ガロア理論

数学において、エヴァリスト・ガロアによって最初に提唱されたガロア理論は、体論と群論を結びつける役割を果たします。この結びつき、すなわちガロア理論の基本定理によって、体論における特定の問題を群論に還元することが可能となり、問題をより単純化し、理解しやすくすることができます。

ガロアは多項式の根を研究する分野を導入した。これにより、根号で解ける多項式方程式を、その根の置換群の性質に基づいて特徴づけることができた。定義上、方程式は、その根が整数、 $n$ 乗根、および4つの基本的な算術演算のみを含む式で表せる場合に根号で解ける。これは、次数が5以上の一般的な多項式は根号で解けないと主張するアーベル・ルフィニの定理を大きく一般化したものである。

ガロア理論は、古典的な問題を解決するために用いられてきました。例えば、古代の2つの問題（立方体の倍増と角の三等分）は、提示された方法では解決できないことを示すことや、作図可能な正多角形を特徴づけることなどが挙げられます（この特徴づけは以前ガウスによって与えられていましたが、作図可能な多角形のリストが完全であるという証明はありませんでした。この特徴づけが完全であることを示す既知の証明はすべてガロア理論を必要とします）。

ガロアの著作は、彼の死後14年後にジョゼフ・リウヴィルによって出版された。この理論が数学者の間で普及し、広く理解されるまでには、さらに長い時間がかかった。

ガロア理論は、ガロア接続とグロタンディークのガロア理論へと一般化されている。

古典的な問題への応用

ガロア理論の誕生と発展は、19世紀初頭まで主要な未解決数学問題の一つであった以下の疑問によって引き起こされた。

通常の代数演算（加算、減算、乗算、除算）と根号（平方根、立方根など）の適用のみを使用して、5次（またはそれ以上）の多項式方程式の根を多項式の係数で表す公式は存在しますか？

アーベル・ルフィニの定理は、このような公式が存在しない多項式方程式が存在することを示す反例を提供している。ガロアの理論は、この問題に対してより完全な解答を与えている。すなわち、4次以下のすべての方程式を含む一部の方程式は上記の方法で解けるが、5次以上のほとんどの方程式は解けない理由を説明している。さらに、特定の方程式が解けるかどうかを判断するための、概念的に明確でアルゴリズムとして容易に表現できる手段も提供している。

ガロアの理論は、コンパスと定規を用いた作図の問題に関する疑問にも明確な洞察を与えてくれます。この理論は、この方法で作図できる長さの比率を優雅に特徴づけています。これを用いることで、次のような古典的な幾何学の問題に比較的容易に答えることができます。

歴史

先史時代

ガロアの理論は対称関数の研究に端を発している。すなわち、単項多項式の係数は（符号を除いて）根に関する基本対称多項式である。例えば、 $(x - a)(x - b) = x 2 - (a + b) x + ab$ となる。ここで、1、 $a + b$ 、 $ab$ はそれぞれ 2 変数に関する 0 次、1 次、2 次の基本多項式である。

これは、16 世紀のフランスの数学者フランソワ・ヴィエトが、正の実根の場合について、ヴィエトの公式で初めて形式化しました。18 世紀のイギリスの数学者チャールズ・ハットン[ ²^]の意見では、多項式の係数を根 (正の根だけでなく) で表す表現は、17 世紀のフランスの数学者アルベール・ジラールによって初めて理解されました。ハットンは次のように書いています^。^[³^]^[⁴^]

…[ジラールは]根の和とその積からべき乗の係数を形成するという一般的な理論を理解した最初の人であった。彼はあらゆる方程式の根のべき乗を合計するための規則を発見した最初の人であった。

この点において、判別式は根に関する対称関数であり、根の性質を反映しています。判別式は、多項式が多重根を持つ場合に限りゼロとなり、二次および三次多項式の場合、すべての根が実数かつ異なる場合に限り正となり、異なる複素共役根のペアが存在する場合に限り負となります。詳細は「判別式 § 低次数」を参照してください。

3次方程式は、15～16世紀のイタリアの数学者シピオーネ・デル・フェッロによって最初に部分的に解かれましたが、彼はその結果を公表しませんでした。しかし、この方法は1種類の3次方程式しか解けませんでした。この解法は、1535年にニッコロ・フォンタナ・タルタリアによって独自に再発見され、彼はそれをジェロラモ・カルダーノに伝え、公表しないように頼みました。カルダーノはその後、同様の議論を用いてこれを他の多くのケースに拡張しました。詳細はカルダーノの方法を参照してください。デル・フェッロの研究が発見された後、彼はタルタリアの方法がもはや秘密ではないと感じ、1545年の著書『アルス・マグナ』で自身の解法を公表しました。^{[ 5 ]}彼の弟子であるロドヴィコ・フェッラーリは4次多項式を解き、彼の解法も『アルス・マグナ』に収録されました。しかし、カルダーノはこの著書の中で、三次方程式の解法に関する「一般公式」を示していません。なぜなら、彼は複素数を扱える知識も、一般的な三次方程式を記述できる代数記号も持ち合わせていなかったからです。現代の記号と複素数を用いれば、この本の公式は一般の場合にも適用できますが、カルダーノはそれを知りませんでした。あらゆる形式の三次方程式を解くために複素数を扱う方法を理解したのは、ラファエル・ボンベッリでした。

さらに一歩進んだのは、フランス系イタリア人の数学者ジョゼフ・ルイ・ラグランジュによる1770年の論文「方程式の代数的解法に関する考察」 ^{[ 6 ]}で、ラグランジュのレゾルベント法において、カルダーノとフェラーリの3次方程式と4次方程式の解を根の順列の観点から分析し、より低い次数の補助多項式を得て、解の統一的な理解を提供し、群論とガロア理論の基礎を築いた。しかし、重要なことに、彼は順列の合成を考慮しなかった。ラグランジュの方法は、レゾルベントの次数が高くなるため、5次方程式以上には拡張されなかった。

1799年、パオロ・ルフィーニは、根号を用いて5次方程式に一般解が存在しないことをほぼ証明した。彼の重要な洞察は、単一の置換だけでなく置換群を用いることであった。彼の解には、コーシーが些細なものと考えていたギャップが含まれていたが、これはノルウェーの数学者ニールス・ヘンリック・アーベルが1824年に証明を発表し、アーベル＝ルフィーニの定理を確立するまで修正されなかった。

ルフィーニとアーベルは、一般的な5次式は解けないことを明らかにしたが、 $x$ $5$ $- 1 = 0のような$ 特定の5次式は解ける。また、与えられた5次式以上の多項式が解けるかどうかを正確に判断する基準は、エヴァリスト・ガロアによって与えられた。ガロアは、多項式が解けるかどうかは、その根の置換群（現代の用語ではガロア群）が特定の構造（現代の用語では、可解群であるかどうか）を持つかどうかと同等であることを示した。この群は、次数が4以下の多項式に対しては常に可解であったが、次数が5以上の多項式に対しては必ずしもそうではなかった。これが、次数が高い多項式に一般的な解が存在しない理由である。

ガロアの著作

1830年、ガロア（18歳）は、根号による方程式の可解性に関する理論についての論文をフランス科学アカデミーに提出した。ガロアの論文は、内容が概略的すぎること、また方程式の係数ではなく根号で条件を与えていることを理由に、1831年に最終的に却下された。ガロアはその後1832年に決闘で亡くなり、彼の論文「根号による方程式の可解性の条件に関する論文」は、1846年にジョゼフ・リウヴィルが自身の解説を添えて出版するまで未発表のままだった。 ^{[ 7 ]}この出版に先立ち、リウヴィルは1843年7月4日に科学アカデミーで行った講演でガロアの成果を発表した。 ^{[ 8 ]}アラン・クラークによれば、ガロアの特徴づけは「アベルとルフィニの業績を劇的に凌駕する」ものだった。^{[ 9 ]}

余波

ガロアの理論は、同時代の人々にとって理解するのが非常に難しく、特にそれを発展させるレベルに達するのは困難でした。例えば、リウヴィルは1846年の解説で、ガロアの方法の群論的な核心を完全に見落としていました。^{[ 10 ]}リウヴィルの講演に何度か出席したジョゼフ・アルフレッド・セレは、1866年（第3版）の教科書『高等代数学講義』にガロアの理論を含めました。セレの弟子であるカミーユ・ジョルダンは、1870年の著書『代数置換と代数方程式論』でさらに優れた理解を示しました。フランス以外では、ガロアの理論はより長い間、あまり知られていませんでした。イギリスでは、ケイリーはその深遠さを理解できず、イギリスの一般的な代数学の教科書では、世紀が変わってからかなり後になるまでガロアの理論について言及されることさえありませんでした。ドイツでは、クロネッカーの著作はアーベルの結果に重点を置いていました。デデキントはガロアの理論についてほとんど書いていないが、1858年にゲッティンゲンで講義を行い、非常に優れた理解を示した。^{[ 11 ]}ジョーダンの『理論』に基づいたオイゲン・ネットの1880年代の著書は、ハインリヒ・マルティン・ウェーバーの1895年の代数学の教科書と同様に、ガロアの理論をより広いドイツとアメリカの読者に理解しやすくした。 ^[¹²^]

置換群アプローチ

多項式が与えられた場合、いくつかの根がさまざまな代数方程式で結び付けられている可能性があります。たとえば、2つの根、 $A$ と $B$ について、 $A 2 + 5 B 3 = 7$ が成り立つ場合があります。ガロアの理論の中心的な考え方は、根の置換（または並べ替え）を考慮して、根が満たす任意の代数方程式が、根の置換後も依然として満たされるようにすることです。元々、この理論は係数が有理数である代数方程式のために開発されました。これは、任意の体上の係数を持つ方程式に自然に拡張されますが、これは以下の簡単な例では考慮されません。^{[ 13 ]}

これらの順列はまとめて順列群を形成し、これは多項式のガロア群とも呼ばれ、以下の例で具体的に説明されています。

二次方程式

二次方程式を考えてみましょう

x^{2}-4x+1=0.

二次方程式の解の公式を用いると、2つの根は次のようになる。

{\begin{aligned}A&=2+{\sqrt {3}},\\B&=2-{\sqrt {3}}.\end{aligned}}

$A$ と $B$ が満たす代数方程式の例としては、

A+B=4,

そして

AB=1.

最後の 2 つの式のいずれかで $A$ と $B$ を入れ替えると、別の正しい式が得られます。たとえば、式 $A + B = 4は$ $B + A = 4$ になります。より一般的には、すべての係数が有理数である $A$ と $B$ の間のあらゆる可能な代数関係についてこれが成り立ちます。つまり、そのような関係では、 $A$ と $B$ を入れ替えると別の正しい関係が得られます。これは対称多項式の理論から得られるもので、この場合は二項定理を用いた数式操作で置き換えることができます。

$A$ と $B$ は代数方程式 $A - B - 2 \sqrt 3 = 0で関係づけられているが、$ $A$ と $B$ を入れ替えるとこの関係は成り立たなくなる、と反論する人もいるかもしれない。しかし、この関係は係数 $-2 \sqrt 3$ が有理数ではないため、ここでは考慮しない。

多項式 $x² - 4x + 1 のガロア群は、$ $A$ と $B$ をそのままにする恒等置換と、 $A$ と $B$ を交換する転置置換の2 つの置換から構成されると結論付けられます。2 つの要素を持つすべての群は同型であるため、このガロア群は乗法群 ${1, -1}$ と同型です。

同様の議論は、 $a$ $、$ b $、$ c $が$ 有理数である任意の二次多項式 $ax² + bx + cにも当てはまります。$

多項式が有理根を持つ場合、例えば $x 2 - 4 x + 4 = (x - 2) 2$ や $x 2 - 3 x + 2 = (x - 2)(x - 1)$ のように、ガロア群は自明です。つまり、恒等置換のみを含みます。この例では、 $A = 2$ かつ $B = 1$ の場合、 $A$ と $B$ を入れ替えると $A - B = 1$ は成り立たなくなります。
例えば $x$ $2$ $- 2 のように 2 つの$ 無理根を持つ場合、ガロア群には上記の例のように 2 つの置換が含まれます。

4次方程式

多項式を考える

x^{4}-10x^{2}+1.

平方完成を少し変わった方法で行うと、次のように書くこともできます。

(x^{2}-1)^{2}-8x^{2}=(x^{2}-1-2x{\sqrt {2}})(x^{2}-1+2x{\sqrt {2}}).

各因数に二次方程式の解の公式を適用すると、4つの根は次のようになることがわかります。

{\begin{aligned}A&={\sqrt {2}}+{\sqrt {3}},\\B&={\sqrt {2}}-{\sqrt {3}},\\C&=-{\sqrt {2}}+{\sqrt {3}},\\D&=-{\sqrt {2}}-{\sqrt {3}}.\end{aligned}}

これら4つの根の24通りの順列のうち、4つは特に単純で、0、1、または2つの平方根の符号を変えるだけのものです。これらはクラインの4群と同型な群を形成します。

ガロア理論によれば、多項式が既約であることから、ガロア群は少なくとも4つの要素を持つ。ガロア群がこれら4つの置換から構成されていることを証明するには、ガロア群のすべての要素が $A$ の像によって決定されることを示せば十分であり、それは次のように示すことができる。

ガロア群の要素は、 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ を含む有理係数を持つ任意の代数方程式を保存しなければならない。

これらの方程式の中には、次のものがあります。

{\begin{aligned}AB&=-1\\AC&=1\\A+D&=0\end{aligned}}

したがって、 $φが$ ガロア群に属する置換である場合、次のことが成り立つ。

{\begin{aligned}\varphi (B)&={\frac {-1}{\varphi (A)}},\\\varphi (C)&={\frac {1}{\varphi (A)}},\\\varphi (D)&=-\varphi (A).\end{aligned}}

$これは、置換がA$ の像によって適切に定義され、ガロア群が4つの要素を持つことを意味します。

(A, B, C, D) \to (A, B, C, D)

(恒等写像)

(A 、 B 、 C 、 D) \to (B 、 A 、 D 、 C)

(符号の変化

\displaystyle {\sqrt {3}}}

）

(A 、 B 、 C 、 D) \to (C 、 D 、 A 、 B)

(符号の変化

\displaystyle {\sqrt {2}}}

）

(A, B, C, D) \to (D, C, B, A)

(両方の平方根の符号が反転)

これは、ガロア群がクラインの4群と同型であることを意味する。

場の理論による現代的なアプローチ

現代的なアプローチでは、まず体拡大 $L / K$ (「 $L$ over $K 」と読みます) から始め、$ $K$ を固定する $L$ の自己同型群を調べます。詳しい説明と例については、ガロア群に関する記事を参照してください。

2つのアプローチの関係は以下のとおりです。対象となる多項式の係数は、基底体 $K$ から選択する必要があります。上体 $L は、対象となる多項式の根を基底体$ $K$ に付加することによって得られる体です。上記のように代数方程式を満たす根の任意の置換は、 $L / K$ の自己同型写像を生み出し、その逆もまた同様です。

上記の最初の例では、拡張 $Q (\sqrt 3)/ Q$ を調べていました。ここで $Q は$ 有理数の体であり、 $Q (\sqrt 3)は$ $Qに$ $\sqrt 3$ を付加して得られる体です。2 番目の例では、拡張 $Q (A, B, C, D)/ Q$ を調べていました。

現代的なアプローチには、置換群アプローチに比べていくつかの利点がある。

これにより、ガロア理論の基本定理をはるかに簡潔に記述することが可能になる。
$Q$ 以外の基底体を用いることは、数学の多くの分野で重要である。例えば、代数的整数論では、基底体として数体、有限体、または局所体を用いてガロア理論を行うことがよくある。
これにより、無限拡大をより容易に研究できるようになります。これは代数的整数論において重要であり、例えば、 $Q$ の絶対ガロア群は、 $Kが$ $Q$ の代数的閉包である場合の $K$ $/$ $Q$ のガロア群として定義されます。
これにより、不可分拡張を考察することが可能になります。この問題は、算術は常に特性0で行われると暗黙のうちに想定されていた古典的な枠組みでは生じませんが、非ゼロの特性は数論や代数幾何学で頻繁に現れます。
これは、多項式の根を追い求めるという、やや人為的な手法への依存を排除するものです。つまり、異なる多項式でも同じ拡大体が得られる可能性があり、現代的なアプローチではこれらの多項式間の関連性を認識します。

可解基とラジカルによる解法

群論における可解群の概念は、ガロア群が可解性を持つかどうかに応じて、多項式が根号で解けるかどうかを判定することを可能にする。本質的に、各体拡大 $L$ $/$ $K は$ 、ガロア群の合成系列における因子群に対応する。合成系列における因子群が位数 $n$ の巡回群であり、対応する体拡大 $L$ $/$ $K$ において体 $K が$ 既に原始的な $n$ 乗根を持つ場合、それは根号拡大であり、 $Lの要素は$ $Kの何らかの要素の$ $n$ 乗根を用いて表現できる。

構成系列のすべての因子群が巡回群である場合、ガロア群は可解群と呼ばれ、対応する体のすべての要素は、基本体（通常は $Q$ ）の要素の根、積、和を繰り返し取ることによって見つけることができます。

ガロア理論の偉大な成果の一つは、任意の $n > 4$ に対して、根号で解けない次数 $n$ の多項式が存在することの証明（これは数年前にニールス・ヘンリック・アーベルによって同様の方法で独立に証明されており、アーベル・ルフィニの定理である）と、特定の多項式が根号で解けるかどうかを体系的にテストする方法である。アーベル・ルフィニの定理は、 $n > 4の場合、$ 対称群 S $n が$ 単純な非巡回正規部分群、すなわち交代群 $A n$ を含むという事実から導かれる。

解けない5次方程式の例

Van der Waerden ^{[ 14 ]}は、多項式 $f (x) = x 5 - x - 1$ を引用しています。

有理根定理により、これは有理根を持たない。

また、2または3を法とする線形因子も持ちません。

$f (x)$ の法 2のガロア群は位数 6 の巡回群です。なぜなら、 $f (x)$ の法 2 は位数 2 と 3 の多項式 $(x 2 + x + 1)(x 3 + x 2 + 1)$ に因数分解されるからです。

$f (x)$ を法3で表すと、線形因子も二次因子も持たないため、既約です。したがって、その法3ガロア群には位数5の要素が含まれます。

素数を法とするガロア群は、有理数上のガロア群の部分群と同型であることが知られている^{[ 15 ]} $。位数が6と5の要素を持つ5つの対象上の置換群は対称群S5 で$ なければならず、したがって $f (x)$ のガロア群となる。

これは、解けない5次多項式の最も単純な例の1つです。セルジュ・ラングによると、エミール・アルティンはこの例を好んでいました。^{[ 16 ]}

逆ガロア問題

逆ガロア問題とは、与えられたガロア群を持つ体拡大を求める問題である。

基礎体も指定しない限り、この問題はそれほど難しくなく、すべての有限群はガロア群として現れます。これを示すには、次のように進めることができます。体 $K$ と有限群 $G$ を選びます。ケイリーの定理によれば、 $G$ は (同型を除いて) $G$ の要素上 $の$ 対称群 $S$ の部分群です。Gの各要素 $α$ $に対して不定元{$ $x$ $α$ $}$ $を選び、それらを$ $K$ に付加して体 $F$ $=$ $K$ $({$ $x$ $α$ $})$ を得ます。F には ${$ $x$ $α$ $}$ の対称有理関数の体 $L$ が含まれています。エミール・アルティンの基本結果により、 $F$ $/$ $L$ のガロア群は $S$ です。G $は$ $S$ の作用の制限によって $F$ に作用します。この作用の固定体が $M$ である場合、ガロア理論の基本定理により、 $F$ $/$ $M$ のガロア群は $G$ です。

一方、すべての有限群が有理数体の体 $Q$ の体拡大のガロア群であるかどうかは未解決問題である。イゴール・シャファレビッチは、すべての可解有限群が $Q$ の何らかの拡大のガロア群であることを証明した。さまざまな人々が、選択された非アーベル単純群の逆ガロア問題を解決した。26 の散在単純群のうち、おそらく 1 つ (マチュー群 $M 23$ )を除いて、すべてに解の存在が示されている。ガロア群がモンスター群である整数係数の多項式さえ存在する。

切り離せない拡張

上記の形式では、特にガロア理論の基本定理を含めて、この理論はガロア拡大のみを考慮し、特に分離可能な拡大を考慮します。一般的な体拡大は、分離可能な拡大と、それに続く純粋に分離不可能な体拡大に分割できます。純粋に分離不可能な拡大F / Kに対しては、ガロア群が微分のベクトル空間に置き換えられたガロア理論が存在します。 $Der_{K}(F,F)$ すなわち、ライプニッツ規則を満たすFのK線形自己準同型である。この対応において、中間体Eが割り当てられる。 $Der_{E}(F,F)\subset Der_{K}(F,F)$ 逆に、部分空間 $V\subset Der_{K}(F,F)$ 適切な追加条件を満たすことは、 $\{x\in F,f(x)=0\ \forall f\in V\}$ 仮定の下で $F^{p}\subset K$ ジェイコブソン（1944）は、これが一対一の対応関係を確立することを示した。ジェイコブソンが課した条件は、ブラントナーとウォルドロン（2020）によって、派生代数幾何学の概念を用いた対応関係を与えることによって取り除かれた。

注記

1 2スチュワート、イアン(1989).ガロア理論. チャップマン・アンド・ホール. ISBN 0-412-34550-1。
↑ファンクハウザー 1930
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外部リンク

Wiktionaryにおけるガロア理論の辞書定義
ウィキメディア・コモンズにあるガロア理論関連のメディア

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