数学における重要な出版物のリスト

これは、分野別にまとめられた数学の重要な出版物のリストです。

特定の出版物が重要であると見なされる理由としては、次のようなものがあります。

• トピック作成者– 新しいトピックを作成した出版物
• ブレークスルー– 科学的知識を大きく変えた出版物
• 影響力– 世界に大きな影響を与えた、または数学の教育に多大な影響を与えた出版物。

数学における重要な出版物の編集版として、アイヴァー・グラッタン・ギネス著の「Landmark writings in Western mathematical writings 1640–1940 」 ^[2]やデイヴィッド・ユージン・スミス著の「A Source Book in Mathematics」^[3]がある。

• バウダヤナ（紀元前8世紀）

紀元前8世紀頃に書かれたと考えられているこの書物は、最古の数学書の一つである。インド数学の基礎を築き、南アジアに影響を与えた。主に幾何学の書物であったが、ピタゴラスの三つ組の一覧、線形方程式と二次方程式の幾何学的解、2の平方根など、いくつかの重要な発展も含まれていた。^[4]

• 数学術に関する九章（紀元前10世紀～紀元前2世紀）

線形方程式系を解くためのガウス消去法の最も初期の説明が含まれており、平方根と立方根を求める方法も含まれています。

• ディオファントス(紀元 3 世紀)

定常方程式（唯一の解を持つ方程式）と不定方程式の数値解を与える130の代数問題集が含まれています。^[5]

• 劉徽（220-280年）

遠くにある物体の深さや高さを測量するための直角三角形の応用が含まれています。

• 孫子（紀元5世紀）

中国剰余定理の最も古い記述が含まれています。

• アーリヤバータ（紀元499年）

このテキストには、計量法 (kṣetra vyāvahāra)、等差数列と幾何級数、日時計/影 (shanku-chhAyA)、単純方程式、二次方程式、連立方程式、不定方程式を網羅した 33 の詩節が含まれています。また、1 次ディオファントス方程式を解くための現代の標準アルゴリズムも示されています。

済古粛清（626年）

唐代の数学者王暁同によるこの本には、世界最古の三次方程式が記載されている。^[要出典]

• ブラフマグプタ（紀元628年）

正負両方の数を扱う規則、ゼロを扱う規則、平方根を計算する方法、線形方程式といくつかの二次方程式を解く一般的な方法、ペル方程式の解法が含まれていました。 ^{[6] [7] [8] [9]}

• ムハンマド・イブン・ムーサー・アル・フワーリズミー(西暦 820 年)

ペルシャの学者ムハンマド・イブン・ムサー・アル・フワーリズミーによる、線形および二次方程式の体系的な代数解法に関する最初の本。この本は、現代代数学とイスラム数学の基礎と考えられています。^[10]「代数学」という言葉自体は、本のタイトルのアル・ジャブルに由来しています。 ^[11]

バースカラ2世による数学に関する主要な論文の1つに、1次および2次の不定方程式の解法が示されています。

• 劉毅（12世紀）

4次多項式方程式の最も初期の発明が含まれています。^[要出典]

• 秦九紹（1247）

この 13 世紀の本には、高次多項式方程式 (10 次まで) を解く 19 世紀のホーナー法の最も古い完全な解が含まれています。また、オイラーとガウスより数世紀前に 遡る中国剰余定理の完全な解も含まれています。

• 李志（1248）

複雑な幾何学問題を解く際に高次多項式方程式を適用する方法を説明します。

• 朱世傑（1303）

最大 4 つの未知数を持つ高次多項式方程式のシステムを確立する方法が含まれています。

• ジェロラモ・カルダーノ（1545）

別名「大芸術」としても知られるこの数学は、 3次方程式と4次方程式を解くための最初の公開された方法（シピオーネ・デル・フェロ、ニッコロ・フォンタナ・タルタリア、ルドヴィーコ・フェラーリによる）を提供し、非実数複素数を含む最初の公開された計算を披露した。^{[12] [13]}

• レオンハルト・オイラー(1770)

代数学原論としても知られるオイラーの初等代数学の教科書は、今日私たちが認識している現代的な形で代数学を初めて提示した教科書の一つである。第1巻は定理方程式を扱い、第2部はディオファントス方程式を扱う。最後のセクションには、 n = 3の場合のフェルマーの最終定理の証明が含まれており 、オイラーが証明しなかったいくつかの有効な仮定を立てている。^[14]${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {-3}})}$

• カール・フリードリヒ・ガウス(1799)

ガウスの博士論文^{[15]には、}代数学の基本定理の（当時は）広く受け入れられていたが不完全な証明^[16]が含まれていた。

• ジョセフ・ルイ・ラグランジュ（1770）

タイトルは「方程式の代数的解に関する考察」を意味します。多項式方程式のラグランジュ分解の根は元の方程式の根の順列に結びついているという先見の明のある観察を行い、それまでアドホックな分析であったものにもっと一般的な基礎を築き、その後の順列群、群論、ガロア理論の発展の動機付けとなりました。ラグランジュ分解は、3次の 離散フーリエ変換も導入しました。

• Journal de Mathematiques pures et Appliquées、II (1846)

ジョセフ・リウヴィルによるエヴァリスト・ガロアの数学写本の死後出版。ガロアの論文Mémoire sur les条件 de résolubilité des équations par radicauxとDes équations primitives qui Sont solubles par radicauxが含まれています。

• カミーユ・ジョーダン（1870）

オンライン版:オンライン版

代数方程式と置換群に関する論文。群論に関する最初の本であり、当時としては包括的な置換群とガロア理論の研究を行った。この本で、ジョルダンは単純群の概念とエピモーフィズム（彼はこれをl'isomorphisme mériédriqueと呼んだ）を導入し、^[17]ジョルダン・ヘルダーの定理の一部を証明し、有限体上の行列群とジョルダン標準形について論じた。^[18]

• ゾフス・リー、フリードリヒ・エンゲル（1888–1893）。

出版物データ: 3 巻、BG Teubner、Verlagsgesellschaft、mbH、ライプツィヒ、1888 ～ 1893 年。 1巻、2巻、3巻。

変換群に関する最初の包括的な研究であり、現代のリー群理論の基礎として機能します。

• ウォルター・フェイトとジョン・トンプソン(1960)

説明:奇数位数の有限群の可解性の完全な証明を与え、すべての有限非可換単純群は偶数位数であるという長年のバーンサイド予想を確立しました。この論文で使用された独自の手法の多くは、有限単純群の最終的な分類に使用されました。

• アンリ・カルタンとサミュエル・アイレンバーグ(1956)

抽象ホモロジー代数の完全な扱いを初めて提供し、結合代数、リー代数、群のホモロジーおよびコホモロジーのこれまで異なる表現を単一の理論に統合しました。

• アレクサンダー・グロタンディーク(1957)

しばしば「東北論文」と呼ばれるこの論文は、アーベル圏を導入し、カルタンとアイレンバーグの導来関数の概念に一般的な枠組みを提供することで、ホモロジー代数に革命をもたらした。

• ベルンハルト・リーマン（1857）

出版データ: Journal für die Reine und Angewandte Mathematik

リーマンの1851年の学位論文を超えてリーマン面の概念とその位相的性質を発展させ、種数の指数定理（リーマン・フルヴィッツの公式の最初の定式化）を証明し、指定された極を持つ有理型関数の空間の次元に関するリーマン不等式（リーマン・ロッホの定理の最初の定式化）を証明し、与えられた曲線の双有理変換と、与えられた種数の不同な曲線の対応するモジュライ空間の次元について議論し、アーベルとヤコビが研究したものよりも一般的な反転問題を解決した。アンドレ・ヴェイユはかつてこの論文について「これまでに書かれた数学の最も偉大な作品の1つであり、重要でない言葉は1つもない」と書いた。 ^[19]

• ジャン＝ピエール・セール

出版データ: Annals of Mathematics、1955年

通常FACと呼ばれるものは、複素多様体の場合を超えて、代数幾何学における層の使用の基礎となった。セールはこの論文で層のチェフコホモロジーを導入し、いくつかの技術的な欠陥にもかかわらず、代数幾何学の定式化に革命をもたらした。たとえば、層コホモロジーの長完全列により、層のいくつかの射影写像がセクション上の射影写像を誘導することを示すことができる。具体的には、これらは、核 (層として) が消失する第 1 コホモロジー群を持つ写像である。射影幾何学では、連接層のセクションのベクトル空間の次元は有限であり、そのような次元には、ホッジ数など、多様体の多くの離散不変量が含まれる。技術的な理由から、グロタンディークの導来関手コホモロジーがチェフのコホモロジーに取って代わったが、射影空間のコホモロジーなどの実際の計算は通常、チェフの手法で実行され、このためセールの論文は依然として重要である。

• ジャン＝ピエール・セール（1956）

数学において、代数幾何学と解析幾何学は密接に関連した分野であり、解析幾何学は複素多様体と、いくつかの複素変数の解析関数の消滅によって局所的に定義されるより一般的な解析空間の理論です。この2つの関係についての（数学的な）理論は、たとえばホッジ理論の技法を含む代数幾何学の基礎を築く仕事の一環として、1950年代前半に整えられました。（注：直交座標の使用としての解析幾何学も、ある意味では代数幾何学の範囲に含まれますが、この記事で説明するトピックではありません。）この理論を統合した主要な論文は、現在では一般にGAGAと呼ばれているセールのGéometrie Algébrique et Géométrie Analytiqueです。GAGA スタイルの結果は、現在、代数幾何学のオブジェクトのカテゴリとその射と、解析幾何学オブジェクトと正則写像の明確に定義されたサブカテゴリとの間の通過を可能にする比較定理を意味します。

• アルマン・ボレル、ジャン＝ピエール・セール(1958)

ボレルとセールがグロタンディーク版のリーマン・ロッホ定理を解説した論文は、グロタンディークが自身の結果を記述することに興味がないことを明言した後に出版された。グロタンディークは、ヒルツェブルッフが1953年に証明した式の両辺を多様体間の射の枠組みで再解釈し、広範囲にわたる一般化をもたらした。^{[20]グロタンディークは証明において、}グロタンディーク群の概念で新境地を開き、それがK理論の発展につながった。^[21]

• アレクサンダー・グロタンディーク(1960–1967)

ジャン・デュドネの協力を得て書かれたこの本は、グロタンディークが代数幾何学の基礎を再検討した内容を解説したものです。この本は、現代代数幾何学における最も重要な基礎研究となりました。EGA として知られるこれらの本で展開されたアプローチは、この分野を変革し、画期的な進歩をもたらしました。

• Alexander Grothendieck他

グロタンディークの代数幾何学の基礎の再構築に関するこのセミナーノートは、1960年代からIHÉSで行われた研究について報告しています。SGA 1は1960年から1961年のセミナーに関するもので、シリーズの最後であるSGA 7は1967年から1969年に関するものです。基礎を設定することを目的としたEGAとは対照的に、SGAはグロタンディークのセミナーで展開された進行中の研究について説明しています。その結果、より初歩的で基礎的な結果の多くがEGAに委ねられたため、非常に読みにくくなっています。SGAの結果に基づく主要な結果の1つは、 1970年代初頭のピエール・ドリーニュによる未解決のヴェイユ予想の最後の証明です。 SGA の 1 巻または複数巻に携わった他の著者には、ミシェル・レイノー、マイケル・アルティン、ジャン＝ピエール・セール、ジャン＝ルイ・ヴェルディエ、ピエール・ドリーニュ、ニコラス・カッツなどがいます。

• ブラフマグプタ（628）

ブラフマガプタの『ブラフマシュプタシッダーンタ』は、ゼロを数として言及した最初の書物であり、そのためブラフマガプタはゼロの概念を最初に定式化した人物と見なされています。ヒンドゥー教とアラビア語の記数法に基づく現在の 4 つの基本演算 (加算、減算、乗算、除算) のシステムも、ブラフマシュプタシッダーンタで初めて登場しました。また、正の数と負の数に関する具体的な考えを示した最初のテキストの 1 つでもあります。

• レオンハルト・オイラー(1744)

1737年に初めて発表されたこの論文^[22]は、連分数の性質について当時としては初めて包括的な説明を提供した。また、数eが無理数であることの最初の証明も含まれている。^[23]

• ジョセフ・ルイ・ラグランジュ（1775）

整数が形式 で表現できる場合の一般的な問題を扱うために、 2進二次形式の一般理論を開発した。これには2進二次形式の簡約理論が含まれており、あらゆる形式は特定の標準的に選択された簡約形式と同等であることを証明した。^{[24] [25]}${\displaystyle ax^{2}+by^{2}+cxy}$

• カール・フリードリヒ・ガウス(1801)

『算術論』は、ドイツの数学者カール・フリードリヒ・ガウスによって書かれた数論に関する深遠かつ傑作の書であり、1801年にガウスが24歳のときに初めて出版されました。この本でガウスは、フェルマー、オイラー、ラグランジュ、ルジャンドルなどの数学者によって得られた数論の結果をまとめ、彼自身の多くの重要な新しい結果を加えています。彼の貢献の中には、算術の基本定理の初の完全な証明、二次の相互法則の最初の2つの証明、ラグランジュの『算術の研究』の研究を超える2元二次形式の詳細な調査、ガウス和、円分法、および特に正17角形の構成可能性への応用を含む構成多角形の理論の初登場があります。注目すべきことに、Disquisitionesの第Vセクション303記事で、ガウスは虚数二次数体の類数の計算をまとめ、実際に彼が予想したように、類数1、2、3のすべての虚数二次数体を発見しました（1986年に確認）。^{[26]第VIIセクション358記事で、ガウスは有限体上の曲線に対するリーマン予想の最初の非自明なケース（}ハッセ-ヴェイユの定理）と解釈できるものを証明しました。^[27]

• ピーター・グスタフ・ルジューヌ・ディリクレ(1837)

解析的整数論における先駆的な論文であり、ディリクレ指標とそのL関数を導入して等差数列に関するディリクレの定理を確立した。^[28]その後の出版物で、ディリクレはこれらのツールを使って、とりわけ二次形式の類数を決定した。

• ベルンハルト・リーマン(1859)

「与えられた絶対値より小さい素数の個数について」は、ベルリンアカデミー月報の1859年11月号に掲載されたベルンハルト・リーマンの8ページの論文である。これは彼が数論について発表した唯一の論文であるが、19世紀後半から今日に至るまで何十人もの研究者に影響を与えたアイデアが含まれている。この論文は主に定義、ヒューリスティックな議論、証明の概要、強力な解析的手法の適用で構成されており、これらはすべて現代の解析的数論の重要な概念とツールとなっている。また、数学における最も重要な未解決問題の一つである有名なリーマン予想も含まれている。^[29]

• ピーター・グスタフ・ルジューヌ・ディリクレとリチャード・デデキント

『数論講義』は、ドイツの数学者PGルジューヌ・ディリクレとR.デデキントが執筆し、1863年に出版された数論の教科書である。『数論講義』は、フェルマー、ヤコビ、ガウスの古典的な数論と、デデキント、リーマン、ヒルベルトの現代的な数論の分岐点と見ることができる。ディリクレは現代代数学の中心となる群の概念を明示的には認識していないが、彼の証明の多くは群論に対する暗黙の理解を示している。

• ダヴィト・ヒルベルト（1897）

19世紀に行われた代数的整数論の発展の多くを統合し、理解しやすくした。アンドレ・ヴェイユ（「彼の有名な論文の半分以上は、クンマーの数論的研究の説明に過ぎず、本質的でない改良が加えられている」と述べた）^[30]とエミー・ネーター^[31]によって批判されたが、出版後何年も大きな影響力を持った。

• ジョン・テイト（1950）

テイトのテーゼと呼ばれることが多いプリンストン大学の博士論文は、エミール・アルティンの指導の下、エーリッヒ・ヘッケのゼータ関数とL関数の理論をアデールのフーリエ解析の観点から再構築したものです。これらの手法を数論に導入することで、保型形式から生じるようなより一般的なL関数へのヘッケの結果の拡張を定式化できるようになりました。

• エルヴェ・ジャケとロバート・ラングランズ（1970）

この出版物は、表現論の導入を通じて モジュラー形式とそのL関数の古典理論を再検討し拡張することで、ラングランズの予想に対する証拠を提供します。

• ピエール・ドリーニュ（1974）

有限体上の多様体に対するリーマン予想を証明し、未解決だったヴェイユ予想の最後を解決した。

• ゲルト・ファルティングス(1983)

ファルティングスは、この論文で一連の重要な結果を証明しているが、その中で最も有名なのは、モーデル予想（1922年に遡る予想）の最初の証明である。この論文で証明された他の定理には、テイト予想（数体上の2つのアーベル多様体間の準同型をそれらのテイト加群間の準同型に関連付ける）の例や、特定の特性を持つ数体上のアーベル多様体に関する有限性の結果などがある。

• アンドリュー・ワイルズ(1995)

本稿では、ガロア表現の変形理論の研究を通じて、志村・谷山予想の特殊なケースを証明します。これは、有名なフェルマーの最終定理を意味します。モジュラリティ持ち上げ定理を証明するために変形環をヘッケ代数と同一視する証明方法(現在ではR=T定理と呼ばれています) は、代数的整数論において影響力のある発展でした。

• マイケル・ハリスとリチャード・テイラー（2001）

ハリスとテイラーは、 GL( n )の局所ラングランズ予想の最初の証明を提供します。証明の一部として、このモノグラフでは、悪い簡約の素数における特定の志村多様体の幾何学とコホモロジーの詳細な研究も行います。

• ゴ・バオ・チャウ（2008）

Ngô Bảo Châu は、幾何ラングランズ計画法を用いて、古典的なラングランズ計画における長年未解決の問題を証明しました。

• ピーター・ショルツ（2012）

Peter Scholze はPerfectoid 空間を導入しました。

• レオンハルト・オイラー(1748)

著名な数学史家カール・ボイヤーはかつて、オイラーの『無限解析学入門』を数学における最も偉大な現代教科書と呼んだ。^[32]上下巻で出版されたこの書物は、^{[33] [34]}他のどの著作よりも、幾何学や代数学とは異なる焦点とアプローチで解析学を数学の主要分野として確立することに成功した。 ^[35]特筆すべきことに、オイラーは曲線ではなく関数をこの本の中心に据えた。^[36]対数関数、指数関数、三角関数、超越関数がカバーされ、部分分数への展開、 1から13までの正の整数kに対するζ(2k)の評価、無限級数と無限積の公式、^[32]連分数、整数の分割なども扱われた。^[37]この研究でオイラーは、すべての有理数は有限の連分数として表すことができ、無理数の連分数は無限大であることを証明し、eとの連分数展開を導いた。^{[33]この研究には、}オイラーの公式の記述と、オイラーが以前に発見し1751年に証明を発表した五角数定理の記述も含まれている。 ${\displaystyle \textstyle {\sqrt {e}}}$

• ジェシュタデーヴァ（1501）

1530年にインドで書かれた^{[38] [39]}もので、ケーララ学派の無限級数、三角法、数学的解析における業績を要約したもので、そのほとんどは14世紀の数学者マドハヴァによって以前に発見されていました。微積分学における重要な発展には、無限級数やいくつかの三角関数のテイラー級数展開 が含まれます。

• ゴットフリート・ライプニッツ（1684）

ライプニッツの微分積分学に関する最初の出版物。現在ではおなじみの微分表記法のほか、累乗、積、商の導関数を計算する規則が含まれています。

• アイザック・ニュートン（1687）

『自然哲学の数学的原理』（ラテン語で「自然哲学の数学的原理」、略してプリンキピアまたはプリンキピア・マテマティカとも呼ばれる）は、アイザック・ニュートンが1687年7月5日に出版した3巻からなる著作である。おそらくこれまで出版された科学書の中で最も影響力のあったもので、古典力学の基礎をなすニュートンの運動法則と万有引力の法則が述べられており、惑星の運動に関するケプラーの法則（最初は経験的に得られた）が導かれている。ここで、数学的公理を仮定し、その結論が観測可能な現象であることを示すことによって自然を説明するという、今では科学とみなされるほど標準的な手法が生まれた。ニュートンは物理理論を定式化する際に、未発表の微積分学の著作を自由に利用した。しかし、ニュートンは『プリンキピア』を出版に提出する際に、証明の大部分を幾何学的議論として書き直すことを選択した。^[40]

• レオンハルト・オイラー(1755)

2冊の本として出版された^[41]オイラーの微分積分の教科書は、彼が1748年に著した『Introductionio infinitorum』で導入した関数概念に基づいて主題を提示している。この著作は、差分法の研究から始まり、置換の下での微分法の挙動を徹底的に調査している。^{[42]また、}ベルヌーイ多項式とベルヌーイ数（そのように命名）の体系的な研究、ベルヌーイ数がオイラー・マクローリン公式の係数やζ(2n)の値とどのように関係しているかの実証、 ^[43]オイラー定数（ガンマ関数との関連を含む）のさらなる研究、および部分分数の微分への応用も含まれている。^[44]

• ベルンハルト・リーマン(1867)

1853年に書かれたリーマンの三角級数に関する研究は、死後に出版された。その中で、彼はコーシーの積分の定義をリーマン積分の定義に拡張し、区間上の不連続性の稠密な部分集合を持ついくつかの関数を積分できるようにした（彼はこれを例で示した）。^{[45]また、彼は}リーマン級数定理を述べ、^[45]有界リーマン可積分関数の場合のリーマン・ルベーグ補題を証明し、 ^[46]リーマン局所化原理を展開した。^[47]

• アンリ・ルベーグ（1901）

ルベーグの博士論文。測度論とルベーグ積分の発展に関するこれまでの研究を要約し、拡張したものです。

• ベルンハルト・リーマン（1851）

リーマンの博士論文では、リーマン面、等角写像、単純連結性、リーマン球面、極と分岐点を持つ関数のローラン級数展開、リーマン写像定理の概念が導入されました。

• ステファン・バナッハ(1932年、1931年にポーランド語で『Teorja operacyj』というタイトルで最初に出版された。)
• ステファン・バナハ（1932年）。 Théorie des Opérations Linéaires [線形演算の理論] (PDF)。 Monografie Matematyczne (フランス語)。 Vol. 1. ワルシャワ: Subwencji Funduszu Kultury Narodowej。Zbl  0005.20901。2014 年 1 月 11 日のオリジナル(PDF)からアーカイブ。2020 年7 月 11 日に取得。

線形 計量空間を主題とした最初の数学モノグラフであり、関数解析の抽象的な研究をより広い数学コミュニティにもたらした。この本は、ノルム空間のアイデアと、いわゆるB空間、完全なノルム空間の概念を紹介した。B空間は現在バナッハ空間と呼ばれ、現代の数学解析のすべての分野で研究される基本的な対象の 1 つとなっている。バナッハは、開写像定理、閉グラフ定理、ハーン-バナッハの定理のバージョンの証明も与えた。

• グロタンディーク、アレクサンダー(1955)。「位相テンソル積と核空間」。アメリカ数学会誌シリーズ(フランス語)。16 。プロビデンス: アメリカ数学会。ISBN 978-0-8218-1216-7. MR  0075539. OCLC  1315788.

グロタンディークの学位論文は、核空間の概念、局所凸位相ベクトル空間のテンソル積、そしてバナッハ空間のテンソル積に関するグロタンディークの研究の始まりを導入した。^[48]

アレクサンダー・グロタンディークは位相ベクトル空間に関する教科書も執筆した。

• グロタンディーク、アレクサンダー(1973)。位相ベクトル空間。翻訳：チャルジュブ、オーランド。ニューヨーク：ゴードン・アンド・ブリーチ・サイエンス・パブリッシャーズ。ISBN 978-0-677-30020-7. OCLC  886098.

• ブルバキ、ニコラス(1987) [1981]。位相ベクトル空間: 第 1 章から第 5 章まで。数学的要素。エグルストン、HG による翻訳。マダン、サウス・ベルリン、ニューヨーク: Springer-Verlag。ISBN 3-540-13627-4. OCLC  17499190.

• ジョセフ・フーリエ（1807）^[49]

フーリエ解析、特にフーリエ級数を導入しました。主な貢献は、単に三角級数を使用するのではなく、すべての関数を三角級数でモデル化したことです。

${\displaystyle \varphi (y)=a\cos {\frac {\pi y}{2}}+a'\cos 3{\frac {\pi y}{2}}+a''\cos 5{ \frac {\pi y}{2}}+\cdots .}$

両辺に を掛けて から まで積分すると次のようになります。 ${\displaystyle \cos(2i+1){\frac {\pi y}{2}}}$${\displaystyle y=-1}$${\displaystyle y=+1}$

${\displaystyle a_{i}=\int _{-1}^{1}\varphi (y)\cos(2i+1){\frac {\pi y}{2}}\,dy.}$

フーリエが1807年に論文を提出したとき、委員会（ラグランジュ、ラプラス、マルス、ルジャンドルらを含む）は次のように結論付けた。「…著者がこれらの方程式に到達する方法は困難を伴わず、 […] それらを積分する解析は一般性、さらには厳密さの点でまだ改善の余地がある。」フーリエ級数を厳密にすることは詳細には1世紀以上を要したが、解析学における多くの発展、特にディリクレ積分、そして後にルベーグ積分による積分の厳密な記述に直接つながった。

• ピーター・グスタフ・ルジューヌ・ディリクレ（1829年、1837年にドイツ語版が拡張）

リーマンはフーリエ級数に関する学位論文で、ディリクレのこの研究を「この主題に関する最初の重要な論文」と評した。^{[50]この論文は、部分和を考慮することにより、かなり一般的な条件（区分的連続性と単調性）の下での}フーリエ級数の収束を初めて厳密に証明した。ディリクレはこれを、現在ディリクレ核と呼ばれるものを含む特定のディリクレ積分に変換した。この論文では、どこでも連続しないディリクレ関数と、リーマン・ルベーグの補題の初期バージョンが導入された。^[51]

• レナート・カールソン(1966)

任意の関数のフーリエ展開はほぼどこでも収束するというルシンの予想を解決した。 ${\displaystyle L^{2}}$

• バウダヤナ

紀元前8世紀頃に書かれたと考えられているこの書物は、最古の数学書の一つです。インド数学の基礎を築き、南アジアに影響を与えました。主に幾何学に関する書物でしたが、代数的に発見されたピタゴラスの三つ組のリスト、線形方程式の幾何学的解、二次方程式の使用、2の平方根など、代数の重要な発展も含まれていました。

• ユークリッド

出版年:紀元前300年頃

オンライン版:インタラクティブ Java バージョン

これは幾何学における最も重要な著作であるだけでなく、数学における最も重要な著作の1つであるとも考えられています。平面幾何学、立体幾何学、代数学（第2巻と第5巻）、数論（第7巻、第8巻、第9巻）における多くの重要な結果が含まれています。^[52]この出版物の特定の結果よりも、結果を証明する手段として公理的なアプローチを推進したことが、この出版物の主な成果であると思われます。ユークリッドの原論は、これまでに書かれた中で最も成功し、影響力のある教科書と呼ばれています。^[53]

• 著者不明

これは中国の数学書で、大部分は幾何学的内容で、漢代、おそらく紀元前200年頃に書かれたものです。ヨーロッパにおけるユークリッドの『原論』のような位置づけで、1000年以上にわたって中国と東アジアで最も重要な教科書であり続けました。その内容には次のようなものがありました。後に西洋で偽位置の法則として知られる原理を使用して解かれた線形問題。ガウスの消去法に似た原理で解かれた、複数の未知数を持つ問題。西洋でピタゴラスの定理として知られる原理を伴う問題。現代の方法と同等の方法を使用した 行列の最古の解。

• ペルガのアポロニウス

『円錐曲線』は、ギリシャの数学者ペルガのアポロニウスによって著されました。特に円錐曲線の分野における彼の革新的な方法論と用語は、プトレマイオス、フランチェスコ・マウロリコ、アイザック・ニュートン、ルネ・デカルトなど、後世の多くの学者に影響を与えました。楕円、放物線、双曲線に私たちが知っている名前を 付けたのはアポロニウスでした。

• 不明 (西暦 400 年)

古代ヒンズー教徒の考古天文学の理論、原理、手法について記述している。このシッダーンタは、太陽神がマヤと呼ばれるアスラに授けた知識であると考えられている。このシッダーンタでは、正弦（ジャ）、余弦（コジャまたは「垂直正弦」）、逆正弦（オトクラムジャ）が初めて使用されている。後に、アーリヤバータなどのインドの数学者がこのテキストを参照し、その後のアラビア語とラテン語への翻訳はヨーロッパと中東に大きな影響を与えた。

• アーリヤバータ（紀元499年）

これは、インドの数学の黄金時代に非常に影響力のあったテキストです。テキストは非常に簡潔であったため、後代の数学者による解説で詳しく取り上げられました。正弦/余弦の導入、円周率のおおよその値の決定、地球の円周の正確な計算など、幾何学と天文学に多大な貢献をしました。

• ルネ・デカルト

『幾何学』は1637年に出版され、ルネ・デカルトによって執筆されました。この本は直交座標系の発展に影響を与え、特に実数による平面上の点の表現と方程式による曲線の表現について論じました。

• デイヴィッド・ヒルベルト

オンライン版:英語

出版物データ: ヒルベルト、デイヴィッド (1899)。グルンドラーゲン デア ジオメトリ。トイブナー・フェルラーク・ライプツィヒ。ISBN 978-1-4020-2777-2。

ヒルベルトによる幾何学の公理化。その主な影響は、公理の独立性を証明するためのモデルの使用や、公理系の一貫性と完全性を確立することの重要性など、メタ数学的な問題に対する先駆的なアプローチにあります。

• HSM コクセター

正多面体とは、正多面体の幾何学、正多角形と正多面体の高次元への一般化に関する包括的な調査です。1923 年に書かれた「次元の類推」と題するエッセイに端を発し、この本の初版は Coxeter が完成するまでに 24 年かかりました。この本は 1947 年に最初に書かれ、1963 年と 1973 年に改訂され再出版されました。

• レオンハルト・オイラー(1760)

出版物データ: Mémoires de l'académie des Sciences de Berlin 16 (1760) pp. 119–143; 1767 年に出版されました。 (全文と英語の翻訳はダートマス オイラー アーカイブから入手できます。)

曲面の理論を確立し、主曲率の概念を導入し、その後の曲面の微分幾何学の発展の基礎を築いた。

• カール・フリードリヒ・ガウス(1827)

出版物データ:「地上権に関する一般的な調査」、Commentationes Societatis Regiae Scientiarum Gottingesis Recentiores Vol. VI (1827)、99–146 ページ。 『General Investigations of Curved Surfaces』（1965 年出版）Raven Press、ニューヨーク、AMHiltebeitel および JCMorehead 訳。

微分幾何学における画期的な研究。ガウス曲率の概念とガウスの有名なエグレギウム定理を導入した。

• ベルンハルト・リーマン（1854）

出版物データ: "Über die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde Liegen"、Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen、Vol. 1867 年 13 日。英語翻訳

リーマンの有名な講演では、多様体、リーマン計量、曲率テンソルの概念が紹介された。リチャード・デデキントは、当時77歳だったガウスのリーマンの講演に対する反応について報告し、講演は「予想をはるかに超えたもの」であり、「リーマンが提示したアイデアの深さについて、彼にしては珍しいほどの感激と大きな感謝の気持ちをもって語った」と述べている。^[54]

• ガストン・ダルブー

出版データ: Darboux、Gaston (1887,1889,1896) (1890)。表面の一般的な理論。ゴーティエ・ヴィラール。{{cite book}}: CS1 maint: 複数名: 著者リスト (リンク) CS1 maint: 数値名: 著者リスト (リンク)第1巻、第2巻、第3巻、第4巻

曲面の一般理論と微分積分の幾何学的応用に関する講義。19 世紀の曲面の微分幾何学のほぼすべての側面を網羅した論文です。

• アンリ・ポアンカレ(1895, 1899–1905)

説明:ポアンカレのAnalysis Situsと Compléments à l'Analysis Situs は代数的位相幾何学の一般的な基礎を築きました。これらの論文で、ポアンカレはホモロジーや基本群の概念を導入し、ポアンカレ双対性の初期の定式化を提供し、鎖複体のオイラー-ポアンカレ特性を与え、2003 年にグリゴリー ペレルマンによって実証されたポアンカレ予想を含むいくつかの重要な予想に言及しました。

• ジャン・ルレー（1946）

1946年のルレーの2つのコント・ランデュスノートは、捕虜として捕らわれていた間に彼が開発した層、層コホモロジー、スペクトル列という新しい概念を紹介した。ルレーの発表と応用（1946年の他のコント・ランデュスノートに掲載）は、他の数学者の注目を集めた。その後、アンリ・カルタン、ジャン＝ルイ・コズル、アルマン・ボレル、ジャン＝ピエール・セール、そしてルレー自身による明確化、発展、一般化により、これらの概念は理解され、数学の他の多くの分野に応用されるようになった。^[55]デュドネは後に、ルレーによって生み出されたこれらの概念は「間違いなく、数学の歴史においてポアンカレとブラウワーによって発明された方法と同等のレベルに位置する」と書いている。^[56]

• ルネ・トム（1954）

この論文で、トムはトム横断定理を証明し、有向コボルディズムと無向コボルディズムの概念を導入し、コボルディズム群が特定のトム空間のホモトピー群として計算できることを実証した。トムは無向コボルディズム環を完全に特徴付け、スティーンロッドのサイクル実現問題を含むいくつかの問題で強力な結果を達成した。 ^{[57] [58]}

• サミュエル・アイレンバーグとサンダース・マクレーン(1945)

カテゴリー理論に関する最初の論文。後にマクレーンは「Categories for the Working Mathematician」の中で、彼とアイレンバーグは関数を導入できるようにカテゴリーを導入し、関数を導入したのは自然な同値性を導入できるようにするためだと書いている。この論文以前は、「自然な」という言葉は、選択をせずに作成できる構成を示すために、非公式で不正確な方法で使用されていました。その後、「自然な」という言葉は、さまざまなコンテキストで発生し、強力で重要な結果をもたらす正確な意味を持つようになりました。

• サンダース・マックレーン（1971年、第2版1998年）

カテゴリー理論の創始者の一人であるサンダース・マクレーンは、カテゴリーを一般大衆に広めるためにこの解説を執筆しました。マクレーンは、随伴関数や普遍的性質など、カテゴリー理論を有用にする重要な概念を前面に押し出しています。

• ジェイコブ・ルリー（2010）

この本の目的は 2 つあります。1 つは「準カテゴリ」または「弱い Kan 複体」の形式論を使用して高次のカテゴリ理論の一般的な紹介を提供すること、もう 1 つはこの理論を Grothendieck トポロジの高次のバージョンの研究に適用することです。古典的トポロジへの応用もいくつか含まれています。 (arXiv を参照してください。)

• ゲオルク・カントル（1874）

オンライン版:オンライン版

すべての実数の集合が可算でないという最初の証明が含まれています。また、代数的数の集合が可算であるという証明も含まれています。(ゲオルク・カントールの最初の集合論の記事を参照してください。)

• フェリックス・ハウスドルフ

1914 年に初めて出版されたこの本は、集合論の初めての包括的な入門書でした。集合論の既知の結果を体系的に扱うほか、この本には、当時はまだ集合論の一部と考えられていた測度論と位相幾何学に関する章も含まれています。ここでハウスドルフは、後にこれらの分野の基礎となる非常に独創的な資料を提示し、展開しています。

• クルト・ゲーデル（1938）

ゲーデルは表題の結果を証明した。また、その過程で、構成可能集合のクラス L を導入し、公理的集合論の発展に大きな影響を与えた。

• ポール・J・コーエン（1963年、1964年）

コーエンの画期的な研究は、ツェルメロ-フランケル集合論に関して連続体仮説と選択公理の独立性を証明した。これを証明する際に、コーエンは強制の概念を導入し、それが公理的集合論における他の多くの重要な結果につながった。

• ジョージ・ブール（1854）

1854 年に出版された『思考の法則』は、論理学の数学的基礎を提供する最初の本でした。その目的は、アリストテレスの論理学を数学の言語で完全に再表現し、拡張することでした。ブールの研究は代数論理学の分野を創設し、後にクロード・シャノンのデジタル論理開発の中心となりました。

• ゴットロープ・フレーゲ（1879）

1879 年に出版されたBegriffsschrift というタイトルは、通常、概念記述法または概念表記法と翻訳されます。本の完全なタイトルは、これを「算術の言語、純粋思考の言語をモデルにした数式言語」としてい ます。フレーゲが形式論理体系を開発した動機は、ライプニッツの推論用微積分器への欲求に似ていました。フレーゲは、数学の基礎に関する研究をサポートするために論理的微積分を定義しています。Begriffsschriftは、本の名前であると同時に、そこで定義されている微積分の名前でもあります。これは、アリストテレス以来、論理学で最も重要な出版物であると言えるでしょう。

• ジュゼッペ・ペアノ（1895）

1895 年に初めて出版された『Formulario mathematico』は、完全に形式化された言語で書かれた最初の数学書です。この本には、数学的論理の説明と、数学の他の分野における多くの重要な定理が含まれています。この本で紹介された表記法の多くは、現在では一般的に使用されています。

• バートランド・ラッセルとアルフレッド・ノース・ホワイトヘッド（1910–1913）

『プリンキピア・マテマティカ』は、バートランド・ラッセルとアルフレッド・ノース・ホワイトヘッドによって書かれ、1910年から1913年にかけて出版された、数学の基礎に関する全3巻の著作である。これは、記号論理学における明確に定義された公理と推論規則の集合から、すべての数学的真理を導き出そうとする試みである。プリンキピアの公理から矛盾を導き出せるかどうか、また、その体系において証明も反証もできない数学的命題が存在するかどうかという疑問が残っていた。これらの疑問は、1931年に ゲーデルの不完全性定理によって、かなり意外な形で解決された。

（プリンキピア・マテマティカと関連システムの形式的に決定不可能な命題について）

• クルト・ゲーデル（1931）

オンライン版:オンライン版

数理論理学において、ゲーデルの不完全性定理は、1931 年にクルト ゲーデルによって証明された 2 つの有名な定理です。最初の不完全性定理は、次のように述べています。

（1）無矛盾（オメガ無矛盾）であり、（2）再帰的に定義可能な公理と導出規則の集合を持ち、（3）自然数のすべての再帰関係が定義可能な任意の形式体系については、その体系の意図された解釈によれば、自然数についての真理を表現するが、その体系の定理ではないような体系の式が存在する。 ${\displaystyle \omega }$

• アラン・チューリングの博士論文（1938年）

• エンドレ・セメレディ（1975）

ポール・エルデシュとパル・トゥランの予想（現在はセメレディの定理として知られている）を解決した。その予想とは、自然数の列が正の上密度を持つ場合、その列には任意に長い等差数列が含まれるというものである。セメレディの解決法は「組合せ論の傑作」^{[5​​9]と評され、}セメレディ正則性補題の弱い形式を含む新しいアイデアとツールをこの分野に導入した。^[60]

• レオンハルト・オイラー(1741)
• オイラーの原著（ラテン語）

オイラーの『位置の幾何学に関する問題の解法』におけるケーニヒスベルクの橋の問題の解法は、グラフ理論の第一定理であると考えられています。

• ポール・エルデシュとアルフレッド・レーニ(1960)

疎ランダムグラフの詳細な議論を提供します。これには、コンポーネントの分布、小さなサブグラフの発生、および相転移が含まれます。^[61]

• LR フォード・ジュニア& DR フルカーソン
• ネットワーク内のフロー。Prentice-Hall、1962年。

最大フロー問題を解決するためのFord-Fulkerson アルゴリズムと、フローベースのモデルに関する多くのアイデア を紹介します。

統計に関する重要な出版物のリストを参照してください。

• ジョン・フォン・ノイマン(1928)

2 人ゼロ和ゲームの ミニマックス定理を証明することで、エミール・ボレルの戦略的 2 人ゲーム理論に関する初期の研究をはるかに超える成果を達成しました。

• オスカー・モルゲンシュテルン、ジョン・フォン・ノイマン(1944)

この本は、数学の重要な分野としての現代ゲーム理論の研究につながりました。この本には、2 人によるゼロ和ゲームの最適解を見つける方法が含まれていました。

• ナッシュ、ジョン F. (1950 年 1月)。「N 人ゲームにおける均衡点」。米国科学アカデミー紀要。36 (1): 48–9。Bibcode : 1950PNAS ...  36 ... 48N。doi : 10.1073/ pnas.36.1.48。MR 0031701。PMC  1063129。PMID 16588946。 

ナッシュ均衡

• ジョン・ホートン・コンウェイ（1976）

この本は 2 つの部分、{0,1|} に分かれています。第 0 部は数値について、第 1 部はゲームについてです。ゲームの値だけでなく、Nim、Hackenbush、Col、Snortなど実際にプレイできるゲームも数多く紹介されています。

• エルウィン・バーレカンプ、ジョン・コンウェイ、リチャード・K・ガイ（1982）

数学ゲームに関する情報の概要。1982 年に 2 巻で初めて出版されました。1 巻は組み合わせゲーム理論と超実数に焦点を当て、もう 1 巻はいくつかの特定のゲームに焦点を当てています。

• クロード・シャノン（1948）

後に書籍にまでなった記事で、情報エントロピーと冗長性の概念を展開し、情報の単位として 「ビット」という用語（シャノンはジョン・テューキーに由来する）を導入した。

• ブノワ・マンデルブロ(1967)

1 から 2 までの分数次元を持つ自己相似曲線についての説明。これらの曲線はフラクタルの例ですが、マンデルブロはこの用語を 1975 年まで作り出さなかったため、論文では使用していません。マンデルブロのフラクタルに関する初期の考えを示しており、後の彼の研究の多くのテーマであった数学的対象と自然形態の結びつきの例です。

• アイザック・ニュートン（1736）

『流数法』はアイザック・ニュートンが書いた本です。この本は1671年に完成し、1736年に出版されました。この本の中で、ニュートンは関数の実数零点を見つける方法（ニュートン・ラプソン法）。

• ジョセフ・ルイ・ラグランジュ（1761）

変分法に関する主要な初期研究。ラグランジュの以前の研究とオイラーの研究に基づいている。極小曲面の決定の研究とラグランジュ乗数の初期の登場が含まれている。

• レオニード・カントロヴィッチ（1939）「生産計画と組織の数学的方法」（ロシア語）。

カントロヴィッチは、線形計画法をモデルとして用いた生産計画に関する最初の論文を執筆しました。彼はこの業績により 1975 年にノーベル賞を受賞しました。

• ジョージ・ダンツィグとP・ウルフ
• オペレーションズリサーチ8:101–111, 1960.

ダンツィグは西洋世界における線形計画法の父とみなされています。彼は独自に単体アルゴリズムを発明しました。ダンツィグとウルフは工場や生産計画における大規模な線形計画法の分解アルゴリズムに取り組みました。

• ヴィクトル・クレーとジョージ・J・ミンティ
• Klee, Victor ; Minty, George J. (1972)。「シンプレックス法はどの程度優れているか?」。Shisha, Oved (編)。不等式 III (1969 年 9 月 1 日から 9 日までカリフォルニア州ロサンゼルスのカリフォルニア大学で開催された第 3 回不等式シンポジウムの議事録。Theodore S. Motzkin を偲んで)。ニューヨーク - ロンドン: Academic Press。pp. 159–175。MR  0332165。

Klee と Minty は、単体アルゴリズムでは線形計画を解くのに指数関数的に多くのステップが必要になることを示す例を示しました。

• ハチヤン、レオニード・ゲンリホヴィッチ(1979)。 Полиномиальный алгоритм в линейном программировании[線形計画法のための多項式アルゴリズム] Doklady Akademii Nauk SSSR (ロシア語) 244 : 1093–1096。。

楕円体法に関するカチヤンの研究。これは線形計画法の最初の多項式時間アルゴリズムでした。

これらは、今日の数学者にとって必ずしも関連性のある出版物ではありませんが、それでも数学の歴史においては重要な出版物です。

これは今日まで残っている最古の数学論文の一つである。このパピルスには算術、幾何学、代数に関する25の問題が載っており、それぞれに解答が与えられている。紀元前1850年頃に古代エジプトで書かれた。^[62]

• アメス（書記）

古代エジプト第二中間期に遡る、最も古い数学書の一つ。これは、古い中王国時代のパピルスから、書記官アハメス（正しくはアフメス）によって書き写された。エジプト数学の基礎を築き、ひいては後のギリシャやヘレニズム時代の数学に影響を与えた。これは、1パーセント未満の誤差でπの近似値を得る方法を記述しているほか、円を二乗する最も初期の試みの一つを記述しており、その過程で、エジプト人がπの値を比率の中に組み込むために意図的にピラミッドを建設したという説に反する説得力のある証拠を提供している。このパピルスが解析幾何学の初歩的な試みをさえ表していると言うのは大げさな表現であろうが、アハメスは確かに余接の類似物を利用している。

• シラクサのアルキメデス

著者が利用できた数学的ツールは、現在では中等学校の幾何学と考えられるものだけであったが、彼はそれらの方法を稀に見る才気をもって使い、現在では積分学で扱われる問題を明示的に微小量を用いて解いた。それらの問題の中には、半球の重心の問題、円放物面の錐台重心の問題、放物線とその割線のいずれかによって囲まれた領域の面積の問題などがあった。使用された方法の明確な詳細については、「アルキメデスの微小量の使用」を参照のこと。

• シラクサのアルキメデス

オンライン版:オンライン版

日常生活のニーズを超えて拡張できる、 最初の（ヨーロッパの）数字命名システム。

• デビッド・ダミットとリチャード・フット

ダミットとフットの著書は、ジェイコブソンの『基礎代数学』に続く現代の代表的な抽象代数学の教科書となった。

• ミハリ・シロボド・ボルシッチ

ホルヴァツカ算術（1758年）はクロアチア語の最初の算術教科書であり、クロアチア語の母国語であるカイカビ語方言で書かれている。クロアチア語の算術用語の完全な体系を確立し、クロアチアの日常生活からの実例を生き生きと使って数学的な操作を説明した。^{[63]シロボドが辞書に載っている言葉を使ったのは明らかだったが、彼の目的には明らかに不十分だった。彼は}ラテン語の用語をカイカビ語の方言に合わせていくつかの名前を作った。 ^[64]ホルヴァツカ算術の全文はarchive.orgで閲覧できる。

• GS カー

ジョージ・シューブリッジ・カーがケンブリッジ数学トリポス試験に向けて学生を訓練する目的で集めた 6000 以上の数学定理が含まれています。ラマヌジャンによって徹底的に研究されました。(前半はこちら)

• ニコラ・ブルバキ

フランスの数学文献の中で最も影響力のある書籍の 1 つ。現在では一般的な表記法や定義 (たとえば、記号 ∅ や用語「全単射」) がいくつか紹介されています。極度の厳密さ、形式主義、一般性 (そのために激しい批判を受けるほど) を特徴とするこの書籍は、1939 年に出版が開始され、現在も未完成のままです。

• ロバート・レコード

1542年に書かれたこの本は、英語で書かれた最初の本当に人気のある算術書でした。

• エドワード・コッカー（著者不明）

1676 年に亡くなったエドワード コッカーが残した原稿を編集したと主張するジョン ホーキンスによって 1678 年に出版された算数の教科書。この影響力のある数学の教科書は、150 年以上にわたってイギリスの学校で算数を教えるために使用されました。

• トーマス・ディルワース

18 世紀にアメリカで出版された、初期の人気英語算数教科書。入門から上級まで 5 つのセクションに分かれています。

• アンドレイ・キセリョフ

出版年: 1892

ロシアの数学で最も広く使用され、影響力のある教科書。(キセリョフのページを参照)

• GHハーディ

GH ハーディが書いた、数学解析入門の古典的教科書。1908 年に初版が出版され、何度も版を重ねました。イギリス、特にケンブリッジ大学と、ケンブリッジ大学で数学を学ぶ生徒を養成する学校での数学教育の改革を支援することを目的としていました。そのため、能力別に上位 10% から 20% の「奨学生レベル」の生徒を直接対象としていました。この本には、多数の難問が含まれています。内容は、初歩的な微積分と無限級数の理論をカバーしています。

• BL ファン・デル・ワールデン

エミール・アルティンとエミー・ネーターが開発した代数学への抽象的なアプローチを解説した最初の入門教科書（大学院レベル）。1931 年に Springer Verlag 社からドイツ語で最初に出版されました。その後、1949 年にFrederick Ungar Publishing Companyから英語に翻訳された本が出版されました。

• サンダース・マックレーンとギャレット・バーコフ

カテゴリー理論的アプローチを用いた抽象代数の決定的な入門書。第一原理からの厳密な入門書であり、この分野のかなり包括的な調査書でもあります。

• トム・M・アポストル

• ロビン・ハーツホーン

スキームとコホモロジーの言語を使用した代数幾何学の最初の包括的な入門（大学院レベル）テキスト。1977 年に出版されたこの本には、点の関数子など、今日では中心的であると考えられているスキーム言語の側面が欠けています。

• ポール・ハルモス

数十年にわたって続いている、あまり素朴ではない集合論の学部生向け入門書。初心者向けの集合論入門書として今でも多くの人に最も優れていると考えられています。タイトルには素朴とありますが、これは通常、公理がないという意味に解釈されますが、この本はツェルメロ-フランケル集合論のすべての公理を紹介し、基本オブジェクトの正確で厳密な定義を示しています。「真の」公理集合論の本と異なるのは、その特徴です。公理の細部についての長々とした議論はなく、大きな基数などのトピックについてはほとんど触れられていません。代わりに、集合論についてこれまで考えたことのない人にも理解できるようにすることを目指しており、成功しています。

• ヴァツワフ・シェルピンスキ

基数と序数に関する基本的な事実についての最高の参考書。日常の数学で発生する集合の基数について疑問がある場合、まず最初に参照すべきはこの本です。この本は 1950 年代初頭に最初に出版されましたが、その前の 40 年間にわたる著者のこの主題に関する講義に基づいています。

• ケネス・クネン

この本は初心者向けではありませんが、集合論と形式論理について最低限の経験がある大学院生にとっては、特に強制に関して、貴重な自習用教材となるでしょう。Jech のSet Theoryのような真の参考書よりもはるかに読みやすいです。強制の解説がMartin の公理の以前の説明に多少依存しているという欠点はありますが、強制を学ぶのに最適な教科書かもしれません。

• パベル・セルゲヴィッチ・アレクサンドロフ
• ハインツ・ホップ

1935 年頃に初めて出版されたこのテキストは、集合論的位相幾何学、ホモロジー代数、ホモトピー理論の多くの現代的な概念をすでに取り入れた、位相幾何学の先駆的な「参考」テキストブックでした。

• ジョン・L・ケリー

1955 年に初めて出版され、長年にわたり米国で唯一の大学院レベルの入門教科書であり、代数的位相幾何学ではなく点集合の基礎を教えるものでした。この教科書は、多くの分野で高度な研究を行う上で不可欠なものですが、それまでは他のトピックに関するテキストや雑誌記事から断片的にしか入手できませんでした。

• ジョン・ミルナー

この短い本は、ミルナーの明快で簡潔なスタイルで微分位相幾何学の主要な概念を紹介しています。 本書ではあまり多くのことをカバーしていませんが、そのトピックはすべての詳細を明らかにする方法で美しく説明されています。

• アンドレ・ヴェイユ

数論の歴史的研究。この分野で 20 世紀に最も偉大な研究者の 1 人によって執筆されました。本書は 36 世紀にわたる算術研究を扱っていますが、その大部分はフェルマー、オイラー、ラグランジュ、ルジャンドルの研究の詳細な研究と解説に費やされています。著者は読者を自分の研究対象者のワークショップに連れて行き、彼らの成功と失敗を共有したいと考えています。最も偉大な実践者の 1 人の考えを通して、ある分野の歴史的発展を見ることができるまれな機会です。

• GH ハーディとEM ライト

数論入門は1938 年に初版が出版され、現在も出版されています。最新版は第 6 版 (2008 年) です。数論を真剣に研究する学生や研究者のほとんどがこの本を参考にしており、おそらく本棚に置かれていることでしょう。この本は教科書として意図されたものではなく、むしろ数論のさまざまな分野への入門書であり、現在ではほぼ間違いなく別々の巻で扱われるでしょう。その執筆スタイルは長い間模範的であるとみなされており、そのアプローチにより、代数、微積分、複素数の基礎知識以上のものを求めることなく、さまざまな分野への洞察が得られます。

• 小林庄七、野水勝己（1963年、1969年）

• クレール・ヴォワザン

• イリヤ・ニコラエヴィチ・ブロンシュタインとコンスタンチン・アドルフォヴィチ・セメンディヤエフ

ブロンシュタインとセメンジャエフは、ロシアの数学者イリヤ・ニコラエヴィッチ・ブロンシュタインとエンジニアのコンスタンチン・アドルフォヴィッチ・セメンジャエフが最初に編纂した、数学の基本的な実用知識と公式表の包括的なハンドブックの非公式な名前です。この作品は1945年にロシアで最初に出版され、すぐに「標準」となり、科学者、エンジニア、技術大学の学生に頻繁に使用されるガイドになりました。ドイツ語、英語、その他多くの言語に翻訳されています。最新版は2015年にシュプリンガー社から出版されました。

• 編集長: チャールズ・D・ホッジマン (第 14 版以前); サミュエル・M・セルビー (第 15 版～第 23 版); ウィリアム・H・ベイヤー (第 24 版～第 29 版); ダニエル・ツウィリンガー (第 30 版～第 33 版)

CRC 標準数学表は、数学の基本的な実用知識と公式表を 1 冊にまとめた包括的なハンドブックです。このハンドブックは 1928 年に最初に出版されました。最新版は 2018 年にCRC Pressから出版され、ダニエル・ツウィリンガーが編集長を務めています。

• ダグラス・ホフスタッター

ゲーデル、エッシャー、バッハ: 永遠の黄金の紐はピューリッツァー賞を受賞した本で、1979 年に Basic Books から初版が出版されました。論理学者のクルト ゲーデル、芸術家の MC エッシャー、作曲家のヨハン セバスチャン バッハの創造的な業績がどのように織り合わされているかについて書かれた本です。著者は次のように述べています。「私にとって、ゲーデル、エッシャー、バッハは、中心となる堅固な本質によって異なる方向に投げかけられた影にすぎないことに気付きました。中心となるオブジェクトを再構築しようとして、この本を思い​​つきました。」

• ジェームズ・R・ニューマン

『数学の世界』は、数学を未経験者にもっと理解しやすくするために特別にデザインされました。数学という広大な主題のあらゆる側面に関する非技術的なエッセイで構成されており、数多くの著名な数学者、文学者、経済学者、生物学者、その他多くの著名な思想家による記事や彼らに関する記事が含まれています。アルキメデス、ガリレオ、デカルト、ニュートン、グレゴール・メンデル、エドモンド・ハレー、ジョナサン・スウィフト、ジョン・メイナード・ケインズ、アンリ・ポアンカレ、ルイス・キャロル、ジョージ・ブール、バートランド・ラッセル、アルフレッド・ノース・ホワイトヘッド、ジョン・フォン・ノイマン、その他多くの著作が含まれています。さらに、著名な学者ジェームズ・R・ニューマンによる有益な解説が各エッセイまたはエッセイ群の前にあり、数学の歴史と発展におけるそれらの関連性と背景を説明しています。 1956 年に最初に出版されたこの本には、20 世紀後半の刺激的な発見の多くは含まれていませんが、重要なトピックとアプリケーションの一般的な歴史的概観としてはこれに匹敵するものはありません。

• 数学ポータル