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「Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse」（通常の英語訳：「与えられた等級未満の素数について」）は、 1859 年 11 月の雑誌「Monatsberichte der Königlich Preußischen Akademie der Wissenschaften zu」に掲載されたベルンハルト・リーマンによる独創的な9 ページの論文です。ベルリン。
本論文は、解析的手法を用いて素数計数関数を研究するものである。リーマンが数論に関して発表した唯一の論文ではあるが、19世紀後半から現在に至るまで、数千人もの研究者に影響を与えたアイデアが含まれている。本論文は主に定義、発見的議論、証明の概略、そして強力な解析的手法の応用から構成されており、これらはすべて現代の解析的数論における不可欠な概念およびツールとなっている。
新たに導入された定義、概念、表記法には以下のようなものがある。
証明と証明の概略図の中には、次のようなものがある。
立てられた推測の中には、次のようなものがある。
つまり、... これは、すべてのWurzelnのリールの罪です。 Hiervon は、より強力な警告を発しました。 ich habe indess die Aufuchung desselben nach einigen flüchtigen vergeblichen Verschen vorläufig bei Seite gelassen, da er für den nächsten Zweck meiner Unter suchung entbehrlich schien.
（彼は、根が臨界線上ではなく実数となるように修正されたゼータ関数のバージョンについて議論していた。）すべての根が実在する可能性は非常に高い。しかしながら、これを厳密に証明したいところである。とはいえ、私はいくつかの無駄な試みの後、そのような証明の探求を一時的に脇に置いた。なぜなら、それは私の次の調査目的には不要であるように思われるからである。
数論で用いられる新しい方法と技術：
リーマンはまた、関数J ( x ) を本質的にスティルチェス積分の尺度として用いて、 ζ ( s ) と素数の分布の関係についても議論した。そして、 ln( ζ ( s ) ) と比較することで、論文の主要な結果であるJ ( x ) の公式を得た。リーマンは次に、素数計数関数π ( x ) (彼がF ( x ) と呼ぶもの)の公式を見つけた。彼は、この方程式が、カール・フリードリヒ・ガウスとカール・ヴォルフガング・ベンヤミン・ゴルトシュミットが発見したように、π ( x ) が対数積分よりもゆっくりと増加するという事実を説明していると指摘している。
この論文には、 Γ( s )の代わりにΠ ( s - 1)を使用したり、t2の代わりにttと書いたり、ハンケル経路を表すために∞から∞の範囲を使用したりといった、現代の読者にとって特異な点がいくつか含まれている。