十七角形

17はフェルマー素数であるため、正十七角形は作図可能な多角形（つまり、コンパスと目盛りのない定規を使って作図できる多角形）です。これは1796年にカール・フリードリヒ・ガウスによって示されました。^{[ 1 ]}この証明は、2000年以上ぶりの正多角形作図における最初の進歩でした。^{[ 1 ]}ガウスの証明は、まず作図可能性が共通角の三角関数を算術演算と平方根抽出で表現できることと同等であるという事実に依拠し、次に奇素因数が17であればこれが可能であるという彼の証明に依拠しています。${\displaystyle N}$正多角形の辺の数である は、 の形をした異なるフェルマー素数である。${\displaystyle F_{n}=2^{2^{n}}+1}$ある非負整数に対して${\displaystyle n}$正七角形を作図するには、次のコサインを求める必要がある。${\displaystyle 2\pi /17}$平方根の観点から。ガウスの著書『算術研究』^{[ 2 ]}では、これを（現代の記法で）次のように表している^{[ 3 ]。}$${\displaystyle {\begin{aligned}\cos {\frac {2\pi }{17}}=&{\frac {1}{16}}\left({\sqrt {17}}-1+{\sqrt {34-2{\sqrt {17}}}}\right)\\&+{\frac {1}{8}}\left({\sqrt {17+3{\sqrt {17}}-{\sqrt {34-2{\sqrt {17}}}}-2{\sqrt {34+2{\sqrt {17}}}}}}\right).\\\end{aligned}}}$$

正三角形、正五角形、正十五角形、および辺の数が2h^倍の多角形の作図法はユークリッドによって示されていたが、3と5以外のフェルマー素数に基づく作図法は古代人には知られていなかった。（既知のフェルマー素数はn = 0、1、2、3、4のF _nのみであり、3、5、17、257、65537である。）

1893年にハーバート・ウィリアム・リッチモンドによって、17角形の明示的な作図法が示されました。以下の作図法では、下図に示すようにカーライル円を使用します。正17角形の作図法に基づいて、nが17と3または5（あるいは両方）の積であり、任意の2のべき乗であるn角形を容易に作図できます。例えば、正51角形、正85角形、正255角形、および辺の数が2h^倍の任意の正n角形などです。

定規とコンパスを用いた正七角形の別の作図方法は次のとおりです。

ニューヨーク州ロチェスターのTPストーウェルは、 1877年にインディアナ州ウィーリングのWEヒールによる「ジ・アナリスト」誌の質問に回答した。^{[ 5 ]}

「円の中に17辺の正多角形を作図する。半径COを直径ABに直角に引く。OCとOB上に、半径の半分に等しいOQ、半径の8分の1に等しいODを取る。DEとDFをそれぞれDQに等しく、EGとFHをそれぞれEQとFQに等しくする。OKをOHとOQの比例中線とし、Kを通ってABに平行なKMを引き、OG上に描かれた半円とMで交わる。OCに平行なMNを引き、与えられた円とNで交わる。弧ANは円周全体の17分の1である。」

以下のシンプルなデザインは、1893年のハーバート・ウィリアム・リッチモンドによるものです。^{[ 6 ]}

図6に示すように、OAとOBを互いに垂直な円の半径とする。OIをOBの4分の1、角OIEをOIAの4分の1とする。また、OAを延長した点Fにおいて、EIFが45°となるようにする。AFを直径とする円がOBと交わる点をKとし、中心がEで半径がEKの円がOAと交わる点をN3とN5とする。このとき、円に座標N3P3 、_N5P5を_描くと、弧AP3 _、 AP5_は円周の3/17_と5/17となる。

• 点N3_は、 AF上のタレスの定理の中心点に非常に近い。

以下の構成は、HWリッチモンドの構成の変形である。

オリジナルとの違い：

• 円 k _{2は、二等分線 w 3}の代わりに点 H を決定します。
• 点 G' (点 G を m で反射した点) を中心とする円 k ₄は、接線を作図するための点 N を与えます。この点はもはや M にそれほど近くありません。
• 一部の名前は変更されています。

もう一つのより新しい構成はCallagyによって示されている。^{[ 3 ]}

入れ子になった倍角の公式と補角の公式を組み合わせると、以下の入れ子になった二次多項式が得られます。

${\displaystyle \cos {\frac {2m\pi }{17}}=2\cos ^{2}{\frac {m\pi }{17}}-1}$、 そして

${\displaystyle \cos {\frac {16\pi }{17}}=\cos({\pi -{\frac {\pi }{17}}})=-\cos {\frac {\pi }{17}}=-X}$

したがって、

${\displaystyle -X=-\cos {\frac {\pi }{17}}=\cos {\frac {16\pi }{17}}=2\cos ^{2}{\frac {8\pi }{17}}-1=2\time {(2\cos ^{2}{\frac {4\pi }{17}}-1)}^{2}-1}$

${\displaystyle \cos {\frac {4\pi }{17}}=2\cos ^{2}{\frac {2\pi }{17}}-1=2\times {(2\cos ^{2}{\frac {\pi }{17}}-1)}^{2}-1=2(2X^{2}-1)^{2}-1}$

X を簡略化して解くと、

${\displaystyle 32768X^{16}-131072X^{14}+212992X^{12}-180224X^{10}+84480X^{8}-21504X^{6}+2688X^{4}-128X^{2}+1=-X}$

${\displaystyle \cos {\frac {\pi }{17}}=X={\frac {{\sqrt {34-{\sqrt {68}}}}-{\sqrt {17}}+1+2{\sqrt {{\sqrt {34-{\sqrt {68}}}}+{\sqrt {17}}-1}}{\sqrt {\sqrt {17+{\sqrt {272}}}}}}{16}}}$

もし${\displaystyle A={\sqrt {2(17\pm {\sqrt {17}})}}}$、${\displaystyle B=({\sqrt {17}}\pm 1)}$そして${\displaystyle C=17\mp 4{\sqrt {17}}}$すると、任意の整数 m に応じて

${\displaystyle \cos {\frac {m\pi }{17}}=\pm {\frac {(A\pm B)\pm 2{\sqrt {(A\mp B){\sqrt {C}}}}}{16}}}$

${\displaystyle =\pm {\frac {{\sqrt {34\pm {\sqrt {68}}}}\pm ({\sqrt {17}}\pm 1)\pm 2{\sqrt {{\sqrt {34\pm {\sqrt {68}}}}\mp ({\sqrt {17}}\pm 1)}}{\sqrt {\sqrt {17\mp {\sqrt {272}}}}}}{16}}}$

例えば、m = 1 の場合

${\displaystyle \cos {\frac {\pi }{17}}={\frac {{\sqrt {34-{\sqrt {68}}}}-{\sqrt {17}}+1+2{\sqrt {{\sqrt {34-{\sqrt {68}}}}+{\sqrt {17}}-1}}{\sqrt {\sqrt {17+{\sqrt {272}}}}}}{16}}}$

以下に、式を簡略化した表を示します。

したがって、m=1で帰納法を適用し、n=0から始めると次のようになります。

${\displaystyle \cos {\frac {\pi }{17\times 2^{0}}}={\frac {1-{\sqrt {17}}+{\sqrt {34-{\sqrt {68}}}}+{\sqrt {68+{\sqrt {2448}}+{\sqrt {2720+{\sqrt {6284288}}}}}}}{16}}}$

${\displaystyle \cos {\frac {\pi }{17\times 2^{n+1}}}={\frac {\sqrt {2+2\cos {\frac {\pi }{17\times 2^{n}}}}}{2}}}$そして${\displaystyle \sin {\frac {\pi }{17\times 2^{n+1}}}={\frac {\sqrt {2-2\cos {\frac {\pi }{17\times 2^{n}}}}}{2}}.}$

17角形は、星形多角形です。シュレーフリ記号で表すと、{17/2}、{17/3}、{17/4}、{17/5}、{17/6}、{17/7}、{17/8}の7つの正多角形があります。17は素数なので、これらはすべて正多角形であり、複合図形ではありません。

正十七角形は、ある高次元正凸多面体のペトリー多角形であり、これを斜交直交投影で投影したものである。