レゾルベント（ガロア理論）

抽象代数学の一分野であるガロア理論において、置換群Gのレゾルベントとは、係数が与えられた多項式pの係数に多項式的に依存し、大まかに言えば、pのガロア群がGに含まれる場合にのみ有理根を持つ多項式である。より正確には、ガロア群が G に含まれる場合、レゾルベントは有理根を持ち、有理根が単根である場合はその逆が真である。レゾルベントはジョゼフ・ルイ・ラグランジュによって導入され 、エヴァリスト・ガロアによって体系的に使用された。今日でも、レゾルベントはガロア群を計算するための基本的なツールである。レゾルベントの最も単純な例は以下のとおりである。

• ${\displaystyle X^{2}-\Delta }$ここで、 は判別式であり、交代群の解決子です。3次方程式の場合、この解決子は2次解決子と呼ばれることもあります。その根は、3次方程式の根の公式に明示的に現れます。${\displaystyle \Delta }$
• 4 次方程式の3 次解析。8個の要素からなる二面体群の解析です。
• ケーリー・レゾルベントは、 5 次で最大可解なガロア群のレゾルベントです。これは 6次多項式です。

これら 3 つの解決法は常に分離可能という性質を持っています。つまり、これらが多重根を持つ場合、多項式p は既約ではありません。すべての順列のグループに対して常に分離可能な解決法が存在するかどうかはわかっていません。

すべての方程式の根は、根号と可解な群の分解子の根で表すことができます。これは、この根によって生成される体上の方程式のガロア群が可解であるためです。

n を正の整数、つまりこれから考える方程式の次数とし、( X 1 _, ..., X _n )を不定値の順序付きリストとします。Vietaの公式によれば、これは次数 nの一般的な単項多項式を定義します。 ここで、E _{i は}i番目の基本対称多項式です。 $${\displaystyle F(X)=X^{n}+\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i}E_{i}X^{ni}=\prod _{i=1}^{n}(X-X_{i}),}$$

対称群 S n_は X i を置換することによってX _iに作用し、これがX _iの多項式に作用を誘導する。この作用の下で与えられた多項式の安定子は一般に自明であるが、多項式によってはより大きな安定子を持つものがある。例えば、基本対称多項式の安定子は群S _n全体である。安定子が自明でない場合、多項式は何らかの自明でない部分群Gによって固定される。これはGの不変量であると言われる。逆に、S _nの部分群Gが与えられた場合、 Gの不変量は、S _nのより大きな部分群の不変量でない場合、Gの解決不変量である。^[1]

S _nの与えられた部分群Gの不変量を見つけることは比較的容易である。S n の作用下で単項式の軌道を合計すればよい。_しかし、結果として得られる多項式がより大きな群の不変量となることがある。例えば、(12)(34)、(13)(24)、(14)(23)および恒等式（表記については、置換群を参照）からなる、位数 4 のS 4_の部分群G の場合を考える。単項式X ₁ X _{2 は}不変量2( X ₁ X ₂ + X ₃ X ₄ )を与える。これはGのレゾルベント不変量ではない。なぜなら、 (12)によって不変であるが、実際にはより大きな二面体部分群D ₄のレゾルベント不変量である: ⟨(12), (1324)⟩であり、4次方程式のレゾルベント3次を定義するために使用されるからである。

PがS _n内の指数mの群Gの分解不変量である場合、S _{n の}下でのその軌道はm位を持つ。P ₁ , ..., P _{m を}この軌道の要素とする。すると多項式

${\displaystyle R_{G}=\prod _{i=1}^{m}(Y-P_{i})}$

はS _{n の}もとで不変である。したがって、展開すると、その係数は対称群の作用のもとで不変であるX _iの多項式であり、したがって、基本対称多項式の多項式として表すことができる。言い換えると、R _{G は}、係数がFの係数の多項式であるYの既約多項式である。レゾルベント不変量を根として持つため、レゾルベント（レゾルベント方程式と呼ばれることもある）と呼ばれる。

既約多項式を考える

${\displaystyle f(X)=X^{n}+\sum _{i=1}^{n}a_{i}X^{ni}=\prod _{i=1}^{n}(X-x_{i}),}$

は、係数が与えられた体K (通常は有理数体)にあり、根x _{i が}代数的に閉じた体拡大にある場合です。上記のX _{i を}x _iに、係数Fをfに代入すると、多項式 が得られます。これは、あいまいな場合はレゾルベントまたは特殊化レゾルベントとも呼ばれます。 fのガロア群がGに含まれている場合、レゾルベント不変量の特殊化はGによって不変であり、したがってKに属する の根です( K上で有理数です)。逆に、 が有理根を持ち、それが多重根でない場合、 fのガロア群はGに含まれています。 ${\displaystyle R_{G}^{(f)}(Y)}$${\displaystyle R_{G}^{(f)}(Y)}$${\displaystyle R_{G}^{(f)}(Y)}$

用語にはいくつかのバリエーションがあります。

• 著者や文脈によっては、resolvent は、resolvent equationではなく、resolvent invariantを指す場合があります。
• ガロア・レゾルベントは、レゾルベント不変量が根において線形であるようなレゾルベントです。
• のラグランジュのレゾルベントは、が の原始n乗根である線形多項式を指します。これは、恒等群のガロアのレゾルベントのレゾルベント不変量です。$${\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}X_{i}\omega ^{i}}$$${\displaystyle \omega}$
• 相対レゾルベントはレゾルベントと同様に定義されますが、S _nの与えられたサブグループHの要素の作用のみを考慮し、 HのサブグループGの相対レゾルベントが有理単純根を持ち、 fのガロア群がHに含まれる場合、fのガロア群はGに含まれるという性質を持ちます。この文脈では、通常のレゾルベントは絶対レゾルベントと呼ばれます。

次数の多項式のガロア群は、またはその適切な部分群です。多項式が可分かつ既約である場合、対応するガロア群は推移的部分群です。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle S_{n}}$

の推移的部分群は有向グラフを形成します。1 つの群は複数の群の部分群になることができます。1 つのリゾルベントは、多項式のガロア群が指定された群の (必ずしも適切な) 部分群であるかどうかを判断します。リゾルベント法は、1 つのグループのみが可能になるまでグループを 1 つずつチェックする体系的な方法にすぎません。これは、すべてのグループをチェックする必要があるという意味ではありません。すべてのリゾルベントは、多くの可能性のあるグループをキャンセルできます。たとえば、次数 5 の多項式では、のリゾルベントは必要ありません。およびのリゾルベントは、必要な情報を提供します。 ${\displaystyle S_{n}}$${\displaystyle D_{5}}$${\displaystyle A_{5}}$${\displaystyle M_{20}}$

1 つの方法は、正しいものが見つかるまで最大 (推移的) サブグループから始めて、その後その最大サブグループを続行することです。

• ディクソン、レナード E. (1959)。代数理論。ニューヨーク: Dover Publications Inc. p. ix+ 276。ISBN 0-486-49573-6。
• Girstmair, K. (1983). 「レゾルベントとガロア群の計算について」. Manuscripta Mathematica . 43 (2–3): 289–307. doi :10.1007/BF01165834. S2CID  123752910.