線状複素構造

数学において、実ベクトル空間上の複素構造${\displaystyle V}$は自己同型である${\displaystyle V}$これはマイナスの恒等式に二乗される。${\displaystyle -{\text{id}}_{V}}$.そのような構造は${\displaystyle V}$複素スカラーによる乗算を標準的な方法で定義することを可能にする${\displaystyle V}$複素ベクトル空間として。

すべての複素ベクトル空間は、標準的な方法で互換性のある複素構造を備えることができますが、一般に標準的な複素構造は存在しません。複素構造は、表現論だけでなく複素幾何学にも応用されており、複素多様体とは対照的に、準複素多様体の定義において重要な役割を果たします。「複素構造」という用語は、多様体上のこの構造を指すことが多いですが、ベクトル空間上の構造を指す場合は、線形複素構造と呼ばれることがあります。

実ベクトル空間上の複雑な構造${\displaystyle V}$実線形変換$${\displaystyle J:V\to V}$$ そのため $${\displaystyle J^{2}=-{\text{id}}_{V}.}$$ ここ${\displaystyle J^{2}}$手段${\displaystyle J}$それ自体と${\displaystyle {\text{id}}_{V}}$同一性マップは${\displaystyle V}$つまり、適用する効果${\displaystyle J}$2 倍は、${\displaystyle -1}$これは虚数単位による乗算を彷彿とさせる。${\displaystyle i}$複雑な構造により、${\displaystyle V}$複素ベクトル空間の構造を持つ。複素スカラー乗算は次のように定義できる。 $${\displaystyle (x+iy){\vec {v}}=x{\vec {v}}+yJ({\vec {v}})}$$ すべての実数に対して${\displaystyle x,y}$そしてすべてのベクトル${\displaystyle {\vec {v}}}$Vにおいて、これは実際に${\displaystyle V}$複素ベクトル空間の構造を、${\displaystyle V_{J}}$。

反対の方向から見ると、複素ベクトル空間から始めると${\displaystyle W}$すると、基礎となる実空間上に複雑な構造を定義することができる。${\displaystyle Jw=iw~~\forall w\in W}$。

より厳密に言えば、実ベクトル空間上の線形複素構造は複素数の代数表現である。${\displaystyle \mathbb {C} }$実数上の結合代数として考えられている。この代数は具体的には次のように実現される。 $${\displaystyle \mathbb {C} =\mathbb {R} [x]/(x^{2}+1),}$$ これは以下に対応します${\displaystyle i^{2}=-1}$。次に、${\displaystyle \mathbb {C} }$実ベクトル空間${\displaystyle V}$行動とともに${\displaystyle \mathbb {C} }$の上${\displaystyle V}$（地図）${\displaystyle \mathbb {C} \rightarrow {\text{End}}(V)}$)具体的には、これは単に${\displaystyle i}$なぜなら、これは代数と演算子を表すものを生成するからである。${\displaystyle i}$（${\displaystyle i}$で${\displaystyle {\text{終了}}(V)}$) はまさに${\displaystyle J}$。

もし${\displaystyle V_{J}}$複雑な次元を持つ${\displaystyle n}$、 それから${\displaystyle V}$実寸大でなければならない${\displaystyle 2n}$つまり、有限次元空間${\displaystyle V}$複素構造を許容するのは、それが偶数次元の場合に限られる。偶数次元のベクトル空間はすべて複素構造を許容することは容易にわかる。次のように定義できる。${\displaystyle J}$ペアについて${\displaystyle e,f}$基底ベクトルの${\displaystyle Je=f}$そして${\displaystyle Jf=-e}$そして線形性によってすべてに拡張する${\displaystyle V}$。 もし${\displaystyle (v_{1},\dots ,v_{n})}$複素ベクトル空間の基底である${\displaystyle V_{J}}$それから${\displaystyle (v_{1},Jv_{1},\dots ,v_{n},Jv_{n})}$基礎となる実空間の基盤となる${\displaystyle V}$。

実線形変換${\displaystyle A:V\rightarrow V}$は対応する複素空間の複素線形変換である。${\displaystyle V_{J}}$かつその場合に限り${\displaystyle A}$通勤する${\displaystyle J}$つまり、 $${\displaystyle AJ=JA.}$$ 同様に、実部分空間${\displaystyle U}$の${\displaystyle V}$は、${\displaystyle V_{J}}$かつその場合に限り${\displaystyle J}$保存${\displaystyle U}$つまり、 $${\displaystyle JU=U.}$$

BがV上の双線形形式である場合、 J がB を保存するとは、 $${\displaystyle B(Ju,Jv)=B(u,v)}$$すべてのu、v ∈ V に対して。同等の特徴付けとして、JはBに関して歪随伴である。 $${\displaystyle B(Ju,v)=-B(u,Jv).}$$

gがV上の内積である場合、 J がg を保存するのは、 J が直交変換である場合に限る。同様に、J が非退化歪対称形式ωを保存するのは、 J がシンプレクティック変換である場合に限る(つまり、${\textstyle \omega (Ju,Jv)=\omega (u,v)}$) シンプレクティック形式ωの場合、 Jとωの間の興味深い適合条件は次のとおりである 。$${\displaystyle \omega (u,Ju)>0}$$V内の すべての非ゼロuに対して成り立つ。この条件が満たされる場合、J がω を従わせると言う（同義語：ωはJに関して従属である、Jはωに関して従属である、またはペアが従属である）。${\textstyle (\omega ,J)}$（おとなしい）。

シンプレクティック形式ωとV上の線形複素構造Jが与えられたとき、 V上の関連する双線形形式g _Jを次のように 定義することができる。$${\displaystyle g_{J}(u,v)=\omega (u,Jv).}$$シンプレクティック形式は非退化である ため、対応する双線形形式も非退化です。対応する形式がJによって保存されるのは、シンプレクティック形式が保存される場合のみです。さらに、シンプレクティック形式がJによって保存される場合、対応する形式は対称です。加えて、ωがJによって制御される場合、対応する形式は正定値です。したがって、この場合、Vはg _Jに関する内積空間です。

シンプレクティック形式ωがJによって保存される（ただし必ずしも制御されるわけではない）場合、g _Jはエルミート形式の実部である（慣例として、第1引数に関して反線形である）。${\textstyle h_{J}\colon V_{J}\times V_{J}\to \mathbb {C} }$定義される $${\displaystyle h_{J}(u,v)=g_{J}(u,v)+ig_{J}(Ju,v)=\omega (u,Jv)+i\omega (u,v).}$$

任意の実ベクトル空間Vに対して、スカラーの拡張による複素化を定義することができる。

${\displaystyle V^{\mathbb {C} }=V\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} .}$

これは複素ベクトル空間であり、その複素次元はVの実次元に等しい。その正準複素共役は次のように定義される。

${\displaystyle {\overline {v\otimes z}}=v\otimes {\bar {z}}}$

JがV上の複雑な構造である場合、線形性によってJをV ^Cに拡張することができます。

${\displaystyle J(v\otimes z)=J(v)\otimes z.}$

Cは代数的に閉じているので、Jは^λ2 = −1を満たす固有値、すなわちλ = ± iを持つことが保証される。したがって、次のように書くことができる。

${\displaystyle V^{\mathbb {C} }=V^{+}\oplus V^{-}}$

ここで、V ⁺とV ^{− はそれぞれ +} iと − iの固有空間である。複素共役はV ⁺とV ⁻を入れ替える。V ^±固有空間への射影写像は次のように与えられる。

${\displaystyle {\mathcal {P}}^{\pm }={1 \over 2}(1\mp iJ).}$

となることによって

${\displaystyle V^{\pm }=\{v\otimes 1\mp Jv\otimes i:v\in V\}.}$

V _JとV ⁺の間には自然な複素線形同型が存在するため、これらのベクトル空間は同じものと考えることができ、V ^−はV _Jの複素共役とみなすことができる。

V _{J が}複素次元nを持つ場合、 V ⁺とV ⁻の両方が複素次元nを持ち、 V ^{C は}複素次元 2 nを持つことに注意してください。

抽象的に言えば、複素ベクトル空間Wから出発して、基礎となる実空間の複素化を行うと、 Wとその共役空間の直和に同型な空間が得られる。

${\displaystyle W^{\mathbb {C} }\cong W\oplus {\overline {W}}.}$

V を複素構造Jを持つ実ベクトル空間とする。双対空間V * は、 Jの双対 (または転置) によって与えられる自然な複素構造J * を持つ。したがって、双対空間 ( V *) ^Cの複素化は自然な分解を持つ。

${\displaystyle (V^{*})^{\mathbb {C} }=(V^{*})^{+}\oplus (V^{*})^{-}}$

J *の± i固有空間へ。 ( V *) ^Cと ( V ^C )*の自然な同一視の下で、 ( V *) ^+はV ⁻上でゼロになる複素線形汎関数として特徴付けられる。同様に、( V *) ^−はV ⁺上でゼロになる複素線形汎関数から構成される。

V ^C上の（複素）テンソル代数、対称代数、および外積代数も分解を許容します。外積代数は、おそらくこの分解の最も重要な応用例です。一般に、ベクトル空間U がU = S ⊕ Tという分解を許容する場合、 Uの外積は次のように分解できます。

${\displaystyle \Lambda ^{r}U=\bigoplus _{p+q=r}(\Lambda ^{p}S)\otimes (\Lambda ^{q}T).}$

したがって、 V上の複雑な構造Jは分解を誘発する

${\displaystyle \Lambda ^{r}\,V^{\mathbb {C} }=\bigoplus _{p+q=r}\Lambda ^{p,q}\,V_{J}}$

どこ

${\displaystyle \Lambda ^{p,q}\,V_{J}\;{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\,(\Lambda ^{p}\,V^{+})\otimes (\Lambda ^{q}\,V^{-}).}$

すべての外積は複素数で取られます。したがって、V _{J が}複素次元n (実次元 2 n )を持つ場合、

${\displaystyle \dim _{\mathbb {C} }\Lambda ^{r}\,V^{\mathbb {C} }={2n \choose r}\qquad \dim _{\mathbb {C} }\Lambda ^{p,q}\,V_{J}={n \choose p}{n \choose q}.}$

ヴァンデルモンドの恒等式の結果として、寸法は正しく合計される。

( p , q )形式の空間^{Λp , qVJ} *は、pがV ⁺から、qがV−からでない限り、同次要素上で消滅するV ^C上の_（複素）多重線形形式の空間である。_また、Λp ,qVJ ^*は、 p項で複素線形、q項で共役線形であるVJ_からCへの実多重線形^写像の空間とみなすこともできる。

これらの概念の応用例については、複素微分形式と準複素多様体を参照してください。

• ほぼ複素多様体
• 複素多様体
• 複素微分形式
• 複素共役ベクトル空間
• エルミート構造
• 実際の構造

• 小林 誠、野水健、「微分幾何学の基礎」、ジョン・ワイリー・アンド・サンズ、1969年。ISBN 0-470-49648-7（複雑な構造については、第II巻第IX章第1節で解説しています。）
• Budinich, P.およびTrautman, A. 『The Spinorial Chessboard』、Springer-Verlag、1988。ISBN 0-387-19078-3（複雑な構造については3.1節で説明する。）
• Goldberg SI、『曲率と相同性』、ドーバー出版、1982年。ISBN 0-486-64314-X（複雑な構造とほぼ複雑な多様体については、5.2節で説明します。）