ガウス曲率

微分幾何学において、3次元空間内の滑らかな曲面のある点におけるガウス曲率（記号Κ、カール・フリードリヒ・ガウスにちなんで命名）_は、その点における2つの主曲率κ1と_κ2の積である。 $${\displaystyle K=\kappa _{1}\kappa _{2}.}$$ 例えば、半径rの球面は、あらゆる場所でガウス曲率が 1 / r 2 であり、平面や円柱^はあらゆる場所でガウス曲率がゼロです。双曲面やトーラスの内部のように、ガウス曲率が負になる場合もあります。

ガウス曲率は曲率の本質的な尺度であり、原理的には表面内に完全に存在する2次元の存在によって測定できることを意味します。なぜなら、ガウス曲率は表面の「内部」または表面に沿って測定される距離のみに依存し、ユークリッド空間への等長的な埋め込み方法には依存しないからです。これは、ガウスが1827年に発表した『驚異の定理』の内容です。

曲面上の任意の点において、曲面に直角な法線ベクトルを見つけることができます。法線ベクトルを含む平面を法線平面と呼びます。法線平面と曲面の交線は法線断面と呼ばれる曲線を形成し、この曲線の曲率を法線曲率と呼びます。ほとんどの「滑らかな」曲面上のほとんどの点において、異なる法線断面は異なる曲率を持ちます。これらの最大値と最小値を主曲率と呼び、それぞれκ ₁、κ ₂とします。ガウス曲率は、2 つの主曲率の積Κ = κ ₁ κ ₂です。

ガウス曲率の符号は、表面の特徴を記述するために使用できる。

• 主曲率が両方とも同じ符号（κ ₁ κ ₂ > 0）である場合、ガウス曲率は正となり、曲面は楕円点を持つと言われます。このような点では、曲面はドーム状になり、局所的に接平面の片側に位置します。すべての断面曲率は同じ符号になります。
• 主曲率の符号が異なる場合、κ ₁ κ ₂ < 0であれば、ガウス曲率は負となり、曲面は双曲点または鞍点を持つと言われます。このような点では、曲面は鞍型になります。主曲率の 1 つが負、もう 1 つが正であり、法線曲率が連続的に変化するため、曲面に直交する平面を曲面の法線を中心に 2 方向に回転させると、法線曲率はゼロになり、その点の漸近曲線が得られます。
• 主曲率の 1 つがゼロの場合: κ ₁ κ ₂ = 0、ガウス曲率はゼロであり、曲面は放物線点を持つと言われます。

ほとんどの曲面には、正のガウス曲率を持つ領域（楕円形の点）と負のガウス曲率を持つ領域があり、それらは放物線と呼ばれるガウス曲率がゼロの点の曲線によって隔てられています。

曲面のガウス曲率が常にゼロである場合、それは展開可能な曲面であり、その曲面の幾何学はユークリッド幾何学である。

表面が一定の正のガウス曲率を持つ場合、その表面の形状は球面形状になります。球や球の集合体はこの形状を持ちますが、レモンやアメリカンフットボールなど、他の例も存在します。

曲面が一定の負のガウス曲率を持つ場合、それは擬球面であり、その曲面の幾何学は双曲幾何学である。

曲面上の特定の点における 2 つの主曲率は、その点における形状演算子の固有値です。これらは、その点から異なる方向に曲面がどれだけ異なる量だけ曲がっているかを示します。陰関数定理により、曲面を2 つの変数の関数fのグラフとして表現します。このとき、点pは臨界点、つまりfの勾配がゼロになる点です (これは適切な剛体運動によって常に達成できます)。すると、点pにおける曲面のガウス曲率は、 fの2 x 2ヘッセ行列の行列式(ヘッセ行列の固有値の積) になります。 （ヘッセ行列は2階微分の対称行列であり、ユークリッド空間では、 Hがその共役転置行列と等しい場合、つまりHが実数である場合に限定されたスペクトル定理の特殊なケースによって対角化可能であることを思い出してください。）この定義により、カップ/キャップと鞍点の違いをすぐに理解できます。

また、 $${\displaystyle K={\frac {{\bigl \langle }(\nabla _{2}\nabla _{1}-\nabla _{1}\nabla _{2})\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2}{\bigr \rangle }}{\det g}},}$$ ここで、∇ _i = ∇ _{e i}は共変微分であり、gは計量テンソルである。

R ³内の正則曲面上の点pにおけるガウス曲率は次のように与えられる。 $${\displaystyle K(\mathbf {p} )=\det S(\mathbf {p} ),}$$ ここでSは形状演算子である。

ガウス曲率の有用な公式は、等温座標におけるラプラシアンを用いたリウヴィル方程式である。

曲面のある領域におけるガウス曲率の面積分を全曲率と呼びます。測地線三角形の全曲率は、その三角形の内角の和とπとの差に等しくなります。正の曲率を持つ曲面上の三角形の内角の和はπを超え、負の曲率を持つ曲面上の三角形の内角の和はπより小さくなります。ユークリッド平面のような曲率がゼロの曲面では、内角の和はちょうどπラジアン になります。$${\displaystyle \sum _{i=1}^{3}\theta _{i}=\pi +\iint _{T}K\,dA.}$$ より一般的な結果として、ガウス・ボンネの定理がある。

• ミンディングの定理（1839年）は、同じ一定曲率Kを持つすべての曲面は局所的に等長であると述べている。ミンディングの定理の帰結として、曲率が常にゼロである曲面は、平面領域を曲げることによって構成できる。このような曲面は可展開曲面と呼ばれる。ミンディングはまた、一定の正の曲率を持つ閉曲面が必ずしも剛体であるかどうかという問題も提起した
• リープマンの定理（1900年）^{はミンディングの疑問に答えた。R 3}において一定の正のガウス曲率を持つ唯一の正則（クラスC ² ）閉曲面は球である。 ^{[ 2 ]}球が変形すると球のままではなくなり、球が剛体であることが証明される。標準的な証明では、非臍点が非正のガウス曲率を持つというヒルベルトの補題を用いる。 ^{[ 3 ]}
• ヒルベルトの定理（1901年）によれば、 R ^{3内には、一定の負のガウス曲率を持つ完全な解析的（クラス}C ^ω）正則曲面。実際、この結論はR ³内に埋め込まれたクラスC ²の曲面にも当てはまるが、 C ^{1 の}曲面には当てはまらない。擬球面は、境界円を除いて一定の負のガウス曲率を持つ。境界円ではガウス曲率は定義されない。

ガウス曲率が常に正である曲面は他にも存在する。マンフレド・ド・カルモは回転面を考察している。${\displaystyle (\phi (v)\cos(u),\phi (v)\sin(u),\psi (v))}$どこ${\displaystyle \phi (v)=C\cos v}$、 そして${\textstyle \psi (v)=\int _{0}^{v}{\sqrt {1-C^{2}\sin ^{2}v'}}\ dv'}$（不完全な第2種楕円積分）。これらの曲面はすべて一定のガウス曲率1を持ちますが、${\displaystyle C\neq 1}$境界または特異点を持つ。ド・カルモはまた、一定の負のガウス曲率を持つ曲面の3つの異なる例を挙げており、そのうちの1つは擬球である。^{[ 4 ]}

ガウス曲率が一定の有界曲面は他にも多数存在する。球は剛体であり、等長変換を用いて曲げることはできないが、小さな領域を取り除いたり、小さな線分に沿って切断したりすれば、結果として得られる曲面は曲げることができる。このような曲げはガウス曲率を保持するため、領域を取り除いた球のこのような曲げもガウス曲率が一定となる。^{[ 5 ]}

• R ³における曲面のガウス曲率は、第 2および第 1基本形式の行列式の比IIおよびIとして表すことができる。$${\displaystyle K={\frac {\det(\mathrm {I\!I} )}{\det(\mathrm {I} )}}={\frac {LN-M^{2}}{EG-F^{2}}}.}$$
• のブリオスキの公式（フランチェスコ・ブリオスキ）は、ガウス曲率を第一基本形式のみで表す。$${\displaystyle K={\frac {{\begin{vmatrix}-{\frac {1}{2}}E_{vv}+F_{uv}-{\frac {1}{2}}G_{uu}&{\frac {1}{2}}E_{u}&F_{u}-{\frac {1}{2}}E_{v}\\F_{v}-{\frac {1}{2}}G_{u}&E&F\\{\frac {1}{2}}G_{v}&F&G\end{vmatrix}}-{\begin{vmatrix}0&{\frac {1}{2}}E_{v}&{\frac {1}{2}}G_{u}\\{\frac {1}{2}}E_{v}&E&F\\{\frac {1}{2}}G_{u}&F&G\end{vmatrix}}}{\left(EG-F^{2}\right)^{2}}}}$$
• 直交パラメータ化（F = 0 ）の場合、ガウス曲率は次のようになります。$${\displaystyle K=-{\frac {1}{2{\sqrt {EG}}}}\left({\frac {\partial }{\partial u}}{\frac {G_{u}}{\sqrt {EG}}}+{\frac {\partial }{\partial v}}{\frac {E_{v}}{\sqrt {EG}}}\right).}$$
• 2変数関数z = F ( x , y )のグラフとして記述される曲面の場合、ガウス曲率は次のようになります。^{[ 6 ]}$${\displaystyle K={\frac {F_{xx}\cdot F_{yy}-F_{xy}^{2}}{\left(1+F_{x}^{2}+F_{y}^{2}\right)^{2}}}}$$
• 暗黙的に定義された曲面F ( x , y , z ) = 0の場合、ガウス曲率は勾配∇ Fとヘッセ行列H ( F )で表すことができます。^{[ 7 ] [ 8 ]}$${\displaystyle K=-{\frac {\begin{vmatrix}H(F)&\nabla F^{\mathsf {T}}\\\nabla F&0\end{vmatrix}}{|\nabla F|^{4}}}=-{\frac {\begin{vmatrix}F_{xx}&F_{xy}&F_{xz}&F_{x}\\F_{xy}&F_{yy}&F_{yz}&F_{y}\\F_{xz}&F_{yz}&F_{zz}&F_{z}\\F_{x}&F_{y}&F_{z}&0\\\end{vmatrix}}{|\nabla F|^{4}}}}$$
• ユークリッド空間の計量に適合する計量を持つ曲面、すなわちF = 0かつE = G = e ^σの場合、ガウス曲率は次のように与えられる（Δは通常のラプラス演算子である）。$$${\displaystyle K=-{\frac {1}{2e^{\sigma }}}\Delta \sigma .}$$$
• ガウス曲率は、測地線円の円周と平面上の円の円周の極限的な差である。 ^{[ 9 ]}$${\displaystyle K=\lim _{r\to 0^{+}}3{\frac {2\pi rC(r)}{\pi r^{3}}}}$$
• ガウス曲率は、測地線円盤の面積と平面上の円盤の面積の極限的な差である。 ^{[ 9 ]}$${\displaystyle K=\lim _{r\to 0^{+}}12{\frac {\pi r^{2}-A(r)}{\pi r^{4}}}}$$
• ガウス曲率はクリストッフェル記号で表すことができる：^{[ 10 ]}$${\displaystyle K=-{\frac {1}{E}}\left({\frac {\partial }{\partial u}}\Gamma _{12}^{2}-{\frac {\partial }{\partial v}}\Gamma _{11}^{2}+\Gamma _{12}^{1}\Gamma _{11}^{2}-\Gamma _{11}^{1}\Gamma _{12}^{2}+\Gamma _{12}^{2}\Gamma _{12}^{2}-\Gamma _{11}^{2}\Gamma _{22}^{2}\right)}$$

• 地球のガウス曲率半径
• 断面曲率
• 平均曲率
• ガウスマップ
• リーマン曲率テンソル
• 主曲率

• Grinfeld, P. (2014).テンソル解析と動曲面の微積分入門. Springer. ISBN 978-1-4614-7866-9。
• ロヴェッリ、カルロ（2021）。一般相対性理論の基礎。ケンブリッジ大学出版局。ISBN 978-1-009-01369-7。

• 「ガウス曲率」、数学百科事典、EMS Press、2001年 [1994年]