概念記号

Begriffsschrift （ドイツ語で「概念記述」の意）は、ゴットロープ・フレーゲによる論理学に関する書籍で、1879年に出版され、その書籍の中で提示された形式体系を指す。

Begriffsschriftは通常、概念記述または概念記法と訳されますが、本書の正式名称は「純粋思考のための、算術をモデルとした数式言語」と定義しています。フレーゲが論理学への形式的アプローチを開発した動機は、ライプニッツが計算式である ratiocinatorを開発した動機と似ています。（しかし、序文でフレーゲは、この目的を達成したこと、また、ライプニッツのような理想的な言語を構築することが主な目的ではないことを明確に否定しています。フレーゲは、それは不可能ではないものの、非常に困難で理想主義的な課題であると述べています。）フレーゲは、その後の四半世紀にわたって行われた数学の基礎に関する研究で、自身の論理計算法を用いました。これは、後にイギリスとアメリカの哲学者たちがさらに発展させた分析哲学の最初の著作です。

この計算体系には量化変数が初めて登場し、本質的には恒等関係を持つ古典的な二値二階論理である。二値であるというのは、文や式が真か偽かのいずれかを表すからであり、二階であるというのは、対象変数に加えて関係変数を含み、両方に対して量化を可能にするからである。修飾語「恒等関係を持つ」は、この言語に恒等関係「=」が含まれることを示している。フレーゲは、自身の著書は数学に適用されるライプニッツの概念である普遍的特性の彼なりのバージョンであると述べている。 ^{[ 1 ]}

第1章では、フレーゲは判断、条件性、否定、内容の同一性、^{[ 2 ]}関数、一般性といった基本的な概念と表記法を定義している。

フレーゲは、否定、実質条件文、全称量化に基づいた独自の^{[ 3 ]}二次元記法で自身の微積分を提示している。その他の結合子と存在量化は定義として与えられている。括弧は不要である。

条件付き（${\displaystyle B\to A}$) は によって表現されます。その意味に関してフレーゲは次のように書いています。^{[ 4 ]}

「AとBが判断になり得る内容を表すとすれば、以下の4つの可能性が考えられる。」

1. Aは肯定され、Bも肯定される。
2. Aは肯定され、Bは否定される。
3. Aは否認され、Bは肯定される。
4. Aは却下され、Bも却下された。

今

それは、3つの可能性のうち3つ目は起こらず、残りの3つのうち1つが起こるという判断を意味する。

構成要素は次のとおりです。^{[ 5 ]}

振り返ってみると、 Begriffsschriftでは、数式は構文解析木によって表現される と言える。

例

命題 59 ^{[ 6 ]}は現代の記法で次のように書かれている^{[ 7 ]}

${\displaystyle \vdash g\left(b\right)\to \left(\lnot f\left(b\right)\to \lnot \left(\forall a\right)\left(g\left(a\right)\to f\left(a\right)\right)\right)}$。

構文木は

 → / \ g(b) → / \ ¬ ¬ | | f(b) ∀a | → / \ g(a) f(a) 

左から右への水平レイアウト

→ ─── → ─── ¬ ─── ∀a ─── → ─── f(a) \ \ \ g(b) ¬ g(a) \ f(b) 

Begriffsschriftでは、命題 59 は^{[ 6 ]として表されます。}

├─┬─┬─┬─a̲─┬─── f(a) │ │ └─── g(a) │ └──────┬── f(b) └─────────── g(b) 

第2章で、フレーゲは自身の命題のうち9つを公理と宣言し、それらが意図された意味を考慮すれば自明の真理を表していると非公式に論じることで正当化した。現代の記法で再表現すると、これらの公理は以下のようになる。

1. ${\displaystyle \vdash A\to (B\to A)}$
2. ${\displaystyle \vdash [A\to (B\to C)]\to [(A\to B)\to (A\to C)]}$
3. ${\displaystyle \vdash [D\to (B\to A)]\to [B\to (D\to A)]}$
4. ${\displaystyle \vdash (B\to A)\to (\lnot A\to \lnot B)}$
5. ${\displaystyle \vdash \lnot \lnot A\to A}$
6. ${\displaystyle \vdash A\to \lnot \lnot A}$
7. ${\displaystyle \vdash (c=d)\to (f(c)=f(d))}$
8. ${\displaystyle \vdash c=c}$
9. ${\displaystyle \vdash \forall a\,f(a)\to f(c)}$

これらは、概念論の命題 1、2、8、28、31、41、52、54、および 58 です。(1)～(3) は実質含意、(4)～(6)は否定、(7) および (8) は同一性、(9) は全称量化子を規定します。(7) はライプニッツの同一性の不可弁別性を表し、(8) は同一性が反射関係であることを主張します。

他のすべての命題は、以下の推論規則のいずれかを用いることにより、（1）～（9）から導き出される。

• モーダス・ポネンスは推論を可能にする${\displaystyle \vdash B}$から${\displaystyle \vdash A\to B}$そして${\displaystyle \vdash A}$;
• 一般化の規則により推論が可能になる${\displaystyle \vdash P\to \forall xA(x)}$から${\displaystyle \vdash P\to A(x)}$xがPに含まれていない場合;
• フレーゲが明示的に述べていない置換の法則。この法則は、先に挙げた2つの法則よりも正確に表現するのがはるかに難しく、フレーゲは必ずしも正当とは言えない方法でこの法則を用いている。

第3章「一般級数理論からの抜粋」の主な結果は、現在では関係Rの祖先と呼ばれるものに関するものです。「aはbのR祖先である」は「 aR * b 」と表記されます。

フレーゲは、関係の祖先に関するものを含め、概念書の結果を適用して、後の著作『算術の基礎』を著した。したがって、xRy を関係y = x + 1 とすると、0 R * yは述語「yは自然数である」となる。(133) は、x、y、zが自然数である場合、 x < y、x = y、またはy < xのいずれかが成り立つと述べている。これがいわゆる「三分割法則」である。

Begriffsschrift がドイツの数学文献でどのように評価されたかについての最近の綿密な研究については、Vilko (1998) を参照のこと。 ^{[ 8 ]}一部の評論家、特にErnst Schröder は概して好意的であった。Begriffsschrift 以降の形式論理のすべての研究は、その二階論理が数学と自然言語のかなりの部分を表現できる最初の形式論理であったため、Begriffsschrift に負っている。

フレーゲの記法の名残は、「回転式改札機」の記号に残っている。${\displaystyle \vdash }$フレーゲは、自身の「Urteilsstrich」（判断/推論の線）│と「Inhaltsstrich」（内容の線）──から派生した。フレーゲは、これらの記号を『概念文法』の中で統一された形├─で用いて、命題が真であることを宣言した。後の『基本法則』では、├─記号の解釈を若干修正している。

「Begriffsschrift」では、「Definitionsdoppelstrich」（定義の二重線）│├─は、命題が定義であることを示します。さらに、否定記号は ${\displaystyle \neg }$これは、水平方向のInhaltsstrichと垂直方向の否定線の組み合わせとして読むことができます。この否定記号は、 1930年にアーレント・ヘイティング^{[ 9 ]}によって直観主義的否定と古典的否定を区別するために再導入されました。また、ゲルハルト・ゲンツェンの博士論文にも登場します。

ルートヴィヒ・ヴィトゲンシュタインは『論理哲学論考』の中で、概念文法（Begriffsschrift）という用語を論理形式主義の同義語として用いることで、フレーゲに敬意を表している。

フレーゲの1892年の論文「意味と指示について」は、同一性（数学では「＝」記号で表される）に関する概念記号論の結論の一部を撤回している。特に、彼は同一性述語が名前間の関係を表すという概念記号論の見解を否定し、同一性述語はそれらの名前によって指示される対象間の関係を表すという結論を支持している。

• ゴットロブのフレーゲ(1879)。Begriffsschrift — eine der arithmetischen nachgebildete Formelsprache des reinen Denkens (pdf) (ドイツ語)。ファクシミリをダウンロードできます (2.5 MB)。ハレ・アン・デア・ザーレ：ルブレヒトとクラマー。 p.  124.

遡及的デジタル化センターからも入手可能です。

翻訳

• フレーゲ、ゴットロープ(1967) [1879]。「概念スクリプト」(PDF) 。ジャン・ヴァン・ヘイエノールト編『フレーゲからゲーデルへ：数学論理学の資料集、1879-1931』所収。シュテファン・バウアー＝メンゲルベルク訳。ハーバード大学出版局。
• フレーゲ、ゴットロープ( 2002) [1879]。概念記法と関連論文(pdf)。テレル・ウォード・バイナム訳。1972年翻訳・編集。伝記と序文付き。オックスフォード大学出版局。pp.  XII、291。ISBN 978-0198243595。
• フレーゲ、ゴットロープ(1997) [1879]。「概念書：選集（序文と第 1 部）」。フレーゲ読本。マイケル・ビーニー訳。オックスフォード：ブラックウェルズ。

• 先祖関係
• 同値命題の計算
• 一階述語論理
• 過去の分析
• 思考の法則
• プリンキピア・マテマティカ
• 概念的な馬のパラドックス

• ザルタ、エドワード N. 「フレーゲの論理、定理、算術の基礎」。ザルタ、エドワード N. (編) 『スタンフォード哲学百科事典』。ISSN 1095-5054。OCLC 429049174。  
• 難解なプログラミング言語：「Gottlob: フレーゲの概念記法でコードを書く」。esoteric.codes 。 2020年3月27日。 2022年6月19日取得。