振り子

振り子は、支点から吊り下げられた重りで、自由に揺れる装置です。 ^[1]振り子が静止した平衡位置から横に移動すると、重力による復元力が働き、平衡位置に向かって加速されます。振り子の質量に作用する復元力が解放されると、振り子は平衡位置の周りを前後に揺れながら振動します。左への揺れと右への揺れの 1 サイクルの時間は周期と呼ばれます。周期は振り子の長さによって決まり、また、振り子の揺れの幅である振幅にも多少左右されます。

振り子の規則的な動きは計時に使用され、1930年代まで世界で最も正確な計時技術でした。^{[2] 1656年に}クリスティアーン・ホイヘンスが発明した振り子時計は、世界標準の計時装置となり、270年間にわたって家庭やオフィスで使用され、1930年代に時間基準としてクォーツ時計に取って代わられるまで、年間約1秒の精度を達成しました。振り子は、加速度計や地震計などの科学機器にも使用されています。歴史的には、地理物理調査で重力の加速度を測定する重力計として、また長さの基準としても使用されていました。振り子という言葉は、ラテン語の「ぶら下がる」を意味するpendulusから派生した新ラテン語です。^[3]

物理学と数学の力学系の分野において、二重振り子はカオス振り子とも呼ばれ、端にもう一つ振り子が取り付けられた振り子であり、初期条件に対して強い感受性を持つ豊かな動的挙動を示す単純な物理系を形成する。^{[4]二重振り子の運動は、結合した}常微分方程式の集合によって支配され、カオス的である。

単純な重力振り子^[5]は、振り子の理想化された数学的モデルです。^{[6] [7] [8]これは、}摩擦なしで軸から吊り下げられた質量のないコードの端にある重り（またはボブ）です。最初に押すと、一定の振幅で前後に揺れます。実際の振り子は摩擦と空気抵抗の影響を受けるため、揺れの振幅は減少します。

単純な重力振り子の振動周期は、その長さ、局所的な重力の強さ、そして、振幅と呼ばれる、振り子が垂直から離れる最大角度θ ₀に少し依存します。^{[9]これは、振り子の}質量 とは無関係です。振幅が小さな振動に制限されている場合、^{[注 1]}単純な振り子の 周期T 、つまり完全なサイクルにかかる時間は、次のようになります。^[10]

ここで は振り子の長さ、 は局所的な重力加速度です。 ${\displaystyle L}$${\displaystyle g}$

小さな振動の場合、振動周期は大きさが違ってもほぼ同じです。つまり、周期は振幅に依存しません。等時性と呼ばれるこの特性が、振り子が計時に役立つ理由です。^[11] 振り子の連続した振動は、振幅が変わっても、同じ時間がかかります。

振幅が大きい場合、周期は振幅とともに徐々に増加するため、式(1)で与えられる周期よりも長くなります。たとえば、振幅θ _{0 = 0.4 ラジアン(23°)では、式(1)で与えられる周期よりも1%大きくなります。θ 0}がπラジアン(180°)に近づくにつれて、周期は漸近的に(無限大に)増加します。これは、 θ ₀ = πの値が振り子の不安定な平衡点であるためです。理想的な単純な重力振り子の真の周期は、いくつかの異なる形式で表すことができます(振り子(力学)を参照)。1つの例は、無限級数です: ^{[12] [13]。} ここで、はラジアン単位です。 $${\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {L}{g}}}\left[\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {\left(2n\right)!}{2^{2n}\left(n!\right)^{2}}}\right)^{2}\sin ^{2n}\left({\frac {\theta _{0}}{2}}\right)\right]=2\pi {\sqrt {\frac {L}{g}}}\left(1+{\frac {1}{16}}\theta _{0}^{2}+{\frac {11}{3072}}\theta _{0}^{4}+\cdots \right)}$$${\displaystyle \theta _{0}}$

この真の周期と上記の小さな振動の周期（1）との差を円誤差と呼びます。振り子の振動が6°で振幅が3°（0.05ラジアン）である典型的なおじいさん時計の場合、真の周期と小さな角度の近似値（1）との差は1日あたり約15秒になります。

小さな振動の場合、振り子は調和振動子に近似し、時間tの関数としてのその運動は、ほぼ単振動運動となる：^[6] ここで、は初期条件に依存する定数である。 $${\displaystyle \theta (t)=\theta _{0}\cos \left({\frac {2\pi }{T}}\,t+\varphi \right)}$$${\displaystyle \varphi}$

実際の振り子の場合、周期は空気の浮力や粘性抵抗、弦や棒の質量、振り子の大きさや形、弦への取り付け方、弦の柔軟性や伸びなどの要因によってわずかに変化します。^{[12] [14]} 精密なアプリケーションでは、周期を正確に求めるために、式(1)にこれらの要因の補正を加える必要がある場合があります。

減衰駆動振り子はカオス系である。^[要出典]

固定された水平軸の周りを自由に回転する振動する剛体は、複合振り子または物理振り子と呼ばれます。複合振り子は、長さ の単純重力振り子と同じ周期を持ち、等価長さまたは振動半径と呼ばれ、支点から振動中心と呼ばれる点までの距離に等しくなります。^{[15]この点は、振り子の}質量中心の下にあり、その距離は振り子の質量分布によって異なります。質量のほとんどが振り子の長さに比べて比較的小さな振り子に集中している場合、振動中心は質量中心に近くなります。^[16]${\displaystyle \ell^{\mathrm{eq}}}$

あらゆる物理的な振り子の振動半径または等価長さは次のように表される。 ${\displaystyle \ell^{\mathrm{eq}}}$$${\displaystyle \ell ^{\mathrm {eq} }={\frac {I_{O}}{mr_{\mathrm {CM} }}}}$$

ここで、は振り子の支点周りの慣性モーメント、は振り子の全質量、は支点と質量中心の間の距離です。この式を上記(1)に代入すると、十分に小さい振動の場合、複合振り子の周期は次のように表されます 。^[17]${\displaystyle I_{O}}$${\displaystyle O}$${\displaystyle m}$${\displaystyle r_{\mathrm {CM} }}$${\displaystyle T}$$${\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {I_{O}}{mgr_{\mathrm {CM} }}}}}$$

たとえば、一端を中心に回転する長さ の剛体均一棒の慣性モーメントは です。質量の中心は棒の中心にあるため、これらの値を上の式に代入すると になります。これは、剛体棒振り子の周期が、その長さの 3 分の 2 の単純振り子の周期と同じであることを示しています。 ${\displaystyle \ell}$${\textstyle I_{O}={\frac {1}{3}}m\ell ^{2}}$${\textstyle r_{\mathrm {CM} }={\frac {1}{2}}\ell }$${\textstyle T=2\pi {\sqrt {\frac {{\frac {2}{3}}\ell }{g}}}}$

クリスティアーン・ホイヘンスは1673年に、支点と振動の中心は交換可能であることを証明しました。^[ 18] これは、振り子を上下逆にして、以前の振動の中心にある支点から振った場合、振り子の周期は以前と同じで、新しい振動の中心は古い支点にあることを意味します。1817年にヘンリー・ケーターはこのアイデアを使用して、重力加速度の測定精度を向上させるために、 現在ケーター振り子として知られる可逆振り子の一種を製作しました。

振り子の最も古い用途として知られているのは、漢代の中国科学者張衡が1世紀に作った地震計です。^[19]その機能は、遠くで起きた地震の揺れに揺さぶられて一連のレバーのうちの1つを揺らして作動させることでした。[20] レバーによって放たれた小さなボールが壺型の装置から落ち、地震が^発生 した方位を示す方位8点にある8つの金属製のヒキガエルの口の1つに入ります。^[20]

多くの資料^{[21] [22] [23] [24]}では、10世紀エジプトの天文学者イブン・ユーヌスが時間測定に振り子を使用していたと主張しているが、これは1684年にイギリスの歴史家エドワード・バーナードによって始まった誤りであった。^{[25] [26] [27] [28]}

ルネサンス時代には、鋸やふいご、ポンプなどの手動往復運動機械の動力源として、大きな手動ポンプ式振り子が使われていました。^[29]

イタリアの科学者ガリレオ・ガリレイは、1602年頃から振り子の特性を研究し始めた最初の人物である。^[30]ガリレオによる振り子への関心が最初に記録されたのは、 1588年頃の、死後に出版された『運動について』^{と題された手記である。 [31] [32]}ガリレオは、重い物体は軽い物体よりも長時間振動し続けると述べている。彼の実験研究に関する現存する最古の報告書は、1602年11月29日付のパドヴァのグイド・ウバルド・ダル・モンテ宛の手紙に含まれている。^[33]彼の伝記作家で弟子のヴィンチェンツォ・ヴィヴィアーニは、彼の興味は1582年頃にピサ大聖堂のシャンデリアの揺れる動きに触発されたと主張している。^{[34] [35]}ガリレオは、等時性と呼ばれる、振り子を計時器として有用にする重要な特性を発見した。振り子の周期は、振幅や幅にほぼ依存しない。^[36]彼はまた、周期はおもりの質量に依存せず、振り子の長さの平方根に比例することを発見した。 彼は最初に自由振動振り子を単純な計時用途に使用した。サントリオ・サントリは1602年に、患者の脈拍を振り子の長さで測定する装置、パルシロギウムを発明した。^[37] 1641年にガリレオは息子のヴィンチェンツォに振り子を揺らし続けるための機構の設計を口述し、これが最初の振り子時計と呼ばれている。^[36]ヴィンチェンツォは製作を開始したが、1649年に亡くなったときには完成していなかった。^[38]

1656年、オランダの科学者クリスティアーン・ホイヘンスは最初の振り子時計を作りました。^[39] これは既存の機械式時計の大きな進歩であり、精度は1日あたり約15分の誤差から約15秒に向上しました。^{[40]振り子は既存の時計に}後付けで取り付け られ、ヨーロッパ中に広まりました。^[41]

イギリスの科学者ロバート・フックは1666年頃、円錐振り子を研究した。これは2次元的に自由に振れる振り子で、おもりは円または楕円を描いて回転する。 ^[42] 彼はこの装置の動きをモデルとして使い、惑星の軌道運動を分析した。^[43]フックは1679年にアイザック・ニュートンに、軌道運動の成分は接線方向の慣性運動と半径方向の引力運動で構成されていると示唆した。これはニュートンが万有引力の法則を定式化する上で役立った。^{[44] [45]}ロバート・フックは1666年という早い時期に、振り子を使って重力の力を測定できると示唆した人物でもある。^[42]

1671年にフランス領ギアナのカイエンヌへの探検中に、ジャン・リシェは振り子時計が2+カイエンではパリよりも1日あたり1⁄2分遅い。このことから、彼はカイエンでは重力が弱いと推測した。 ^{[46] [47]} 1687年、アイザック・ニュートンは『プリンキピア・マテマティカ』で、これは地球が真の球体ではなく、自転による遠心力の影響でわずかに扁平（極が平ら）であり、緯度とともに重力が増加するためで。 ^[48] 遠方の土地への航海には、地球上のさまざまな地点での重力の加速度を測定するための精密重力計として携帯可能な振り子が持参されるようになり、最終的には地球の形状の正確なモデルが生まれました。 ^[49]

1673年、振り子時計を発明した17年後に、クリスティアーン・ホイヘンスは振り子の理論『振り子の振動する時計』を出版した。^{[50] [51]} マラン・メルセンヌとルネ・デカルトは1636年頃に振り子が完全に等時性ではなく、その周期は振幅とともにいくらか増加することを発見していた。^[52] ホイヘンスはこの問題を、出発点に関係なく、同じ時間間隔で同じ地点に重力によって降下するために物体がたどる曲線、いわゆるトートクロン曲線を決定することによって分析した。彼は微積分の初期の使用であった複雑な方法によって、この曲線が振り子の円弧ではなくサイクロイドであることを示し、 ^[53]振り子は等時性ではなく、ガリレオの等時性の観察は小さな振幅に対してのみ正確であることを確認した。^{[54]ホイヘンスは、任意の形状の振り子（}複合振り子と呼ばれる） の周期を計算する問題も解決し、振動の中心と支点との互換性を発見した。^[55]

既存の時計ムーブメントであるバージ脱進機では、振り子は約100°という非常に広い弧を描いて振動していた。^[56]ホイヘンスはこれが不正確さの原因であり、時計の駆動力の避けられない小さな変動によって引き起こされる振幅の変化によって周期が変わることを示した。^[57] 周期を等時性にするために、ホイヘンスは時計の枢軸の横にサイクロイド形の金属ガイドを取り付け、吊り紐を拘束して振り子がサイクロイド弧をたどるようにした（サイクロイド振り子を参照）。^[58] この解決策は、振り子の振動を数度の小さな角度に制限するだけの場合ほど実用的ではなかった。小さな振動だけが等時性であるという認識が、1670年頃にアンカー脱進機 の開発の動機となり、これにより時計の振り子の振動が4°～6°に減少した。^{[56] [59]}これは振り子時計に使用される標準的な脱進機となった。

18世紀から19世紀にかけて、最も正確な時間管理装置としての振り子時計の役割は、振り子の改良に関する多くの実用的な研究を促しました。誤差の主な原因は、振り子棒が周囲の温度変化によって伸縮し、振動周期が変わることであることが判明しました。 ^{[9] [60]この問題は、温度補正振り子、1721年の水銀振り子[61]}、 1726年の鉄格子振り子 の発明によって解決され、高精度振り子時計の誤差は週に数秒にまで減少しました。^[58]

振り子による重力測定の精度は、振動の中心の位置を見つけるのが難しいという制限があった。ホイヘンスは1673年に、振り子を振動の中心から吊るした場合と支点から吊るした場合の周期は同じであることを発見した。^[18]また、2点間の距離は同じ周期の単純な重力振り子の長さに等しい。^[15] 1818年にイギリスのヘンリー・ケーター大尉は、この原理を利用した可逆ケーター振り子^[62]を発明し、非常に正確な重力測定を可能にした。次の世紀、可逆振り子は絶対重力加速度を測定する標準的な方法となった。

1851年、ジャン・ベルナール・レオン・フーコーは、ジャイロスコープのように振り子の振動面は軸の動きに関わらず一定に保たれる傾向があり、これを利用して 地球の自転を実証できることを示した。彼はパリのパンテオンのドームから、2次元で自由に振れる振り子（後にフーコーの振り子と名付けられた）を吊り下げた。紐の長さは67メートル（220フィート）であった。振り子が動き出すと、約32時間で振り子面が歳差運動、つまり時計回りに360度回転することが観測された。^[63] これは天体観測に頼らない地球の自転の実証としては初めてのものであり、^[64]多くの都市でフーコーの振り子が展示され、大勢の人が集まるなど、「振り子マニア」が巻き起こった。^{[65] [66]}

1900年頃、最高精度の時計やその他の計器の振り子棒に低熱膨張材料が使われるようになった。最初はニッケル鋼合金のインバーが使われ、後に溶融石英が使われ、温度補正が簡単になった。^[67] 精密振り子は低圧タンクに収められ、気圧の変化による振り子の浮力の変化による周期の変化を防ぐために気圧が一定に保たれた。^[67] 最高の振り子時計は年間約1秒の精度を達成した。^{[68] [69]}

振り子の計時精度は1921年に発明された水晶振動子に追い抜かれ、 1927年に発明された水晶時計が世界最高の計時装置として振り子時計に取って代わった。^[2] 振り子時計は第二次世界大戦まで時間基準として使用されていたが、フランス時刻局は1954年まで公式の時間基準装置として使い続けた。 ^[70] 振り子重力計は1950年代に「自由落下」重力計に取って代わられたが、^[71]振り子計器は1970年代まで使用され続けた。

1582年頃の発見から1930年代のクオーツ時計の開発まで、300年間、振り子は正確な時間を計るための世界標準でした。^{[2] [72]} 時計の振り子に加えて、自由振動の秒振り子は、 17世紀と18世紀の科学実験で精密タイマーとして広く使用されていました。振り子には大きな機械的安定性が求められ、わずか0.02％の長さの変化、つまりおじいさんの時計の振り子で0.2mmの長さの変化が、1週間に1分の誤差を引き起こします。^[73]

時計の振り子（右の例を参照）は通常、重りまたはおもり （b）が 木または金属の棒（a）で吊り下げられて作られています。^{[9] [74]}空気抵抗（精密時計のエネルギー損失の大部分を占める） を減らすため^[75]、 おもりは伝統的にレンズ形の断面を持つ滑らかな円盤ですが、アンティーク時計では時計の種類に特有の彫刻や装飾が施されていることがよくありました。高品質の時計では、おもりはサスペンションが支えられ、ムーブメントが駆動できる限り重く作られています。これは、これにより時計の調整が向上するためです（下記の「精度」を参照）。秒振り子のおもりの一般的な重量は 15 ポンド（6.8 kg）です。^[76] 時計の振り子は、支点から吊るすのではなく、通常は柔軟な金属リボンの短いまっすぐなバネ （d）で支えられています。これにより、支点によって生じる摩擦と「遊び」が回避され、バネのわずかな曲げ力は振り子の復元力にのみ加わります。最も精度の高い時計には、瑪瑙の板の上に置かれた「ナイフ」の刃の支点があります。振り子を揺らし続けるための刺激は、振り子の後ろにぶら下がっている「松葉杖」 (e)と呼ばれる腕によって供給されます。この腕の先端はフォーク(f)になっており、その先端が振り子の棒を包み込みます。松葉杖は、時計の脱進機(g、h)によって前後に押されます。

振り子が中心位置を通過するたびに、ガンギ車 (g)の歯が 1 つ解放されます。時計の歯車列を介して伝達される時計の主ゼンマイまたは滑車から吊り下げられた駆動重りの力によって歯車が回転し、歯がパレット(h)の 1 つに押し付けられて振り子が短く押されます。ガンギ車に連動する時計の歯車は、振り子が 1 回振動するたびに一定量前進し、時計の針を一定の速度で進めます。

振り子には周期を調整する手段が常に備わっており、通常は振り子の下にある調整ナット(c)^{で振り子を棒の上で上下に動かす。 [9] [77]} 振り子を上に動かすと振り子の長さが短くなり、振り子の揺れが速くなり時計の時間が進む。精密時計の中には、より微調整ができるように、振り子のねじ軸に小さな補助調整重りが付いているものがある。塔時計や精密時計の中には、振り子棒の中間点近くにトレイが取り付けられており、そこに小さな重りを付けたり外したりできるものがある。これにより振動の中心が効果的に移動され、時計を止めることなく速度を調整できる。^{[78] [79]}

振り子は堅固な支えから吊り下げられなければならない。^{[9] [80]} 動作中、支えに弾力性があると、感知できないほどの小さな揺れが生じ、時計の周期が乱れ、誤差が生じる。振り子時計は頑丈な壁にしっかりと取り付けなければならない。

高級時計で最も一般的な振り子の長さは、常に柱時計に使用されている約1メートル（39インチ）の秒振り子です。マントルピース時計では、長さ25センチメートル（9.8インチ）またはそれより短い半秒振り子が使用されています。少数の大型塔時計のみが、より長い振り子、長さ2.25メートル（7.4フィート）の1.5秒振り子、または時折ビッグベンで使用されている4メートル（13フィート）の2秒振り子^{[9] [81]}を使用します。^[82]

初期の振り子の最大の誤差源は、周囲の温度変化による振り子棒の熱膨張と収縮により長さがわずかに変化することだった。^[83] これは、振り子時計が夏には週に1分も遅くなることを発見した際に発見された^{[60] [84]}（最初のうちの1人はゴドフロワ・ウェンデリンで、1658年にホイヘンスが報告している）。^[85] 振り子棒の熱膨張は、1669年にジャン・ピカールが初めて研究した。 ^{[86] [87]}鋼鉄の棒を持つ振り子は、摂氏1度上昇するごとに約11.3 ppm膨張するため、温度が摂氏1度上昇するごとに1日あたり約0.27秒、または33 °C（59 °F）の変化で1日あたり9秒遅れることになる。木製の棒は膨張が少なく、1 日に 33 °C (59 °F) の変化に対して 6 秒程度しか失われません。そのため、高品質の時計には木製の振り子棒が使われていることが多いのです。湿度の変化も長さに影響するため、木材には水蒸気が入り込まないようにニスを塗る必要がありました。

この誤差を補正する最初の装置は、ジョージ・グラハム^[61]が1721 年に発明した水銀振り子でした^{[9] [84]。} 液体金属水銀は、温度とともに体積が膨張します。水銀振り子では、振り子の重り (おもり) は水銀の入った容器です。温度が上昇すると、振り子の棒は長くなりますが、水銀も膨張して容器内での水銀表面の高さがわずかに上昇し、質量の中心が振り子の支点に近づきます。容器内の水銀の高さを正しく設定することで、これら 2 つの効果が打ち消され、振り子の質量の中心と周期は温度によって変化しません。主な欠点は、温度が変化すると、棒は新しい温度にすぐに達しますが、水銀の質量が新しい温度に達するまでに 1 日か 2 日かかるため、その間に速度がずれてしまうことです。^[88] 熱調整を改善するために、金属製の薄い容器がいくつか使用されることが多かったです。水銀振り子は20世紀まで精密調節時計の標準として使われていました。^[89]

最も広く使われた補正振り子は、1726年にジョン・ハリソンが発明したグリアイアン振り子 である。^{[9] [84] [88]これは、熱膨張率 (} CTE )が低い鋼と、熱膨張率が高い亜鉛または真鍮の2種類の異なる金属の棒を交互に並べたものである。右の図に示すように、棒はフレームで接続されており、亜鉛棒の長さが長くなると振り子が押し上げられ、振り子が短くなる。温度が上昇すると、膨張率の低い鋼棒は振り子を長くし、膨張率の高い亜鉛棒は振り子を短くする。棒を正しい長さにすることで、亜鉛の大きな膨張が、合計長さが長い鋼棒の膨張を打ち消し、振り子は温度に関係なく同じ長さを保つ。

亜鉛鋼のすのこ振り子は5本の棒で作られていますが、真鍮の熱膨張は鋼に近いため、真鍮鋼のすのこには通常9本の棒が必要です。すのこ振り子は水銀振り子よりも温度変化に早く適応しますが、科学者はフレームの穴の中で滑る棒の摩擦により、すのこ振り子が一連の小さなジャンプで調整されることを発見しました。^{[88]高精度の時計では、これにより時計の速度がジャンプごとに突然変化しました。後に、亜鉛は}クリープの影響を受けることがわかりました。これらの理由から、水銀振り子は最高精度の時計に使用され、すのこは高品質の調整時計に使用されました。

グリディロン振り子は高品質と結び付けられるようになったため、今日に至るまで、多くの一般的な時計の振り子には、実際には温度補正機能を持たない装飾的な「偽の」グリディロンが付いています。

1900年頃、熱膨張率の低い材料が開発され、複雑な温度補正を不要にするために振り子の棒として使用できるようになった。^{[9] [84]}これらは、振り子が時間基準として時代遅れになるまで、いくつかの最高精度の時計にのみ使用された。1896年、シャルル・エドゥアール・ギヨームはニッケル 鋼 合金の インバーを発明した。これはCTEが約0.9  ppm /°C（0.5 ppm/°F）、その結果、22 °C（71 °F）を超える振り子の温度誤差は1日あたりわずか1.3秒となり、この残留誤差は振り子の重りの下に数センチメートルのアルミニウムを置くことでゼロに補正できました^{[2] [88]}（これは上記のリーフラー時計の画像で確認できます）。インバー振り子は、1898年にリーフラー調整時計^[90]で初めて使用され、1日あたり15ミリ秒の精度を達成しました。振り子に対するバネの復元力の温度変化を排除するために、エリンバー のサスペンションスプリングが使用されました。後に、CTEがさらに低い溶融石英が使用されました。これらの材料は、現代の高精度振り子に選ばれています。^[91]

運動する振り子に対する周囲の空気の影響は複雑であり、正確に計算するには流体力学が必要であるが、ほとんどの場合、その周期への影響は3つの効果によって説明できる。^{[67] [92]}

• アルキメデスの原理により、振り子の有効重量は、それが押しのける空気の浮力によって減少しますが、質量(慣性)は同じままなので、振り子の振動中の加速度が減少し、周期が増加します。これは、振り子の形状ではなく、空気圧と密度に依存します。
• 振り子は揺れるときに一定量の空気を運びます。この空気の質量によって振り子の慣性が増し、加速度が減り、周期が長くなります。これは、振り子の密度と形状の両方に依存します。
• 空気の粘性抵抗により振り子の速度が遅くなります。これは周期にほとんど影響しませんが、エネルギーを消散させ、振幅を減らします。これにより振り子のQ 係数が低下し、振り子を動かし続けるために時計の機構からより強い駆動力が必要になり、周期の乱れが大きくなります。

気圧の上昇は最初の2つの効果により振り子の周期をわずかに増加させ、1キロパスカルあたり1日あたり約0.11秒（水銀柱インチあたり1日あたり0.37秒、トルあたり1日あたり0.015秒）増加させます。^{[67]振り子を使用して}重力加速度を測定する研究者は、測定高度の気圧の周期を補正し、真空中で揺れる振り子の等価周期を計算しなければなりませんでした。振り子時計は、1865年にベルリン天文台のフリードリヒ・ティーデによって初めて定圧タンク内で動作し、^{[93] [94]} 1900年までには、気圧の変化を排除するために一定圧力に保たれたタンク内に最高精度の時計が取り付けられました。あるいは、振り子に取り付けられた小さなアネロイド気圧計機構でこの効果を補正するものもありました。

振り子は重力加速度の変化の影響を受けます。重力加速度は地球上の場所によって最大 0.5% 変化するため、精密な振り子時計は移動後に再調整する必要があります。振り子時計を高層ビルの最上階に移動しただけでも、重力の減少により測定可能な時間の遅れが生じる可能性があります。

振り子、テンプ、クオーツ時計に使用される水晶、さらには原子時計の振動する原子を含むすべての時計の計時要素は、物理学では調和振動子と呼ばれます。調和振動子が時計に使用されている理由は、特定の共振周波数または周期で振動または発振し、他の速度で振動しにくいためです。ただし、共振周波数は無限に「鋭い」わけではありません。共振周波数の周りには、共鳴幅または帯域幅と呼ばれる狭い自然の周波数（または周期）帯域があり、そこで調和振動子が発振します。^{[95] [96]} 時計では、振り子の実際の周波数は、外乱に応じてこの共鳴幅内でランダムに変化しますが、この帯域外の周波数では、時計はまったく機能しません。共鳴幅は、減衰、つまり振り子の1回の振動あたりの摩擦エネルギー損失によって決まります。

調和振動子の振動周期に対する外乱に対する耐性の尺度は、共振周波数を共振幅で割った値に等しいQ係数と呼ばれる無次元パラメータである。^{[96] [97]} Q 値が高いほど、共振幅は狭くなり、与えられた外乱に対する振動子の周波数または周期はより一定になる。^[98] Q値の逆数は、時間標準としての調和振動子が達成できる限界精度にほぼ比例する。^[99]

Q は、振動子の振動が消えるまでの時間と関係があります。振り子のQは、振り子の振幅が最初の振動の 1/ e = 36.8% に減衰するのにかかる振動数を数え、それに 'π を掛けることで測定できます。

時計では、振り子が揺れ続けるためには、時計の機構から振り子への押圧力を受け、摩擦で失われるエネルギーを補わなければなりません。脱進機と呼ばれる機構によって加えられるこれらの押圧力が、振り子の動きに対する主な乱れの原因です。Q は、振り子に蓄えられたエネルギーの 2 π倍を、各振動周期中に摩擦で失われるエネルギーで割った値に等しく、このエネルギーは、脱進機によって各周期に加えられるエネルギーと同じです。摩擦で失われる振り子のエネルギーの割合が小さいほど、加える必要のあるエネルギーが少なくなり、脱進機による乱れが少なくなり、振り子が時計の機構からより「独立」し、周期がより一定になることがわかります。振り子の Q は次のように求められます。 ここで 、Mは振り子の質量、 ω = 2 π / Tは振り子の振動のラジアン周波数、Γ は単位速度あたりの振り子の 摩擦減衰力です。$${\displaystyle Q={\frac {M\omega }{\Gamma }}}$$

ω は振り子の周期によって決まり、M はサスペンションの荷重容量と剛性によって制限されます。したがって、時計振り子のQ は摩擦損失 (Γ) を最小限に抑えることで増加します。精密振り子は、瑪瑙のプレートに載った三角形の「ナイフ」エッジからなる低摩擦ピボットに吊り下げられています。自由振動振り子のエネルギー損失の約 99% は空気摩擦によるものであるため、振り子を真空タンクに取り付けると Q が増加し、精度が 100 倍になります^。[100]

振り子のQは、普通の時計では数千から、真空中で振動する精密調整振り子では数十万に及ぶ。^[101] 高品質の家庭用振り子時計のQは10,000で、精度は1か月に10秒である。最も正確な市販の振り子時計は、1921年に発明されたショート・シンクロノーム自由振り子時計であった。 ^{[2] [68] [102] [103] [104]}真空タンクで振動する そのインバー製マスター振り子のQは110,000 ^[101]で、誤差率は年間約1秒であった。^[68]

振り子のQ値は10 ³ –10 ⁵ であり、これが振り子が時計のテンプ（ Q値は約100–300）よりも正確な計時器であるが、クオーツ時計の水晶（Q値は10 ⁵ –10 ⁶ ）よりも精度が低い理由の1つである。^{[2] [101]}

振り子は（例えば水晶とは異なり）Qが十分に低いため、振り子を動かし続けるための衝撃によって引き起こされる外乱が、一般に計時精度を制限する要因となります。したがって、これらの衝撃を提供する機構である脱進機の設計は、時計の振り子の精度に大きな影響を与えます。脱進機が振り子に与える衝撃が各スイングでまったく同じであれば、振り子の応答は同じになり、周期は一定になります。ただし、これは実現可能ではありません。時計のパレットの摩擦、潤滑油の変動、時計の動力源が停止するときに発生するトルクの変化などにより、力にランダムな変動が避けられず、脱進機によって加えられる衝撃の力が変化するためです。

脱進機の力のこれらの変化が振り子の振動幅 (振幅) の変化を引き起こす場合、有限の振動を持つ振り子は完全に等時性ではないため (上で説明したように)、周期にも対応するわずかな変化が生じます。したがって、従来の脱進機設計の目標は、適切なプロファイルで、振り子の周期の正しい時点で力を適用し、力の変化が振り子の振幅に影響を与えないようにすることです。これを等時脱進機と呼びます。

時計職人たちは何世紀も前から、脱進機の駆動力が振り子の周期に及ぼす妨害効果は、振り子が底の平衡位置を通過するときに短い衝撃として与えられた場合に最小になることを知っていました。^[2] 衝撃が振り子が底に達する前、つまり下向きの振動中に発生した場合、それは振り子の自然周期を短くする効果があるため、駆動力が増加すると周期は短くなります。衝撃が振り子が底に達した後、つまり上昇中に発生した場合、それは周期を長くするため、駆動力が増加すると振り子の周期は長くなります。 1826年、イギリスの天文学者ジョージ・エアリーはこのことを証明しました。具体的には、振り子が底の平衡位置について対称な衝撃によって駆動されている場合、振り子の周期は駆動力の変化の影響を受けないことを証明しました。^[105]デッドビート脱進機 などの最も正確な脱進機は、この条件をほぼ満たしています。^[106]

振り子の周期方程式（1）に重力加速度 gが存在することは、振り子の周期から地球の局所的な重力加速度を計算できることを意味します。したがって、振り子は、地球の表面全体で0.5％以上変化する局所的な重力を測定するための重力計として使用できます。 ^{[107] [注2]}時計の振り子は、時計の動きから受ける押力によって乱されるため、自由振動振り子が使用され、 1930年代まで 重力測定の標準的な機器でした。

時計振り子と重力計振り子の違いは、重力を測定するには、振り子の長さだけでなく周期も測定する必要があることです。自由振動する振り子の周期は、頭上の星の通過によって正確な時間を保つように調整された精密時計と振り子の振りを比較することで、非常に正確に測定できました。初期の測定では、時計振り子の前に紐で重りを吊り下げ、2つの振り子が正確に同期して振動するまでその長さを調整しました。次に、紐の長さを測定しました。長さと周期から、式(1)でgを計算できました。

秒振り子は周期が 2 秒で、1 回の振動に 1 秒かかる振り子で、重力の測定に広く使用されていました。これは、秒振り子を備えた精密な調整時計と比較することで周期を簡単に測定できるためです。17 世紀後半までに、秒振り子の長さは、ある場所における重力加速度の強さを測る標準的な尺度となりました。1700 年までに、ヨーロッパのいくつかの都市で、秒振り子の長さは 1 ミリメートル未満の精度で測定されていました。秒振り子の場合、g は長さに比例します。 $${\displaystyle g\propto L.}$$

• 1620年：イギリスの科学者フランシス・ベーコンは、振り子を使って重力を測定することを初めて提案した人物の一人であり、山に振り子を持って行って高度によって重力が変化するかどうかを観察することを提案した。^[108]
• 1644 : 振り子時計が登場する以前、フランスの司祭マリン・メルセンヌは、振り子の振れと重りが測定距離を落下するのにかかる時間を比較して、秒振り子の長さが 39.1 インチ (990 mm) であることを初めて判定しました。また、振り子の振れ幅が周期に関係していることを初めて発見しました。
• 1669年：ジャン・ピカールはパリでアロエ繊維で吊るされた直径1インチ（25 mm）の銅球を使用して秒振り子の長さを決定し、39.09インチ（993 mm）という値を得た。^[109] 彼はまた、振り子棒の温度による熱膨張と収縮に関する最初の実験を行った。
• 1672年: 地球上のさまざまな地点で重力が異なることを初めて観測したのは、1672年にジャン・リシェでした。彼は振り子時計をフランス領ギアナのカイエンヌに持ち込み、2秒遅れていることを発見しました。+1日1⁄2分。秒振り子を1分短縮する必要があった。+秒振り子は、正確な時間を保つために、パリのものより1 ⁄ 4 リーニュ(2.6 mm) 短くなっていました。 ^{[110] [111]} 1687 年、アイザック・ニュートンは『プリンキピア・マテマティカ』でこれは地球が 自転の遠心力によってわずかに扁平な形 (極で平らになっている)^{になっているためであると示しました。緯度が高いほど、表面は地球の中心に近くなるため、重力は緯度とともに増加しました。 [111]} この頃から、振り子は重力を測定するために遠い土地に持ち込まれるようになり、地球上のさまざまな場所での秒振り子の長さの表がまとめられました。 1743 年、アレクシ・クロード・クレローは、地球の最初の静水力モデルであるクレローの定理を作成しました。 [ ^109]これにより、重力測定から地球の楕円率を計算できるようになりました。地球の形状のより正確なモデルが次第に続きました。
• 1687年：ニュートンは振り子の実験（プリンキピアで説明）を行い、異なる材質の錘が付いた同じ長さの振り子は同じ周期を持つことを発見し、異なる物質にかかる重力はその質量（慣性）に正確に比例することを証明しました。等価原理と呼ばれるこの原理は、後の実験でより高い精度で確認され、アルバート・アインシュタインが一般相対性理論の基礎となりました。

• 1737年：フランスの数学者ピエール・ブーゲは、ペルーのアンデス山脈で一連の高度な振り子観測を行った。 ^[112] 彼は糸で吊るされた両尖円錐形の銅製の振り子の錘を使用した。この錘は、不均一な密度の影響を排除するために反転させることができた。彼は、錘の中心を使用する代わりに、糸と錘を組み合わせた振動の中心までの長さを計算した。彼は測定棒の熱膨張と気圧を補正し、真空中で振動する振り子の結果を示した。ブーゲは、同じ振り子を海面からペルーの高原の頂上まで、3つの異なる高度で振った。重力は、地球の中心からの距離の2乗に反比例して減少するはずである。ブーゲは、重力の減少が遅いことを発見し、この「余分な」重力は広大なペルー高原の重力場によるものだと正しく結論付けた。彼は岩石サンプルの密度からアルティプラノが振り子に与える影響を推定し、これを地球の重力と比較することで、地球の密度を初めて大まかに推定することができました。
• 1747年：ダニエル・ベルヌーイは、_{有限の振り角}θ0による周期の延長を、一次補正θ0 2/16を用いて補正する方法を示し_、極めて小さな^振り子の周期を与えた。^[112]
• 1792年：新しいメートル法で使用するための振り子の長さの標準を定義するために、1792年にジャン＝シャルル・ド・ボルダとジャン＝ドミニク・カッシーニはパリで秒振り子の正確な測定を行いました。彼らは1+1 ⁄ 2インチ (14 mm) ^{[要説明] の}プラチナ球が 12 フィート (3.7 m) の鉄線で吊り下げられています。彼らの主な革新は、「一致法」と呼ばれる技術で、これにより振り子の周期を非常に正確に比較できるようになりました (ブーゲもこの方法を使用していました)。2 つの振り子が同期して揺れる繰り返しの瞬間間の時間間隔 Δ tが計測されました。これにより、振り子の周期の差T ₁とT ₂が計算されました。$${\displaystyle {\frac {1}{\Delta t}}={\frac {1}{T_{1}}}-{\frac {1}{T_{2}}}}$$
• 1821年：フランチェスコ・カルリーニはイタリアのセニス山の頂上で振り子観測を行い、ブーゲと同様の方法を用いて地球の密度を計算した。^[113] 彼は自分の測定値を、海面での近くの振り子測定から計算した、山が存在しないと仮定したその場所の重力の推定値と比較した。彼の測定値は「過剰」重力を示しており、彼はこれを山の影響に割り当てた。山を直径11マイル（18km）、高さ1マイル（1.6km）の球体の一部分としてモデル化し、岩石サンプルからその重力場を計算し、地球の密度を水の4.39倍と推定した。後に他の人が再計算したところ、4.77と4.95という値となり、これらの地理的手法の不確実性を示した。

上記の初期の重力測定の精度は、振り子の長さL の測定の難しさによって制限されていました。 L は、理想的な単純重力振り子 (上記で説明) の長さで、そのすべての質量は紐の端の一点に集中しています。 1673 年にホイヘンスは、剛体棒振り子 (複合振り子と呼ばれる) の周期が、単純振り子の周期に等しいことを示し、その長さは、振り子に沿った質量分布に依存する、重心の下にある振動中心と呼ばれる点と、回転中心との間の距離に等しいことを示しました。 しかし、実際の振り子の振動中心を正確に決定する方法はありませんでした。 ホイヘンスの発見は、ホイヘンスの (サイクロイド) 振り子の法則と呼ばれることもあります。^[114]

この問題を回避するために、上記の初期の研究者は、軽いワイヤーまたはコードで吊るされた金属球を使用して、理想的な単純な振り子にできるだけ近似しました。ワイヤーが十分に軽い場合、振動の中心はボールの重心、つまりボールの幾何学的中心に近くなります。この「ボールとワイヤー」タイプの振り子は、剛体として振動せず、ワイヤーの弾性により振り子が振動すると長さがわずかに変化するため、あまり正確ではありませんでした。

しかしホイヘンスは、どんな振り子でも、支点と振動の中心は交換可能であることも証明した。^[18] つまり、振り子を逆さまにして振動の中心から吊るすと、振り子は前の位置と同じ周期を持ち、古い支点が新しい振動の中心になる。

1817年、イギリスの物理学者で陸軍大尉のヘンリー・ケーターは、ホイヘンスの原理を使って、実際の振り子と同じ周期を持つ単純な振り子の長さを測定できることに気付きました。 ^[62] 振り子の底近くに調整可能な第2の支点を設けて逆さまに吊るせるようにし、第2の支点を調整して、両方の支点から吊るした周期が同じになるようにすると、第2の支点が振動の中心になり、2つの支点間の距離は同じ周期を持つ単純な振り子の長さLになります。

ケーターは、真鍮の棒と、両端近くにある短い三角形の「ナイフ」の刃(a)でできた 2 つの相対する支点からなる可逆振り子 (図を参照)を製作しました。ナイフの刃は瑪瑙の板で支えられており、どちらの支点からでも振り回すことができます。片方の支点を調整可能にするのではなく、彼は支点を 1 メートル離して取り付け、振り子の棒(b、c)の可動式の重りで周期を調整しました。操作中は、振り子を精密時計の前に吊り下げて周期を計り、次に逆さまにして再び周期を計ります。重りは、周期が等しくなるまで調整ネジで調整します。次に、この周期と支点間の距離を式 (1) に代入すると、重力加速度g が非常に正確に得られます。

ケーターは「コインシデンス法」を使って振り子の振動の時間を計り、マイクロメーターで2つの軸の間の距離を測定した。振動の有限な振幅、おもりの浮力、気圧と高度、温度の補正を行った後、真空中、海面、華氏62度でロンドンの秒振り子の値が39.13929インチになった。12回の観測値の平均からの最大変動は0.00028インチだった。^[115]これは重力測定の精度が7×10 ⁻⁶ (7 mGalまたは 70 μm/s ² )であることを示している。ケーターの測定値は1824年から1855年までイギリスの公式の長さの基準として使用された (下記参照)。

ケーターの原理を採用した可逆振り子（技術的には「変換可能」振り子として知られている）は、1930 年代まで絶対重力測定に使用されていました。

ケーターの振り子によって精度が向上したことにより、重力測定法は測地学の標準的な一部となりました。重力測定が行われた「観測所」の正確な位置 (緯度と経度) が必要であったため、重力測定は測量の一部となり、18 世紀の大規模な測地測量、特にインドの大三角測量では振り子が使用されました。

• 不変振り子:ケーターは、ケーターの振り子による絶対測定を補うために、相対的な重力測定 という考え方を導入した。 ^[116] 2 つの異なる地点での重力の比較は、ケーター法で絶対的に測定するよりも簡単なプロセスであった。必要なことは、通常の (単一支点の) 振り子の周期を最初の地点で計測し、次に振り子を他の地点に移動させてそこで周期を計測することだけであった。振り子の長さは一定であるため、(1) から、重力加速度の比は周期の比の 2 乗の逆数に等しく、正確な長さの測定は不要であった。したがって、ケーター法または他の正確な方法によって、ある中央ステーションで重力を絶対的に計測したら、中央ステーションで振り子を振ってから他の場所に持って行き、そこで振り子の振れを計測することで、他の地点での重力を測定できる。ケーターは、ナイフエッジの支点が 1 つだけの「不変」振り子のセットを製作し、最初に英国のキュー天文台の中央ステーションで振られた後、多くの国に持ち込まれました。
• エアリーの炭鉱実験：1826年から、イギリスの天文学者ジョージ・エアリーは、ブーゲと同様の方法を用いて、炭鉱の上部と下部で振り子重力測定を行うことで地球の密度を決定しようと試みた。^{[117] [118]} 地球の表面下の重力は深さとともに増加するのではなく減少する。これは、ガウスの法則により、地下の点より上の球状の地殻の質量は重力に寄与しないからである。1826年の実験は炭鉱の浸水により中止されたが、1854年に彼はハートン炭鉱で改良された実験を行った。これは、電気回路で同期された精密クロノメーターで時間を計り、瑪瑙の板の上で揺れる秒針振り子を使用したものである。彼は、下側の振り子が1日あたり2.24秒遅いことを発見した。これは、地表から 1250 フィート下の鉱山の底での重力加速度が、反比例の法則から予想される値よりも 1/14,000 少ないことを意味しています。つまり、球殻の引力は地球の引力の 1/14,000 です。表面の岩石のサンプルから、彼は地殻の球殻の質量を推定し、そこから地球の密度は水の 6.565 倍であると推定しました。フォン スターネックは 1882 年にこの実験を繰り返そうとしましたが、結果に一貫性がありませんでした。

• レプソルド・ベッセル振り子:ケーターの振り子を繰り返し振り、周期が等しくなるまで重りを調整するのは時間がかかり、誤差も生じやすかった。 フリードリヒ・ベッセルは1835年にこれが不要であることを示した。^[119] 周期が近い限り、重力は2つの周期と振り子の重心から計算できる。^[120] そのため、可逆振り子は調整可能である必要はなく、2つの支点を持つ棒でよい。ベッセルはまた、振り子をその中心に対して対称形にし、片方の端に内部的に重りを付けると、空気抵抗による誤差が相殺されることを示した。さらに、ナイフエッジの有限直径による別の誤差は、測定間でそれらを交換すれば相殺できる。ベッセルはそのような振り子を製作しなかったが、1864 年にスイス測地委員会の契約によりアドルフ レプソルドがこれと同様の振り子を製作した。レプソルドの振り子は長さが約 56 cm、周期は約3 ⁄ 4秒であった。この振り子はヨーロッパの測地機関で広く使用され、インド測量局ではケーター振り子と共に使用された。このタイプの同様の振り子はチャールズ ピアースと C. デフォルジュによって設計された。

• フォン・シュテルネックとメンデンホール重力計: 1887年、オーストリア・ハンガリー帝国の科学者ロバート・フォン・シュテルネックは、温度と気圧の影響を排除するために、温度制御された真空タンクに取り付けられた小型の重力計振り子を開発した。これは、長さ約25cmで、周期が1秒に近い「半秒振り子」を使用した。振り子は非可逆であるため、相対重力測定に使用されたが、サイズが小さいため、小型で持ち運び可能であった。振り子の周期は、高精度クロノメーターによって生成された電気火花の像を振り子棒の上部に取り付けられた鏡に反射させることによって測定された。フォン・シュテルネックの計器と、 1890年に米国沿岸測地測量局のトーマス・C・メンデンホールが開発した同様の計器^[121]は、1920年代まで調査に広く使用された。

メンデンホール振り子は、実際には当時の最高精度の時計よりも正確な時間計測器であり、「世界最高の時計」として、1924年にカリフォルニア州ウィルソン山でアルバート・A・マイケルソンが光の速度を測定する際に使用された。 ^[121]

• 二重振り子重力計: 1875年以降、振り子測定の精度が向上するにつれて、既存の計器の別の誤差源が明らかになった。振り子の揺れにより、携帯用振り子を支える三脚スタンドがわずかに揺れ、誤差が生じていたのである。1875年にチャールズ・S・ピアースは、レプソルド計器で秒振り子の長さを測定すると、この誤差のために0.2mmの補正が必要であると計算した。^[122] 1880年にC・デフォルジュはマイケルソン干渉計を使用してスタンドの揺れを動的に測定し、標準的なメンデンホール装置に干渉計を追加して揺れの補正を計算した。^[123] この誤差を防ぐ方法は、1877年にエルヴェ・フェイによって初めて提案され、ピアース、セレリエ、フルトヴェングラーによって支持された。それは、2つの同一の振り子を同じ支持台に取り付け、同じ振幅で180°位相をずらして揺れさせるというものである。振り子の反対方向の動きは、支持部にかかる横方向の力を打ち消す。このアイデアは複雑であるため反対されたが、20 世紀初頭までにフォン スターネックの装置とその他の機器は、複数の振り子を同時に動かすように改良された。

• ガルフ重力計: 最後で最も正確な振り子重力計の 1 つは、1929 年にガルフ研究開発会社によって開発された装置でした。^{[124] [125]この装置は、長さが 10.7 インチ (270 mm)、周期が 0.89 秒の}溶融石英 製の振り子 2 つを使用し、パイレックスのナイフ エッジ ピボット上で 180° 位相がずれて揺れていました。振り子は、恒久的に密閉された温度と湿度が制御された真空チャンバー内に設置されていました。石英振り子の浮遊静電気は、使用前に放射性塩にさらして放電する必要がありました。周期は、振り子の上部にあるミラーから光線を反射して検出され、チャート レコーダーで記録され、WWVラジオ時刻信号に対して較正された高精度水晶発振器と比較されました。この装置の精度は (0.3–0.5)×10 ⁻⁷ (30–50マイクロガルまたは 3–5 nm/s ² )以内でした。^[124] 1960年代まで使用されました。

相対振り子重力計は、1934年にルシアン・ラコステによって発明された、より単純なラコステゼロ長さバネ重力計に取って代わられた。^{[121]絶対（可逆）振り子重力計は、1950年代に自由落下重力計に置き換えられた。自由落下重力計では、重りを真空タンク内で落下させ、その加速度を光}干渉計 で測定する。^[71]

地球上の特定の地点では重力加速度は一定であるため、特定の場所における単振り子の周期は、その長さのみに依存します。さらに、重力は場所が異なってもわずかにしか変化しません。振り子が発見されてから 19 世紀初頭まで、この特性から、科学者は特定の周期の振り子を長さの基準として使用することを提案しました。

19世紀まで、各国は長さの測定システムを原型、つまり金属棒の一次標準器に基づいており、イギリスでは国会議事堂に保管されていた標準ヤードや、フランスではパリに保管されていた標準トワズなどがその例である。これらは長年の使用で損傷や破壊を受けやすく、原型の比較が困難なため、遠く離れた町では同じ単位の長さが異なっていることが多く、不正の機会を生んでいた。^[126]啓蒙時代 には、科学者たちは測定によって決定できる自然の性質に基づいた長さの標準、つまり破壊されない普遍的な標準を主張した。振り子の周期は、星によって設定された時計と時間を合わせることで非常に正確に測定できた。振り子の標準は、事実上一定である地球の重力によって長さの単位を定義し、地球の自転速度によって定義される秒も一定であることに等しい。そのアイデアは、地球上のどこにいても、定められた周期で振動する振り子を作り、その長さを測定することで、誰でも基準を再現できるというものでした。

事実上すべての提案は秒振り子に基づいていた。秒振り子では、1 回の振動 (半周期) に 1 秒かかり、長さは約 1 メートル (39 インチ) である。これは、17 世紀後半までに秒振り子が重力測定の標準となっていたためである (前のセクションを参照)。18 世紀までに、秒振り子の長さはヨーロッパや世界中の多くの都市でミリメートル未満の精度で測定されていた。

振り子の長さの標準が最初に注目を集めたのは、（ホイヘンスやレンなどの初期の科学者によって）地球の表面上で重力は一定であると信じられていたため、与えられた振り子は地球上のどの地点でも同じ周期を持つということだった。^[126] そのため、標準振り子の長さはどの場所でも測定でき、特定の国や地域に縛られることはなく、真に民主的な世界標準となる。 1672年にリチャーは、重力は地球上のさまざまな地点で異なることを発見したが、振り子の長さの標準という考え方は、重力は緯度によってのみ変化することがわかったため、人気が衰えなかった。地球は扁平であるため、重力加速度は赤道から極に向かって滑らかに増加するため、どの緯度（東西線）でも重力は十分に一定であり、18世紀の測定能力の範囲内で秒振り子の長さは同じであった。したがって、長さの単位は特定の緯度で定義でき、その緯度に沿ったどの地点でも測定できる。たとえば、よく使われる北緯 45 度で定義された振り子標準は、フランス、イタリア、クロアチア、セルビア、ルーマニア、ロシア、カザフスタン、中国、モンゴル、米国、カナダの一部で測定できます。さらに、重力加速度が正確に測定された場所であればどこでも再現できます。

19世紀半ばまでに、エドワード・サビンとトーマス・ヤングによる精度の高い振り子測定により、重力、つまり振り子標準の長さは、山や密集した地下岩石などの地元の地質学的特徴によって測定可能な程度に変化することが明らかになりました。^[127] そのため、振り子の長さの標準は地球上の一点で定義する必要があり、そこでのみ測定することができました。これにより、この概念の魅力が大幅に失われ、振り子標準を採用する取り組みは断念されました。

振り子で長さを定義することを最初に提案した人物の 1 人は、フランドルの科学者アイザック・ベックマン^[128]でした。彼は 1631 年に、秒振り子を「あらゆる場所、あらゆる人々にとって、いつでも不変の尺度」にすることを推奨しました。 ^{[129] 1644 年に初めて秒振り子を測定した} マリン・メルセンヌも、この提案をしました。振り子の標準器に関する最初の公式提案は、メルセンヌの研究に基づいて、クリスティアーン・ホイヘンスとオーレ・レーマーによって提唱され、1660 年に英国王立協会によってなされました。 ^[130]ホイヘンスは、Horologium Oscillatoriumで、秒振り子の 1/3 として定義される「時間足」を提案しました。 クリストファー・レンも初期の支持者の 1 人でした。長さの振り子標準器という考えは、1663 年にはすでに人々に知られていたに違いありません。なぜなら、サミュエル・バトラーがHudibrasでそれを風刺しているからです。^[131]

ベンチで私は彼らをそう扱うだろう

この振り子の振動は

全てのテーラーヤードを1つにする

全員一致の意見

1671年、ジャン・ピカールは、影響力のあった著書『地球儀の測定』の中で、振り子で定義される「万能フィート」を提案した。^[132] ガブリエル・ムートンは、1670年頃にトワズを秒振り子か地球の度数1分で定義することを提案した。振り子に基づく完全な単位系の計画は、1675年にイタリアの博学者ティト・リヴィオ・ブラッティーニによって進められた。フランスでは、1747年に地理学者シャルル・マリー・ド・ラ・コンダミーヌが、赤道上の秒振り子で長さを定義することを提案した。この位置では、振り子の揺れが地球の自転によって歪ま​​ないためである。ジェームズ・スチュアート（1780年）とジョージ・スキーン・キースも支持した。

18世紀末、多くの国が度量衡システムを改革していたころ、秒振り子は長さの新しい定義として主要な選択肢となり、いくつかの主要国の著名な科学者によって提唱された。1790年、当時の米国務長官トーマス・ジェファーソンは、米国の平均緯度である北緯38度にある秒振り子を基準とした、包括的な十進法の米国「メートル法」を議会に提案した。^[133] この提案については何の措置も取られなかった。英国で振り子の主導的な提唱者は政治家のジョン・リッグス・ミラーであった。^[134] 1790年に英仏米共同のメートル法を推進する彼の努力が失敗に終わると、彼はロンドンの秒振り子の長さに基づく英国のシステムを提案した。この標準は1824年に採用された（下記）。

1791年にフランスがメートル法を採用するまでの議論で、新しい長さの単位であるメートルの定義の有力候補は、北緯45度の秒振り子であった。これは、フランスの政治家タレーランと数学者のアントワーヌ・ニコラ・カリタ・ド・コンドルセが率いるグループによって提唱された。これは、フランス科学アカデミー委員会が検討した最終候補3つのうちの1つであった。しかし、1791年3月19日、委員会は代わりにパリを通る子午線の長さをメートルの基礎とすることを選択した。振り子による定義は、場所によって変動し、また長さを時間の単位で定義するため却下された。 (ただし、1983 年以降、メートルは秒の長さと光の速度に基づいて公式に定義されています。) 考えられるもう 1 つの理由は、急進的なフランス科学アカデミーが、新システムを、旧体制からの伝統的かつ非 10 進単位である秒に基づいて構築することを望まなかったことです。

振り子によって定義されたものではないが、メートルに最終的に選ばれた長さは、極から赤道までの子午線弧の 10 ⁻⁷で、秒振り子の長さ (0.9937 m) に 0.63% 以内で非常に近かった。この特定の選択の理由は当時は示されなかったが、おそらく公式文書で提案されていたように、秒振り子を二次標準として使用しやすくするためだったと思われる。したがって、現代の世界の長さの標準単位は、歴史的に秒振り子と密接に結びついているのは間違いない。

イギリスとデンマークは、（短期間ではあるが）長さの単位を振り子に基づいていた唯一の国のようである。1821年にデンマークのインチは、真空中、海面、スケーエン子午線上の緯度45度における平均太陽秒振り子の長さの1/38と定義された。 ^{[135] [136]} イギリス議会は1824年に帝国度量衡法を可決した。これはイギリス標準システムの改革であり、原型の標準ヤードが破壊された場合、真空中、海面、62 °Fのロンドンにおける太陽秒振り子の長さが39.1393インチになるようにインチを定義することで回復すると宣言した。 ^[137] 当時アメリカはイギリスの単位を使用していたため、これはアメリカの標準にもなった。しかし、 1834年の国会議事堂火災で原型ヤードが失われ、振り子の定義から正確に再現することは不可能であることが判明し、1855年にイギリスは振り子規格を廃止し、原型規格に戻りました。

棒が垂直ではなくほぼ水平になっている振り子は、地震の揺れを測定する初期の地震計で使用されていました。振り子の錘は、取り付け部分が動いても動かず、その動きの差がドラムチャートに記録されます。

マクシミリアン・シューラーが 1923 年の論文で初めて説明したように、地球の表面のすぐ上を周回する仮想衛星の公転周期 (約 84 分) と正確に等しい周期を持つ振り子は、その支えが突然移動しても地球の中心を指したままになる傾向があります。シューラーチューニングと呼ばれるこの原理は、地球の表面で運航する船舶や航空機の慣性誘導システムに使用されています。物理的な振り子は使用されていませんが、ジャイロスコープを含む慣性プラットフォームを安定させる制御システムが変更され、デバイスは振り子に取り付けられているかのように動作し、車両が地球の曲面上を移動するときにプラットフォームが常に下を向いたままになります。

1665年、ホイヘンスは振り子時計について興味深い観察を行った。マントルピースの上に2つの時計が置かれていたが、彼はそれらが反対方向に動いていることに気づいた。つまり、それらの振り子は同期して動いていたが、方向は反対で、位相が180°ずれていた。2つの時計がどのように動き始めたかに関係なく、彼はそれらが最終的にこの状態に戻ることを発見し、これが結合振動子の最初の記録された観察となった。^[138]

この動作の原因は、2つの振り子が、支えとなるマントルピースのわずかな動きを通じて互いに影響を及ぼしていたことであった。このプロセスは物理学ではエントレインメントまたはモードロックと呼ばれ、他の結合振動子でも観察されている。同期した振り子は時計に使用されており、 20世紀初頭には重力計で広く使用されていた。ホイヘンスは位相のずれた同期のみを観察したが、最近の調査では位相の合った同期や、片方または両方の時計が停止する「死」の状態が存在することが示された。^{[139] [140]}

振り子の動きは宗教儀式にも登場する。香炉とも呼ばれる揺れる香炉は振り子の一例である。^[141] 振り子はメキシコ東部の多くの集まりでも見られ、潮が最も高くなる日に潮の変わり目を示す。占いやダウジングのための振り子も参照のこと。

振り子は調和振動子の例として理科教育で広く使われており、力学や振動運動を教えています。その用途の1つは、エネルギー保存の法則を示すことです。^{[142] [143]}ボウリングのボール^[144]や鉄球^[142]などの重い物体が紐に付けられています。次に、重りをボランティアの顔から数インチ以内まで動かし、放してスイングさせて戻します。ほとんどの場合、重りは方向を反転し、元の放した場所と（ほぼ）同じ位置、つまりボランティアの顔から少し離れた場所に戻ります。そのため、ボランティアは無傷です。ボランティアがじっと立っていなかったり^[145]、振り子が最初に押されて放されたり（振り子が戻ったときに放した位置を超えるように）すると、ボランティアが負傷することがあります。

振り子は18世紀にスペイン異端審問所で拷問や処刑の道具として使われたと主張されている^[146] 。この主張は、スペインの 司祭、歴史家、自由主義活動家であるフアン・アントニオ・ジョレンテが1826年に著した『スペイン異端審問の歴史』に記載されている。^[147] 刃先がナイフの刃になっている振り子が、縛られた囚人に向かってゆっくりと降りてきて、ついには囚人の体を切り裂く。^{[148]この拷問方法は、アメリカの作家}エドガー・アラン・ポーが 1842年に書いた短編小説「落とし穴と振り子」^[149]を通じて一般に知られるようになったが、実際に使われたかどうかについては懐疑的な見方が強い。

知識豊富な情報源のほとんどは、この拷問が実際に使用されたことに懐疑的である。^{[150] [151] [152]}この拷問 が使用された唯一の証拠は、1826年のジョレンテの著書『歴史』の序文にある一段落であり、^[147] 1820年にマドリードの異端審問所の地下牢から釈放された一人の囚人が、振り子拷問の方法について語ったという伝聞によるものである。現代の情報源は、イエスの流血に対する戒めにより、異端審問官は血を流さない拷問方法のみを使用することが許されており、振り子拷問はこの制限に違反していたと指摘している。一説には、ジョレンテが聞いた話を誤解したというものがあり、囚人は実際には、背中の後ろで囚人を縛り、手に結んだロープで床から吊り上げる、別の一般的な異端審問所の拷問であるストラッパド（ガルチャ）について言及していたという。^[152]この方法は「振り子」としても知られていました。ポーの有名なホラー物語と、異端審問所の他の残忍な方法に対する一般の認識により、この手の込んだ拷問方法の神話は生き続けています。

振り子波は、異なる長さのいくつかの連結されていない振り子で構成される物理学のデモンストレーションおよび運動芸術です。振り子が振動すると、移動波と定在波、鼓動、ランダムな動きが生じるように見えます。^[153]

振り子の周期に反映される g の値は場所によって異なります。重力は地球の中心からの距離、つまり高度によって変化します。または、地球が扁平な形状であるため、g は緯度によって異なります。赤道での g の減少のより重要な原因は、赤道が 1 日に 1 回転しているため、重力による加速が遠心力によって部分的に打ち消されることです。