素朴集合論（書籍）

素朴集合論

初版
著者	ポール・ハルモス
発行日	1960

数学的な話題については、素朴集合論も参照してください。

素朴集合論はポール・ハルモスによる学部生向けの集合論入門書。 ^[1]ヴァン・ノストランド社から1960年に初版が出版され^{、 [2] 1974年に}シュプリンガー・フェアラークの学部生向け数学教科書シリーズとして再版された^{。 [3]}

タイトルには、提示された集合論は「素朴」であると述べられており、これは通常、正式な公理がないことを意味すると解釈されるが、この本は基礎公理を除いて、 ZFC集合論の公理系と同等の公理系を紹介している。また、多くの基本概念に対して正確で厳密な定義を与えている。^{[2] [4]この本が「真の」}公理的集合論 の本と異なるのは、その特徴である。公理的な細部についての議論はなく、大きな基数や強制などの高度なトピックについてはほとんど何も語られていない。その代わりに、これまで集合論について考えたことがない人にも理解できるように努めている。

ハルモスは後に、この本は彼が書いた本の中で最も早く、約6か月で書き上げられ、「本は自然に書けた」と述べた。^[5]

以下に示す公理の記述は、本書に書かれているとおりで、セクション参照とそれぞれに対する解説が付いています。「所属に関する主要な原始的（未定義）概念」（つまり、集合のメンバーシップ）が出発点であり、「所属する」は通常の表記法で と書きます。ここで、 と はどちらも集合であり、大文字と小文字の表記法の区別は純粋に文体上の選択です。公理は、集合間のこの関係の特性を規定します。 ${\displaystyle x}$${\displaystyle A}$${\displaystyle x\in A}$${\displaystyle x}$${\displaystyle A}$

1.拡張公理（セクション 1）：2 つの集合が等しいのは、それらの集合が同じ要素を持つ場合のみです。

これにより、メンバーシップと (論理的な)平等関係が適切に相互作用することが保証されます。

2.仕様公理（第 2 節）：すべての集合とすべての条件には、 の要素とまったく同じ要素を持つ集合が対応しており、その要素に対してが成り立ちます。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle S(x)}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A}$${\displaystyle S(x)}$

これは、より正確には公理スキーマです(つまり、各条件から公理が生まれます)。ここでの「条件」とは、変数(すべての集合にわたる) が自由変数である「文」を意味します。「文」は、 1 階の論理演算 (および、または、ない)、量指定子(「存在する」、 「すべてに対して」)、および原子(つまり基本的な開始) 文を使用して、より小さな文から構築されるものとして定義されます。 ${\displaystyle S(x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x\in A}$${\displaystyle A=B}$

このスキーマは、以下の 4.-7. で、存在すると宣言されているセットを、余分な要素を含む大きなセットではなく、意図した要素を正確に含むセットに縮小するために使用されます。たとえば、セット と に適用されるペアリング公理は、およびとなるセットが存在することのみを保証します。仕様を使用して、それらの要素 だけを含むセットを構築できます。${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle X}$${\displaystyle A\in X}$${\displaystyle B\in X}$${\displaystyle \{A,B\}}$

3.集合の存在（第3節）: 集合が存在する。

名前付き公理として指定されていませんが、代わりに「公式に想定されている」と述べられています。この想定は、後で無限公理が採用され、セットの存在（特定のプロパティを持つ）も指定されると不要になります。任意のセットの存在は、指定公理を使用して 空セットが存在することを示すために使用されます。

4.ペアリング公理（セクション 3）：任意の 2 つの集合に対して、その両方が属する集合が存在します。

これは、指定されたセットを含むシングルトン が存在することを示すために使用されます。 ${\displaystyle \{A\}}$${\displaystyle A}$

5.和集合の公理（第 4 章）: すべての集合の集合に対して、その集合の少なくとも 1 つの集合に属するすべての要素を含む集合が存在します。

セクション 1 で、Halmos は「用語の単調さを避けるために、セットではなくコレクションと言うこともあります」と書いています。したがって、この公理は、通常の形式の結合公理と同等です (上記のように、仕様公理が与えられている場合)。

これまでの公理から、ハルモスは集合の交差の構成を与え、集合に対する通常のブール演算を記述し、その特性を証明しました。

6.累乗公理（第 5 節）：各集合には、その集合のすべての部分集合をその要素として含む集合の集合が存在します。

再び（「コレクション」は「セット」を意味することに注意してください）、仕様の公理（スキーマ）を使用して、要素が正確に のサブセットであるセット のべき集合 を取得できます。これまでの公理は、セットの直積を作成するために使用されます。 ${\displaystyle P(A)}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$

7.無限公理（第 11 章）： 0 を含み、その各要素の後続要素を含む集合が存在する。

集合。集合 の後継は集合 と定義されます。たとえば、 。この公理は、 と を含む集合の存在を保証します。したがって 、したがってなどです。これは、最初の無限ノイマン順序数のすべての要素を含む集合が存在することを意味します。また、仕様公理 (スキーマ) の別の適用は、それ自体が集合であることを意味します。 ${\displaystyle 0:=\emptyset }$${\displaystyle x}$${\displaystyle x^{+}:=x\cup \{x\}}$${\displaystyle \{a,b\}^{+}=\{a,b,\{a,b\}\}}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle \{0\}}$${\displaystyle \{0,\{0\}\}}$ ${\displaystyle \omega}$${\displaystyle \omega}$

8.選択公理（セクション 15）：空でない集合の空でない族の直積は空でない。

これは選択公理 と同等の多くのものの 1 つです。ここで、「族」は関数 として定義され、族の集合は集合 にわたるの集合であるという直感的な考え方に基づいていることに注意してください。通常の表記では、この公理は、すべての に対してである限り、には少なくとも 1 つの要素が存在することを述べています。 ${\displaystyle f\colon I\to X}$${\displaystyle f(i)}$${\displaystyle i}$${\displaystyle I}$${\displaystyle \prod _{i\in I}f(i)}$${\displaystyle f(i)\neq \emptyset }$${\displaystyle i\in I\neq \emptyset }$

9.置換公理（第 19 節）： が文であり、集合 内の各 に対して集合を形成できる場合、内の各 に対してとなるような定義域を持つ関数が存在する。 ${\displaystyle S(a,b)}$${\displaystyle a}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \{b:S(a,b)\}}$${\displaystyle F}$${\displaystyle A}$${\displaystyle F(a)=\{b:S(a,b)\}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle A}$

関数は、たとえば ZFC の場合のように、 特定の種類の順序付きペアの集合としてではなく、関数関係(つまり、 の特定のサブセット)として定義されます。${\displaystyle F\colon A\to X}$${\displaystyle A\times X}$

この「公理」は本質的にはコレクション の公理スキーマであり、他の公理が与えられれば、置換 の公理スキーマと同等です。これは置換ではなくコレクション スキーマです。1) はクラス関数ではなくクラス関係であり、2) 関数は共域が正確に集合ではなく、単に何らかの集合であると指定されているためです。 ${\displaystyle S(a,b)}$ ${\displaystyle F}$${\displaystyle \{F(a):a\in A\}}$${\displaystyle X\supseteq \{F(a):a\in A\}}$

この公理は、本書では、a)最初の無限順序数の後に極限フォン ・ノイマン順序数を構築し、b) すべての順序付けられた集合が一意のフォン・ノイマン順序数と順序同型であることを証明するために使用されています。 ${\displaystyle \omega}$

公理 1. ～ 9. は、ZFC-Foundation (つまり Foundation 公理のないZFC )の公理システムと同等であることに注意してください。これは、前述のように、Halmos の置換公理 (スキーマ) は、他の公理が存在する場合、置換公理スキーマと同等であるためです。

さらに、公理 1.-8. は、ツェルメロ集合論ZCのものとほぼ同一です。唯一の違いは、集合の存在仮定が ZC では空集合の存在に置き換えられ、シングルトンの存在は ZC では上記のように証明されるのではなく、はっきりと述べられていることです。さらに、無限公理によって存在が主張される無限集合は、ツェルメロが最初に仮定したものではなく、^[a]ツェルメロ集合論の扱いにおいて、ハルモスのバージョンが暗黙的に代用されることがあります。

置換の公理（スキーマ）が本の最後、しかもかなり遅い段階で述べられていることは、初等集合論、さらには数学全般が置換の公理なしにどれほど遂行できるかを証明しています。 が何に必要かを示す非常に単純な例として、フォン・ノイマン順序数（つまり、第 2 極限順序数）は、この順序タイプの整列順序を持つ集合がこれらの公理から構築できるにもかかわらず、公理1. - 8 . だけを使用して集合であると証明することはできません。たとえば、 の最初のコピーのすべての要素を 2 番目のコピーより小さくする順序付けを使用すると、 になります。一般的な整列順序の代わりにフォン・ノイマン順序数を使用すると、すべての整列順序が一意のフォン・ノイマン順序数 と順序同型であるという事実をはじめ、技術的な利点があります。${\displaystyle \omega +\omega }$${\displaystyle \omega \times \{1\}\cup \omega \times \{2\}}$${\displaystyle \omega}$

上で述べたように、この本では基礎公理(正則性公理とも呼ばれる) が省略されています。ハルモスは、集合がそれ自身を含むことができるかどうかという問題を繰り返し回避しています。

• p. 1: 「集合は他の集合の要素になることもある」(強調追加)
• p. 3: 「それは真実ですか? 誰かがこれまでに見たどんな合理的な集合についても、それは確かに真実ではありません。」${\displaystyle A\in A}$
• p. 6: 「…可能性は低いが、明らかに不可能というわけではない」${\displaystyle B\in B}$

しかし、ハルモスは、自分自身を含むことができない特定の集合が存在することを証明することを可能にしています。

• p. 44: ハルモスは を証明させてくれます。 の場合、 は依然として後継集合です。なぜなら、とはどの自然数の後継でもないからです。しかし、は のサブセットではないので、 がすべての後継集合のサブセットであるというの定義に矛盾します。${\displaystyle \omega \not \in \omega }$${\displaystyle \omega \in \omega }$${\displaystyle \omega \setminus \{\omega \}}$${\displaystyle \omega \not =\emptyset }$${\displaystyle \omega}$${\displaystyle \omega}$${\displaystyle \omega \setminus \{\omega \}}$${\displaystyle \omega}$
• p. 47: ハルモスは、「自然数はそのいずれかの要素の部分集合ではない」という補題を証明しています。これにより、自然数はそれ自身を含むことができないことが証明されます。、ただし が自然数である場合、 となり、補題に矛盾します。${\displaystyle n\in n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n\subset n\in n}$
• p. 75: 「順序数は、内のすべての に対してとなるような整列集合として定義されます。ここで、前述と同様に、初期セグメント} となります。」整列は次のように定義されます。および が順序数 の要素である場合、 は意味します(pp. 75-76)。の代わりに記号 を選択することで、Halmos は整列が厳密であることを暗示しています (pp. 55-56)。 のこの定義により、が順序数の要素である場合に を持つことが不可能になります。これは、が を意味するためであり、これは(< が厳密であるため) を意味し、これは不可能であることを意味します。${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle s(\xi)=\xi}$${\displaystyle \xi}$${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle s(\xi )}$${\displaystyle \{\eta \in \alpha :}$ ${\displaystyle \eta <\xi }$${\displaystyle \xi}$${\displaystyle \eta}$${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle \xi <\eta }$${\displaystyle \xi \in \eta }$${\displaystyle <}$${\displaystyle \leq}$${\displaystyle <}$${\displaystyle <}$${\displaystyle \xi \in \xi }$${\displaystyle \xi}$${\displaystyle \xi \in \xi }$${\displaystyle \xi <\xi }$${\displaystyle \xi \not =\xi }$
• p. 75: 上記の順序数の定義により、 （ は順序数）を持つことも不可能になります。これは、が を意味するからです。これにより が得られ、 を意味し、 を意味し（ は厳密であるため）、これは不可能です。${\displaystyle \alpha \in \alpha }$${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle \alpha \in \alpha }$${\displaystyle \alpha =s(\alpha )}$${\displaystyle \alpha \in \alpha =s(\alpha )=\{\eta \in \alpha :\eta <\alpha \}}$${\displaystyle \alpha <\alpha }$${\displaystyle \alpha \not =\alpha }$${\displaystyle <}$

• 4 ページ、18 行目: 「カインとアベル」は「セト、カイン、アベル」にすべきです。
• p. 30、行 10: 「onto 」は「into 」にする必要があります。${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$
• p, 66, 16 行目: 「たとえば、となるすべてのペアの集合を考えてみましょう。この集合の最小要素はです。」: この文は であるため、正しくありません。実際は です。${\displaystyle E}$${\displaystyle (a,b)}$${\displaystyle (1,1)\leq (a,b)}$${\displaystyle E}$${\displaystyle (1,1)}$${\displaystyle (2,2)\leq (1,1)}$${\displaystyle (2\times 2+1)\times 2^{1}=10\leq (2\times 1+1)\times 2^{2}=12}$
• p. 73、行 19: 「for each in 」は「for each in 」にする必要があります。${\displaystyle z}$${\displaystyle X}$${\displaystyle a}$${\displaystyle X}$
• p. 75、3 行目: 「if and only if 」は「if and only if 」に修正してください。${\displaystyle x\in F(n)}$${\displaystyle x=\{b:S(n,b)\}}$
• p, 100, 行 11: 「then 」は「then 」にする必要があります。${\displaystyle \mathrm {card} \ X\sim \mathrm {card} \ Y}$${\displaystyle \mathrm {card} \ X=\mathrm {card} \ Y}$

• 数学における重要な出版物のリスト

• ポール・ハルモス『素朴集合論』。プリンストン、ニュージャージー州：D. ヴァン・ノストランド社、1960年。Springer-Verlag社、ニューヨーク、1974年に再版。ISBN 0-387-90092-6（Springer-Verlag版）。Martino Fine Books社、2011年に再版。ISBN 978-1-61427-131-4 （ ペーパーバック版）； 2017年ドーバー再版ISBN 9780486814872；doi：10.1007/978-1-4757-1645-0。