準同型性

代数学において、準同型写像とは、同じ種類の2 つの代数構造(2 つの群、2 つの環、2 つのベクトル空間など) 間の構造保存 写像である。準同型写像という言葉は、古代ギリシャ語のὁμός ( homos ) は「同じ」を意味し、μορφή ( morphe ) は「形」または「形状」を意味する。しかし、この言葉は、ドイツ語のähnlich (「類似する」) がὁμός (「同じ」)に(誤って) 翻訳されたために数学に導入されたと思われる。 ^{[1] 「準同型写像」という用語は、ドイツの数学者}フェリックス・クライン(1849–1925)によるものとして、1892 年にはすでに登場していた。^[2]

ベクトル空間の準同型写像は線型写像とも呼ばれ、その研究は線型代数学の主題です。

準同型の概念は、射という名前で、基礎となる集合を持たない、あるいは代数的ではない他の多くの構造に一般化されています。この一般化は、圏論の出発点です。

準同型は、同型、自己同型、自己同型などである場合もあります (下記参照)。これらはそれぞれ、任意のクラスの射に一般化できる方法で定義できます。

準同型写像とは、同じ型の2つの代数構造（例えば、2つの群、2つの体、2つのベクトル空間）の間の写像であり、構造の演算を保存する。これは、同じ構造を備えた2つの集合の間の写像を意味し、が構造の演算（ここでは簡略化のために2項演算 と仮定）である場合、 ${\displaystyle f:A\to B}$ ${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle \cdot}$

${\displaystyle f(x\cdot y)=f(x)\cdot f(y)}$

の要素のすべてのペア に対して、が成り立ちます。^{[注 1]}は、操作 を保存する、または操作 と互換性がある、 とよく言われます。${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle A}$${\displaystyle f}$

形式的には、マップは、との両方で定義されるアリティの演算を保存する。 ${\displaystyle f:A\to B}$${\displaystyle \mu}$ ${\displaystyle k}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$

${\displaystyle f(\mu _{A}(a_{1},\ldots ,a_{k}))=\mu _{B}(f(a_{1}),\ldots ,f(a_{k})),}$

内のすべての要素に対して。 ${\displaystyle a_{1},...,a_{k}}$${\displaystyle A}$

準同型によって保存される必要がある演算には、 0 項演算、つまり定数が含まれます。特に、構造体の型によって単位元が必要な場合、最初の構造体の単位元は、2 番目の構造体の対応する単位元にマッピングされる必要があります。

例えば：

• 半群準同型は、半群演算を保存する半群間の写像です。
• モノイド準同型は、モノイド演算を保存し、最初のモノイドの単位元を 2 番目のモノイドの単位元にマッピングするモノイド間のマップです(単位元は0 項演算です)。
• 群準同型は、群演算を保存する群間の写像です。これは、群準同型が最初の群の単位元を 2 番目の群の単位元に写像し、最初の群の元の逆をこの元の像の逆へ写像することを意味します。したがって、群間の半群準同型は必然的に群準同型になります。
• 環準同型は、環の加算、環の乗算、および乗法単位元を保存する環間の写像です。乗法単位元が保存されるかどうかは、使用する環の定義によって異なります。乗法単位元が保存されない場合は、rng準同型になります。
• 線型写像はベクトル空間の準同型、つまり、アーベル群構造とスカラー乗算を保存するベクトル空間間の群準同型です。
• モジュール準同型性は、モジュール間の線形写像とも呼ばれ、同様に定義されます。
• 代数準同型は代数演算を保存するマップです。

代数構造には複数の演算がある場合があり、各演算を保存するには準同型性が必要です。したがって、一部の演算のみを保存するマップは構造の準同型ではなく、保存された演算のみを考慮して取得されたサブ構造の準同型にすぎません。たとえば、モノイド演算を保存し、単位元を保存しないモノイド間のマップは、モノイド準同型ではなく、半群準同型にすぎません。

演算の表記は、準同型のソースとターゲットで同じである必要はありません。たとえば、実数は加算のグループを形成し、正の実数は乗算のグループを形成します。指数関数

${\displaystyle x\mapsto e^{x}}$

満足する

${\displaystyle e^{x+y}=e^{x}e^{y},}$

であり、これら2つの群の間の準同型である。これは同型でもある（下記参照）。その逆関数である自然対数が次式を満たす からである。

${\displaystyle \ln(xy)=\ln(x)+\ln(y),}$

群準同型でもあります。

実数は、加算と乗算の両方を持つ環です。すべての 2×2行列の集合も、行列の加算と行列の乗算の下で環になります。これらの環の間に関数を次のように定義すると、

${\displaystyle f(r)={\begin{pmatrix}r&0\\0&r\end{pmatrix}}}$

ここでrは実数であり、fは加法と 環の準同型である。

${\displaystyle f(r+s)={\begin{pmatrix}r+s&0\\0&r+s\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}r&0\\0&r\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}s&0\\0&s\end{pmatrix}}=f(r)+f(s)}$

そして掛け算：

${\displaystyle f(rs)={\begin{pmatrix}rs&0\\0&rs\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}r&0\\0&r\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}s&0\\0&s\end{pmatrix}}=f(r)\,f(s).}$

別の例として、非ゼロの複素数は、非ゼロの実数と同様に、乗算の演算の下で群を形成します。（ゼロは、群の要素に必要な乗法逆元を持たないため、両方の群から除外する必要があります。）非ゼロの複素数から非ゼロの実数への 関数を次のように定義します。${\displaystyle f}$

${\displaystyle f(z)=|z|.}$

つまり、は複素数 の絶対値（または係数）です。は乗算を保存するので、群の準同型です。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle z}$${\displaystyle f}$

${\displaystyle f(z_{1}z_{2})=|z_{1}z_{2}|=|z_{1}||z_{2}|=f(z_{1})f(z_{ 2}).}$

fは加法を保存しないため、環の準同型（複素数から実数へ）に拡張できないこと に注意してください。

${\displaystyle |z_{1}+z_{2}|\neq |z_{1}|+|z_{2}|.}$

別の例として、図はモノイド からモノイド へのモノイド準同型性を示しています。対応する演算の名前が異なるため、 が満たす構造保存特性は および になります。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle (\mathbb {N} ,+,0)}$${\displaystyle (\mathbb {N} ,\times ,1)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f(x+y)=f(x)\times f(y)}$${\displaystyle f(0)=1}$

体上の合成代数は 、ノルムと呼ばれる二次形式を持ちます。これは、 の乗法群からの乗法群への群準同型です。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle F}$${\displaystyle N:A\to F}$${\displaystyle A}$${\displaystyle F}$

いくつかの種類の準同型には特定の名前があり、その名前は一般射に対しても定義されています。

同じ型の代数構造間の同型性は、一般に全単射準同型として定義される。^{[3] : 134  [4] : 28}

より一般的な圏論の文脈では、同型写像は、その逆写像もまた写像である写像として定義されます。代数構造の特定のケースでは、2 つの定義は同等ですが、基礎となる集合を持つ非代数構造では定義が異なる場合があります。

もっと正確に言えば、

${\displaystyle f:A\to B}$

は（準）同型であり、準同型が存在する場合、その逆が存在する。

${\displaystyle g:B\to A}$

そのような

${\displaystyle f\circ g=\operatorname {Id} _{B}\qquad {\text{および}}\qquad g\circ f=\operatorname {Id} _{A}.}$

および が基底集合を持ち、 が逆関数 を持つ場合、は単射です。実際、が意味するように、 は単射であり、 が意味するように、は射影です。 内の任意の に対して、が成り立ち、 はの元の像です。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle f:A\to B}$${\displaystyle g}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f(x)=f(y)}$${\displaystyle x=g(f(x))=g(f(y))=y}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$${\displaystyle B}$${\displaystyle x=f(g(x))}$${\displaystyle x}$${\displaystyle A}$

逆に、 が代数構造間の全単射準同型である場合、がの唯一の元で となるような写像を とします。 となり、あとはg が準同型であることを示すだけです。 が構造の二項演算である場合、の元のすべてのペア に対して、が成り立ちます。 ${\displaystyle f:A\to B}$${\displaystyle g:B\to A}$${\displaystyle g(y)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle A}$${\displaystyle f(x)=y}$${\displaystyle f\circ g=\operatorname {Id} _{B}{\text{ および }}g\circ f=\operatorname {Id} _{A},}$${\displaystyle *}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle B}$

${\displaystyle g(x*_{B}y)=g(f(g(x))*_{B}f(g(y)))=g(f(g(x)*_{A}g(y)))=g(x)*_{A}g(y),}$

であり、したがって と互換性があります。証明は任意の引数に対して同様であるため、 が準同型であることが示されます。 ${\displaystyle g}$${\displaystyle *.}$${\displaystyle g}$

この証明は非代数的構造には適用できません。たとえば、位相空間では、射は連続写像であり、全単射連続写像の逆写像は必ずしも連続ではありません。位相空間の同型写像は同相写像または双連続写像と呼ばれ、したがって全単射連続写像であり、その逆写像も連続です。

自己準同型とは、その定義域が余定義域に等しい準同型、あるいはより一般的には、その元が目的に等しい射である。 ^{[3] : 135}

代数構造またはカテゴリのオブジェクトの自己準同型は、合成によってモノイドを形成します。

ベクトル空間または加群の自己準同型は環を形成します。ベクトル空間または有限次元の自由加群の場合、基底の選択により、自己準同型の環と同じ次元の正方行列の環との間に環同型が誘導されます。

自己同型は自己準同型であり、同型でもある。^{[3] : 135}

代数構造またはカテゴリのオブジェクトの自己同型は合成によって群を形成し、その群は構造の 自己同型群と呼ばれます。

名前が付けられている多くの群は、何らかの代数構造の自己同型群です。たとえば、一般線型群は、 体上の次元のベクトル空間の自己同型群です。 ${\displaystyle \operatorname {GL} _{n}(k)}$${\displaystyle n}$ ${\displaystyle k}$

体の自己同型群は、多項式の根を研究するためにエヴァリスト・ガロアによって導入され、ガロア理論の基礎となっています。

代数構造の場合、単射は一般に入射準同型として定義される。^{[3] : 134  [4] : 29}

より一般的な圏論の文脈では、単射はキャンセル可能な射として定義されます。^[5]これは、任意の対の（準）射に対して、任意の他のオブジェクトからへの射がである場合に、 が成り立つ場合、（準）射が単射であることを意味します。 ${\displaystyle f:A\to B}$${\displaystyle g}$${\displaystyle h}$${\displaystyle C}$${\displaystyle A}$${\displaystyle f\circ g=f\circ h}$${\displaystyle g=h}$

単射のこれら 2 つの定義は、すべての一般的な代数構造に対して同等です。より正確には、すべての準同型が単射である体 と、演算と公理 (恒等式) が制限なく定義されている代数構造である普遍代数の多様体に対して同等です (乗法逆数は単項演算または乗法の特性として定義され、どちらの場合も非ゼロ要素に対してのみ定義されているため、体は多様体を形成しません)。

特に、単射の 2 つの定義は、集合、マグマ、半群、モノイド、群、環、体、ベクトル空間、およびモジュールに対して同等です。

分割単射は、左逆を持つ準同型であり、したがってそれ自体が他の準同型の右逆である。つまり、準同型が存在する場合、分割単射である。単射の両方の意味において、分割単射は常に単射である。集合とベクトル空間の場合、すべての単射は分割単射であるが、この特性はほとんどの一般的な代数構造には当てはまらない。 ${\displaystyle f\colon A\to B}$${\displaystyle g\colon B\to A}$${\displaystyle g\circ f=\operatorname {Id} _{A}.}$

代数学では、エピモーフィズムはしばしば全射準同型として定義されます。 ^{[3] : 134  [4] : 43}一方、圏論では、エピモーフィズムは右キャンセル可能な 射として定義されます。^[5]これは、から任意の他のオブジェクトへの射の任意のペアに対して、等式が を意味する場合、(準)同型がエピモーフィズムであることを意味します。 ${\displaystyle f:A\to B}$${\displaystyle g}$${\displaystyle h}$${\displaystyle B}$${\displaystyle C}$${\displaystyle g\circ f=h\circ f}$${\displaystyle g=h}$

射影準同型は常に右消去可能であるが、その逆は代数構造に対して常に真であるわけではない。しかし、エピモーフィズムの2つの定義は、集合、ベクトル空間、アーベル群、加群（証明は下記を参照）、群に対して同値である。^{[6]すべての数学、特に}線型代数とホモロジー代数におけるこれらの構造の重要性は、2つの同値でない定義の共存を説明できるかもしれない。

非射影的エピモフィズムが存在する代数構造には、半群と環が含まれる。最も基本的な例は、有理数への整数の包含であり、これは環と乗法半群の準同型である。どちらの構造でも、それは単射かつ非射影的エピモフィズムだが、同型ではない。^{[5] [7]}

この例を広く一般化したものには、乗法集合による環の局所化があります。すべての局所化は環のエピモーフィズムであり、一般には射影的ではありません。局所化は可換代数と代数幾何学において基本的なものであるため、これらの分野では、エピモーフィズムを右相殺準同型として定義することが一般的に好まれる理由を説明できます。

分割エピモーフィズムは、右逆を持つ準同型であり、したがってそれ自体が他の準同型の左逆である。つまり、準同型が存在する場合、その準同型は分割エピモーフィズムである。分割エピモーフィズムは、エピモーフィズムの両方の意味において常にエピモーフィズムである。集合とベクトル空間の場合、すべてのエピモーフィズムは分割エピモーフィズムであるが、この特性はほとんどの一般的な代数構造には当てはまらない。 ${\displaystyle f\colon A\to B}$${\displaystyle g\colon B\to A}$${\displaystyle f\circ g=\operatorname {Id} _{B}.}$

要約すると、

${\displaystyle {\text{split epimorphism}}\implies {\text{epimorphism (surjective)}}\implies {\text{epimorphism (right cancelable)}};}$

最後の含意は、集合、ベクトル空間、加群、アーベル群、群に対する同値性であり、最初の含意は、集合とベクトル空間に対する同値性です。

任意の準同型は、 の場合に限り、 による上の同値関係を定義します。この関係はの核と呼ばれます。これは上の合同関係です。の各演算に対して による商集合の演算を定義することにより、自然な方法で と同じタイプの構造を商集合に与えることができます。その場合、準同型によるの像はと必然的に同型です。この事実は同型定理の 1 つです。 ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle \sim }$${\displaystyle X}$${\displaystyle a\sim b}$${\displaystyle f(a)=f(b)}$${\displaystyle \sim }$${\displaystyle f}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X/{\sim }}$${\displaystyle X}$${\displaystyle [x]\ast [y]=[x\ast y]}$${\displaystyle \ast }$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle f}$${\displaystyle X/\!\sim }$

代数構造が 何らかの演算の群である場合、この演算の単位元の同値類は 同値関係を特徴付けるのに十分である。この場合、同値関係による商は（通常「mod 」と読みます） で表されます。また、この場合、の核と呼ばれるのはではなくです。与えられたタイプの代数構造の準同型写像の核は、当然何らかの構造を備えています。核のこの構造タイプは、アーベル群、ベクトル空間、およびモジュールの場合、考慮される構造と同じですが、他の場合には異なり、群準同型写像の核の場合は正規部分群、環準同型写像の核の場合はイデアルなど、特定の名前が付けられています（非可換環の場合、核は両側イデアルです）。 ${\displaystyle K}$${\displaystyle X/K}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle K}$${\displaystyle K}$${\displaystyle \sim }$${\displaystyle f}$

モデル理論では、代数構造の概念は、演算と関係の両方を含む構造に一般化される。Lを関数と関係の記号からなるシグネチャとし、A、Bを2つのL構造とする。AからBへの準同型写像は、 Aの領域からBの領域への写像hであり、

• h ( F ^A ( a ₁ ,…, a _n )) = F ^B ( h ( a ₁ ),…, h ( a _n )) （Lの各n項関数記号Fについて）
• L内の各n項関係記号Rに対して_、 RA ( a1 ,…, an )^はRB ( h ( a1 ),…, _h ( an ) ₎^を_意味します。

二項関係が1つだけの特別な場合には、グラフ準同型の概念が得られる。^[8]

準同型は形式言語の研究でも使われ^[9]、しばしば略して射影と呼ばれる。^[10]アルファベットとが与えられたとき、すべて に対してとなる関数は上の準同型と呼ばれる。^{[注 2]}が 上の準同型であり、 が空文字列を表す場合、 のすべての に対して となるとき、 は-フリー準同型と呼ばれる。 ${\displaystyle \Sigma _{1}}$${\displaystyle \Sigma _{2}}$${\displaystyle h\colon \Sigma _{1}^{*}\to \Sigma _{2}^{*}}$${\displaystyle h(uv)=h(u)h(v)}$${\displaystyle u,v\in \Sigma _{1}}$${\displaystyle \Sigma _{1}^{*}}$${\displaystyle h}$${\displaystyle \Sigma _{1}^{*}}$${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle h}$${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle h(x)\neq \varepsilon }$${\displaystyle x\neq \varepsilon }$${\displaystyle \Sigma _{1}^{*}}$

すべてに対して を満たす 上の準同型は-一様準同型と呼ばれる。^[11]すべてに対して（つまり、が 1-一様）である場合、 はコーディングまたは射影とも呼ばれる。^[要出典]${\displaystyle h\colon \Sigma _{1}^{*}\to \Sigma _{2}^{*}}$${\displaystyle \Sigma _{1}^{*}}$${\displaystyle |h(a)|=k}$${\displaystyle a\in \Sigma _{1}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle |h(a)|=1}$${\displaystyle a\in \Sigma _{1}}$${\displaystyle h}$${\displaystyle h}$

アルファベットから形成される単語の集合は、によって生成される自由モノイドと考えることができる。ここで、モノイド演算は連結であり、単位元は空単語である。この観点から、言語準同型はまさにモノイド準同型である。^{[注 3]}${\displaystyle \Sigma ^{*}}$${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle \Sigma }$

• 微分同相写像
• 準同型暗号
• 準同型秘密分散– シンプルな分散投票プロトコル
• モルフィズム
• 準同型性

• Krieger, Dalia (2006)。「非消去写像の不動点における臨界指数について」。Ibarra, Oscar H.、Dang, Zhe (編)。言語理論の発展：第 10 回国際会議、DLT 2006、米国カリフォルニア州サンタバーバラ、2006 年 6 月 26 ～ 29 日：議事録。ベルリン：Springer。pp. 280～291。ISBN 978-3-540-35430-7. OCLC  262693179.
• Stanley N. Burris、H.P. Sankappanavar (2012)。普遍代数のコース(PDF)。S. Burris および HP Sankappanavar。ISBN 978-0-9880552-0-9。
• Mac Lane, Saunders (1971)、「Categories for the Working Mathematician」、Graduate Texts in Mathematics、第 5 巻、Springer-Verlag、ISBN 0-387-90036-5、ZBL  0232.18001
• フレイリー、ジョン・B.、カッツ、ビクター・J.（2003）、抽象代数入門、アディソン・ウェズレー、ISBN 978-1-292-02496-7