統一の根源

数学において、1の根とは、正の整数n乗すると1になる複素数のことである。1の根は数学の多くの分野で用いられ、特に数論、群指標論、離散フーリエ変換において重要である。フランスの数学者アブラハム・ド・モアブルにちなんで、ド・モアブル数と呼ばれることもある。

1のべき乗根は、任意の体において定義できます。体の標数がゼロの場合、根は複素数であり、かつ代数的整数でもあります。標数が正の体の場合、根は有限体に属し、逆に、有限体のゼロでない要素はすべて1のべき乗根です。代数的に閉じた体には、 nがその体の（正の）標数の倍数でない限り、ちょうどn個のn乗根が含まれます。

n乗根 ( nは正の整数)は、方程式^{[ 1 ] [ 2 ]}を満たす数zです。$${\displaystyle z^{n}=1.}$$ 特に指定がない限り、1の根は複素数（1、およびnが偶数の場合は-1を含む。これらは虚部がゼロの複素数である）とみなすことができ、この場合、 1のn乗根は^{[ 3 ]}である。$${\displaystyle \exp \left({\frac {2k\pi i}{n}}\right)=\cos {\frac {2k\pi }{n}}+i\sin {\frac {2k\pi }{n}},\qquad k=0,1,\dots ,n-1.}$$

しかし、1の根を定義する方程式は、任意の体（さらには任意の環） F上で意味を持ち、これによりFにおける1の根を考えることができます。Fの標数が0 でない場合、これらの根は有限体に属します。逆に、有限体におけるすべての非零元は、その体における1の根です。詳細については、「法nによる1の根」および「有限体」を参照してください。

1のn乗根は、原始的であるのは、より小さいmm乗根でない場合、つまり^{[ 4 ] [ 5 ]の場合である。}

${\displaystyle z^{n}=1\quad {\text{かつ}}\quad z^{m}\neq 1{\text{ (}}m=1,2,3,\ldots ,n-1)}$

nが素数である場合、1を除くすべてのn乗根は原始根である。^{[ 6 ]}

上記の指数関数と三角関数の式において、1の原始n乗根とは、 kとnが互いに素な整数であるような根のことである。

本稿の以降の節では、複素数の1の根について述べる。標数がゼロでない体における1の根については、「有限体 §  1の根」を参照のこと。モジュラー整数環における1の根については、「nを法とする1の根」を参照のこと。

1のn乗根zは、あるa≤nに対して原始a乗根であり、 z ^a = 1となる最小の正の整数である。

1のn乗根の任意の整数乗もまた1のn乗根である^{[ 7 ]}。

${\displaystyle {\bigl (}z^{k}{\bigr )}^{n}=z^{kn}={\bigl (}z^{n}{\bigr )}^{k}=1^{k}=1.}$

これは負の指数についても同様です。特に、 1のn乗根の逆数はその複素共役であり、 1のn乗根でもあります。^{[ 8 ]}

${\displaystyle {\frac {1}{z}}=z^{-1}=z^{n-1}={\bar {z}}.}$

zがn乗根でa ≡ b (mod n )ならばz ^a = z ^bである。実際、 nを法とする合同式の定義により、ある整数kに対してa = b + knとなり、したがって

${\displaystyle z^{a}=z^{b+kn}=z^{b}z^{kn}=z^{b}{\bigl (}z^{n}{\bigr )}^{k}=z^{b}1^{k}=z^{b}.}$

したがって、 zのべき乗z ^aが与えられた場合、z ^a = z ^rとなり、0 ≤ r < nはaをnで割ったときのユークリッド除算の余りです。

z を原始的なn乗根とする。このとき、べき乗z 、 z 2 ^、 ...、 z ^{n −1}、z ⁿ = z ⁰ = 1はすべてn乗根であり、互いに異なる。 (もしz ^a = z ^bで1 ≤ a < b ≤ nならば、z ^{b − a} = 1となり、z は原始的ではないことになる。) これは、体 (この場合は複素数体) 上のn次多項式方程式は最大でn個の解しか持たないため、 z、z ²、 ...、 z ^{n −1}、z ⁿ = z ⁰ = 1はすべてn乗根であることを意味する。

以上のことから、zが原始的なn乗根である場合、${\displaystyle z^{a}=z^{b}}$かつその場合に限り${\displaystyle a\equiv b{\pmod {n}}.}$zが原始的でない 場合${\displaystyle a\equiv b{\pmod {n}}}$暗示する${\displaystyle z^{a}=z^{b},}$しかし、次の例が示すように、逆は偽である可能性があります。n = 4 の場合、非原始的なn乗根はz = −1であり、次のようになります。${\displaystyle z^{2}=z^{4}=1}$、 それでも${\displaystyle 2\not \equiv 4{\pmod {4}}.}$

z を原始的なn乗根とする。z のべき乗w = z kは^、原始的なn乗根である。

${\displaystyle a={\frac {n}{\gcd(k,n)}},}$

どこ${\displaystyle \gcd(k,n)}$はnとkの最大公約数です。これは、 kaがnの倍数でもあるkの最小倍数であるという事実から生じます。言い換えれば、kaはkとnの最小公倍数です。したがって

${\displaystyle a={\frac {\operatorname {lcm} (k,n)}{k}}={\frac {kn}{k\gcd(k,n)}}={\frac {n}{\gcd(k,n)}}.}$

したがって、kとn が互いに素であれば、z ^kも原始的なn乗根であり、したがってφ ( n )個の異なる原始的なn乗根が存在する (ここでφはオイラーのトーシェント関数)。これは、 n が素数であれば、+1 を除くすべての根が原始的であることを意味する。

言い換えれば、R( n )が1のn乗根の集合であり、 P( n )が原始根の集合である場合、R( n )はP( n )の互いに素な和集合である。

${\displaystyle \operatorname {R} (n)=\bigcup _{d\,|\,n}\operatorname {P} (d),}$

ここで、表記は、d が1とnを含むnのすべての正の約数を通ることを意味します。

R( n )の濃度はnであり、P( n )の濃度はφ ( n )であるため、これは古典的な公式を示している。

${\displaystyle \sum _{d\,|\,n}\varphi (d)=n.}$

ド・モアブルの公式は、すべての実数xと整数nに対して有効であり、次の通りである。

${\displaystyle \left(\cos x+i\sin x\right)^{n}=\cos nx+i\sin nx.}$

x = 2π / nと設定すると、原始的なn乗根が得られます。

${\displaystyle \left(\cos {\frac {2\pi }{n}}+i\sin {\frac {2\pi }{n}}\right)^{\!n}=\cos 2\pi +i\sin 2\pi =1,}$

しかし

${\displaystyle \left(\cos {\frac {2\pi }{n}}+i\sin {\frac {2\pi }{n}}\right)^{\!k}=\cos {\frac {2k\pi }{n}}+i\sin {\frac {2k\pi }{n}}\neq 1}$

k = 1, 2, …, n − 1の場合。言い換えれば、

${\displaystyle \cos {\frac {2\pi }{n}}+i\sin {\frac {2\pi }{n}}}$

は、1のn乗根です。

この式は、複素平面において、1のn乗根が単位円に内接する正n角形の頂点に位置し、そのうちの1つの頂点が1であることを示しています（右側のn =3の図を参照）。この幾何学的事実は、 「円分体」や「円分多項式」といった表現における「円分」という用語の由来となっています。これはギリシャ語の「cyclo」（円）と「tomos」（切る、分ける）を組み合わせた語根です。

オイラーの公式

${\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x,}$

これはすべての実数xに対して有効であり、1 のn乗根の公式を次の形式に変換するために使用できます。

${\displaystyle e^{2\pi i{\frac {k}{n}}},\quad 0\leq k<n.}$

前の節の議論から、これは原始n乗根であるのは、分数⁠ k / n ⁠ が既約分数である場合、つまりkとnが互いに素である場合に限ることがわかります。 1乗根の実部として表せる無理数、つまり、${\displaystyle \cos(2\pi k/n)}$は三角数と呼ばれます。

定義により、1 のn乗根は多項式x ⁿ − 1の根であり、したがって代数的数である。この多項式は( n = 1の場合を除いて)既約ではないため、原始的なn乗根は、より低い次数の (整数上の) 既約多項式 ( n次円分多項式と呼ばれ、しばしばΦ _{nと表記される) の根である。Φ n}の次数は、オイラーのトーシェント関数によって与えられ、この関数は (他のものに加えて) 1 の原始的なn乗根の数を数える。 ^{[ 9 ]} Φ _nの根は、まさに1 の原始的なn乗根である。

ガロア理論を用いると、円分多項式は根号を用いて都合よく解けることが示される。（自明な形式）${\displaystyle {\sqrt[{n}]{1}}}$これは、円分多項式の根ではない 1 などの非原始根が含まれていること、および実部と虚部を別々に示していないことから、便利ではありません。）これは、各正の整数nに対して、根の抽出、加算、減算、乗算、除算（およびそれ以外の操作なし）によって整数から構成される式が存在し、その式において、1 の原始n乗根は、根の抽出の値を選択することによって得られる値の集合（k 乗根に対して k 個の可能な値）と正確に一致することを意味します。（詳細については、以下の§円分体を参照してください。） 

ガウスは、原始的なn乗根が平方根、加算、減算、乗算、除算のみを用いて表現できるのは、コンパスと定規を用いて正n角形を作図できる場合に限ることを証明した。これは、 nが2 のべき乗であるか、または 2 のべき乗とすべて異なるフェルマー素数の積である場合に限る。

zが原始的なn乗根である場合、 1/ zについても同様であり、${\displaystyle r=z+{\frac {1}{z}}}$はzの実部の 2 倍です。言い換えれば、Φ _nは逆多項式であり、多項式は${\displaystyle R_{n}}$rを根とするものは、逆多項式の標準的な操作によってΦ _nから導き出すことができ、原始的なn乗根は、${\displaystyle R_{n}}$二次方程式を解くことによって${\displaystyle z^{2}-rz+1=0.}$つまり、原始根の実部は${\displaystyle {\frac {r}{2}},}$そしてその虚数部は${\displaystyle \pm i{\sqrt {1-\left({\frac {r}{2}}\right)^{2}}}.}$

多項式${\displaystyle R_{n}}$は、根がすべて実数である既約多項式です。その次数が 2 のべき乗となるのは、n が異なるフェルマー素数の積 (空集合の場合もある) と 2 のべき乗の積であり、かつ正n角形がコンパスと定規で作図可能な場合に限ります。それ以外の場合は、根号で解くことができますが、その 1 つは既約多項式の場合、つまり根号による根号の式はすべて非実数の根号を含みます。

zが原始的なn乗根である場合、べき乗の列は次のようになります。

… 、 z ⁻¹、 z ⁰、 z ¹、…

n周期である(すべてのjの値に対してz ^{j + n} = z ^j z ⁿ = z ^jであるため)、n個のべき乗の列

s _k : … 、 z ^{k ⋅(−1)}、 z ^{k ⋅0}、 z ^{k ⋅1}、…

k = 1, …, nの場合、すべてn周期です ( z ^{k ⋅( j + n )} = z ^{k ⋅ j}であるため)。さらに、これらの数列の集合{ s ₁ , … , s _n } は、すべてのn周期数列の線形空間の基底です。これは、複素数の任意のn周期数列が

…、 x ₋₁ 、 x ₀ 、 x ₁、…

これは、1のn乗根のべき乗の線形結合として表すことができる。

${\displaystyle x_{j}=\sum _{k}X_{k}\cdot z^{k\cdot j}=X_{1}z^{1\cdot j}+\cdots +X_{n}\cdot z^{n\cdot j}}$

いくつかの複素数X ₁、 … 、 X _nとすべての整数jに対して。

これはフーリエ解析の一種です。j が（離散）時間変数である場合、 kは周波数であり、X _kは複素振幅です。

原始的なn乗根を選択する

${\displaystyle z=e^{\frac {2\pi i}{n}}=\cos {\frac {2\pi }{n}}+i\sin {\frac {2\pi }{n}}}$

x _{j を}cosとsinの線形結合として表現できるようにする:

${\displaystyle x_{j}=\sum _{k}A_{k}\cos {\frac {2\pi jk}{n}}+\sum _{k}B_{k}\sin {\frac {2\pi jk}{n}}.}$

これは離散フーリエ変換です。

SR( n )を、原始根であろうとなかろうと、すべてのn乗根の和とする。すると

${\displaystyle \operatorname {SR} (n)={\begin{cases}1,&n=1\\0,&n>1.\end{cases}}}$

これはヴィエタの公式の直接的な結果です。実際、n乗根は多項式X ⁿ − 1の根であり、それらの和は次数n − 1の係数であり、 n = 1かn > 1かに応じて 1 または 0 になります。

あるいは、n = 1の場合は証明すべきことは何もなく、n > 1の場合は、 1 のn乗根の集合Sは群であるため、z S = Sとなる根z ≠ 1が存在する。したがって、和はz SR( n ) = SR( n )を満たし、SR( n ) = 0 となる。

SP( n )をすべての原始的なn乗根の和とする。すると

${\displaystyle \operatorname {SP} (n)=\mu (n),}$

ここでμ ( n )はメビウス関数である。

「基本性質」のセクションでは、R( n )がすべてのn乗根の集合であり、 P( n )が原始根の集合である場合、R( n )はP( n )の非交和であることが示されました。

${\displaystyle \operatorname {R} (n)=\bigcup _{d\,|\,n}\operatorname {P} (d),}$

これは、

${\displaystyle \operatorname {SR} (n)=\sum _{d\,|\,n}\operatorname {SP} (d).}$

メビウス反転公式を適用すると、

${\displaystyle \operatorname {SP} (n)=\sum _{d\,|\,n}\mu (d)\operatorname {SR} \left({\frac {n}{d}}\right).}$

この式では、d < nの場合、SR( ⁠ n / d ⁠ ) = 0となり、 d = nの場合、SR( ⁠ n / d ⁠ ) = 1 となります。したがって、SP( n ) = μ ( n )となります。

これは、ラマヌジャンの和c _n ( s ) ^{[ 10 ]}の特殊なケースc _n (1)であり、これは原始的なn乗根のs乗の和として定義されます。

${\displaystyle c_{n}(s)=\sum _{a=1 \atop \gcd(a,n)=1}^{n}e^{2\pi i{\frac {a}{n}}s}.}$

総和公式から直交関係が導かれる。j  = 1, … , nおよびj′ = 1, … , nの場合 

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\overline {z^{j\cdot k}}}\cdot z^{j'\cdot k}=n\cdot \delta _{j,j'}}$

ここで、δはクロネッカーのデルタであり、zは任意の原始的なn乗根である。

( j , k )番目の要素が次の通りである n × n行列U

${\displaystyle U_{j,k}=n^{-{\frac {1}{2}}}\cdot z^{j\cdot k}}$

は離散フーリエ変換を定義します。ガウス消去法を用いて逆変換を計算するには、O(n³)回の演算^が必要です。しかし、直交性からUはユニタリであることがわかります。つまり、

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\overline {U_{j,k}}}\cdot U_{k,j'}=\delta _{j,j'},}$

したがって、 Uの逆関数は単純に複素共役になります。（この事実は、ガウスが三角関数の補間問題を解く際に最初に指摘しました。）与えられたベクトルにUまたはその逆関数を直接適用するには、 O ( n ² )回の演算が必要です。高速フーリエ変換アルゴリズムを使用すると、演算回数をさらにO ( n log n )に減らすことができます。

多項式の零点

${\displaystyle p(z)=z^{n}-1}$

それらは、重複度が1であるn乗根です。 n乗円分多項式は、その零点が重複度が 1 である原始n乗根であるという事実によって定義されます。

${\displaystyle \Phi _{n}(z)=\prod _{k=1}^{\varphi (n)}(z-z_{k})}$

ここで、z ₁、 z ₂、 z ₃、…、z _{φ( n )}は原始n乗根であり、φ( n )はオイラーのトーシェント関数です。多項式Φ _n ( z )は整数係数を持ち、有理数体上の既約多項式です(つまり、有理係数を持つ 2 つの正次多項式の積として表すことはできません)。^{[ 9 ]}一般的な主張よりも簡単な素数nの場合については、多項式にアイゼンシュタインの基準を適用することで得られます。

${\displaystyle {\frac {(z+1)^{n}-1}{(z+1)-1}},}$

そして二項定理を用いて展開する。

すべてのn乗根は、nの正の約数dに対して原始d乗根である。これは次のことを意味する^{[ 9 ]}

${\displaystyle z^{n}-1=\prod _{d\,|\,n}\Phi _{d}(z).}$

この式は、多項式z ⁿ − 1を既約因子に因数分解したものを表しています。

${\displaystyle {\begin{aligned}z^{1}-1&=z-1\\z^{2}-1&=(z-1)(z+1)\\z^{3}-1&=(z-1)(z^{2}+z+1)\\z^{4}-1&=(z-1)(z+1)(z^{2}+1)\\z^{5}-1&=(z-1)(z^{4}+z^{3}+z^{2}+z+1)\\z^{6}-1&=(z-1)(z+1)(z^{2}+z+1)(z^{2}-z+1)\\z^{7}-1&=(z-1)(z^{6}+z^{5}+z^{4}+z^{3}+z^{2}+z+1)\\z^{8}-1&=(z-1)(z+1)(z^{2}+1)(z^{4}+1)\\\end{aligned}}}$

式にメビウス反転を適用すると、

${\displaystyle \Phi _{n}(z)=\prod _{d\,|\,n}\left(z^{\frac {n}{d}}-1\right)^{\mu (d)}=\prod _{d\,|\,n}\left(z^{d}-1\right)^{\mu \left({\frac {n}{d}}\right)},}$

ここでμはメビウス関数である。したがって、最初のいくつかの円分多項式は次のようになる。

Φ ₁ ( z ) = z − 1

Φ ₂ ( z ) = ( z ² − 1)⋅( z − 1) ⁻¹ = z + 1

Φ ₃ ( z ) = ( z ³ − 1)⋅( z − 1) ⁻¹ = z ² + z + 1

Φ ₄ ( z ) = ( z ⁴ − 1)⋅( z ² − 1) ⁻¹ = z ² + 1

Φ ₅ ( z ) = ( z ⁵ − 1)⋅( z − 1) ⁻¹ = z ⁴ + z ³ + z ² + z + 1

Φ ₆ ( z ) = ( z ⁶ − 1)⋅( z ³ − 1) ⁻¹ ⋅( z ² − 1) ⁻¹ ⋅( z − 1) = z ² − z + 1

Φ ₇ ( z ) = ( z ⁷ − 1)⋅( z − 1) ⁻¹ = z ⁶ + z ⁵ + z ⁴ + z ³ + z ² + z + 1

Φ ₈ ( z ) = ( z ⁸ − 1)⋅( z ⁴ − 1) ⁻¹ = z ⁴ + 1

pが素数である場合、1 を除くすべてのp乗根は原始p乗根である。したがって、^{[ 6 ]}$${\displaystyle \Phi _{p}(z)={\frac {z^{p}-1}{z-1}}=\sum _{k=0}^{p-1}z^{k}.}$$z に 2 以上の任意の正の整数を代入すると、この和はz を基数とするレピュニットになります。したがって、レピュニットが素数であるための必要条件（ただし十分条件ではない）は、その長さが素数であることです。

一見するとそうは思えないかもしれませんが、すべての円分多項式の係数が 0、1、または -1 であるとは限りません。最初の例外はΦ ₁₀₅です。係数の挙動はnそのものよりも、 nにいくつの奇素因数があるかに依存するため、例を挙げるのにこれほど時間がかかるのは当然です。より正確には、 n に1 個または 2 個の奇素因数がある場合 (例えば、n = 150 )、n番目の円分多項式の係数は 0、1、または -1 のみであることが示せます。したがって、係数が 0、1、または -1 以外の可能性がある最初のn は、3 つの最小の奇素数の積であり、3 ⋅ 5 ⋅ 7 = 105です。これだけでは105番目の多項式に別の係数があることは証明されませんが、それが機能する可能性のある最初の多項式であることを示しています（そして係数の計算によってそれが機能することが示されます）。シュールの定理によれば、係数の絶対値が任意に大きい円分多項式が存在します。特に、 ${\displaystyle n=p_{1}p_{2}\cdots p_{t},}$どこ${\displaystyle p_{1}<p_{2}<\cdots <p_{t}}$奇素数である、${\displaystyle p_{1}+p_{2}>p_{t},}$tが奇数の場合、1 − tはn番目の円分多項式の係数として現れる。^{[ 11 ]}

円分多項式が整数値で取り得る値については、多くの制約が知られています。たとえば、pが素数の場合、d ∣ Φ _p ( d )はd ≡ 1 (mod p )の場合に限り成り立ちます。

円分多項式は、1 の根自体が根号であるため、根号で解くことができます。さらに、 n乗根のより情報量の多い根号表現が存在し、根号の値 (例えば、平方根の符号) を選択して得られる式のすべての値が原始 n 乗根であるという追加の性質があります^[ 12 ^]。これは、1797 年にガウスによって既に示されていました^{[ 13 ]。}このような式を計算するための効率的なアルゴリズムが存在します^{[ 14 ]。}

1のn乗根は乗法に関して位数nの巡回群を形成し、実際、これらの群は複素数体の乗法群のすべての有限部分群を構成する。この巡回群の生成元は原始的な1のn乗根である。

1のn乗根は、位数nの任意の巡回群の既約表現を形成する。直交関係は、指標群で説明されているように、群論の原理からも導かれる。

1の根は、任意の巡回行列の固有ベクトルのエントリとして現れます。つまり、巡回シフトに対して不変な行列です。この事実は、ブロッホの定理の変形として群表現論からも導かれます。^{[ 15 ]}特に、巡回エルミート行列（例えば、周期境界を持つ離散化された1次元ラプラシアン^{[ 16 ]}）を考えると、直交性はエルミート行列の固有ベクトルの通常の直交性から直ちに導かれます。

原始的なn乗根を隣接させることにより${\displaystyle \mathbb {Q} ,}$n番目の円分体が得られる${\displaystyle \mathbb {Q} (\exp(2\pi i/n)).}$この体にはすべてのn乗根が含まれており、n番目の円分多項式の分解体です。${\displaystyle \mathbb {Q} .}$フィールド拡張${\displaystyle \mathbb {Q} (\exp(2\pi i/n))/\mathbb {Q} }$次数はφ( n )であり、そのガロア群は環の単位の乗法群と自然に同型である。${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} .}$

ガロア群として${\displaystyle \mathbb {Q} (\exp(2\pi i/n))/\mathbb {Q} }$はアーベル体であり、これはアーベル拡大である。円分体の任意の部分体は、有理数のアーベル拡大である。したがって、任意のn乗根は、φ( n )を超えないさまざまなkのk乗根で表すことができる。これらの場合、ガロア理論はガウス周期で明示的に書き出すことができる。ガウスの『算術研究』からのこの理論は、ガロアより何年も前に発表された。^{[ 17 ]}

逆に、有理数のアーベル拡大はすべて円分体の部分体である。これはクロネッカーの定理の内容であり、ウェーバーが証明を完成させたことから、通常はクロネッカー＝ウェーバーの定理と呼ばれている。

n = 1, 2の場合、 1と−1の根はどちらも整数です。

nの3つの値について、1の根は2乗の整数である。

• n = 3、6の場合、それらはアイゼンシュタイン整数( D = −3 ) です。
• n = 4の場合、それらはガウス整数( D = −1 ) です。虚数単位を参照してください。

nの他の 4 つの値については、1 の原始根は 2 乗の整数ではありませんが、任意の 1 の根とその複素共役(これも1 のn乗根)の和は 2 乗の整数になります。

n = 5, 10の場合、( 4次方程式を満たす)実数でない 1 の根はいずれも 2 次整数ではありませんが、各根とその複素共役 (これも 1 の 5 乗根) の和z + z = 2 Re zは環Z [ ⁠ 1 + √ 5 / 2 ⁠ ] ( D = 5 )の要素です。2 組の実数でない 5 乗根の場合、これらの和は逆黄金比と負の黄金比になります。

n = 8の場合、任意の 1 の根に対して z + zは 0、±2、または ± √ 2 ( D = 2 ) のいずれかになります。

n = 12の場合、任意の 1 の根に対して、 z + z は0、±1、±2、または ± √ 3 ( D = 3 ) のいずれかになります。

• アルガンドシステム
• 円群、単位複素数
• 円切片領域
• 統一の根源のグループ図
• ディリクレ特性
• ラマヌジャンの和
• ウィットベクトル
• タイヒミュラーのキャラクター

• ラング、セルジュ（2002）、『代数学』、大学院数学テキスト、第 211巻（改訂第3 版）、ニューヨーク：シュプリンガー・フェルラーク、ISBN 978-0-387-95385-4MR 1878556、Zbl 0984.00001​  
• ミルン、ジェームズ S. (1998). 「代数的整数論」 .コースノート.
• ミルン、ジェームズ S. (1997). 「クラス場理論」 .コースノート.
• ノイキルヒ、ユルゲン(1999)。代数学ザーレン理論。Grundlehren der mathematischen Wissenschaften。 Vol.  322. ベルリン: Springer-Verlag。ISBN 978-3-540-65399-8。MR 1697859。Zbl 0956.11021。  
• ノイキルヒ、ユルゲン (1986)。クラスフィールド理論。ベルリン: Springer-Verlag。ISBN 3-540-15251-2。
• ワシントン、ローレンス C. (1997).サイクロトミック場入門（第 2 版）. ニューヨーク: シュプリンガー・フェルラーク. ISBN 0-387-94762-0。
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