曲面の微分幾何学

数学において、曲面の微分幾何学は、さまざまな付加構造、最も一般的にはリーマン計量^[^b^]を持つ滑らかな曲面の微分幾何学^[^a^]を扱う。

曲面は、さまざまな観点から広く研究されてきました。外在的観点からは、ユークリッド空間への埋め込みに関連しており、内在的観点からは、曲面上の曲線に沿って測定された曲面内の距離のみによって決定される特性を反映しています。研究された基本的な概念の 1 つはガウス曲率であり、最初に深く研究したのはカール・フリードリヒ・ガウス^[¹^]で、曲率は曲面の固有の特性であり、ユークリッド空間への等長埋め込みとは無関係であることを示しました。

曲面は、一対の変数の関数のグラフとして自然に現れ、時にはパラメトリックな形式や空間曲線に関連付けられた軌跡として現れる。曲面の研究において重要な役割を果たしてきたのは、リー群（エルランゲン・プログラムの精神に則って）であり、具体的にはユークリッド平面、球面、双曲平面の対称群である。これらのリー群は、ガウス曲率が一定の曲面を記述するために使用できる。また、接続を通じた内在微分幾何学への現代的なアプローチにおいて不可欠な要素を提供する。一方、曲面のユークリッド空間への埋め込みに基づく外在的性質も広く研究されてきた。これは、変分法における非線形オイラー・ラグランジュ方程式によってよく説明されます。オイラーは、埋め込みとは独立して定義される測地線を理解するために1変数方程式を開発しましたが、ラグランジュが2変数方程式を応用した主なものの1つは、埋め込みによってのみ定義できる概念である極小曲面でした。

歴史

ある種の二次回転面の体積はアルキメデスによって計算された。^[²^] 17世紀の微積分学の発展により、それらを計算するためのより体系的な方法が提供された。 ^[³^]一般的な曲面の曲率は、最初にオイラーによって研究された。1760年に^[⁴^]彼は曲面の平面断面の曲率の公式を証明し、1771年に^[⁵^]彼はパラメトリック形式で表現された曲面を考察した。モンジュは、 1795 年に発表した古典的な論文「幾何学への解析の応用」^[⁶^]で、その理論の基礎を築きました。曲面理論への決定的な貢献は、ガウスが1825 年と 1827 年に書いた 2 つの注目すべき論文によってなされました。 ^[¹^]これは、ガウスが初めて曲面の固有の幾何学、つまり、曲面が周囲のユークリッド空間で特定の方法で配置されているかどうかに関係なく、曲面上の点間の測地距離のみによって決定される性質を考察したため、伝統からの新たな出発となりました。その最高の成果であるガウスの驚異の定理は、ガウス曲率が固有の不変量、つまり局所等長変換の下で不変であることを確立しました。この観点は、リーマンによって高次元空間に拡張され、今日リーマン幾何学として知られるものにつながりました。 19世紀は、位相幾何学と微分幾何学の両方の観点から、曲面理論の黄金時代であり、多くの著名な幾何学者がその研究に専念した。ダルブーは、 4巻からなる著書『曲面理論』（1887～1896年）に多くの研究成果をまとめた。

概要

本質的な数学的対象は正則曲面である。定義の厳密さには慣例が異なるものの、これらは3次元ユークリッド空間（ $ℝ 3$ ）のサブセットの一般的なクラスを形成し、「曲面」という馴染みのある概念の一部を捉えている。このような曲面上に存在する曲線のクラスと、曲面が $ℝ 3$ 内で曲線をどの程度曲げるかを分析することで、曲面の各点に主曲率と呼ばれる2つの数値を対応させることができる。それらの平均は曲面の平均曲率と呼ばれ、それらの積はガウス曲率と呼ばれる。

規則的な曲面の典型的な例は数多くあり、例えば以下のようなものがある。

平面、円柱、球体などの身近な例
極小曲面とは、あらゆる点で平均曲率がゼロであるという性質によって定義される曲面のことである。最もよく知られている例はカテノイドとヘリコイドであるが、他にも多くの極小曲面が発見されている。極小曲面は表面積に関する性質によっても定義することができ、その結果、ワイヤーフレームに張られた石鹸膜の形状を数学的にモデル化することができる。
線織面とは、すべての点に少なくとも1本の直線が通っている曲面のことです。例としては、円柱や一葉双曲面などがあります。

カール・フリードリヒ・ガウスの驚くべき成果である「驚異の定理」は、定義上、3次元空間における曲面上の曲線の方向変化に関係する曲面のガウス曲率が、実際には曲面上の曲線の長さと、曲面上の2つの曲線が交差する角度によって測定できることを示した。用語的には、これはガウス曲率が曲面の第一基本形式（計量テンソルとも呼ばれる）から計算できることを意味する。一方、第二基本形式は、曲面から押し出されたときに曲面上の曲線の長さと角度がどのように歪むかを符号化するオブジェクトである。

長さと角度の異なる側面を測定しているにもかかわらず、第一基本形式と第二基本形式は互いに独立しておらず、ガウス・コダッツィ方程式と呼ばれる特定の制約を満たします。曲面の微分幾何学の基本定理と呼ばれる主要な定理は、2つのオブジェクトがガウス・コダッツィ制約を満たす場合、それらは正則曲面の第一基本形式と第二基本形式として現れると主張しています。

第一基本形式を用いることで、正則曲面上に新たなオブジェクトを定義することが可能です。測地線とは、第一基本形式で定義される特定の2階常微分方程式を満たす曲面上の曲線です。測地線は曲線の長さの研究と密接に関係しており、十分に短い測地線は、その2つの端点を結ぶ曲面上で常に最短の長さの曲線となります。したがって、測地線は、正則曲面上の2点間の最短経路を決定する最適化問題において不可欠な要素となります。

また、任意の曲線に沿った平行移動を定義することもできる。これは、曲線上の1点における曲面への接線ベクトルを、曲線上の他のすべての点における接線ベクトルに変形する方法を規定するものである。この規定は、第一基本形式によって指定される1階常微分方程式によって決定される。

上記の概念はすべて、本質的には多変数微積分に関するものです。ガウス・ボンネの定理はより包括的な結果であり、曲面のガウス曲率とその位相的タイプとの関係を示しています。この定理によれば、ガウス曲率の平均値は、曲面のオイラー標数と表面積によって完全に決定されます。

正則曲面は、リーマン多様体とリーマン面の両方の例である。ここで議論した正則曲面の理論は、基本的にすべてリーマン多様体とその部分多様体の理論に一般化できる。

ユークリッド空間における正則曲面

意味

球は滑らかであることは直感的に明らかですが、円錐やピラミッドは頂点や辺があるため滑らかではありません。「正則曲面」の概念は、滑らかな曲面の概念を形式化したものです。この定義では、ユークリッド空間間の写像による曲面の局所表現を利用します。このような写像には滑らかさの標準的な概念があります。ユークリッド空間の2つの開部分集合間の写像は、そのすべての階数の偏微分が領域のすべての点に存在する場合に滑らかです。^{[ 7 ]}^{[ 8 ]}^{[ 9 ]}

$ユークリッド空間ℝ 3$ における正則曲面とは、 $ℝ$ $3$ の部分集合 $Sであって、$ $S$ のすべての点が次の 3 つの概念のいずれかを満たすものである。局所パラメーター表示、モンジュパッチ、または陰関数。次の表は、これらのオブジェクトの定義を示している。モンジュパッチはおそらく最も視覚的に直感的であり、正則曲面とは、局所的に滑らかな関数のグラフである $ℝ$ $3の部分集合である（$ $yz$ 平面、 $xz$ 平面、または $xy$ 平面のいずれの領域においても）。

最初の定義に現れる同相写像は、 $S$ 上の局所パラメータ化、局所座標系、または局所チャートとして知られています。^[¹⁴^]最初の 2 つの定義の等価性は、正則曲面上の任意の点の周りに、 $($ $u$ $,$ $v$ $) \mapsto ($ $h$ $($ $u$ $,$ $v$ $),$ $u$ $,$ $v$ $)$ 、 $($ $u$ $,$ $v$ $) \mapsto ($ $u$ $,$ $h$ $($ $u$ $,$ $v$ $),$ $v$ $)$ 、または $($ $u$ $,$ $v$ $) \mapsto ($ $u$ $,$ $v$ $,$ $h$ $($ $u$ $,$ $v$ $))の形式の局所パラメータ化が常に存在し、これらは$ モンジュパッチとして知られています。3 番目の定義にあるような関数 $Fは、$ 局所定義関数と呼ばれます。 3 つの定義すべてが等価であることは、陰関数定理から導かれます。^{[ 15 ]}^{[ 16 ]}^{[ 17 ]}

正則曲面の任意の2 つの局所パラメータ化 $f : V \to U$ および $f' : V'\to U'$ が与えられた場合、合成 $f -1 \circ f'は、$ $ℝ 2$ の開部分集合間の写像として必然的に滑らかになります。^{[ 18 ]}これは、任意の正則曲面が自然に滑らかな多様体の構造を持ち、滑らかなアトラスが局所パラメータ化の逆によって与えられることを示しています。

$微分幾何学の古典理論では、曲面は通常、$ 正則な場合のみ研究されます。^{[ 8 ]}^{[ 19 ]}しかし、非正則な曲面を研究することも一般的であり、その場合、局所的なパラメータ化の 2 つの偏微分 ∂uf と ∂vf は線形独立でなくなる可能性が $あり$ ます $。$ $この$ 場合、 $S は$ 尖ったエッジなどの特異点を持つ可能性があります。このような曲面は $、$ $通常、$ 特異点理論で研究されます。正則な曲面の他の弱められた形式は、コンピュータ支援設計で発生し、曲面は互いに分離した断片に分割され、局所的なパラメータ化の微分は境界に沿って連続でさえなくなります。

簡単な例。正則曲面の簡単な例として、2次元球面 ${(x, y, z) | x 2 + y 2 + z 2 = 1 } が挙げられます。この曲面は、$ $h (u, v) = \pm (1 - u 2 - v 2) 1/2$ とすることで、6 つのモンジュパッチ (上記 3 種類のパッチをそれぞれ 2 つずつ) で覆うことができます。また、立体射影を用いて、2 つの局所パラメータ化で覆うこともできます。集合 ${(x, y, z) : ((x 2 + y 2) 1/2 - r) 2 + z 2 = R 2$ } は、半径 $r$ と $R$ の回転トーラスです。これは正則曲面であり、局所パラメータ化は次の形式で与えられます。

f(s,t)={\big (}(R\cos s+r)\cos t,(R\cos s+r)\sin t,R\sin s{\big )}.

2 枚のシート上の双曲面{ $(x, y, z) : z 2 = 1 + x 2 + y 2$ } は正則曲面です。これは、 $h (u, v) = \pm(1 + u 2 + v 2) 1/2$ の 2 つのモンジュパッチで覆うことができます。ヘリコイドは極小曲面の理論に現れます。これは、単一の局所パラメーター化 $f (u, v) = (u sin v, u cos v, v)$ で覆われます。

接線ベクトルと法線ベクトル

$S を$ $ℝ 3$ の正則曲面とし、p $を$ $S$ の要素とする。上記の定義のいずれかを使用すると、 $ℝ 3$ $内の特定のベクトルがp$ において $S$ に接していること、および $ℝ$ $3$ 内の特定のベクトルが $p$ において $S$ に直交（または法線）していることを特定できる。

p におけるS の $接$ 空間または接平面は $、 p$ における $S$ $の$ すべての接ベクトルから構成されると定義され、 $ℝ$ $3$ の 2 次元線形部分空間であることがわかります。これはしばしば $T$ $p$ $S$ と表記されます。

$点p$ における $S$ の法空間は、点 $pにおける$ $S$ のすべての法線ベクトルから構成されると定義され、接空間 $T$ $p$ $S$ に直交する $ℝ$ $3$ の 1 次元線形部分空間です。したがって、 $S$ の各点 $p$ には、長さが 1 の法線ベクトル (単位法線ベクトル) が 2 つ存在します。点 p における単位法線ベクトルは、 $次$ の式によって、局所パラメータ化、モンジュパッチ、または局所定義関数で表すことができます。

\pm \left.{\frac {{\frac {\partial f}{\partial u}}\times {\frac {\partial f}{\partial v}}}{\left\|{\frac {\partial f}{\partial u}}\times {\frac {\partial f}{\partial v}}\right\|}}\right|_{f^{-1}(p)},\qquad \pm \left.{\frac {\left({\frac {\partial h}{\partial u}},{\frac {\partial h}{\partial v}},-1\right)}{\sqrt {1+\left({\frac {\partial h}{\partial u}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial h}{\partial v}}\right)^{2}}}}\right|_{(p_{1},p_{2})},\qquad {\text{or}}\qquad \pm {\frac {\nabla F(p)}{{\big \|}\nabla F(p){\big \|}}},

前述の定義と同じ表記法に従う。

また、正則曲面理論を滑らかな多様体の設定に一般化した際に典型的に見られる接ベクトルの「本質的な」定義にも注目しておくと良いでしょう。この定義では、接空間 $を$ $ℝ³$ の線形部分空間ではなく、抽象的な2次元実ベクトル空間として定義します。この定義では、点 $p$ における $S$ への接ベクトルは、 $p\inf$ $($ $V$ $)$ である各局所パラメータ化 $f$ $:$ $V$ $\to$ $S$ に対して2つの数 $X₁$ と $X₂$ $を$ $割り当てる$ $ことで、 p\inf$ (V)である他の任意の局所パラメータ化 $f$ $'$ $:$ $V$ $\to$ $S$ （および対応する数 $($ $X$ $'$ $)$ $₁$ $と$ $($ X $'$ $)$ $₂$ $）$ $に対して$ 、次の式が成り立つとされて $い$ $ます$ $。$

{\begin{pmatrix}X^{1}\\X^{2}\end{pmatrix}}=A_{f'(p)}{\begin{pmatrix}(X')^{1}\\(X')^{2}\end{pmatrix}},

ここで、 $A f'(p)$ は写像 $f$ $-1$ $\circ$ $f$ $'の$ ヤコビ行列であり、点 $f$ $'($ $p$ $)で評価されたものです。点$ $p$ における $S$ への接ベクトルの集合は、自然に 2 次元ベクトル空間の構造を持ちます。この意味での接ベクトルは、ベクトルを考慮すると、前の意味での接ベクトルに対応します。

X^{1}{\frac {\partial f}{\partial u}}+X^{2}{\frac {\partial f}{\partial v}}.

$ℝ 3$ において。X $1 と$ $X 2$ のヤコビアン条件は、連鎖律により、このベクトルが $f$ に依存しないことを保証します。

曲面上の滑らかな関数に対して、ベクトル場（すなわち接線ベクトル場）は、1階演算子または微分として重要な解釈を持つ。 $S$ 平らな表面であること、 $U$ 平面の開部分集合と $f:U\rightarrow S$ 座標図。 $V=f(U)$ 空間 $C^{\infty }(U)$ 識別できる $C^{\infty }(V)$ 同様に $f$ ベクトル場を識別する $U$ ベクトル場が $V$ 標準変数 $u$ と $v$ を用いると、ベクトル場は次の形式になる。 $X=a\partial _{u}+b\partial _{v}$ $a$ と $b$ は滑らかな関数です。 $X$ はベクトル場であり、 $g$ 滑らかな関数である場合、 $Xg$ も滑らかな関数です。1階微分演算子 $X$ これは導出であり、すなわちライプニッツの法則を満たす。 $X(gh)=(Xg)h+g(Xh).$ ^{[ 20 ]}

ベクトル場 $X$ と $Y$ については、演算子が $[X,Y]=XY-YX$ これはベクトル場に対応する微分です。これはリー括弧と呼ばれます。 $[X,Y]$ 歪対称である $[X,Y]=-[Y,X]$ そしてヤコビ恒等式を満たす。

[[X,Y],Z]+[[Y,Z],X]+[[Z,X],Y]=0.

要約すると、ベクトル場は $U$ または $V$ リー括弧の下にリー代数を形成する。 ^{[ 21 ]}

第一および第二基本形式、形状演算子、および曲率

$S を$ $ℝ 3$ の正則曲面とする。局所パラメータ化 $f : V \to Sと$ $f$ $($ $V$ $)$ の単位法線ベクトル場 $nが与えられたとき、$ $V$ 上の実数値関数または行列値関数として次のオブジェクトが定義される。第一基本形式は $f$ のみに依存し、 $n$ には依存しない。第 4 列は、異なる局所パラメータ化 $f$ $'$ $:$ $V$ $' \to$ $Sに対して生じる関数$ $E$ $'、$ $F$ $'、$ $G$ $'、$ $L$ $'などを$ $f$ に対して生じる関数と関連付けることによって、これらの関数が $f$ にどのように依存するかを記録する。ここで $A は$ $f$ $-1$ $\circ$ $f$ $'$ のヤコビ行列を表す。第 4 列の式を確立する鍵となる関係は次のようになる。

{\begin{pmatrix}{\frac {\partial f'}{\partial u}}\\{\frac {\partial f'}{\partial v}}\end{pmatrix}}=A{\begin{pmatrix}{\frac {\partial f}{\partial u}}\\{\frac {\partial f}{\partial v}}\end{pmatrix}},

連鎖律により以下のように表されます。

形状演算子を定義する行列を用いて直接計算すると、ガウス曲率は形状演算子の行列式であり、平均曲率は形状演算子のトレースの半分であり、主曲率は形状演算子の固有値であることが確認できます。さらに、ガウス曲率は主曲率の積であり、平均曲率はそれらの和です。これらの観察結果は、これらの対象の定義として定式化することもできます。これらの観察結果から、類似の行列は同一の行列式、トレース、および固有値を持つため、第 4 列の最後の 3 行が前の行からすぐに続くことも明らかになります。E 、 $G$ $、$ および $EG - F 2$ はすべて必ず正であることに注意することが重要です。これにより、形状演算子の定義における行列の逆行列が適切に定義され、主曲率が実数であることが保証されます。

また、単位法線ベクトル場の選択を否定すると、第2基本形式、形状演算子、平均曲率、主曲率が否定されますが、ガウス曲率は変化しません。要約すると、これは、正則曲面 $Sが与えられた場合、$ $S$ のガウス曲率は $S$ 上の実数値関数とみなせること、そして $S$ 全体上の単位法線ベクトル場の選択に関して、2 つの主曲率と平均曲率も $S$ 上の実数値関数であることを示しています。

幾何学的に、第1および第2基本形式は、(u, v)がV内で移動するのに伴い、f(u, v)がℝ3内でどのように移動するかに関する情報を提供する $と$ $見なす$ $こと$ $が$ $でき$ $ます$ $。$ 特に、第 $1$ $基本$ $形式$ $は$ $f$ $の$ $移動$ 速度を符号化し $、第2基本形式はその移動が法線ベクトル$ $n$ の方向とどの程度一致しているかを符号化します。言い換えれば、点 $pにおける第2基本形式は、$ $S$ から点 $pにおける$ $S$ の接平面への直交射影の長さを符号化します。特に、この長さを最もよく近似する二次関数を与えます。この考え方は、次の式によってより正確にすることができます。

{\begin{aligned}\lim _{(h,k)\to (0,0)}{\frac {{\big |}f(u+h,v+k)-f(u,v){\big |}^{2}-{\big (}Eh^{2}+2Fhk+Gk^{2}{\big )}}{h^{2}+k^{2}}}&=0\\\lim _{(h,k)\to (0,0)}{\frac {{\big (}f(u+h,v+k)-f(u,v){\big )}\cdot n-{\frac {1}{2}}{\big (}Lh^{2}+2Mhk+Nk^{2}{\big )}}{h^{2}+k^{2}}}&=0,\end{aligned}}

これは、基本形式の定義と2次元におけるテイラーの定理から直接導かれる。主曲率は次のように考えることができる。S上の任意の点pにおいて $、$ S $に$ $直交$ する直線を含むすべての平面の集合を考える。このような各平面は $S$ との交線を持ち、これは平面自体の内部にある平面曲線とみなすことができる。点 $p$ における2つの主曲率は、検討対象の平面が法線を中心に回転するときの、点 $p$ におけるこの平面曲線の曲率の最大値と最小値である。

以下は、モンジュパッチ $f (u, v) = (u, v, h (u, v))$ に対する上記の量の計算の概要です。ここで $、h u$ と $h v は$ $h$ の 2 つの偏微分を表し、2 番目の偏微分についても同様の表記法を用います。第 2 基本形式および以降のすべての量は、指定された単位法線ベクトル場に対して計算されます。

クリストッフェル記号、ガウス・コダッツィ方程式、そして驚異の定理

$S を$ $ℝ 3$ の正則曲面とする。クリストッフェル記号は、各局所パラメータ化 $f : V \to Sに対して、$ ^[²³^]で定義される $V$ 上の 8 つの関数を割り当てる。

{\begin{pmatrix}\Gamma _{11}^{1}&\Gamma _{12}^{1}&\Gamma _{21}^{1}&\Gamma _{22}^{1}\\\Gamma _{11}^{2}&\Gamma _{12}^{2}&\Gamma _{21}^{2}&\Gamma _{22}^{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}E&F\\F&G\end{pmatrix}}^{-1}{\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}{\frac {\partial E}{\partial u}}&{\frac {1}{2}}{\frac {\partial E}{\partial v}}&{\frac {1}{2}}{\frac {\partial E}{\partial v}}&{\frac {\partial F}{\partial v}}-{\frac {1}{2}}{\frac {\partial G}{\partial u}}\\{\frac {\partial F}{\partial u}}-{\frac {1}{2}}{\frac {\partial E}{\partial v}}&{\frac {1}{2}}{\frac {\partial G}{\partial u}}&{\frac {1}{2}}{\frac {\partial G}{\partial u}}&{\frac {1}{2}}{\frac {\partial G}{\partial v}}\end{pmatrix}}.

これらは、次の式によって定義することもできます。ここで、 $n は$ $f (V)$ に沿った単位法線ベクトル場であり、 $L 、 M 、 N$ は第 2 基本形式の対応する成分です。

{\begin{aligned}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial u^{2}}}&=\Gamma _{11}^{1}{\frac {\partial f}{\partial u}}+\Gamma _{11}^{2}{\frac {\partial f}{\partial v}}+Ln\\{\frac {\partial ^{2}f}{\partial u\partial v}}&=\Gamma _{12}^{1}{\frac {\partial f}{\partial u}}+\Gamma _{12}^{2}{\frac {\partial f}{\partial v}}+Mn\\{\frac {\partial ^{2}f}{\partial v^{2}}}&=\Gamma _{22}^{1}{\frac {\partial f}{\partial u}}+\Gamma _{22}^{2}{\frac {\partial f}{\partial v}}+Nn.\end{aligned}}

この定義の鍵は、各点において $\partial$ $f$ $/$ $\partial$ $u$ $、$ $\partial$ $f$ $/$ $\partial$ $v$ $、$ および $n$ $が$ $ℝ$ $3$ の基底を形成し、それに対して 3 つの方程式のそれぞれが $、$ $f$ の 2 階偏導関数の座標としてクリストッフェル記号を一意に指定することです。単位法線の選択はクリストッフェル記号に影響を与えません。なぜなら、 $n をその否定と交換すると、第 2 基本形式の成分も否定されるため、$ $Ln$ $、$ $Mn$ $、$ $Nn$ の符号は変更されないからです。

2番目の定義は、局所的なパラメータ化の文脈において、クリストッフェル記号が幾何学的に自然であることを示している。最初の定義の式はそれほど自然ではないように見えるが、クリストッフェル記号が第1基本形式から計算できることを示すという重要な意味を持ち、これは2番目の定義からはすぐには明らかにならない。定義の等価性は、最初の定義を2番目の定義に直接代入し、 $E 、 F 、 G$ の定義を用いることで確認できる。

コダッツィ方程式は^[²⁴^]を主張している。

{\begin{aligned}{\frac {\partial L}{\partial v}}-{\frac {\partial M}{\partial u}}&=L\Gamma _{12}^{1}+M(\Gamma _{12}^{2}-\Gamma _{11}^{1})-N\Gamma _{11}^{2}\\{\frac {\partial M}{\partial v}}-{\frac {\partial N}{\partial u}}&=L\Gamma _{22}^{1}+M(\Gamma _{22}^{2}-\Gamma _{12}^{1})-N\Gamma _{12}^{2}.\end{aligned}}

これらの式は、上記のクリストッフェル記号の 2 番目の定義から直接導出できます。たとえば、最初のコダッツィ方程式は、最初の式を $vに関して微分し、2 番目の式を$ $u$ に関して微分し、2 つの式を減算し、 $n$ との内積を取ることによって得られます。ガウス方程式は^[²⁵^]を主張しています。

{\begin{aligned}KE&={\frac {\partial \Gamma _{11}^{2}}{\partial v}}-{\frac {\partial \Gamma _{21}^{2}}{\partial u}}+\Gamma _{21}^{2}\Gamma _{11}^{1}+\Gamma _{22}^{2}\Gamma _{11}^{2}-\Gamma _{11}^{2}\Gamma _{21}^{1}-\Gamma _{12}^{2}\Gamma _{21}^{2}\\KF&={\frac {\partial \Gamma _{12}^{2}}{\partial v}}-{\frac {\partial \Gamma _{22}^{2}}{\partial u}}+\Gamma _{21}^{2}\Gamma _{12}^{1}-\Gamma _{11}^{2}\Gamma _{22}^{1}\\KG&={\frac {\partial \Gamma _{22}^{1}}{\partial u}}-{\frac {\partial \Gamma _{12}^{1}}{\partial v}}+\Gamma _{11}^{1}\Gamma _{22}^{1}+\Gamma _{12}^{1}\Gamma _{22}^{2}-\Gamma _{21}^{1}\Gamma _{12}^{1}-\Gamma _{22}^{1}\Gamma _{12}^{2}\end{aligned}}

$これらは、 n$ との内積を取る代わりにワインガルテン方程式を使用するコダッツィ方程式と同様に導出できます。これらは 3 つの別々の方程式として書かれていますが、最初の基本形式によるクリストッフェル記号の定義を代入すると同一になります。結果として得られる式を書く方法はたくさんあり、そのうちの 1 つは、1852 年にブリオスキが行列式の巧みな使用を使用して導出しました。^[²⁶^]^[²⁷^]

K={\frac {1}{(EG-F^{2})^{2}}}\det {\begin{pmatrix}-{1 \over 2}{\frac {\partial ^{2}E}{\partial v^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}F}{\partial u\partial v}}-{1 \over 2}{\frac {\partial ^{2}G}{\partial u^{2}}}&{1 \over 2}{\frac {\partial E}{\partial u}}&{\frac {\partial F}{\partial u}}-{1 \over 2}{\frac {\partial E}{\partial v}}\\{\frac {\partial F}{\partial v}}-{1 \over 2}{\frac {\partial G}{\partial u}}&E&F\\{1 \over 2}{\frac {\partial G}{\partial v}}&F&G\end{pmatrix}}-{\frac {1}{(EG-F^{2})^{2}}}\det {\begin{pmatrix}0&{1 \over 2}{\frac {\partial E}{\partial v}}&{1 \over 2}{\frac {\partial G}{\partial u}}\\{1 \over 2}{\frac {\partial E}{\partial v}}&E&F\\{1 \over 2}{\frac {\partial G}{\partial u}}&F&G\end{pmatrix}}.

クリストッフェル記号が第一基本形式によって定義されると考えると、ガウス方程式とコダッツィ方程式は第一基本形式と第二基本形式の間の特定の制約を表します。ガウス方程式は特に注目に値し、ガウス曲率が他の情報を必要とせずに第一基本形式から直接計算できることを示しています。言い換えれば、個々の成分 $L$ $、$ $M$ $、$ $Nは関数として表すことはできませんが、$ $LN - M 2 は実際に$ $E 、 F 、 G$ の関数として表すことができます。これは驚異の定理として知られており、カール・フリードリヒ・ガウスの重要な発見でした。S のガウス曲率が接円の最大半径と最小半径によって定義されるという幾何学的定義を思い出すと、これは特に印象的です。 $それらは、$ $S が$ $ℝ$ $3$ 内でどのように曲がるかの幾何学によって根本的に定義されているようです。それにもかかわらず、この定理は、 $S$ に沿った曲線の長さとそれらの交点で形成される角度のみに関係する $Sの「固有の」幾何学からそれらの積を決定できることを示している。$ マルセル・ベルジェが述べたように: ^[²⁸^]

この定理は不可解だ。[...] これは、知的歴史の多くの事柄とは異なり、全く世間に知られていなかったため、他の数学者によって発見されるまでに何十年もかかったであろう種類の定理である。[...] 私たちの知る限り、今日、この驚異の定理の単純な幾何学的証明は存在しない。

ガウス・コダッツィ方程式は、エリー・カルタンによる接続形式の言語で簡潔に表現および導出することもできます。^[²⁹^]テンソル計算の言語では、テンソル束上の自然な計量と接続を利用して、ガウス方程式は $H$ $2$ $- |$ $h$ $|$ $2$ $=$ $R$ $と書くことができ、2 つのコダッツィ方程式は\nabla$ $1$ $h$ $12$ $= \nabla$ $2$ $h$ $11$ および $\nabla$ $1$ $h$ $22$ $= \nabla$ $2$ $h$ $12$ と書くことができます。クリストッフェル記号と第一基本形式に関する複雑な表現は、共変テンソル微分 $\nabla$ $h$ とスカラー曲率 $R$ の定義に完全に吸収されます。ピエール・ボネは、ガウス・コダッツィ方程式を満たす 2 つの二次形式が、局所的に埋め込み曲面を常に一意に決定することを証明しました。^[³⁰^]このため、ガウス・コダッツィ方程式は埋め込み曲面の基本方程式と呼ばれることが多く、内在曲率と外在曲率がどこから来るのかを正確に特定します。これらは、より一般的なリーマン多様体に埋め込まれた曲面への一般化が可能です。

等長変換

微分同相写像 $\varphi$ 開集合の間 $U$ そして $V$ 規則的な表面 $S$ 計量、すなわち第一基本形式を保存する場合、それは等長変換であると言われる。 ^{[ 31 ]}^{[ 32 ]}^{[ 33 ]}したがって、すべての点に対して $p$ で $U$ および接線ベクトル $w_{1},\,\,w_{2}$ で $p$ 平等が存在する

E(p)w_{1}\cdot w_{1}+2F(p)w_{1}\cdot w_{2}+G(p)w_{2}\cdot w_{2}=E(\varphi (p))\varphi ^{\prime }(w_{1})\cdot \varphi ^{\prime }(w_{1})+2F(\varphi (p))\varphi ^{\prime }(w_{1})\cdot \varphi ^{\prime }(w_{2})+G(\varphi (p))\varphi ^{\prime }(w_{1})\cdot \varphi ^{\prime }(w_{2}).

第一基本形式から得られる内積の観点から、これは次のように書き換えることができる。

(w_{1},w_{2})_{p}=(\varphi ^{\prime }(w_{1}),\varphi ^{\prime }(w_{2}))_{\varphi (p)}

。

一方、パラメーター化された曲線の長さは $\gamma (t)=(x(t),y(t))$ 計算すると次のようになります

L(\gamma )=\int _{a}^{b}{\sqrt {E{\dot {x}}\cdot {\dot {x}}+2F{\dot {x}}\cdot {\dot {y}}+G{\dot {y}}\cdot {\dot {y}}}}\,dt

そして、曲線が $U$ 変数変換の規則によれば、

L(\varphi \circ \gamma )=L(\gamma ).

逆に、 $\varphi$ すべてのパラメーター化された曲線の長さを保持し、 $\varphi$ は等長変換です。実際、適切な選択をすれば $\gamma$ 接線ベクトル ${\dot {x}}$ そして ${\dot {y}}$ 任意の接線ベクトルを与える $w_{1}$ そして $w_{2}$ 等式は、接線ベクトルのあらゆる選択に対して成り立つ必要がある。 $w_{1}$ そして $w_{2}$ 同様に $\varphi ^{\prime }(w_{1})$ そして $\varphi ^{\prime }(w_{2})$ 、となることによって $(\varphi ^{\prime }(w_{1}),\varphi ^{\prime }(w_{2}))_{\varphi (p)}=(w_{1},w_{1})_{p}$ [ ³⁴^]

等長変換の簡単な例として、2つのパラメータ化が挙げられます。 $f_{1}$ そして $f_{2}$ 開集合の $U$ 規則的な表面に $S_{1}$ そして $S_{2}$ 。もし $E_{1}=E_{2}$ 、 $F_{1}=F_{2}$ そして $G_{1}=G_{2}$ 、それから $\varphi =f_{2}\circ f_{1}^{-1}$ は等長変換である $f_{1}(U)$ に $f_{2}(U)$ [ ³⁵^]

円柱と平面は、局所的に等長であるが位相的な理由から等長に拡張できない曲面の例である。^{[ 36 ]}別の例として、カテノイドとヘリコイドは局所的に等長である。^{[ 37 ]}

共変微分

$S$ 上の接線ベクトル場 $X は、$ $S$ の各 $pに対して、$ $p$ における $S$ への接線ベクトル $X$ $p を$ 割り当てます。上記の接線ベクトルの「本質的な」定義によれば、接線ベクトル場 $X$ は、各局所パラメータ化 $f$ $:$ $V$ $\to$ $S$ $に対して、 V$ 上の2 つの実数値関数 $X$ $1$ および $X$ $2$ を割り当てます。

X_{p}=X^{1}{\big (}f^{-1}(p){\big )}{\frac {\partial f}{\partial u}}{\Big |}_{f^{-1}(p)}+X^{2}{\big (}f^{-1}(p){\big )}{\frac {\partial f}{\partial v}}{\Big |}_{f^{-1}(p)}

$S$ の各 $p$ について。関数 $X$ $1$ と $X$ $2$ $が、任意のf$ の選択に対して滑らかである場合、 $X$ は滑らかであると言う。^[³⁸^]上記の接線ベクトルの他の定義に従って、S上の接線ベクトル場 $X を、$ $S$ の各 $pについて$ $X$ $($ $p$ $)が接空間$ $T$ $p$ $S$ $\subset ℝ$ $3$ に含まれる写像 $X$ $:$ $S$ $\to ℝ$ $3$ とみなすこともできる。滑らかな多様体のより一般的な状況でよくあるように、接線ベクトル場は、 $S$ 上の滑らかな関数の空間上の特定の微分作用素として定義することもできる $。$

トゥリオ・レヴィ＝チヴィタとグレゴリオ・リッチ＝クルバストロによる共変微分（「接線微分」とも呼ばれる）は、滑らかな接線ベクトル場を微分する手段を提供する。接線ベクトル場 $Xと点$ $p$ における $S$ への接線ベクトル $Y$ が与えられたとき、共変微分 $\nabla$ $Y$ $X$ $は点p$ における $S$ への特定の接線ベクトルとなる。したがって、 $X$ と $Y が$ 両方とも接線ベクトル場であれば、 $\nabla$ $Y$ $X$ も接線ベクトル場とみなすことができる。繰り返し、 $X$ 、 $Y$ 、 $Z が$ 接線ベクトル場であれば、 $\nabla$ $Z$ $\nabla$ $Y$ $X$ を計算することができ、これは別の接線ベクトル場となる。共変微分を定義する方法はいくつかある。以下に示す最初の方法はクリストッフェル記号と接線ベクトルの「本質的な」定義を使用し、2 番目の方法はより幾何学的である。

$点 p$ における $S$ への接ベクトル場 $X$ と接ベクトル $Y$ が与えられたとき、 $\nabla$ $Y$ $X は、$ 局所パラメータ化 $f$ $:$ $V$ $\to$ $S$ に2 つの数値を割り当てる点 $p$ への接ベクトルとして定義される。

(\nabla _{Y}X)^{k}=D_{(Y^{1},Y^{2})}X^{k}{\Big |}_{f^{-1}(p)}+\sum _{i=1}^{2}\sum _{j=1}^{2}{\big (}\Gamma _{ij}^{k}X^{j}{\big )}{\Big |}_{f^{-1}(p)}Y^{i},\qquad (k=1,2)

ここで、 $D (Y 1, Y 2)$ は方向微分です。^{[ 39 ]}これは、アインシュタイン記法を用い、関数評価の位置が暗黙のうちに理解されている、より簡潔な形式 (∇ Y X ) k = ∂ Y ( X k ) + Y i Γ k ij X j に省略されることがよくあります $。これは、リーマン計量から接続を得るためのリーマン幾何学における標準的$ な手順に従います。ベクトルが

(\nabla _{Y}X)^{1}{\frac {\partial f}{\partial u}}+(\nabla _{Y}X)^{2}{\frac {\partial f}{\partial v}}

$ℝ 3$ におけるは、局所的なパラメータ化 $f$ の選択に依存しないが、これをチェックするのはかなり面倒である。

共変微分は、クリストッフェル記号や局所的なパラメーター化を用いない以下の幾何学的アプローチによっても定義できる。 ^{[ 40 ]}^{[ 41 ]}^{[ 42 ]} $S$ 上のベクトル場 $X$ を、関数 $S$ $\to ℝ$ $3$ とみなす。任意の曲線 $c$ $: ($ $a$ $,$ $b$ $) \to$ $S$ が与えられたとき、合成 $X$ $\circ$ $c$ $: ($ $a$ $,$ $b$ $) \to ℝ$ $3$ を考えることができる。ユークリッド空間間の写像として、任意の入力値で微分して、 $ℝ$ $3$ の要素 $($ $X$ $\circ$ $c$ $)'($ $t$ $)$ を得ることができる。このベクトルを $T$ $c$ $($ $t$ $)$ $S$ に直交射影すると、共変微分 $\nabla$ $c$ $'($ $t$ $)$ $X$ が定義される。これは幾何学的に非常に明確な定義ですが、結果が $c$ $'($ $t$ $)$ と $X$ のみに依存し、 $c$ と $X$ には依存しないことを示す必要があります。この小さな技術的な議論には、局所的なパラメータ化を使用できます。

$2 番目の定義からは、共変微分がS$ の第一基本形式のみに依存することはすぐには明らかではありませんが、最初の定義からは、クリストッフェル記号が第一基本形式から直接定義できるため、これはすぐにわかります。 2 つの定義が同等であることを確認するのは簡単です。重要なのは、 $X 1 ⁠ \partial f / \partial u ⁠ + X 2 ⁠ \partial f / \partial v ⁠$ $をℝ 3$ 値関数とみなすと、曲線に沿った微分によって 2 階偏微分 $\partial 2 f$ が得られることです。クリストッフェル記号は、基底 $⁠$ $\partial$ $f$ $/$ $\partial$ $u$ $⁠$ 、 $⁠$ $\partial$ $f$ $/$ $\partial$ $v$ $⁠$ 、 $n$ に関する $f$ の 2 階微分の接線成分として定式化されるため、接空間への直交射影とともにクリストッフェル記号が現れます。^[³⁹^]これについては、上記のセクションで説明しています。

3つのガウス方程式の右辺は、共変微分を用いて表現できる。例えば、右辺は

{\frac {\partial \Gamma _{11}^{2}}{\partial v}}-{\frac {\partial \Gamma _{21}^{2}}{\partial u}}+\Gamma _{21}^{2}\Gamma _{11}^{1}+\Gamma _{22}^{2}\Gamma _{11}^{2}-\Gamma _{11}^{2}\Gamma _{21}^{1}-\Gamma _{12}^{2}\Gamma _{21}^{2}

は、

\nabla _{\frac {\partial f}{\partial v}}\nabla _{\frac {\partial f}{\partial u}}{\frac {\partial f}{\partial u}}-\nabla _{\frac {\partial f}{\partial u}}\nabla _{\frac {\partial f}{\partial v}}{\frac {\partial f}{\partial u}}

基底 ∂ f / ∂ u 、∂ f / ∂ v に対して $、$ $クリス$ $トッフェル$ $記号$ $による$ $共$ $変$ $微分$ $の$ $定義$ $を$ 用いて直接検証できる。リーマン幾何学の言葉で言え $ば$ $、この観察は$ 、ガウス方程式の右辺が、リーマン計量として解釈された第一基本形式のレヴィ・チヴィタ接続のリッチ曲率のさまざまな成分である $と$ 表現することもできる。

例

革命の表面

$回転面は、 xz$ 平面上の曲線を $z$ 軸を中心に回転させることによって得られます。このような曲面には、球、円柱、円錐、トーラス、カテノイドなどがあります。一般的な楕円体、双曲面、放物面は回転面ではありません。曲線がパラメータ化されていると仮定します。

x=c_{1}(s),\,\,z=c_{2}(s)

$s$ は区間 $(a, b)$ から抽出される。c 1 がゼロにならない場合 $、 c$ 1 ′ と c 2 ′ が両方ともゼロにならない場合 $、 c 1$ と $c 2 が$ 両方とも滑らかである場合 $、対応$ する $回転面$ は次のようになる。

S={\Big \{}{\big (}c_{1}(s)\cos t,c_{1}(s)\sin t,c_{2}(s){\big )}\colon s\in (a,b){\text{ and }}t\in \mathbb {R} {\Big \}}

$はℝ 3$ の正則曲面となる。局所パラメータ化 $f : (a, b) \times (0, 2π) \to S$ は次のように与えられる。

f(s,t)={\big (}c_{1}(s)\cos t,c_{1}(s)\sin t,c_{2}(s){\big )}.

このパラメータ化に関して、幾何学的データは次のとおりです。^{[ 43 ]}

元の曲線が弧長でパラメータ化されている特殊な場合、すなわち $(c 1'(s)) 2 + (c 2'(s)) 2 = 1 の$ 場合、微分すると $c 1'(s) c 1''(s) + c 2'(s) c 2''(s) = 0 と$ なります。これをガウス曲率に代入すると、簡略化された式が得られます。

K=-{\frac {c_{1}''(s)}{c_{1}(s)}}\qquad {\text{and}}\qquad H=c_{1}'(s)c_{2}''(s)-c_{2}'(s)c_{1}''(s)+{\frac {c_{2}'(s)}{c_{1}(s)}}.

この式の単純さにより、ガウス曲率が一定の回転対称曲面のクラスを研究することが特に容易になります。^{[ 44 ]} $c 2 (s) = s$ という別のケースに還元することで、回転対称極小曲面を研究することができ、その結果、そのような曲面は平面またはスケーリングされたカテノイドの一部となります。^{[ 45 ]}

$S$ 上の各定数 $t$ 曲線は測地線としてパラメータ化できます。S上の定数 $s曲線は$ $、$ $c$ $1$ $'(s)$ がゼロに等しい場合に限り、測地線としてパラメータ化できます。一般に、 $S上の測地線は$ クレローの関係によって支配されます。

二次曲面

^[⁴⁶^]で定義される二次曲面を考えます。

{x^{2} \over a}+{y^{2} \over b}+{z^{2} \over c}=1.

この曲面はパラメーター化を許容する

x={\sqrt {a(a-u)(a-v) \over (a-b)(a-c)}},\,\,y={\sqrt {b(b-u)(b-v) \over (b-a)(b-c)}},\,\,z={\sqrt {c(c-u)(c-v) \over (c-b)(c-a)}}.

ガウス曲率と平均曲率は次のように与えられる。

K={abc \over u^{2}v^{2}},\,\,K_{m}=-(u+v){\sqrt {abc \over u^{3}v^{3}}}.

線織面

$線織面とは、 E 3$ における直線の運動によって生成できる曲面のことである。^{[ 47 ]}曲面上に準線、すなわち直線に直交する滑らかな単位速度曲線 $c (t)$ を選択し、次に $u (t) を$ 直線の方向に沿った曲線の単位ベクトルとすると、速度ベクトル $v = c t$ と $u$ は次の式を満たす。

u\cdot v=0,\,\,\|u\|=1,\,\,\|v\|=1.

表面は点から構成されている

c(t)+s\cdot u(t)

$s$ と $t$ が変化するにつれて。

そして、もし

a=\|u_{t}\|,\,\,b=u_{t}\cdot v,\,\,\alpha =-{\frac {b}{a^{2}}},\,\,\beta ={\frac {\sqrt {a^{2}-b^{2}}}{a^{2}}},

ガウス曲率と平均曲率は次のように与えられる。

K=-{\beta ^{2} \over ((s-\alpha )^{2}+\beta ^{2})^{2}},\,\,K_{m}=-{r[(s-\alpha )^{2}+\beta ^{2})]+\beta _{t}(s-\alpha )+\beta \alpha _{t} \over [(s-\alpha )^{2}+\beta ^{2}]^{\frac {3}{2}}}.

線織面のガウス曲率がゼロになるのは、 $u t$ と $v が$ 比例する場合に限る。^{[ 48 ]}この条件は、曲面が接線ベクトル $v$ と直交ベクトル $u$ を含む曲線に沿った平面の包絡線であること、すなわち曲面が曲線に沿って展開可能であることと同等である。 ^[⁴⁹^] $より一般的には、 E$ $3$ の曲面は、ある点の近くで展開可能である場合に限り、その点の近くでガウス曲率がゼロになる。^[⁵⁰^] (計量の観点から同等の条件を以下に示す。)

極小曲面

1760年、ラグランジュは、1変数の積分を含む変分法に関するオイラーの結果を2変数に拡張した。^{[ 51 ]}彼は次のような問題を念頭に置いていた。

$E 3$ 内の閉曲線が与えられたとき、その曲線を境界とする最小面積の曲面を求めよ。

このような曲面を極小曲面と呼ぶ。

1776年、ジャン・バティスト・ムニエは、ラグランジュが導出した微分方程式が、曲面の平均曲率がゼロになることと同等であることを示した。

曲面が極小曲面であるのは、その平均曲率がゼロである場合に限る。

極小曲面は実生活では簡単に解釈できます。曲線のような形をしたワイヤーフレームを石鹸水に浸し、慎重に引き上げたときに石鹸膜が取る形状です。与えられた境界を持つ極小曲面が存在するかどうかという問題は、19世紀半ばに石鹸膜に関する実験を行ったベルギーの物理学者ジョセフ・プラトーにちなんでプラトー問題と呼ばれています。1930年にジェシー・ダグラスとティボール・ラドはプラトー問題に肯定的な答えを出しました（ダグラスはこの研究で1936年にフィールズ賞を受賞しました）。^[⁵²^]

カテノイド、ヘリコイド、シェルク曲面、エンネパー曲面など、極小曲面の具体的な例は数多く知られています。この分野では広範な研究が行われており、Osserman (2002)にまとめられています。特に、Osserman の結果は、極小曲面が非平面である場合、ガウス写像によるその像は $S 2$ で稠密であることを示しています。

ガウス曲率が一定の曲面

曲面が一定のガウス曲率を持つ場合、それは定曲率曲面と呼ばれる。^{[ 53 ]}

$E$ $3$ の単位球は一定のガウス曲率 +1 を持つ。
ユークリッド平面と円筒はどちらも一定のガウス曲率0を持つ。
単位擬球は一定のガウス曲率 -1 を持ちます (赤道を除く、つまり特異点)。擬球は、トラクトリックスを漸近線の周りに回転させることで得られます。1868 年、エウジェニオ・ベルトラーミは、擬球の幾何学が、ロバチェフスキー(1830 年) とボヤイ(1832 年)によって独立に発見された、より抽象的な双曲平面の幾何学と直接関係していることを示しました。すでに 1840 年には、ガウスの弟子である F. ミンディングが、双曲平面の三角関数式と同一の擬球の三角関数式を得ていました。^[⁵⁴^]この曲面の固有の幾何学は、上半平面または単位円盤上のポアンカレ計量の観点からよりよく理解されており、クラインモデルや双曲面モデルなどの他のモデルによって記述されています。双曲面モデルは、 3 次元ミンコフスキー空間で $q$ $($ $x$ $,$ $y$ $,$ $z$ $) = -1 の$ 2 葉双曲面を考察することによって得られ、ここで $q$ $($ $x$ $,$ $y$ $,$ $z$ $) =$ $x$ $2$ $+$ $y$ $2$ $-$ $z$ $2 です$ 。^[⁵⁵^]

球面、平面、双曲平面は推移的なリー群対称性を持つ。この群論的事実は広範囲にわたる影響を及ぼし、ポアンカレの一様化定理（後述）により、これらの特殊な曲面が曲面の幾何学において中心的な役割を果たすことから、その重要性はさらに際立つ。

ガウス曲率が0である曲面の他の例としては、円錐、接線展開可能曲面、そしてより一般的にはあらゆる展開可能曲面が挙げられる。

局所的な距離構造

3次元以上のユークリッド空間に埋め込まれた任意の曲面について、曲面上の曲線の長さ、2つの曲線の間の角度、および曲面上の領域の面積を測定することが可能です。この構造は、線要素と面積要素を通して、曲面上のリーマン計量に無限小で符号化されます。19世紀から20世紀初頭にかけては、 $R$ $3$ に埋め込まれた曲面のみが考慮され、計量は、曲面の局所的なパラメータ化において点ごとに滑らかに変化する 2×2 の正定値行列として与えられていました。局所的なパラメータ化と座標変換の概念は、後に多様体という現在の抽象的な概念によって形式化されました。多様体とは、滑らかな構造が多様体上の局所的なチャートによって与えられる位相空間であり、これはまさに今日、地球が地図帳によってマッピングされているのと同様です。同じ領域の異なるチャート間の座標変換は滑らかである必要があります。現実世界の地図上の等高線が、地球表面の局所的な歪みを考慮して真の距離を計算することで標高の変化を符号化しているのと同様に、リーマン計量は各局所座標系における「微小な」距離と面積を記述します。各局所座標系において、リーマン計量は各点に2×2の正定値行列を滑らかに割り当てることで与えられます。別の座標系を用いる場合、この行列は座標変換のヤコビ行列に従って変換されます。こうして得られる多様体は、2次元リーマン多様体の構造を持ちます。

形状演算子

ガウス写像 $n$ の微分 $dn は$ 、形状演算子^[⁵⁶^]またはワインガルテン写像として知られる外在曲率の一種を定義するために使用できます。この演算子は、最初にヴィルヘルム・ブラシュケの研究で暗黙的に現れ、後にブラリ＝フォルティとブルガティの論文で明示的に現れました^[⁵⁷^] 。曲面の各点 $x$ において、接空間は内積空間であるため、形状演算子 $S$ $x は$ 、この空間上の線形演算子として次の式で定義できます。

(S_{x}v,w)=(dn(v),w)

接線ベクトル $v$ 、 $wについて ($ $dn (v)$ と $w は両方とも$ $E 3$ に含まれるため、内積は意味を持ちます)。^{[ c ]}右辺は $v$ と $w$ に関して対称なので、形状演算子は接空間上で自己共役です。 $S x$ の固有値は、 $x$ における主曲率 $k 1$ と $k 2$ です。特に、ある点における形状演算子の行列式はガウス曲率ですが、平均曲率は形状演算子のトレースの半分であるため、他の情報も含まれています。平均曲率は外在的不変量です。内在的幾何学では、円柱は展開可能であり、そのガウス曲率が恒等的にゼロになるため、そのすべての部分は本質的に平面の一部と区別できません。ただし、その平均曲率はゼロではないため、外在的には平面とは異なります。

同様に、形状演算子は接空間上の線形演算子として定義できる。 $S_{p}:T_{p}M\rightarrow T_{p}M$ nがMに対する単位法線場であり、vが接線ベクトルである場合、

S(v)=\pm \nabla _{v}n

（定義においてプラス記号を使うかマイナス記号を使うかについては、標準的な合意はない。）

一般に、形状演算子の各点における固有ベクトルと固有値は、各点における曲面の曲がり方向を決定します。固有値は曲面の主曲率に対応し、固有ベクトルは対応する主方向です。主方向は、曲面に埋め込まれた曲線が最大曲率と最小曲率を持つために進むべき方向を示し、これらの方向は主曲率によって与えられます。

曲面上の測地線

曲面上の、端点間の長さを最小にする曲線は測地線と呼ばれ、 2点間に張られたゴムバンドが取る形状に相当します。数学的には、常微分方程式と変分法を用いて記述されます。曲面の微分幾何学は、測地線の研究を中心に展開されます。2次元局所座標上のすべてのリーマン計量が3次元ユークリッド空間への埋め込みから生じるかどうかは未解決の問題ですが、測地線の理論は、計量の成分が解析的である重要なケースにおいてこれが真であることを示すために用いられてきました。

測地学

区分的に滑らかな経路が与えられた場合 $c(t)=(x(t),y(t))$ チャートでは $t$ で $[a,b]$ その長さは次のように定義されます。

L(c)=\int _{a}^{b}(E{\dot {x}}^{2}+2F{\dot {x}}{\dot {y}}+G{\dot {y}}^{2})^{\frac {1}{2}}\,dt

そしてエネルギーは

E(c)=\int _{a}^{b}(E{\dot {x}}^{2}+2F{\dot {x}}{\dot {y}}+G{\dot {y}}^{2})\,dt.

長さはパスのパラメータ化に依存しない。オイラー・ラグランジュ方程式によれば、 $c (t)が$ 弧長でパラメータ化された長さを最小化するパスである場合、オイラー方程式を満たさなければならない。

{\ddot {x}}+\Gamma _{11}^{1}{\dot {x}}^{2}+2\Gamma _{12}^{1}{\dot {x}}{\dot {y}}+\Gamma _{22}^{1}{\dot {y}}^{2}=0

{\ddot {y}}+\Gamma _{11}^{2}{\dot {x}}^{2}+2\Gamma _{12}^{2}{\dot {x}}{\dot {y}}+\Gamma _{22}^{2}{\dot {y}}^{2}=0

ここで、クリストッフェル記号 $Γ k ij$ は次のように与えられる。

\Gamma _{ij}^{k}={\tfrac {1}{2}}g^{km}(\partial _{j}g_{im}+\partial _{i}g_{jm}-\partial _{m}g_{ij})

ここで、 $g 11 = E$ 、 $g 12 = F$ 、 $g 22 = G$ 、 $g ij$ $はg ij$ の逆行列です。オイラー方程式を満たす経路は測地線と呼ばれます。コーシー・シュワルツの不等式により、エネルギーを最小化する経路は弧長でパラメータ化された測地線に等しく、任意の測地線に対して、パラメータ $t$ は弧長に比例します。^{[ 58 ]}

測地曲率

向き付けられた曲面上の弧長によってパラメータ化された曲線 $c$ $($ $t$ $)$ 上の点における測地曲率 $k gは次のように定義される$ ^[⁵⁹^]

k_{g}={\ddot {c}}(t)\cdot \mathbf {n} (t).

ここで $、n (t)$ は曲面の曲線に対する「主」単位法線であり、単位接線ベクトル $ċ (t)$ を+90°の角度で回転させることによって構築されます。

ある点における測地曲率は、その点近傍の計量のみに依存する固有の不変量である。
曲面上の単位速度曲線が測地線であるのは、その曲線上のすべての点で測地曲率がゼロである場合に限る。
埋め込み面内の単位速度曲線 $c (t)は、その加速度ベクトル$ $c̈ (t)$ が面に垂直である場合に限り、測地線となる。

測地曲率は、地表面上の曲線が測地線からどれだけ離れているかを正確に測定する指標である。

直交座標

$座標チャート全体でF = 0$ の場合（以下で説明する測地極座標など）、 $x$ 軸と $y$ 軸に平行な線の像は直交し、直交座標が得られます。H = ( EG ) 1 ⁄ 2 の場合 $、ガウス曲率は [60$ ] で与え^{られます。}

K=-{1 \over 2H}\left[\partial _{x}\left({\frac {G_{x}}{H}}\right)+\partial _{y}\left({\frac {E_{y}}{H}}\right)\right].

さらに $E = 1 の場合、$ $H = G 1 ⁄ 2$ となり、測地線 $($ $x$ $($ $t$ $),$ $y$ $($ $t$ $))$ と直線 $y$ = constant の交点における角度 $φ は$ 次の式で与えられる。

\tan \varphi =H\cdot {\frac {\dot {y}}{\dot {x}}}.

$φ$ の導関数は、ガウスの古典的な導関数公式によって与えられる。^{[ 61 ]}

{\dot {\varphi }}=-H_{x}\cdot {\dot {y}}.

測地極座標

曲面上に距離が与えられ、基点が固定されると、基点と十分に近接する各点を結ぶ一意の測地線が存在します。基点における測地線の方向と距離によって、もう一方の端点が一意に決定されます。このように、方向と大きさという2つのデータによって、基点における接線ベクトルが決定されます。接線ベクトルから端点への写像は、基点の近傍を滑らかに掃引し、指数写像と呼ばれるものを定義し、その基点における局所座標系を定義します。掃引された近傍は、ユークリッド空間における球と同様の性質を持ち、その中の任意の2点は一意の測地線で結ばれます。この性質は「測地線の凸性」と呼ばれ、座標は正規座標と呼ばれます。正規座標の明示的な計算は、測地線が満たす微分方程式を考慮することで実現できます。凸性の性質は、ガウスの補題とその一般化の結果です。大まかに言えば、この補題は、基点から始まる測地線は、基点を中心とする固定半径の球を直角に切断しなければならないことを述べています。測地線の極座標は、指数写像と基点における接ベクトル上の極座標を組み合わせることによって得られます。曲面のガウス曲率は、その点における計量のユークリッド計量からの2次偏差によって与えられます。特に、ガウス曲率は計量の不変量であり、ガウスの有名な定理「驚異の定理」です。曲率を理解する便利な方法は、ガウスが最初に考察し、後にヤコビが一般化した、2つの異なる点の周りの法線座標の変換から生じる常微分方程式から得られます。ガウス-ヤコビ方程式は、ガウス曲率を計算する別の方法を提供します。幾何学的には、測地線に沿ったベクトル場であるヤコビ場に記録されたデータを通して、固定された基点から小さな曲線セグメントに沿って終点が変化するにつれて測地線に何が起こるかを説明します。^[⁶²^]ガウスとヤコビから1世紀25年後、マーストン・モースは、無限次元ヒルベルト多様体上の経路のエネルギー関数の2階微分という観点から、ヤコビ場のより概念的な解釈を与えました。^[⁶³^]

指数マップ

常微分方程式の理論によれば、 $f (t, v)$ が滑らかであれば、初期条件v(0) = v₀を持つ微分方程式 $dv$ / $dt$ $=$ $f$ $($ $t$ $,$ $v$ $)$ $は$ $|$ $t$ $|$ $が$ $十分$ $に$ $小さい$ $とき$ $一意$ 解を持ち、解は $t$ と $v₀に滑らかに依存する$ $。$ これは、与えられた点 $p$ $= ($ $x₀$ $,$ $y₀$ $)における$ 接線ベクトル $vが$ $十分$ に小さい場合、cv(0) = (x₀, y₀)およびċv(0) = vとなる測地線cv(t)が $($ $-2$ $,$ $2$ $)$ 上 $に$ $定義$ $さ$ $れる$ $こと$ $を$ $意味$ $する$ $。$ $さらに$ $、$ $|$ $s$ $|$ ≤ $1$ の場合 $、$ $csv$ $=$ $cv$ ( $st$ $)$ $と$ $なる$ $。$ $指数$ 写像は次 $の$ ように定義される $。$

exp p (v) = c v

(1)

そして、円盤 $‖v‖ < δと$ $p$ の近傍との間の微分同相写像を与える。より一般的には $、(p, v)を$ $expp (v)$ に写す写像は、 $($ $p$ $,$ $p$ $)$ $の$ 近傍への局所微分同相写像を与える。 $指数$ 写像は $p$ の近傍の測地線正規座標を与える。^[⁶⁴^]

法線座標の計算

点における正規座標 $u$ 、 $v$ への変数変換を形式的なテイラー級数展開として計算するための標準的な手法がある（例えばBerger (2004)を参照）。(0,0) における座標 $x$ 、 $y が$ 局所的に直交する場合、次のように記述する。

x (u, v) = αu + L (u, v) + λ (u, v) + \dots

y (u, v) = βv + M (u, v) + μ (u, v) + \dots

ここで $、L$ 、 $Mは$ $u$ と $v$ に関する2 次多項式、 $λ$ 、 $μ$ は3 次同次多項式です。u と v が固定されている場合 $、$ $x$ ( t $)$ $=$ $x$ $($ $tu$ $,$ $tv$ $)$ $および$ $y$ ( $t$ $)$ $=$ $y$ $($ $tu$ $,$ $tv$ $)$ $は$ 、オイラー方程式の形式的なべき級数解とみなすことができます。これにより、 $α$ 、 $β$ 、 $L$ 、 $M$ 、 $λ$ 、 $μ$ が一意に決定されます。

ガウスの補題

これらの座標系では、行列 $g (x)は$ $g (0) = I$ を満たし、直線 $t \mapsto tv は$ 0 を通る測地線である。オイラー方程式は行列方程式を意味する。

g (v) v = v

、

重要な結果であり、通常はガウスの補題と呼ばれる。幾何学的には、次のようになる。

極座標 $(r, θ)$ を取ると、計量は次の形式になることがわかる。

ds 2 = dr 2 + G (r, θ) dθ 2

。

測地座標では、ゼロを通る測地線が長さを最小化することは容易に確認できます。リーマン多様体上のトポロジーは、距離関数 $d (p, q)$ 、すなわち $p$ と $q$ の間の区分的に滑らかな経路の長さの最小値によって与えられます。この距離は測地線によって局所的に実現されるため、通常の座標では $d$ $(0,$ $v$ $) = ‖$ $v$ $‖$ となります。半径 $δ$ を十分に小さくすると、ガウスの補題を少しだけシャープにすることで、指数写像による円盤 $‖$ $v$ $‖ <$ $δの像$ $U$ が測地的に凸であることがわかります。つまり、 $U$ 内の任意の 2 点は、 $U の$ 内部に完全に含まれる一意の測地線で結ばれます。^[⁶⁵^]^[⁶⁶^]

驚異の定理

ガウスの「驚異の定理」は、曲面のガウス曲率が計量のみで計算できることを示しており、したがって、 $E$ $3$ への等長埋め込みとは無関係で、座標変換の下でも変化しない、曲面の固有の不変量である。特に、曲面の等長変換と局所等長変換はガウス曲率を保存する。^[⁶⁷^]

$この定理は、計量ds$ のべき級数展開で表すことができ、正規座標 $(u, v)$ では次のように表される。

ds 2 = du 2 + dv 2 - K (u dv - v du) 2 /12 + \dots

。

ガウス・ヤコビ方程式

$点p$ における通常の座標から、近傍の点 $q$ における通常の座標への座標変換を行うと、ガウスによって発見され、後にヤコビによって一般化されたシュトゥルム・リウヴィル方程式 $H (r, θ) = G (r, θ) 1 ⁄ 2$ が満たす。

H rr = - KH

。

$q$ におけるこの座標変換のヤコビアンは $H$ $r$ に等しい。これはガウス曲率の本質を確立する別の方法を提供する。H $($ $r$ $,$ $θ$ $) は$ $θ$ $方向$ の線要素の長さとして解釈できるため、ガウス・ヤコビ方程式は、ガウス曲率が幾何学的表面上の測地線が点から離れるにつれて広がる度合いを測定することを示している。^[⁶⁸^]

ラプラス・ベルトラミ演算子

局所的な計量を持つ曲面上で

ds^{2}=E\,dx^{2}+2F\,dx\,dy+G\,dy^{2}

およびラプラス・ベルトラミ演算子

\Delta f={1 \over H}\left(\partial _{x}{G \over H}\partial _{x}f-\partial _{x}{F \over H}\partial _{y}f-\partial _{y}{F \over H}\partial _{x}f+\partial _{y}{E \over H}\partial _{y}f\right),

ここで $H 2 = EG - F 2$ であり、ある点におけるガウス曲率は式^{[ 69 ]で与えられる。}

K=-3\lim _{r\rightarrow 0}\Delta (\log r),

ここで、 $rは$ 点からの測地距離を表す。

ガウスが最初に考察した等温座標では、計量は特別な形式である必要がある。

ds^{2}=e^{\varphi }(dx^{2}+dy^{2}).\,

この場合、ラプラス・ベルトラミ演算子は次のように与えられる。

\Delta =e^{-\varphi }\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}\right)

そして $φは$ リウヴィル方程式^[⁷⁰^]を満たす。

\Delta \varphi =-2K.\,

等温座標は表面上の任意の点の近傍に存在することが知られているが、これまでの証明はすべて偏微分方程式に関する非自明な結果に依存している。^{[ 71 ]}極小曲面については初等的な証明がある。^{[ 72 ]}

ガウス・ボンネの定理

球面または双曲面では、測地線三角形（すべての辺が測地線である三角形）の面積は、内角の和と $π$ の差に比例します。比例定数はガウス曲率であり、これらの曲面では定数です。トーラスの場合、ガウス曲率がゼロであることを反映して、この差はゼロになります。これらは、球面、双曲面、および高校の三角法における標準的な結果です（下記参照）。ガウスは、測地線三角形の内部におけるガウス曲率の積分もこの角度の差または超過に等しいことを示すことにより、これらの結果を任意の曲面に一般化しました。彼の公式は、ガウス曲率が、その点に縮小する測地線三角形の面積を角度の超過で割った極限として、ある点の近くで計算できることを示しました。任意の閉曲面は測地線三角形に分解できるため、この公式は曲面全体にわたる曲率の積分を計算するためにも使用できます。現在ガウス・ボンネの定理と呼ばれるものの特殊な場合として、ガウスはこの積分が常に2π倍の整数、すなわちオイラー標数と呼ばれる曲面の位相不変量になることを証明した。この不変量は、三角形分割（三角形分割とも呼ばれる）における三角形の頂点、辺、面の数を用いて組み合わせ論的に容易に計算できる。解析学と位相幾何学のこの相互作用は、後の幾何学における多くの成果の先駆けとなり、アティヤ・シンガー指数定理で頂点に達した。特に、曲率の性質は曲面の位相に制約を課す。

測地線三角形

ガウスは、 $Δが頂点$ $A$ 、 $B$ 、 $C$ における角度が $α$ 、 $β$ 、 $γ$ である曲面上の測地線三角形である場合、

\int _{\Delta }K\,dA=\alpha +\beta +\gamma -\pi .

実際、原点 $A$ と $AB$ 、 $ACを$ 極角0と $αの$ 半径とする測地線極座標を取ると次のようになる。

{\begin{aligned}\int _{\Delta }K\,dA&=\int _{\Delta }KH\,dr\,d\theta =-\int _{0}^{\alpha }\int _{0}^{r_{\theta }}\!H_{rr}\,dr\,d\theta \\&=\int _{0}^{\alpha }1-H_{r}(r_{\theta },\theta )\,d\theta =\int _{0}^{\alpha }d\theta +\int _{\pi -\beta }^{\gamma }\!\!d\varphi \\&=\alpha +\beta +\gamma -\pi ,\end{aligned}}

ここで、2番目の等式はガウス・ヤコビ方程式から、4番目の等式は直交座標 $(r, θ)$ におけるガウスの微分公式から導かれる。

ガウスの公式によれば、ある点における曲率は、その点の近傍にある、より小さな測地線三角形の面積に対する角度超過 $α + β + γ - π$ の極限として計算できる。定性的に言えば、任意の小さな測地線三角形に対する角度超過の符号に応じて、曲面は正または負に曲がっている。^[⁵⁰^]

ガウス・ボンネの定理

正二十面体のように三角形分割された球のオイラー標数は、 $V - E + F = 12 - 30 + 20 = 2$ です。

全てのコンパクトな向き付けられた2次元多様体 $Mは$ 小さな測地線三角形で三角形分割できるので、

\int _{M}KdA=2\pi \,\chi (M)

ここで、 $χ (M)$ は曲面のオイラー標数を表す。

実際、 $F$ 個の面、 $E$ 個の辺、 $V$ 個の頂点がある場合、 $3 F = 2 E$ となり、左辺は $2π V - π F = 2π(V - E + F) = 2π χ (M)$ となります。

これは有名なガウス・ボンネの定理です。ガウス曲率の積分が多様体の位相不変量、すなわちオイラー標数であることを示しています。この定理はさまざまな方法で解釈できます。おそらく最も広範囲に及ぶ解釈の 1 つは、 $M$ 上の楕円微分作用素の指数定理であり、アティヤ・シンガー指数定理の最も単純なケースの 1 つです。ガウス・ボンネの定理を使用して証明できるもう 1 つの関連結果は、有限個の点でのみゼロになる $M$ 上のベクトル場のポアンカレ・ホップ指数定理です。これらの点の指数の合計はオイラー標数に等しくなります。ここで、点の指数は次のように定義されます。各孤立ゼロの周りの小円上で、ベクトル場は単位円への写像を定義します。インデックスは、このマップの巻き数です。） ^[⁵⁰^]^[⁷³^]^[⁷⁴^]

曲率と埋め込み

曲面 $M$ のガウス曲率が至るところで正であれば、オイラー標数は正となるので、 $Mは$ $S 2$ と同相（したがって微分同相）である。さらに、曲面が $E 3$ に等長的に埋め込まれている場合、ガウス写像は明示的な微分同相写像を提供する。アダマールが指摘したように、この場合、曲面は凸である。この凸性の基準は、平面曲線の凸性に関するよく知られた 2 階微分基準の 2 次元への一般化と見なすことができる。ヒルベルトは、等長的に埋め込まれたすべての閉曲面は正の曲率を持つ点を持たなければならないことを証明した。したがって、非正の曲率を持つ閉じたリーマン 2 次元多様体は、 $E 3$ に等長的に埋め込むことは決してできない。しかし、アドリアーノ・ガルシアが準等角写像のベルトラミ方程式を用いて示したように、これは何らかの等角的に同値な計量に対しては常に可能である。^[⁷⁵^]

一定曲率の表面

定曲率 0、+1、-1 の単連結曲面は、ユークリッド平面、 $E 3$ の単位球、双曲平面である。これらのそれぞれは、向きを保存する等長変換の推移的な 3 次元リー群 $Gを持ち、これを用いてその幾何学を研究することができる。2 つの非コンパクト曲面はそれぞれ、商$ $G$ $/$ $K$ と同一視できる。ここで $Kは$ $G$ の極大コンパクト部分群である。ここで $Kは$ $SO(2)$ と同型である。ガウス曲率が一定の他の閉じた 2 次元リーマン多様体 $M は$ 、必要に応じて計量を定数倍した後、これら 3 つの曲面のいずれかを普遍被覆空間として持つ。向き付け可能な場合、 $M$ の基本群 $Γは$ $G$ のねじれのない一様部分群と同一視でき、 $M は$ 二重剰余類空間 $Γ \$ $G$ $/$ $K$ と同一視できる。球面とユークリッド平面の場合、可能な例は球面自体と、離散ランク 2 の部分群による $R$ $2$ の商として得られるトーラスのみです。種数 $g$ $\geq 2$ の閉曲面の場合、 $Γ が$ そのようなすべての部分群にわたって変化すると得られるリーマン面のモジュライ空間は、実次元 $6$ $g$ $- 6$ を持ちます。^[⁷⁶^]ポアンカレの一様化定理により、任意の向き付け可能な閉 2 多様体は、定曲率 0、+1、または –1 の曲面と等角同値です。言い換えれば、計量に正のスケーリング係数を掛けることで、ガウス曲率をこれらの値 ( $M$ のオイラー標数の符号) のいずれかに正確に合わせることができます。^[⁷⁷^]

ユークリッド幾何学

ユークリッド平面の場合、対称群はユークリッド運動群であり、2 次元並進群と回転群の半直積です。 ^{[ 78 ]}測地線は直線であり、その幾何学は三角法の基本公式、例えば辺 $a$ 、 $b$ 、 $c$ と角 $α$ 、 $β$ 、 $γ$ を持つ三角形の余弦定理などに符号化されています。

c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\,\cos \gamma .

平坦なトーラスは、 $R 2$ を格子、すなわち階数 2 の自由アーベル部分群で割った商をとることによって得られます。これらの閉曲面は $E$ $3に等長埋め込みを持ちません。しかしながら、$ $E$ $4$ には等長埋め込みが可能です。最も簡単なケースでは、これはトーラスが 2 つの円の積であり、各円が $E$ $2$ に等長に埋め込むことができるという事実から導かれます。^[⁷⁹^]

球面幾何学

$E$ $3$ の単位球 $S 2$ の等長変換群は直交群 $O(3)$ であり、回転群 $SO(3)$ $は向きを保存する等長変換の部分群です。これは、 SO(3)$ と、 $x$ $を-$ $x$ に写す対蹠写像の直積です。^[⁸⁰^]群 $SO(3)は$ $S$ $2$ に推移的に作用します。単位ベクトル (0,0,1) の安定化部分群は $SO(2)$ と同一視できるため、 $S$ $2$ $= SO(3)/SO(2)$ となります。

球面上の2点間の測地線は、これらの終点を持つ大円弧です。2点が対蹠点ではない場合、2点間には唯一の最短測地線が存在します。測地線は群論的に記述することもできます。北極(0,0,1)を通る各測地線は、赤道上の対蹠点を通る軸を中心とした回転のサブグループの軌道です。

球面三角形は、球面上の測地線三角形です。球面上の点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ $と、長さがπ$ 未満の大円弧から形成される辺 $BC$ 、 $CA$ 、 $AB$ によって定義されます。辺の長さが $a$ 、 $b$ 、 $c$ で、辺間の角度が $α$ 、 $β$ 、 $γ$ の場合、球面余弦法則は次のようになります。

\cos c=\cos a\,\cos b+\sin a\,\sin b\,\cos \gamma .

三角形の面積は次のように表されます。

面積 = α + β + γ - π

。

北極からの立体投影を用いると、球は拡張複素平面 $C \cup {\infty}$ と同一視できる。明示的な写像は次のように与えられる。

\pi (x,y,z)={x+iy \over 1-z}\equiv u+iv.

この対応関係の下では、 $S 2のすべての回転は$ $SU(2)$ のメビウス変換に対応し、符号を除いて一意です。^[⁸¹^]複素平面の座標 $($ $u$ $,$ $v$ $)$ に関して、球面計量は次のようになります。 ^[⁸²^]

ds^{2}={4(du^{2}+dv^{2}) \over (1+u^{2}+v^{2})^{2}}.

単位球は、曲率が +1 で一定の唯一の閉じた向き付け可能な曲面です。商 $SO(3)/O(2) は$ 実射影平面と同一視できます。これは向き付け不可能で、 $S 2$ の対蹠写像 (−1 を掛ける) による商として記述できます。球は単連結ですが、実射影平面は基本群 $Z 2$ を持ちます。SO $(3)$ の有限部分群は、 $O(2)の有限部分群および$ プラトン立体の対称群に対応しますが、 $S 2$ に自由に作用しないため、対応する商は 2 次元多様体ではなく、オービフォールドになります。

双曲幾何学

非ユークリッド幾何学^{[ 83 ]}は、19世紀初頭にガウスが行った広範な計算に関する書簡の中で初めて議論された。ガウスはこれらの計算結果を私的に配布したが、出版はしないことに決めた。1830年にロバチェフスキー、そして1832年にはガウスの通信相手の一人の息子であるボヤイが、それぞれ独立にこの新しい幾何学の総合的なバージョンを発表したが、彼らは厳しい批判を受けた。しかし、ベルトラーミが1868年に、続いてクラインが1871年に、ポアンカレが1882年に、クラインが双曲幾何学と名付けたものの具体的な解析モデルを提示するまでには至らなかった。出現した2次元双曲幾何学の4つのモデルは以下のとおりである。

円盤に基づく最初のモデルは、測地線が実際には線分（つまり、ユークリッド直線と開単位円盤との交点）であるという利点があります。最後のモデルは、3次元ユークリッド空間における単位球面と完全に平行な構成を与えるという利点があります。しかし、複素解析や幾何学への応用から、ポアンカレのモデルが最も広く用いられています。円盤と上半平面間のメビウス変換のおかげで、これらのモデルは相互に交換可能です。

させて

D=\{z\,\colon |z|<1\}

複素平面上のポアンカレ円盤で、ポアンカレ計量を持つ。

ds^{2}={4(dx^{2}+dy^{2}) \over (1-x^{2}-y^{2})^{2}}.

極座標 $(r, θ)$ では、計量は次のように表される。

ds^{2}={4(dr^{2}+r^{2}\,d\theta ^{2}) \over (1-r^{2})^{2}}.

曲線 $γ :[a, b] \to D$ の長さは、次の式で与えられる。

\ell (\gamma )=\int _{a}^{b}{2|\gamma ^{\prime }(t)|\,dt \over 1-|\gamma (t)|^{2}}.

群 $G = SU(1,1)$ は次のように定義される。

G=\left\{{\begin{pmatrix}\alpha &\beta \\{\overline {\beta }}&{\overline {\alpha }}\end{pmatrix}}:\alpha ,\beta \in \mathbf {C} ,\,|\alpha |^{2}-|\beta |^{2}=1\right\}

$D$ 上でメビウス変換によって推移的に作用し、 0 の安定化部分群は回転群である。

K=\left\{{\begin{pmatrix}\zeta &0\\0&{\overline {\zeta }}\end{pmatrix}}:\zeta \in \mathbf {C} ,\,|\zeta |=1\right\}.

商群 $SU(1,1)/\pm Iは、$ $D$ の向きを保存する等長変換の群です。D内の任意の 2 点 $z$ 、 $w$ $は、$ $z$ と $w$ を通り境界円に直交する円または直線の部分によって与えられる一意の測地線で結ばれます。z $と$ $w$ の間の距離は次のように与えられます。

d(z,w)=2\tanh ^{-1}{\frac {|z-w|}{|1-{\overline {w}}z|}}.

特に、 $d (0, r) = 2 tanh -1 r$ および $c (t) = ⁠ 1 / 2 ⁠ tanh t$ は、弧長によってパラメータ化された実軸に沿った 0 を通る測地線です。

この距離によって定義される位相は通常のユークリッド位相と同等ですが、距離空間 $(D, d)$ は完備です。

双曲三角形は、この計量における測地線三角形です。D $内$ の任意の 3 点は双曲三角形の頂点です。辺の長さが $a$ 、 $b$ 、 $c$ で、対応する角度が $α$ 、 $β$ 、 $γ$ である場合、双曲余弦定理は次のようになります。

\cosh c=\cosh a\,\cosh b-\sinh a\,\sinh b\,\cos \gamma .

双曲三角形の面積は^{[ 84 ]で与えられる。}

面積 = π - α - β - γ

。

単位円盤と上半平面

H=\{w=x+iy\,\colon \,y>0\}

メビウス変換によって等角的に等価である

w=i{1+z \over 1-z},\,\,z={w-i \over w+i}.

$この対応関係の下では、 H$ 上のメビウス変換による $SL(2,R)$ の作用は、 $D$ 上の $SU(1,1)$ の作用に対応する。H 上の計量は $次$ のようになる。

ds^{2}={dx^{2}+dy^{2} \over y^{2}}.

メビウス変換によって直線や円は保存されるため、測地線は再び実軸に直交する直線や円によって記述される。

ポアンカレ計量を持つ単位円盤は、曲率が一定で −1 である唯一の単連結な向き付けられた 2 次元リーマン多様体である。この性質を持つ向き付けられた閉曲面 $M は、$ $D を$ 普遍被覆空間とする。その基本群は、 $SU(1,1)$ のねじれのないコンパクト部分群 $Γ$ と同一視することができ、

M=\Gamma \backslash G/K.

この場合、 $Γは$ 有限表示群です。生成元と関係は、 $D$ (または $H$ )内の測地的に凸な基本測地多角形に符号化されており、幾何学的には $M$ 上の閉じた測地線に対応します。

例。

第2種のボルツァ表面。
種数3のクライン四次曲線。
種数 7 のマクベス面。
種数14の第一フルヴィッツ三重項。

均一化

ガウス曲率 $K$ を持つ向き付けられた閉曲面 $Mが与えられたとき、$ $M$ 上の計量は係数 $e$ $2$ $u$ でスケーリングすることにより等角変換できる。新しいガウス曲率 $K'$ は次のように与えられる。

K^{\prime }(x)=e^{-2u}(K(x)-\Delta u),

ここで、 $Δ$ は元の計量のラプラシアンである。したがって、与えられた曲面が一定曲率 $K'$ を持つ計量と等角的に等価であることを示すには、リウヴィル方程式の次の変形を解けば十分である。

\Delta u=K^{\prime }e^{2u}+K(x).

$M$ のオイラー標数が 0 の場合、はトーラスと微分同相であり、 $K' = 0 と$ なるので、これはを解くことに相当する。

\Delta u=K(x).

標準的な楕円理論によれば、ガウス・ボンネの定理により、 $Kの$ $M$ 上の積分はゼロとなるため、これは可能である。 ^{[ 85 ]}

$Mが$ 負のオイラー標数を持つ場合、 $K' = -1と$ なるので、解くべき方程式は次のようになる。

\Delta u=-e^{2u}+K(x).

ニール・トルーディンガーによるソボレフ空間上の指数写像の連続性を用いると、この非線形方程式は常に解くことができる。^[⁸⁶^]

最後に、2次元球面の場合、 $K' = 1$ となり、方程式は次のようになります。

\Delta u=e^{2u}+K(x).

これまでのところ、この非線形方程式は直接解析されていませんが、リーマン・ロッホの定理などの古典的な結果から、常に解が存在することが示唆されています。^{[ 87 ]}リチャード・S・ハミルトンによって開発されたリッチフロー法は、非線形偏微分方程式に基づいて存在を証明する別の証明を与えます。^[⁸⁸^]実際、 $S$ $2上の共形計量上のリッチフローは、関数$ $u$ $($ $x$ $,$ $t$ $)$ 上で次のように定義されます。

u_{t}=4\pi -K'(x,t)=4\pi -e^{-2u}(K(x)-\Delta u).

有限時間後、Chowは $K'が$ 正になることを示しました。Hamiltonの以前の結果を使用すると、 $K'が$ +1に収束することを示すことができます。^{[ 89 ]} Ricciフローに関するこれらの結果に先立ち、Osgood、Phillips 、 Sarnak（1988）は $、log det Δ$ $g$ で定義されるリーマン計量 $g$ 上のフローに基づく、より技術的に単純な均一化の代替アプローチを提供しました。

1988 年に発見された楕円演算子を用いた証明はDing (2001)に記載されている。S $2$ 上の $グリーン$ 関数を $G$ とし、 $Δ$ $G$ $= 1 + 4π$ $δ$ $P$ を満たすとする。ここで $δ$ $P$ $はS$ $2$ の固定点 $P$ における点測度である。方程式 $Δ$ $v$ $= 2$ $K$ $- 2$ は、右辺がガウス・ボンネの定理により積分 0 となるため、滑らかな解 $vを持つ。したがって、$ $φ$ $= 2$ $G$ $+$ $v は$ $P$ から離れた場所で $Δ$ $φ$ $= 2$ $K$ を満たす。このことから、 $g$ $ 1$ $=$ $e$ $φ$ $gは$ $P$ の補集合上で定曲率 0 の完全計量となり、したがって平面と等長となる。立体射影と合成すると、 $e$ $2$ $u$ $gが$ $P$ の補集合上でガウス曲率 +1 を持つような滑らかな関数 $u$ が存在することがわかる。関数 $u は自動的に$ $S$ $2$ 全体上で滑らかな関数に拡張されます。^[^d^]

リーマン接続と平行移動

ガウスによる曲面の微分幾何学への古典的なアプローチは、標準的な初等的アプローチでした^{[ 90 ]。}これは、19世紀半ばにベルンハルト・リーマンによって始められたリーマン多様体の概念や、20世紀初頭にトゥリオ・レヴィ＝チヴィタ、エリー・カルタン、ヘルマン・ワイルによって発展させられた接続の概念の出現に先立つものでした。接続、共変微分、平行移動の概念は、曲率を理解するためのより概念的で統一的な方法を提供し、高次元多様体への一般化を可能にしただけでなく、特性クラスと呼ばれる新しい幾何学的不変量を定義するための重要なツールも提供しました^[⁹¹^]。共変微分と接続を使用するアプローチは、今日ではより高度な教科書で採用されています^[⁹²^{] 。}

共変微分

曲面上の接続は、等価ではあるが同様に重要なさまざまな観点から定義できます。リーマン接続またはレヴィ・チヴィタ接続^{[ 93 ]}は、多様体上の関数に作用する1階微分演算子とみなされるベクトル場を、接束またはフレーム束上の微分演算子に持ち上げるという観点から最も簡単に理解できます。埋め込み曲面の場合、共変微分と呼ばれるベクトル場上の演算子への持ち上げは、直交射影の観点から非常に簡単に説明できます。実際、 $R$ $3$ に埋め込まれた曲面上のベクトル場は、曲面から $R$ $3$ への関数とみなすことができます。別のベクトル場は、成分ごとに微分演算子として作用します。結果として得られるベクトル場は曲面に接しませんが、曲面の各点における接空間への直交射影を取ることでこれを修正できます。リッチとレヴィ＝チヴィタが20世紀初頭に気づいたように、このプロセスは計量のみに依存し、クリストッフェル記号を用いて局所的に表現することができる。

並列輸送

曲面上の曲線に沿った接線ベクトルの平行移動は、レヴィ＝チヴィタによる次の大きな進歩でした。^{[ 50 ]}これは、曲線の速度ベクトルに関する共変微分によって定義される曲線上の常微分方程式のモノドロミーであるため、以前の共変微分の概念に関連しています。曲面の「直線」である測地線に沿った平行移動も、直接簡単に記述できます。接平面内のベクトルは、測地線に沿って、長さが一定で、測地線の速度ベクトルと一定の角度をなす唯一のベクトル場として移動します。一般的な曲線の場合、このプロセスは、曲線が測地線からどれだけ離れているかを測定する測地線曲率を使用して修正する必要があります。^[⁶⁵^]

測地曲率 $k$ $g$ $($ $t$ $)$ を持つ単位速度曲線 $c$ $($ $t$ $)$ に沿ったベクトル場 $v (t)$ は、次の条件を満たす場合に曲線に平行であると言われる。

長さは一定です
$速度ベクトルċ$ $($ $t$ $)$ となす角度 $θ (t)$ は以下を満たす。

{\dot {\theta }}(t)=-k_{g}(t)

これは測地線または区分的測地線に沿った平行移動の規則を再現するものであり、その場合 $k g = 0$ となるため、角度 $θ (t)$ は任意の測地線セグメント上で一定に保たれるはずです。平行移動の存在は、 $θ (t) が測地線曲率の$ 積分として計算できることから導かれます。したがって、θ ( t ) は $k$ $g$ の $L 2$ ノルムに連続的に依存するため、任意の曲線の平行移動は、近似区分的測地線上の平行移動の極限として得られることがわかります。^[⁹⁴^]

したがって、この接続は、多様体内の経路を接線または直交フレーム束内の経路に持ち上げるという観点から記述することができ、フランスの著者が好む「移動フレーム」の古典的な理論を形式化します。 ^{[ 95 ]}ループをある点の周りに持ち上げると、その点にホロノミー群が生じます。ある点のガウス曲率は、その点のますます小さなループの周りの平行移動から復元できます。同様に、曲率は、持ち上げられたベクトル場のリー括弧を使用して、無限小レベルで直接計算できます。

接続1形式

カルタンとワイルのアプローチは、 $M$ のフレームバンドル上の接続 1 形式を用いることで、リーマン接続を理解する 3 つ目の方法を提供します。彼らは、平行移動によって、曲面上の経路がフレームバンドル内の経路に持ち上げられ、その接ベクトルがフレームバンドルの 3 次元接空間内の余次元 1 の特別な部分空間に存在することを要求することに気付きました。この部分空間への射影は、正規直交フレームバンドル上の微分 1 形式、すなわち接続形式によって定義されます。これにより、曲面の曲率特性をフレームバンドル上の微分形式とそれらの外微分を含む式に符号化することが可能になりました。

このアプローチは埋め込み曲面の場合に特に簡単です。小林 (1956)の結果により、ユークリッド空間 $E 3$ に埋め込まれた曲面上の接続 1 形式は、 $S 2$ 上の接続 1 形式のガウス写像による引き戻しに等しくなります。^{[ 96 ]} $S 2$ を同次空間 $SO(3)/SO(2)$ と同一視すると、接続 1 形式は $SO(3)$ 上のMaurer–Cartan 1 形式の成分になります。^[⁹⁷^]

曲面のグローバル微分幾何学

曲率の特性評価は表面の局所的な幾何学のみに関わるが、ガウス・ボンネの定理、一様化定理、フォン・マンゴルト・アダマールの定理、埋め込み可能性定理などの重要なグローバルな側面がある。表面のグローバルな幾何学には他にも重要な側面がある。^{[ 98 ]}これらには以下が含まれる。

単射半径は、距離が $r$ 未満の 2 点が一意の測地線で結ばれる最大の $rとして定義されます。ヴィルヘルム・クリンゲンベルクは 1959 年に、閉曲面の単射半径は$ $δ$ $=$ $π$ $/$ $\sqrt$ $sup$ $K$ $の$ $最小値と、その最小の閉測地線の長さによって下から制限されることを証明しました。$ $これは、1855 年に正のガウス曲率を持つ閉曲面の直径は常にδ$ によって上から制限されることを示したボネの定理を改良したものです。言い換えれば、2 点間の距離を実現する測地線の長さは $δ$ より大きくなることはありません。
剛性。1927年にコーン＝フォッセンは、正のガウス曲率を持つ閉曲面である2つの楕円面が等長であれば、 $E 3$ の等長変換によって必ず合同であることを証明した。さらに、正のガウス曲率と一定の平均曲率を持つ閉じた埋め込み曲面は必ず球であり、同様に一定のガウス曲率を持つ閉じた埋め込み曲面は球でなければならない（リープマン 1899）。ハインツ・ホップは1950年に、一定の平均曲率と種数0、つまり球と同相な閉じた埋め込み曲面は必ず球であることを示した。5年後、アレクサンドロフは位相的な仮定を取り除いた。1980年代には、ウェンテがユークリッド3次元空間に一定の平均曲率を持つ埋め込みトーラスを構成した。
カラテオドリ予想：この予想は、閉じた凸の3回微分可能な曲面には少なくとも2つの臍点が存在すると述べています。この予想に関する最初の研究は1924年にハンス・ハンバーガーによって行われ、彼は、孤立した臍点の主曲率葉層構造の半整数値の指数は最大で1であるという、より強い主張からこの予想が導かれることを指摘しました。この予想は、ブレンダン・ギルフォイルとヴィルヘルム・クリンゲンベルクによって、予想の100周年にあたる2024年に完結する^{3部構成の研究[ 99 ]}^{[ 100 ]}^{[ 101 ]で滑らかな曲面について証明されました。}
ガウス曲率がゼロであること: $E 3$ におけるガウス曲率がゼロの完全な曲面は、円筒または平面でなければならない。
ヒルベルトの定理（1901年）：一定の負の曲率を持つ完全な曲面は、 $E$ $3$ に等長的に埋め込むことはできない。

ウィルモア予想。この予想は、 $E 3$ に埋め込まれたトーラスの平均曲率の二乗の積分が $2π 2$ で下から抑えられるべきであるというものである。この積分がメビウス不変であることは知られている。これは 2012 年にFernando Codá MarquesとAndré Nevesによって解決された。^{[ 102 ]}
等周不等式。1939年、シュミットは、ユークリッド平面上の曲線に対する古典的な等周不等式が球面上または双曲平面上でも有効であることを証明しました。すなわち、彼は、固定面積の領域を囲むすべての閉曲線の中で、曲線が計量に対して円である場合に周長が最小になることを示しました。1次元高い場合、 $単位体積の有界領域の境界として生じるE 3$ のすべての閉曲面の中で、表面積がユークリッド球で最小になることが知られています。
曲面上の曲線のシストール不等式。閉曲面が与えられたとき、そのシストールは、曲面上の任意の非縮約閉曲線の最小の長さとして定義されます。1949年、レーヴナーはトーラス上の計量に対するトーラス不等式を証明しました。すなわち、トーラスの面積をそのシストールの二乗で割った値は、 $⁠$ $\sqrt$ $3$ $/$ $2$ $⁠$ で下から抑えられ、平坦（定曲率）の場合は等号が成り立ちます。同様の結果は、 1952年のプーの実射影平面に対する不等式によって与えられ、定曲率の場合にも $⁠$ $2$ $/$ $π$ $⁠$ という下限が得られています。クラインの壺については $、ブラッターとバヴァールが後に⁠$ $\sqrt$ $8$ $/$ $π$ $⁠$ という下限を得ました $。種数g$ の閉曲面については $、ヘブダとブラーゴが、その比率が⁠$ $1$ $/$ $2$ $⁠$ で下から抑えられることを示しました。 3年後、ミハイル・グロモフは定数倍 $g$ $1$ $⁄$ $2$ で与えられる下限を発見したが、これは最適ではない。定数倍 $⁠$ $g$ $/$ $(log$ $g$ $)$ $2$ $⁠$ で与えられる漸近的に鋭い上限と下限はグロモフとブーザー＝サルナックによるもので、 Katz (2007)に記載されている。球面上の計量についても、最小の閉じた測地線の長さをシストールとするバージョンがある $。グロモフは1980年に⁠$ $1$ $/$ $2$ $\sqrt$ $3$ $⁠$ の下限を予想した2006年にレジーナ・ロットマンによって得られた $⁠$ $1$ $/$ $8$ $⁠$ の下限である^{。 [}¹⁰³^]

読書ガイド

ガウス以前から現代までの歴史的発展を概説した、この主題に関する最も包括的な入門的概説の 1 つはBerger (2004)によるものです。古典理論の説明はEisenhart (2004)、Kreyszig (1991)およびStruik (1988)にあります。より現代的で図解が豊富な学部生向けの教科書はGray, Abbena & Salamon (2006)、Pressley (2001)およびWilson (2008)によりアクセスしやすいかもしれません。古典理論の分かりやすい説明は Hilbert & Cohn-Vossen (1952)にあります。曲面上のリーマン接続を使用した、より高度な大学院レベルの扱いは Singer & Thorpe (1967)、do Carmo (2016)およびO'Neill (2006)にあります。

注記

↑滑らかな曲面とは、各点がE ²内の何らかの開集合と微分同相な近傍を持つ曲面のことです。
↑リーマン面とは、リーマン計量を備えた滑らかな曲面のことです。
↑最近の文献の中には、右辺の対称双線形形式を第二基本形式と呼ぶものもありますが、一般的には古典的に定義された第二基本形式とは一致しません。
↑これは、有限エネルギーの調和写像の除去可能な特異点に関するサックスとウーレンベックの定理（1981）を含む議論に続くものです。

1 2ガウス 1902。
↑ストライク 1987、50 ～53ページ
↑ウェルズ 2017、17 ～30ページ
↑オイラー 1760
↑オイラー 1771
↑モンジュ、ガスパール (1807)。「Application de l'analyse à la géométrie」（フランス語）。
↑クレイジグ 1991
1 2ストライク 1988
↑ワーナー 1983
↑ヒッチン 2013 、p.45
↑ do Carmo 2016 、 54–56ページ
↑ウィルソン 2008 、p. 115
↑プレスリー 2001、68 ～77ページ
↑ド・カルモ2016、55ページ
↑ do Carmo 2016 、 60–65ページ
↑オニール 2006 、p. 113
↑リー著「滑らかな多様体入門」
↑ド・カルモ2016、72ページ
↑クレイジグ 1991
↑シンガー＆ソープ 1967、100 ～114ページ
↑シンガー＆ソープ 1967、133 ～134ページ
↑ do Carmo 2016 、 155–157ページ
↑ド・カルモ、235ページ
↑ド・カルモ、238ページ
↑ド・カルモ、237-238ページ
↑ストライク 1988 、p. 112
↑ダルブー、第3巻、246ページ
↑ベルガー。リーマン幾何学の概観。
↑オニール 2006 、p.257
↑ do Carmo 2016 、pp. 309–314
↑ヒッチン 2013 、p.57
↑ do Carmo 2016 、p. 221–222
↑オニール 2006 、pp. 281–289
↑ヒッチン2013、57-58頁
↑ド・カルモ 2016 、p. 223
↑ do Carmo 2016 、 222–223ページ
↑ do Carmo 2016 、 224–225ページ
↑ド・カルモ、183ページ
1 2ド・カルモ、242ページ
↑ヒッチン 2013
↑ストライク 1988
↑オニール 2006
↑スピヴァク、「微分幾何学の包括的な入門、第 3 巻」、157 ページ。
↑スピヴァク、161-166ページ
↑スピヴァク、168ページ
↑アイゼンハート 2004、228 ～229ページ
↑アイゼンハート 2004 、 241–250ページ; do Carmo 2016 、 188–197ページ。
↑ド・カルモ 2016 、p. 194。
↑アイゼンハート2004、61-65頁。
1 2 3 4アイゼンハート 2004
↑アイゼンハート 2004 、 250–269ページ; do Carmo 2016 、 197–213ページ。
↑ダグラスの解法はクーラント（1950）に記載されている。
↑アイゼンハート 2004 、 270–291ページ;オニール、2006 年、 249 ～ 251ページ。ヒルベルト＆コーン・ヴォッセン 1952 年。
↑スティルウェル 1996 、pp. 1–5。
↑ウィルソン 2008。
↑ O'Neill 2006 、pp. 195–216 ; do Carmo 2016 、pp. 134–153 ; Singer & Thorpe 1967 、pp. 216–224。
↑グレイ、アッベナ、サラモン、2006 年、p. 386 .
↑ Berger 2004 ; Wilson 2008 ; Milnor 1963。
↑ Eisenhart 2004 、p. 131 ; Berger 2004 、p. 39 ; do Carmo 2016 、p. 248 ; O'Neill 2006 、p. 237
↑ Eisenhart 2004 ; Taylor 1996a 、pp. 472–473、付録 C。
↑ Eisenhart 2004、第88節; Berger 2004。
↑ド・カルモ 2016 、p.357
↑ミルナー 1963
↑ウィルソン 2008
1 2バーガー 2004
↑ do Carmo 2016 、 303–305ページ
↑ Berger 2004、41、61、123–124ページ
↑オニール2006、395ページ
↑ヘルガソン 1978 、p.92
↑オニール 2006 、p.286
↑ド・カルモ 2016 、p. 227
↑オッサーマン2002、31-32ページ
↑ do Carmo 2016 、 283–286ページ
↑ソープ 1994 、pp. 201–207
↑ Singer & Thorpe 1967 ; Garsia, Adriano M. (1961), "An imbedding of closed Riemann surfaces in Euclidean space", Comment. Math. Helv. , 35 : 93– 110, doi : 10.1007/BF02567009 , S2CID 120653575
↑今吉・谷口 1992 、pp. 47–49
↑ Berger 1977 ; Taylor 1996b。
↑ウィルソン 2008 、pp. 1–23、第 I 章、ユークリッド幾何学。
↑ド・カルモ 2016。
↑ Wilson 2008 、pp. 25–49、第II章、球面幾何学。
↑ウィルソン 2008、第2章。
↑アイゼンハート 2004 、p. 110。
↑スティルウェル 1996 ;ボノラ、カースロー、エンリケス 1955。
↑ウィルソン 2008、第5章。
↑ Taylor 1996b 、p. 107 ; Berger 1977 、pp. 341–343。
↑ Berger 1977 、pp. 222–225 ; Taylor 1996b 、pp. 101–108。
↑テイラー 1996b
↑チョウ 1991
↑ Chen、Lu 、 Tian（2006）は、 HamiltonとChowのアプローチにおける欠落したステップを指摘し、修正した。Andrewsと Bryan（2010）も参照のこと。
↑ Eisenhart 2004 ; Kreyszig 1991 ; Berger 2004 ; Wilson 2008。
↑小林＆野水 1969 年、第 XII 章。
↑カルモ 2016 を実行します。オニール 2006 ;シンガー&ソープ 1967年。
↑レヴィ＝チヴィタ 1917
↑ Arnold 1989 、pp. 301–306、付録I。Berger 2004 、pp. 263–264。
↑ダルブー。
↑小林＆野水 1969
↑ Ivey & Landsberg 2003。
↑ Berger 2004 、pp. 145–161 ;カルモ 2016 を開催します。チャーン 1967 ;ホップ 1989。
↑ Guilfoyle, B.; Klingenberg, W. (2019). "Higher codimensional mean curvature flow of compact spacelike submanifolds" . Trans. Amer. Math. Soc . 372 (9): 6263– 6281. arXiv : 1812.00710 . doi : 10.1090/tran/7766 . S2CID 119253397 .
↑ Guilfoyle, B.; Klingenberg, W. (2020). "Fredholm-regularity of holomorphic discs in plane bundles over compact surfaces" . Ann. Fac. Sci. Toulouse Math . Série 6. 29 (3): 565– 576. arXiv : 1812.00707 . doi : 10.5802/afst.1639 . S2CID 119659239 .
↑ Guilfoyle, B.; Klingenberg, W. (2024). "完全曲面上のトポノゴフ予想の証明" . J. Gökova Geom. Topol. GGT . 17 : 1– 50. arXiv : 2002.12787 .
↑ Codá Marques, Fernando; Neves, André ( 2014). "Min-Max理論とウィルモア予想". Annals of Mathematics . 179 (2): 683–782 . arXiv : 1202.6036 . doi : 10.4007 / annals.2014.179.2.6 . JSTOR 24522767. S2CID 50742102 .
↑ Rotman, R. (2006) 「最短閉測地線の長さと2次元球の面積」、Proc. Amer. Math. Soc. 134 : 3041-3047。以前の下限はCroke、Rotman-Nabutovsky、Sabourauによって得られていた。

参考文献

Andrews, Ben; Bryan, Paul (2010)、「2球面上の正規化リッチフローの等周比較による曲率境界」、Calc. Var. Partial Differential Equations、39 ( 3–4 ): 419–428、arXiv : 0908.3606、doi : 10.1007/s00526-010-0315-5、S2CID 1095459
アーノルド、VI（1989）、『古典力学の数学的方法』、大学院数学テキスト、第 60巻（第2 版）、ニューヨーク：シュプリンガー・フェルラーク、ISBN 978-0-387-90314-9ロシア語からの翻訳はK.フォークトマンとA.ワインシュタインによる。
Berger, Marcel (2004), A Panoramic View of Riemannian Geometry , Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-65317-2
Berger, Melvyn S. (1977), Nonlinearity and Functional Analysis , Academic Press, ISBN 978-0-12-090350-4
ボノラ、ロベルト、カースロー、HS、エンリケス、F. (1955)『非ユークリッド幾何学：その発展に関する批判的かつ歴史的研究』ドーバー、ISBN 978-0-486-60027-7{{citation}}ISBN /日付の不一致（ヘルプ）
Boothby, William M. (1986), 『微分可能多様体とリーマン幾何学入門』、純粋応用数学、第 120巻（第2 版）、Academic Press、ISBN 0121160521
カルタン、エリー（1983）、『リーマン空間の幾何学』、Math Sci Press、ISBN 978-0-915692-34-7; James Glazebrook によるLeçons sur la géométrie des espaces de Riemann (1951)の第 2 版から翻訳。
カルタン、エリー（2001）、『直交フレームにおけるリーマン幾何学（1926-27年にソルボンヌ大学でエリー・カルタンが行った講義より）』、World Scientific、doi：10.1142/4808、ISBN 978-981-02-4746-1ロシア語からの翻訳はVVゴールドバーグ、序文はSSチェルン。
カルタン、アンリ（1971）、『微分計算』（フランス語）、ヘルマン、ISBN 9780395120330
Chen, Xiuxiong; Lu, Peng; Tian, Gang (2006)、「リッチフローによるリーマン面の均一化に関する注記」、Proc. AMS、134 (11): 3391–3393、doi : 10.1090/S0002-9939-06-08360-2
Chern, SS (1967)、「ユークリッド空間における曲線と曲面」、MAA Studies in Mathematics、アメリカ数学協会
Chow, B. (1991)、「2次元球面上のリッチフロー」、J. Diff. Geom.、33 (2): 325–334、doi : 10.4310/jdg/1214446319
クーラント、リチャード（1950）、『ディリクレの原理、等角写像、極小曲面』、ジョン・ワイリー＆サンズ、ISBN 978-0-486-44552-6{{citation}}ISBN /日付の不一致（ヘルプ）
ダルブー、ガストン、表面の一般的な技法、ゴティエヴィラール第1巻（1887年）、第2巻（1915年）[1889年]、第3巻（1894年）、第4巻（1896年）。
Ding, W. ( 2001)、「S ²上の均一化定理の証明」、偏微分方程式ジャーナル、14 : 247–250
do Carmo, Manfredo P. (2016), Differential Geometry of Curves and Surfaces (revised & updated 2nd ed.), Mineola, NY: Dover Publications, Inc., ISBN 978-0-486-80699-0
do Carmo, Manfredo (1992), Riemannian geometry , Mathematics: Theory & Applications, Birkhäuser, ISBN 0-8176-3490-8
アイゼンハルト、ルーサー・プファーラー（2004）、『曲線と曲面の微分幾何学に関する論文』（1909年版の復刻版）、ドーバー出版、ISBN 0-486-43820-1
オイラー、レオンハルト( 1760)、「Recherches sur la courbure des surfaces」、Mémoires de l'Académie des Sciences de Berlin、16 (1767 年出版): 119–143。
オイラー、レオンハルト(1771)、「プラナムエクスプリケアリセットにおける固体定足数のスーパーフィシエム」、Novi Commentarii Academiae Scientiarum Petropolitanae、16 (1772 年発行): 3–34。
ガウス、カール・フリードリヒ（1902）、『1825年および1827年の曲面に関する一般研究』、プリンストン大学図書館AM ヒルテバイテルと JC モアヘッドによる翻訳。"Disquisitiones Generales circa superficies curvas"、Commentationes Societatis Regiae Scientiarum Gottingesis Recentiores Vol. VI (1827)、99–146 ページ。
- ガウス、カール・フリードリヒ（1965）『曲面の一般研究』、AM ヒルテベイテル、JC モアヘッド訳、ヒューレット、ニューヨーク：レイブン・プレス、OCLC 228665499 。
- ガウス、カール・フリードリヒ（2005）、『曲面の一般研究』、ピーター・ペシックによる新たな序文と注釈付き、ミネオラ、ニューヨーク：ドーバー出版、ISBN 978-0-486-44645-5。
Gray, Alfred; Abbena, Elsa; Salamon, Simon (2006), Modern Differential Geometry of Curves And Surfaces With Mathematica® , Studies in Advanced Mathematics (3rd ed.), Boca Raton, FL: Chapman & Hall/CRC, ISBN 978-1-58488-448-4
Han, Qing; Hong, Jia-Xing (2006), Isometric Embedding of Riemannian Manifolds in Euclidean Spaces , American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-4071-9
ヘルガソン、シグルドゥル（1978）、『微分幾何学、リー群、対称空間』、アカデミック・プレス、ニューヨーク、ISBN 978-0-12-338460-7
ヒルベルト、デイヴィッド；コーン＝フォッセン、シュテファン（1952）、『幾何学と想像力（第2 版）』、ニューヨーク：チェルシー、ISBN 978-0-8284-1087-8{{citation}}ISBN /日付の不一致（ヘルプ）
ヒッチン、ナイジェル（2013）、『曲面の幾何学』（PDF）
ホップ、ハインツ（1989）、『大規模微分幾何学講義』、数学講義ノート、第 1000巻、シュプリンガー・フェルラーク、ISBN 978-3-540-51497-8
今吉裕、谷口雅彦 (1992)、『テクミュラー空間入門』、シュプリンガー・フェルラーク、ISBN 978-0-387-70088-5
Ivey, Thomas A.; Landsberg, JM (2003), Cartan for Beginners: Differential Geometry via Moving Frames and Exterior Systems , Graduate Studies in Mathematics, vol. 61, American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-3375-9
カッツ、ミハイル・G. (2007)、シストリック幾何学とトポロジー、数学概論とモノグラフ、第137巻、アメリカ数学会、ISBN 978-0-8218-4177-8
ミルナー、J. (1963).モース理論. 数学研究年報. 第 51巻. プリンストン、ニュージャージー州: プリンストン大学出版局. MR 0163331 . Zbl 0108.10401 .
小林正七 (1956)「誘導接続と埋め込みリーマン空間」名古屋数学雑誌、10 : 15–25、doi : 10.1017/S0027763000000052
小林昭七(1957)、「接続理論」、Annali di Matematica Pura ed Applicata、シリーズ 4、43 : 119–194 、 doi : 10.1007 /BF02411907、S2CID 120972987 、
小林正七；野水勝美(1963)、微分幾何学の基礎、Vol. I、Wiley Interscience、ISBN 978-0-470-49648-0{{citation}}ISBN /日付の不一致（ヘルプ）
小林正七；野水勝美 (1969)、微分幾何学の基礎、Vol. II、ワイリー・インターサイエンス、ISBN 978-0-470-49648-0
クレイジグ、エルヴィン（1991）、『微分幾何学』、ドーバー出版、ISBN 978-0-486-66721-8
キューネル、ヴォルフガング（2006）、『微分幾何学：曲線 - 曲面 - 多様体』、アメリカ数学会、ISBN 978-0-8218-3988-1
Levi-Civita、Tullio (1917)、「Nozione diParallelismo in una varietà qualunque」、Rend。円マット。パレルモ、42 : 173– 205、土井: 10.1007/BF03014898、S2CID 122088291
O'Neill, Barrett (2006),初等微分幾何学（改訂第2 版）, アムステルダム：Elsevier/Academic Press, ISBN 0-12-088735-5
Osgood, B.; Phillips, R.; Sarnak, P. (1988)、「ラプラシアンの行列式の極値」、J. Funct. Anal.、80 : 148–211、doi : 10.1016/0022-1236(88)90070-5
オッサーマン、ロバート（2002）、『極小曲面の概説』、ドーバー出版、ISBN 978-0-486-49514-9
イアン・R・ポーテウス（2001）『幾何学的微分：曲線と曲面の知能のために』ケンブリッジ大学出版局 ISBN 0-521-00264-8。
プレスリー、アンドリュー（2001）、『初等微分幾何学』、シュプリンガー学部数学シリーズ、シュプリンガー・フェルラーク、ISBN 978-1-85233-152-8
Sacks, J.; Uhlenbeck, Karen (1981), "The existence of minimal immersions of 2-spheres", Ann. of Math., 112 (1): 1–24, doi:10.2307/1971131, JSTOR 1971131
Singer, Isadore M.; Thorpe, John A. (1967), Lecture Notes on Elementary Topology and Geometry, Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90202-9
Spivak, Michael (1965), Calculus on manifolds. A modern approach to classical theorems of advanced calculus, W. A. Benjamin
Stillwell, John (1996), Sources of Hyperbolic Geometry, American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-0558-9
Struik, Dirk (1987), A Concise History of Mathematics (4th ed.), Dover Publications, ISBN 0486602559
Struik, Dirk J. (1988) [1961], Lectures on Classical Differential Geometry (reprint of 2nd ed.), New York: Dover Publications, Inc., ISBN 0-486-65609-8
Taylor, Michael E. (1996a), Partial Differential Equations II: Qualitative Studies of Linear Equations, Springer-Verlag, ISBN 978-1-4419-7051-0
Taylor, Michael E. (1996b), Partial Differential Equations III: Nonlinear equations, Springer-Verlag, ISBN 978-1-4419-7048-0
Thorpe, John A. (1994), Elementary topics in differential geometry, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag, ISBN 0387903577
Toponogov, Victor A. (2005), Differential Geometry of Curves and Surfaces: A Concise Guide, Springer-Verlag, ISBN 978-0-8176-4384-3
Valiron, Georges (1986), The Classical Differential Geometry of Curves and Surfaces, Math Sci Press, ISBN 978-0-915692-39-2Full text of book
Warner, Frank W. (1983), Foundations of differentiable manifolds and Lie groups, Graduate Texts in Mathematics, vol. 94, Springer, ISBN 0-387-90894-3
Wells, R. O. (2017), Differential and complex geometry: origins, abstractions and embeddings, Springer, ISBN 9783319581842
Wilson, Pelham (2008), Curved Space: From Classical Geometries to Elementary Differential Geometry, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-71390-0

External links

Media related to Differential geometry of surfaces at Wikimedia Commons

[1] 滑らかな曲面とは、各点がE ²内の何らかの開集合と微分同相な近傍を持つ曲面のことです。

[2] リーマン面とは、リーマン計量を備えた滑らかな曲面のことです。

[60] 最近の文献の中には、右辺の対称双線形形式を第二基本形式と呼ぶものもありますが、一般的には古典的に定義された第二基本形式とは一致しません。

[93] これは、有限エネルギーの調和写像の除去可能な特異点に関するサックスとウーレンベックの定理（1981）を含む議論に続くものです。

[FOOTNOTEGauss1902-3] 1 2ガウス 1902。

[4] ストライク 1987、50 ～53ページ

[5] ウェルズ 2017、17 ～30ページ

[6] オイラー 1760

[7] オイラー 1771

[8] モンジュ、ガスパール (1807)。「Application de l'analyse à la géométrie」（フランス語）。

[9] クレイジグ 1991

[Struik_1988-10] 1 2ストライク 1988

[11] ワーナー 1983

[12] ヒッチン 2013 、p.45

[13] Carmo 2016 、 54–56ページ

[14] ウィルソン 2008 、p. 115

[15] プレスリー 2001、68 ～77ページ

[16] ド・カルモ2016、55ページ

[17] Carmo 2016 、 60–65ページ

[18] オニール 2006 、p. 113

[19] リー著「滑らかな多様体入門」

[20] ド・カルモ2016、72ページ

[21] クレイジグ 1991

[22] シンガー＆ソープ 1967、100 ～114ページ

[23] シンガー＆ソープ 1967、133 ～134ページ

[24] Carmo 2016 、 155–157ページ

[25] ド・カルモ、235ページ

[26] ド・カルモ、238ページ

[27] ド・カルモ、237-238ページ

[28] ストライク 1988 、p. 112

[29] ダルブー、第3巻、246ページ

[30] ベルガー。リーマン幾何学の概観。

[31] オニール 2006 、p.257

[32] Carmo 2016 、pp. 309–314

[33] ヒッチン 2013 、p.57

[34] Carmo 2016 、p. 221–222

[35] オニール 2006 、pp. 281–289

[36] ヒッチン2013、57-58頁

[37] ド・カルモ 2016 、p. 223

[38] Carmo 2016 、 222–223ページ

[39] Carmo 2016 、 224–225ページ

[40] ド・カルモ、183ページ

[Do_Carmo,_page_242-41] 1 2ド・カルモ、242ページ

[42] ヒッチン 2013

[43] ストライク 1988

[44] オニール 2006

[45] スピヴァク、「微分幾何学の包括的な入門、第 3 巻」、157 ページ。

[46] スピヴァク、161-166ページ

[47] スピヴァク、168ページ

[48] アイゼンハート 2004、228 ～229ページ

[49] アイゼンハート 2004 、 241–250ページ; do Carmo 2016 、 188–197ページ。

[50] ド・カルモ 2016 、p. 194。

[51] アイゼンハート2004、61-65頁。

[ref_-52] 1 2 3 4アイゼンハート 2004

[53] アイゼンハート 2004 、 250–269ページ; do Carmo 2016 、 197–213ページ。

[54] ダグラスの解法はクーラント（1950）に記載されている。

[55] アイゼンハート 2004 、 270–291ページ;オニール、2006 年、 249 ～ 251ページ。ヒルベルト＆コーン・ヴォッセン 1952 年。

[56] スティルウェル 1996 、pp. 1–5。

[57] ウィルソン 2008。

[58] O'Neill 2006 、pp. 195–216 ; do Carmo 2016 、pp. 134–153 ; Singer & Thorpe 1967 、pp. 216–224。

[59] グレイ、アッベナ、サラモン、2006 年、p. 386 .

[61] Berger 2004 ; Wilson 2008 ; Milnor 1963。

[62] Eisenhart 2004 、p. 131 ; Berger 2004 、p. 39 ; do Carmo 2016 、p. 248 ; O'Neill 2006 、p. 237

[63] Eisenhart 2004 ; Taylor 1996a 、pp. 472–473、付録 C。

[64] Eisenhart 2004、第88節; Berger 2004。

[65] ド・カルモ 2016 、p.357

[66] ミルナー 1963

[67] ウィルソン 2008

[harvnb|Berger|2004-68] 1 2バーガー 2004

[69] Carmo 2016 、 303–305ページ

[70] Berger 2004、41、61、123–124ページ

[71] オニール2006、395ページ

[72] ヘルガソン 1978 、p.92

[73] オニール 2006 、p.286

[74] ド・カルモ 2016 、p. 227

[75] オッサーマン2002、31-32ページ

[76] Carmo 2016 、 283–286ページ

[77] ソープ 1994 、pp. 201–207

[Garsia1961-78] Singer & Thorpe 1967 ; Garsia, Adriano M. (1961), "An imbedding of closed Riemann surfaces in Euclidean space", Comment. Math. Helv. , 35 : 93– 110, doi : 10.1007/BF02567009 , S2CID 120653575

[79] 今吉・谷口 1992 、pp. 47–49

[80] Berger 1977 ; Taylor 1996b。

[81] ウィルソン 2008 、pp. 1–23、第 I 章、ユークリッド幾何学。

[82] ド・カルモ 2016。

[83] Wilson 2008 、pp. 25–49、第II章、球面幾何学。

[84] ウィルソン 2008、第2章。

[85] アイゼンハート 2004 、p. 110。

[86] スティルウェル 1996 ;ボノラ、カースロー、エンリケス 1955。

[87] ウィルソン 2008、第5章。

[88] Taylor 1996b 、p. 107 ; Berger 1977 、pp. 341–343。

[89] Berger 1977 、pp. 222–225 ; Taylor 1996b 、pp. 101–108。

[90] テイラー 1996b

[91] チョウ 1991

[92] Chen、Lu 、 Tian（2006）は、 HamiltonとChowのアプローチにおける欠落したステップを指摘し、修正した。Andrewsと Bryan（2010）も参照のこと。

[94] Eisenhart 2004 ; Kreyszig 1991 ; Berger 2004 ; Wilson 2008。

[95] 小林＆野水 1969 年、第 XII 章。

[96] カルモ 2016 を実行します。オニール 2006 ;シンガー&ソープ 1967年。

[97] レヴィ＝チヴィタ 1917

[98] Arnold 1989 、pp. 301–306、付録I。Berger 2004 、pp. 263–264。

[FOOTNOTEDarboux-99] ダルブー。

[100] 小林＆野水 1969

[101] Ivey & Landsberg 2003。

[102] Berger 2004 、pp. 145–161 ;カルモ 2016 を開催します。チャーン 1967 ;ホップ 1989。

[GuilKling19-103] Guilfoyle, B.; Klingenberg, W. (2019). "Higher codimensional mean curvature flow of compact spacelike submanifolds" . Trans. Amer. Math. Soc . 372 (9): 6263– 6281. arXiv : 1812.00710 . doi : 10.1090/tran/7766 . S2CID 119253397 .

[GuilKling20-104] Guilfoyle, B.; Klingenberg, W. (2020). "Fredholm-regularity of holomorphic discs in plane bundles over compact surfaces" . Ann. Fac. Sci. Toulouse Math . Série 6. 29 (3): 565– 576. arXiv : 1812.00707 . doi : 10.5802/afst.1639 . S2CID 119659239 .

[GuilKling24-105] Guilfoyle, B.; Klingenberg, W. (2024). "完全曲面上のトポノゴフ予想の証明" . J. Gökova Geom. Topol. GGT . 17 : 1– 50. arXiv : 2002.12787 .

[106] Codá Marques, Fernando; Neves, André ( 2014). "Min-Max理論とウィルモア予想". Annals of Mathematics . 179 (2): 683–782 . arXiv : 1202.6036 . doi : 10.4007 / annals.2014.179.2.6 . JSTOR 24522767. S2CID 50742102 .

[107] Rotman, R. (2006) 「最短閉測地線の長さと2次元球の面積」、Proc. Amer. Math. Soc. 134 : 3041-3047。以前の下限はCroke、Rotman-Nabutovsky、Sabourauによって得られていた。

[

]

[

[

[

[

[

[

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[

[ 15 ]

[ 16 ]

[ 17 ]

[ 18 ]

[ 19 ]

[ 20 ]

[ 21 ]

[

[

[

[

[

[

[

[

[ 31 ]

[ 32 ]

[ 33 ]

34

35

[ 36 ]

[ 37 ]

[

[ 39 ]

[ 40 ]

[ 41 ]

[ 42 ]

[ 43 ]

[ 44 ]

[ 45 ]

[

[ 47 ]

[ 48 ]

[

[

[ 51 ]

[

[ 53 ]

[

[

[

[

[ c ]

[ 58 ]

[

られます。

[ 61 ]

[

[

[

[

[

[

[

[ 69 ]で与えられる。

[

[ 71 ]

[ 72 ]

[

[

[

[

[

[ 78 ]

[

[

[

[

[ 83 ]

[ 84 ]で与えられる。

[ 85 ]

[

[ 87 ]

[

[ 89 ]

[

[ 90 ]。

[

[

[ 93 ]

[

[ 95 ]

[ 96 ]

[

[ 98 ]

3部構成の研究[ 99 ]

[ 100 ]

[ 101 ]で滑らかな曲面について証明されました。

歴史

概要

ユークリッド空間における正則曲面

意味

接線ベクトルと法線ベクトル

第一および第二基本形式、形状演算子、および曲率

クリストッフェル記号、ガウス・コダッツィ方程式、そして驚異の定理

等長変換

共変微分

例

革命の表面

二次曲面

線織面

極小曲面

ガウス曲率が一定の曲面

局所的な距離構造

形状演算子

曲面上の測地線

測地学

測地曲率

直交座標

測地極座標

指数マップ

法線座標の計算

ガウスの補題

驚異の定理

ガウス・ヤコビ方程式

ラプラス・ベルトラミ演算子

ガウス・ボンネの定理

測地線三角形

ガウス・ボンネの定理

曲率と埋め込み

一定曲率の表面

ユークリッド幾何学

球面幾何学

双曲幾何学

均一化

リーマン接続と平行移動

共変微分

並列輸送

接続1形式

曲面のグローバル微分幾何学

読書ガイド

関連項目

注記

参考文献

External links

関連するトピック

カール・フリードリヒ・ガウス

数学

リーマン計量

を持つ滑らかな