完全な距離空間

数学的解析において、距離空間 Mが完全(またはコーシー空間) であるとは、 M 内のすべての点のコーシー列に、やはりMに含まれる極限がある場合を指します。

直感的に、空間が完全であるのは、空間（内部または境界）から「欠けている点」がない場合です。たとえば、有理数の集合は完全ではありません。なぜなら、egが「欠けている」からです。ただし、それに収束する有理数のコーシー列を構築できます（以下の例を参照）。以下で説明するように、常に「すべての穴を埋める」ことが可能であり、与えられた空間が 完全になります。${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

コーシー数列

距離空間の元の列は、すべての正の 実数に対して、すべての正の整数に対して${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3},\ldots }$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (X,d)}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle N}$${\displaystyle m,n>N,}$ $${\displaystyle d(x_{m},x_{n})<r.}$$

完全なスペース

次の同等の条件のいずれかが満たされる場合、 距離空間は完全です。${\displaystyle (X,d)}$

1. の点の任意のコーシー列には、${\displaystyle X}$${\displaystyle X.}$
2. のすべてのコーシー列は（つまり のある点に）収束します。${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$
3. 直径が0に近づく、空でない 閉集合の減少列には、空でない交差が存在する。が閉じていて空でないなら、すべての集合に共通する唯一の点が存在する。${\displaystyle X,}$${\displaystyle F_{n}}$${\displaystyle F_{n+1}\subseteq F_{n}}$${\displaystyle n,}$${\displaystyle \operatorname {diam} \left(F_{n}\right)\to 0,}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle F_{n}.}$

差の絶対値によって与えられる標準測定基準を持つ有理数の空間Q は完全ではありません。たとえば、およびによって定義される数列を考えてみましょう 。これは有理数のコーシー数列ですが、どの有理極限にも収束しません。数列に極限があった場合、 を解くことによって必然的に、まだこの特性を持つ有理数は存在しません。しかし、実数の数列として考えると、無理数に収束します。 ${\displaystyle x_{1}=1}$${\displaystyle x_{n+1}={\frac {x_{n}}{2}}+{\frac {1}{x_{n}}}.}$${\displaystyle x,}$${\displaystyle x={\frac {x}{2}}+{\frac {1}{x}}}$${\displaystyle x^{2}=2,}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

絶対差メトリックを持つ開区間 ( 0,1)も完全ではありません。 によって定義されるシーケンスはコーシーですが、指定された空間に極限はありません。 ただし、閉区間[0,1]は完全です。 たとえば、指定されたシーケンスには、この区間に極限、つまり 0 があります。 ${\displaystyle x_{n}={\tfrac {1}{n}}}$

実数の空間Rと複素数の空間C (絶対差によって計量が与えられる) は完備であり、通常の距離計量を持つユークリッド空間R ⁿも完備である。これとは対照的に、無限次元ノルムベクトル空間は完備である場合もそうでない場合もある。完備なのはバナッハ空間である。有界な閉区間上の連続実数値関数の空間 C [ a ,  b ]はバナッハ空間であり、したがって上限ノルムに関して完備計量空間である。しかし、上限ノルムは( a ,  b )上の連続関数の空間 C ( a ,  b )にノルムを与えない。なぜなら、この空間には有界でない関数が含まれることがあるからである。その代わりに、コンパクト収束の位相によって、 C ( a ,  b )にフレシェ空間の構造を与えることができる。これは、完全な並進不変計量 によって位相を誘導できる局所凸位相ベクトル空間である。

p進数の空間Q _{p は}任意の素数に対して完全です。 この空間は、R が通常のメトリック でQ を完成させるのと同じ方法で、p進メトリックでQ を完成させます。 ${\displaystyle p.}$

が任意の集合である場合、と の間の距離をと定義すると、内のすべてのシーケンスの集合S ^{N は}完全な距離空間になります。ここではとは異なる最小のインデックスであり、そのようなインデックスがない場合は です。この空間は、離散空間の可算な数のコピーの積に同相です。${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \left(x_{n}\right)}$${\displaystyle \left(y_{n}\right)}$${\displaystyle {\tfrac {1}{N}}}$${\displaystyle N}$${\displaystyle x_{N}}$${\displaystyle y_{N}}$${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle S.}$

完全なリーマン多様体は測地線多様体と呼ばれ、完全性はホップ・リノウの定理から導かれます。

すべてのコンパクトな距離空間は完備であるが、完備空間は必ずしもコンパクトである必要はない。実際、距離空間がコンパクトであるためには、それが完備かつ完全に有界でなければならない。これは、R ⁿの任意の閉有界部分空間はコンパクトであり、したがって完全であるというハイン・ボレルの定理の一般化である。^[1]${\displaystyle S}$

を完全な距離空間とします。 が閉集合であれば、も完全です。を距離空間とします。 が完全な部分空間であれば、も閉じています。 ${\displaystyle (X,d)}$${\displaystyle A\subseteq X}$${\displaystyle A}$${\displaystyle (X,d)}$${\displaystyle A\subseteq X}$${\displaystyle A}$

が集合でが完全な計量空間である場合、 Xから へのすべての有界関数fの集合は完全な計量空間である。ここで、 での距離を での距離と上限ノルムで定義する。${\displaystyle X}$${\displaystyle M}$${\displaystyle B(X,M)}$${\displaystyle M}$${\displaystyle B(X,M)}$${\displaystyle M}$ $${\displaystyle d(f,g)\equiv \sup\{d[f(x),g(x)]:x\in X\}}$$

が位相空間であり、が完全な計量空間である場合、すべての連続する有界関数からなる集合はの閉じた部分空間であり、したがって完全でもあります。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle M}$${\displaystyle C_{b}(X,M)}$${\displaystyle f:X\to M}$${\displaystyle B(X,M)}$

ベールのカテゴリ定理によれば、すべての完全な距離空間はベール空間です。つまり、空間の可算個のどこにも稠密でない部分集合の和集合は、内部が空です。

バナッハの不動点定理は、完全な距離空間上の縮約写像は不動点を許容することを述べています。不動点定理は、バナッハ空間などの完全な距離空間上の逆関数定理を証明するためによく使用されます。

任意の距離空間Mに対して、 M を稠密な部分空間として含む完全な距離空間M′ ( とも表記) を構築することができます。この空間には次の普遍的性質があります。Nが任意の完全な距離空間で、f がMからNへの任意の一様連続関数である場合、 f を拡張するM′からNへの唯一の一様連続関数f′ が存在するというものです。空間M' は、この性質によって等長性まで決定され( M を等長的に含むすべての完全な距離空間の間で)、Mの完備化と呼ばれます。 ${\displaystyle {\overline {M}}}$

Mの完備化は、 M内のコーシー列の同値類の集合として構成できる。 M内の任意の2つのコーシー列とに対して、それらの距離を次のように定義できる。 ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{n}\right)}$${\displaystyle y_{\bullet }=\left(y_{n}\right)}$$${\displaystyle d\left(x_{\bullet },y_{\bullet }\right)=\lim _{n}d\left(x_{n},y_{n}\right)}$$

(この制限が存在するのは、実数が完全であるためです。) 2 つの異なるコーシー列が距離 0 を持つ可能性があるため、これは擬距離的であり、距離的ではありません。しかし、「距離 0 を持つ」ことはすべてのコーシー列の集合上の同値関係であり、同値類の集合は距離空間、つまりMの完備化です。元の空間は、M'の要素xと、 xに収束するM内の列の同値類(つまり、定数値xを持つ列を含む同値類) との同一視によってこの空間に埋め込まれます。これにより、必要に応じて稠密な部分空間への等長変換が定義されます。ただし、この構成では実数の完全性を明示的に使用するため、有理数の完備化には若干異なる処理が必要になることに注意してください。

カントールの実数の構成は、上記の構成に似ています。実数は、通常の絶対値を使用して距離を測定する有理数の完備化です。さらに微妙な点は、実数の完全性をその構成で使用することは論理的に許されないことです。それでも、コーシー列の同値類は上記のように定義され、同値類の集合は、有理数をサブフィールドとして持つフィールドであることが簡単に示されます。このフィールドは完全であり、自然な全順序付けを許容し、唯一の全順序付けされた完全フィールドです (同型性を除く)。これは、実数のフィールドとして定義されます(詳細については、実数の構成も参照)。通常見られるように、実数とのこの同一性を視覚化する 1 つの方法は、与えられた実数の極限を持つ「はずの」有理数のコーシー列からなる同値類を、その実数と同一視することです。小数展開の切り捨てにより、関連する同値類のコーシー列の選択肢が 1 つだけ与えられます。

素数の場合、p進数は、異なる測定基準に関して有理数を完成させることによって生じます。 ${\displaystyle p,}$

前述の完備化手順をノルムベクトル空間に適用すると、結果は元の空間を稠密な部分空間として含むバナッハ空間となり、内積空間に適用すると、結果は元の空間を稠密な部分空間として含むヒルベルト空間となる。

完全性は計量の性質であり、位相の性質ではない。つまり、完全な計量空間は、不完全な計量空間と同相になり得る。実数の例は、完全ではあるが、不完全な開区間(0,1)と同相である。

位相幾何学では、完全距離化可能空間、つまり、与えられた位相を誘導する少なくとも 1 つの完全な距離が存在する空間について考えます。完全距離化可能空間は、ある完全な距離空間の可算な数の開部分集合の共通部分として記述できる空間として特徴付けることができます。ベールのカテゴリ定理の結論は純粋に位相的なので、これらの空間にも適用されます。

完全に距離化可能な空間は、しばしば位相的に完全と呼ばれる。しかし、距離は位相空間上の最も一般的な構造ではないため、後者の用語はいくぶん恣意的である。なぜなら、距離は、完全性について語ることができる位相空間上の最も一般的な構造ではないからである（「代替と一般化」のセクションを参照）。実際、一部の著者は、位相的に完全という用語を、より広いクラスの位相空間、つまり完全に均一化可能な空間に対して使用している。^[3]

可分完備計量空間に同相な位相空間はポーランド空間と呼ばれる。

コーシー列は一般位相群でも定義できるため、空間の完備性の定義と完備化に距離構造を利用する代わりに、群構造を使用することもできます。これは位相ベクトル空間のコンテキストで最もよく見られますが、連続的な「減算」操作の存在のみを必要とします。この設定では、2 点間の距離は、比較における距離を介した実数ではなく、比較における減算を介したの開近傍によって測定されます。${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle d}$${\displaystyle d(x,y)<\varepsilon ,}$ ${\displaystyle N}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle xy\in N.}$

これらの定義の一般的な一般化は、均一空間のコンテキストで見つけることができます。均一空間では、周囲とは、互いに特定の「距離」以内にあるすべての点のペアの集合です。

完全性の定義におけるコーシー列をコーシーネットまたはコーシーフィルタに置き換えることも可能です。すべてのコーシーネット（または同等のすべてのコーシーフィルタ）が に極限を持つ場合、 は完全であるといわれます。さらに、距離空間の完備化に似た任意の一様空間の完備化を構築することもできます。コーシーネットが適用される最も一般的な状況はコーシー空間です。これらにも一様空間と同様に完全性と完備化の概念があります。 ${\displaystyle X,}$${\displaystyle X}$

• コーシー空間 – 一般位相と解析学の概念
• 完備化 (代数学)  – 代数学において、完全な位相的な環と加群をもたらす環と加群上のいくつかの関連する関数のいずれかフォールバックとしてウィキデータの説明を表示するページ
• 完全一様空間 – 一様性質の概念を持つ位相空間リダイレクト先の簡単な説明を表示するページ
• 完全な位相ベクトル空間 - 互いに徐々に近づく点が常に一点に収束するTVS
• エケランドの変分原理 – いくつかの最適化問題にはほぼ最適な解が存在すると主張する定理フォールバックとしてウィキデータの説明を表示するページ
• クナスター・タルスキー定理 – 順序と格子理論における定理

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• クレイシグ、アーウィン、『応用を伴う関数解析入門』（ワイリー、ニューヨーク、1978 年）。ISBN 0-471-03729 -X 
• ラング、セルジュ、「実数および関数解析」ISBN 0-387-94001-4 
• Meise, Reinhold; Vogt, Dietmar (1997).関数解析入門。Ramanujan, MS (訳)。オックスフォード: Clarendon Press; ニューヨーク: Oxford University Press。ISBN 0-19-851485-9。