代数またはリー代数の概念につながります。

ホップ代数の動機

例えば、2つの表現σ : A → End( V )とτ : A → End( W )を考えてみましょう。積ベクトル空間上でどのように作用するかによって、テンソル積表現ρ : x ↦ σ ( x ) ⊗ τ ( x )を形成しようとすると、

\rho (x)(v\otimes w)=(\sigma (x)(v))\otimes (\tau (x)(w)).

しかし、そのような地図は線形ではない。なぜなら、

\rho (kx)=\sigma (kx)\otimes \tau (kx)=k\sigma (x)\otimes k\tau (x)=k^{2}(\sigma (x)\otimes \tau (x))=k^{2}\rho (x)

k ∈ Kの場合。この試みを救済し、線形性を回復するには、代数準同型Δ : A → A ⊗ Aを定義し、テンソル積表現を次のように定義することで、追加の構造を課すことができます。

\rho =(\sigma \otimes \tau )\circ \Delta .

このような準同型写像 Δ は、特定の公理を満たす場合、余乗法と呼ばれます。結果として得られる構造は双代数と呼ばれます。結合代数の定義と整合するためには、余代数は余結合的でなければならず、代数が単位的であれば、余代数も余単位的でなければなりません。ホップ代数は、追加の構造（いわゆる対蹠点）を持つ双代数であり、2 つの表現のテンソル積だけでなく、2 つの表現の Hom 加群も定義できます（これもまた、群の表現論で行われるのと同様です）。

リー代数の動機

テンソル積の定義をより巧妙に試みることもできる。例えば、

x\mapsto \rho (x)=\sigma (x)\otimes {\mbox{Id}}_{W}+{\mbox{Id}}_{V}\otimes \tau (x)

したがって、テンソル積空間上の作用は次のように与えられる。

\rho (x)(v\otimes w)=(\sigma (x)v)\otimes w+v\otimes (\tau (x)w)

。

この写像は明らかにxに関して線形であるため、以前の定義にあった問題はない。しかし、乗算を保持しない。

\rho (xy)=\sigma (x)\sigma (y)\otimes {\mbox{Id}}_{W}+{\mbox{Id}}_{V}\otimes \tau (x)\tau (y)

。

しかし、一般的には、これは等しくない

\rho (x)\rho (y)=\sigma (x)\sigma (y)\otimes {\mbox{Id}}_{W}+\sigma (x)\otimes \tau (y)+\sigma (y)\otimes \tau (x)+{\mbox{Id}}_{V}\otimes \tau (x)\tau (y)

。

これは、このテンソル積の定義があまりにも単純すぎることを示しています。明らかな解決策は、反対称となるように定義し、真ん中の2つの項が相殺されるようにすることです。これにより、リー代数の概念が導き出されます。

非単位代数

一部の著者は、「結合代数」という用語を、必ずしも乗法単位元を持たない構造を指すために使用しており、したがって、必ずしも単位元を持たない準同型写像を考察している。

非単位的結合代数の一例として、 xが無限大に近づくときの極限がゼロとなるすべての関数f : R → Rの集合が挙げられる。

別の例としては、連続周期関数のベクトル空間と畳み込み積が挙げられます。

注記

↑編集者注：興味深いケースでは、 A ^eは完全な行列環であることが判明し、行列が右から作用するようにする方がより一般的です。
↑同値性を確認するには、 A ⊗ _R A → Aのセクションを使用して全射のセクションを構成できることに注目してください。

引用文献

↑ Tjin 1992、例1
↑ Vale 2009、定義3.1
↑コーン 2003、§ 4.7
↑ウォーターハウス 1979、§ 6.2
↑ウォーターハウス 1979、§ 6.3
↑コーン 2003、定理 4.7.5
↑ Artin 1999、第 IV 章、第 1 節

参考文献

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ブルバキ、N. (1989)。代数 I。スプリンガー。ISBN 3-540-64243-9。
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ジェイコブソン、ネイサン（1956）。環の構造。コロキウム出版。第 37巻。アメリカ数学会。ISBN 978-0-8218-1037-8。{{citation}}ISBN /日付の不一致（ヘルプ）
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Street, Ross (1998). Quantum Groups: an entrée to modern algebra . 2005年8月25日のオリジナルからアーカイブ済み。2017年7月10日取得。添え字を用いない表記法の概要。
Tjin, T. (1992年10月10日). 「量子化リー群と量子化リー代数入門」. International Journal of Modern Physics A. 07 ( 25): 6175–6213 . arXiv : hep-th/9111043 . Bibcode : 1992IJMPA...7.6175T . doi : 10.1142/S0217751X92002805 . ISSN 0217-751X . S2CID 119087306 .
Vale, R. (2009). "準自由代数に関するノート" (PDF) .
ウォーターハウス、ウィリアム（ 1979）。アフィン群スキーム入門。大学院数学テキスト第66巻。ベルリン、ニューヨーク：シュプリンガー・フェルラーク。doi ：10.1007/978-1-4612-6217-6。ISBN 978-0-387-90421-4. MR 0547117 .

[3] 編集者注：興味深いケースでは、 A ^eは完全な行列環であることが判明し、行列が右から作用するようにする方がより一般的です。

[5] 同値性を確認するには、 A ⊗ _R A → Aのセクションを使用して全射のセクションを構成できることに注目してください。

[FOOTNOTETjin1992Example_1-1] Tjin 1992、例1

[FOOTNOTEVale2009Definition_3.1-2] Vale 2009、定義3.1

[FOOTNOTECohn2003§_4.7-4] コーン 2003、§ 4.7

[FOOTNOTEWaterhouse1979§_6.2-6] ウォーターハウス 1979、§ 6.2

[FOOTNOTEWaterhouse1979§_6.3-7] ウォーターハウス 1979、§ 6.3

[FOOTNOTECohn2003Theorem_4.7.5-8] コーン 2003、定理 4.7.5

[FOOTNOTEArtin1999Ch._IV,_§_1-9] Artin 1999、第 IV 章、第 1 節

[1]

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[ a ]

[

[

[

[ 5 ]

[ 6 ]

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