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数学において、作図可能な多角形とは、コンパスと定規を用いて作図できる正多角形のことである。例えば、正五角形はコンパスと定規で作図可能であるが、正七角形は作図不可能である。作図可能な多角形は無限に存在するが、辺の数が奇数の多角形は31種類しか知られていない。
正多角形の中には、コンパスと定規で簡単に作図できるものと、そうでないものがあります。古代ギリシャの数学者たちは、 3、4、または5辺の正多角形を作図する方法を知っていました[ 1 ]： p. xi、また、与えられた正多角形の2倍の辺を持つ正多角形を作図する方法も知っていました[ 1 ]： pp. 49–50。このことから、コンパスと定規で全ての正多角形を作図することは可能か、という疑問が生じました。もし不可能であれば、どのn角形（つまりn辺の多角形）が作図可能で、どのn角形が作図不可能か、という疑問です。
カール・フリードリヒ・ガウスは1796年に正17角形の作図可能性を証明した。5年後、彼は著書『算術研究』の中でガウス周期の理論を展開した。この理論によって、彼は正多角形の作図可能性の十分条件を定式化することができた。ガウスはこの条件が必要条件でもあると証明なしに述べたが[ 2 ]、その証明は公表しなかった。
1837年にピエール・ヴァンツェルによって、その必要性の完全な証明が与えられた。その結果はガウス・ヴァンツェルの定理として知られている。すなわち、正n角形は、 nが2のべき乗と任意の数の異なる（等しくない）フェルマー素数の積である場合に限り、コンパスと定規で作図できる。ここで、2のべき乗とは、次の形式の数である。ここで、m ≥ 0 は整数である。フェルマー素数とは、次の形式の素数である。ここで、m ≥ 0 は整数である。関係するフェルマー素数の数は 0 になる場合もあり、その場合はnは 2 のべき乗となる。
幾何学の問題を純粋な数論の問題に還元するために、証明では、正n角形が作図可能であるのは、コサインがは構成可能な数である。つまり、 は四則演算と平方根の抽出によって表すことができる。言い換えれば、 n次 円分多項式の任意の根が構成可能であれば、正n角形は構成可能である。
ガウス・ワンツェル定理を改めて述べると次のようになる。
既知の5つのフェルマー素数は以下の通りです。
既知の5つのフェルマー素数には31個の空でない部分集合が存在するため、奇数個の辺を持つ既知の作図可能な多角形は31個存在する。
次の28個のフェルマー数、F5からF32は合成数であることが知られています。[ 3 ]
したがって、正n角形は、以下の条件を満たす場合に構成可能である。
正n角形はコンパスと定規では作図できないが、
フェルマー素数は5つ知られているので、異なるフェルマー素数の積で表される数は31個あり、したがって、作図可能な奇数辺の正多角形は31個あることがわかる。これらは3、5、15、17、51、85、255、257、771、1285、3855、4369、13107、21845、65535、65537、196611、327685、983055、1114129、3342387、5570645、16711935、16843009、50529027、84215045、252645135、286331153、858993459、1431655765、4294967295 (シーケンスA045544内)です。OEIS )。ジョン・コンウェイが『数の書』でコメントしたように、これらの数を二進数で書くと、モジュロ-2パスカルの三角形の最初の 32 行から、モノゴンに対応する最上行を除いた数に等しくなります。（このため、このようなリストの1はシェルピンスキーの三角形の近似を形成します。）このパターンは、次のフェルマー数が合成数 (4294967297 = 641 × 6700417) であるため、その後の行は構成可能な多角形に対応しないため、ここで破綻します 。これ以上のフェルマー素数が存在するかどうかは不明であり、したがって奇数辺の構成可能な正多角形がいくつ存在するかも不明です。一般に、q 個のフェルマー素数がある場合、2 q −1個の奇数辺の構成可能な正多角形が存在します。
ガロア理論に関する後の研究を踏まえると、これらの証明の原理は明確化されている。解析幾何学から、構成可能な長さは、ある一連の二次方程式の解によって基底の長さから得られることを示すのは容易である。[ 4 ]体論の観点から言えば、そのような長さは、二次拡大の塔によって生成される体拡大に含まれていなければならない。したがって、構成によって生成される体は常に基底体上の次数が2のべき乗となる。
正n角形の特定の場合、問題は長さの構成の問題に帰着する。
これは三角数であり、したがって代数的数である。この数はn番目の円分体、実際にはその実部分体に属し、これは完全実体であり、次元の有理ベクトル空間である。
ここで、φ( n )はオイラーのトーシェント関数である。ワンツェルの結果は、指定された場合に限り、φ( n )が2のべき乗であることを示す計算に帰着する。
ガウスの構成に関して言えば、ガロア群が2群である場合、位数を持つ部分群の列が存在することになる。
入れ子構造になっており、それぞれが次の入れ子構造（群論の用語では合成列）を形成している。これは、アーベル群の場合、帰納法で簡単に証明できる。したがって、円分体の中には、前の体に対して次数が 2 の部分体が入れ子構造になっている。このような各体の生成元は、ガウス周期理論によって書き下すことができる。例えば、n = 17の場合、8 個の 1乗根の和である周期、4 個の 1 乗根の和である周期、そして 2 個の 1 乗根の和である周期がある。
それぞれは、前の式に関する二次方程式の根です。さらに、これらの方程式は複素数ではなく実数の根を持つため、原理的には幾何学的作図によって解くことができます。これは、すべての作業が完全に実数領域内で行われるためです。
このようにして、ガウスの結果を現代的な観点から理解することができる。解くべき方程式を実際に計算するには、周期を二乗して「より低い」周期と比較するという、かなり実行可能なアルゴリズムを用いることができる。
コンパスと定規を用いた作図法は、既知のすべての作図可能な多角形について知られています。n = pq （ p = 2、またはpとqが互いに素）の場合、p角形とq角形からn角形を作図できます。
したがって、 nがフェルマー素数である場合のn角形について、コンパスと定規を用いた作図法を見つけるだけでよい。
左から右、上から下の順に、15角形、17角形、257角形、65537角形の作図を示します。65537角形の作図については最初の段階のみを示し、15角形、17角形、257角形の作図は完全な形で示しています。
本稿で論じる作図可能性の概念は、特にコンパスと定規を用いた作図に適用される。他の道具の使用が認められれば、より多くの作図が可能になる。例えば、いわゆるノイシス作図では、目盛りの付いた定規が用いられる。これらの作図は数学的な理想化であり、正確に行われることを前提としている。
n辺の正多角形は、定規、コンパス、および角三等分線を使用して作図できるのは、次の場合に限る。ここで、r、s、k ≥ 0 であり、p i は3 より大きい異なるピアポント素数(形式の素数)である。[ 8 ] :定理 2円錐曲線で構成できる正多角形紙折りで構成できる正多角形に。これらの多角形の辺の最初の数は次のとおりです。
