サークルグループ

数学では、円群は、${\displaystyle \mathbb {T} }$または⁠$\displaystyle S^{1}}$⁠ は、絶対値が1 のすべての複素数の乗法群、つまり複素平面上の単位円、または単に単位複素数です^{[ 1 ]}

${\displaystyle \mathbb {T} =\{z\in \mathbb {C}$ :|z|=1\}.}

円群は、数学の多くの分野において基本的な役割を果たしている。

与えられた単位複素数${\displaystyle u}$円の他の点を乗算し、その結果、次の角度で回転させます。${\displaystyle u}$このようにして、円群は円の向きを保つ（反転させない）対称群となる。2つの回転の合成は複素数の通常の乗算​​である。乗算は可換である。${\displaystyle z_{1}z_{2}=z_{2}z_{1}}$⁠、円群は可換群（アーベル群）になります。したがって、平面の複数の回転を任意の順序で合成しても同じ結果が得られます。回転は角度尺度によってパラメータ化することもできます。${\displaystyle \theta }$⁠は⁠に関連しています${\displaystyle z}$複雑な指数関数によって： $${\displaystyle \theta \mapsto z=e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta .}$$

円群は、時として次のように表される。${\displaystyle U(1)}$これは、のユニタリ群である。${\displaystyle 1\times 1}$複素行列。構造的には2次元回転行列の群、すなわち特殊直交群と同一（同型）である。${\displaystyle \mathrm {SO} (2)}$角度の測定によって円群の周期的なパラメータ化が得られるため、この群はしばしば周期的な間隔として扱われる。${\displaystyle [0,2\pi ]}$端点同士を接着し、群演算を加算モジュロとして$2π$: 通常の角度の加算。表記法${\displaystyle \mathbb {T} }$円群は、円が1次元トーラスであるという事実から生じる。より一般的には、$\displaystyle \mathbb {T} ^{n}}$（​​${\displaystyle \mathbb {T} }$自身と${\displaystyle n}$倍）は幾何級数的に${\displaystyle n}$-トーラス。表記法⁠$\displaystyle S^{1}}$は1次元球を表します。

円群は、数学全般、特に高等数学において応用されています。古典的なフーリエ級数の基礎となる群であり、整数の加法群と双対関係にあります。また、トポロジーや数理物理学においても応用されています。電磁気学の基礎となる群であり、電磁気理論は円群に関連する束の理論として定式化できます。束は、ホモトピー理論や代数トポロジーにおける主要な研究対象です。

円群の要素は、特定の点を中心としたユークリッド平面の回転、つまり任意の点間の距離と形状の向きを保ちながらその点を固定する幾何学的変換を表すものと考えることができます。^{[ 2 ]}すると、群演算は回転の合成、つまり1つの回転を適用してからもう1つの回転を適用することによって得られる2つの回転の組み合わせに対応します。

ポイントの場合${\displaystyle p}$直交座標で​${\displaystyle (x_{p},y_{p})}$ユークリッド平面上の は複素数で表されます${\displaystyle z_{p}=x_{p}+y_{p}i}$（複素平面を参照）、次に単位複素数を掛ける$\displaystyle z_{R}}$結果として複素数になる${\displaystyle z_{R}\cdot z_{p}}$⁠これはポイントを表します${\displaystyle R(p)}$⁠、回転の結果⁠${\displaystyle p}$原点付近​​${\displaystyle (0,0)}$回転によって​${\displaystyle R}$各単位複素数は異なる回転に対応し、その逆もまた然りです。したがって、単位複素数は$\displaystyle z_{R}}$対応する回転を表すために使用できます。${\displaystyle R}$⁠。2つの異なる回転の場合⁠${\displaystyle R_{1}}$そして​​${\displaystyle R_{2}}$は単位複素数で表される$\displaystyle z_{1}}$そして​​$\displaystyle z_2}}$⁠ 、そしてそれらの構成 ${\displaystyle R_{2}\circ R_{1}}$は複素数の積で表されます。${\displaystyle z_{2}\cdot z_{1}}$⁠ .

回転を表すもう1つの一般的な方法は、度またはラジアンで測定される角度で、多くの場合ギリシャ文字で表されます。${\displaystyle \theta }$慣例として、正の角度は反時計回りの回転を表すと考えられています。 2 つの角度の差が⁠$360度$または​​$2π$ラジアンは同じ回転を表すため、回転の代表角度として から の範囲を選択するのが一般的です。$0^{\circ}}$そして​​$360度$（または）${\displaystyle [0,2\pi )}$（ラジアン）または、より対称的に、${\displaystyle -180^{\circ }}$そして​​$\displaystyle +180^{\circ }}$（または）${\displaystyle (-\pi ,+\pi ]}$（ラジアン）。角度で表される 2 つの回転は、単純にそれらを足し合わせることで構成できます。新しい角度が、代表的な角度の指定された範囲外になる場合（円を一周した場合）、その場合は の倍数を加算または減算することができます。$360度$（​​$2π$（ラジアン）で区間に戻ります。

複素平面上の点を角度だけ回転させること${\displaystyle \theta }$原点周りの回転（ラジアンで測定）は、複素数による乗算に対応します。${\displaystyle e^{\theta i}=\cos \theta +i\sin \theta }$⁠、そこで⁠${\displaystyle e^{z}}$は複素指数関数であり、${\displaystyle \sin }$そして​​${\displaystyle \cos }$（これらは三角関数です）。角度を加えることは、単位複素数を掛けることに相当します。 $${\displaystyle e^{(\theta _{1}+\theta _{2})i}=e^{\theta _{1}i}e^{\theta _{2}i}.}$$

文脈によっては、区間の度数を使用する代わりに${\displaystyle [0,360)}$または、区間内のラジアン⁠${\displaystyle [0,2\pi )}$角度は、区間内の完全な回転の分数で表されます。${\displaystyle [0,1)}$このバージョンでは、区間外になった角度を小数部分を取ることで区間内に戻すことができるため、計算が便利になります。正の数の場合、これは小数点より前の桁をすべて捨てることに相当します。たとえば、 を構成するには、${\displaystyle 0.75}$回転と​${\displaystyle 0.5}$回転を回して、2つの数字を足し、${\displaystyle 0.75+0.5=1.25}$そして先頭の部分を捨てる${\displaystyle 1}$⁠、結果として⁠${\displaystyle 0.25}$回転します。

周期的な間隔${\displaystyle [0,1)}$は、実数を整数で割った商群とみなすことができ、記号的に次のように表される。${\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Z} }$これは実数の同値類のグループであり、整数だけ異なる任意の2つの実数は同値であるとみなされます。各同値類には有限区間内の実数が1つ含まれています。${\displaystyle [0,1)}$⁠、これはそれを表すために使用できます。加算のグループとして、 ⁠${\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Z} }$は円群と同型である${\displaystyle \mathbb {T} }$乗法の下での単位複素数の⁠は、2 つのグループが構造的に同じであることを意味します。

円群は数学において様々な形で現れる。ここでは、より一般的な形式をいくつか挙げる。具体的には、 $${\displaystyle \mathbb {T} \cong {\mbox{U}}(1)\cong \mathbb {R} /\mathbb {Z} \cong \mathrm {SO} (2),}$$ スラッシュ（⁠${\displaystyle ~\!/~\!}$⁠ ) はグループ商を表し、${\displaystyle \cong }$群間に同型写像が存在すること。

円群は単なる抽象的な代数的対象以上のものです。複素平面の部分空間とみなすと、自然な位相を持ちます。それは、要素間の距離を表す少なくとも2つの自然な概念を持つ距離空間です。すなわち、2つの単位複素数の差の絶対値（複素平面上の点間の弦の長さ）、または最も近い代表角の差の絶対値（複素単位円上の点間の最短弧の長さ）です。開いた球は円弧です。乗算と逆演算は連続関数であるため、${\displaystyle \mathbb {C} ^{\times }}$⁠ 、円群は位相群の構造を持つ。さらに、単位円は複素平面の閉部分集合であるため、円群はの閉部分群である。${\displaystyle \mathbb {C} ^{\times }}$（それ自体が位相群とみなされる）。コンパクトで連結であるが、単連結ではない。その基本群は整数の加法群であり、各整数は閉じた経路が円周を一周する回数に対応する。

不変メトリクス

既に定義された弦長と長さの計量は、円群上の不変計量のペアを与える。これらの計量は、2点を同じ角度だけ回転させても2点間の距離が変化しないという意味で不変である。これらの計量は、正の定数が存在するという意味で等価である。${\displaystyle C}$と $${\displaystyle {\frac {1}{C}}d_{\text{chord}}(x,y)\leq d_{\text{length}}(x,y)\leq Cd_{\text{chord}}(x,y)}$$ すべての点のペアについて${\displaystyle x,y\in \mathbb {T} }$弧長計量は円上の唯一の不変リーマン計量であり、実際には定数正規化を除いて唯一の不変長さ計量である^{[ 10 ] 。}

円群上の不変距離空間構造を定義する他の不変距離関数も定義できる。一般に、不変距離は点からの距離を指定することによって決定される。${\displaystyle 1}$各ポイントへ${\displaystyle x\in \mathbb {T} }$、${\displaystyle \lambda (x)=d(1,x)}$。 もし${\displaystyle \lambda$ :\mathbb {T} \to [0,\infty )} は連続であり、 ${\displaystyle \lambda (1)=0}$、${\displaystyle \lambda (x)>0}$のために ${\displaystyle x\neq 1}$、${\displaystyle \lambda (x)=\lambda (x^{-1})}$、 そして ${\displaystyle \lambda (xy)\leq \lambda (x)+\lambda (y)}$、 それから ${\displaystyle d(x,y)=\lambda (x^{-1}y)}$互換性のある不変メトリックを定義します${\displaystyle \mathbb {T} }$。

例えば${\displaystyle d(x,y)=d_{\text{chord}}(x,y)^{\alpha }}$どこ${\displaystyle 0<\alpha \leq 1}$これはスノーフレークメトリックと呼ばれます。これは、以下の場合を除き、弦（または長さ）メトリックとは等価ではありません。${\displaystyle \alpha =1}$この指標では、ハウスドルフ次元は${\displaystyle \mathbb {T} }$は${\displaystyle 1/\alpha }$それによって、この群はフラクタル曲線の構造を持つようになる。雪の結晶は通常の長さの尺度の間を補間する。${\displaystyle \alpha =1}$1次元のメトリックと、ハウスドルフ次元が無限大のメトリック。スノーフレークメトリックは${\displaystyle \alpha =\log(3)/\log(4)}$平面内に埋め込むことができ、その弦計量は等価であるコッホ雪片平面曲線に埋め込むことができる。^{[ 11 ]}

円上の他の不変計量は、データ分析や機械学習の分野で使用されており、雪片計量と同様の計量特性を示します。1つの族は円上の拡散の研究から派生しており、同等に円群上のディラックデルタ関数間のソボレフ距離によって与えられます。 ^{[ 12 ]}$${\displaystyle d_{s}(x,y)^{2}=\|\delta _{x}-\delta _{y}\|_{H^{-s}}^{2}=\sum _{n\in \mathbb {Z} \setminus \{0\}}|n|^{-2s}|x^{n}-y^{n}|^{2},\quad s>1/2.}$$

円群には多くの部分群がありますが、その真の閉部分群は1の根のみで構成されます。各整数に対して、${\displaystyle n>0}$⁠、あります⁠${\displaystyle n}$異なる​${\displaystyle n}$1の位数の根は、位数の循環群を形成する。 ${\displaystyle n}$⁠、これはその位数の唯一の部分群です。

円群の他の部分群はすべて無限個の要素を持ち、稠密である。いくつかの例を挙げると次のようになる。

• 統一根の集合。これが群です。${\displaystyle \{e^{2\pi iq}\mid q\in \mathbb {Q} \}}$、 どこ${\displaystyle \mathbb {Q} }$は有理数の集合です。実数における有理数が稠密であるのと同様に、この集合も稠密です。

• 別の稠密部分群は単位円上の有理点群、つまりペア群である。${\displaystyle (x,y)}$有理数で、${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$これは、有理数が立体投影の下で円の有理点にマッピングされるためであり、これは原始ピタゴラス数を生成するのと同じパラメーター化です。

• いつ${\displaystyle p}$は素数であり、位数が のべき乗であるすべての 1 の根の部分群である。${\displaystyle p}$も密である。同様に、同型の下では${\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Z} \cong \mathbb {T} }$これは、分母が のべき乗である有理数からなる部分群です。${\displaystyle p}$このサブグループはプリューファーと呼ばれます。${\displaystyle p}$-グループ。

• 無理数の場合${\displaystyle a}$で${\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Z} }$の倍数${\displaystyle a}$、${\displaystyle \{na|n\in \mathbb {Z} \}}$これは稠密な部分群であり、以下でさらに詳しく説明します。

円群の有限次元連続表現は簡単に記述できます。シューアの補題から、アーベルコンパクト群の既約有限次元連続複素表現はすべて1次元であることがわかります。円群はコンパクトであるため、任意の連続表現は $${\displaystyle \rho \colon \mathbb {T} \to \mathrm {GL} (1,\mathbb {C} )\cong \mathbb {C} ^{\times }}$$値は⁠ で取得する必要があります${\displaystyle {\mbox{U}}(1)\cong \mathbb {T} }$したがって、円群の既約有限次元連続複素表現は、円群から円群自身への連続準同型写像に他ならない。

各整数について${\displaystyle n}$表現を定義することができます${\displaystyle \phi _{n}}$円形グループによる⁠${\displaystyle \phi _{n}(z)=z^{n}}$これらの表現はすべて等価ではありません。${\displaystyle \phi _{-n}}$はと共役です${\displaystyle \phi _{n}}$⁠ : $${\displaystyle \phi _{-n}={\overline {\phi _{n}}}.}$$

これらの表現は、円群の連続文字にすぎない。${\displaystyle \mathbb {T} }$（ポントリャーギン双対とも呼ばれる）は、によって生成される無限巡回群である。${\displaystyle \phi _{1}}$⁠ : $${\displaystyle \operatorname {Hom} _{\mathrm {cts} }(\mathbb {T} ,\mathbb {T} )\cong \mathbb {Z} .}$$

円群の有限次元連続既約実表現は、自明な表現（1次元）と表現 である。$${\displaystyle \rho _{n}{\bigl (}e^{i\theta }{\bigr )}={\begin{bmatrix}\cos n\theta &-\sin n\theta \\\sin n\theta &\cos n\theta \end{bmatrix}},\quad n\in \mathbb {Z} ^{+},}$$ 値を取る⁠${\displaystyle \mathrm {SO} (2)}$ここでは正の整数のみを扱います。${\displaystyle n}$表現が${\displaystyle \rho _{-n}}$はと同等です${\displaystyle \rho _{n}}$⁠。複雑化後、${\displaystyle \rho _{n}}$2つの複素指標の直接和として分解される${\displaystyle \phi _{n}}$そして${\displaystyle \phi _{-n}}$。

円群の表現は、すべてのコンパクトリー群の表現を構成する上で重要な役割を果たします。^{[ 13 ]}すべてのコンパクトリー群は最大トーラスを持ち、それは以下の積です。${\displaystyle n}$円群のコピー。${\displaystyle n}$これはリー群の階数と呼ばれます。トーラスの表現によって重み格子が決定され、群全体の表現は最高重み理論によって求めることができます。

円群はエルゴード理論と力学系の研究における基本的な出発点である。${\displaystyle a\in \mathbb {T} =\mathbb {R} /\mathbb {Z} }$翻訳の操作を考察する${\displaystyle a}$サークルグループにて${\displaystyle \mathbb {T} }$、${\displaystyle R_{a}\colon \mathbb {T} \to \mathbb {T} }$、${\displaystyle R_{a}(x)=a+x}$いくつかの当然の疑問点は以下のとおりです。

• 点の軌道はどのような構造を持つのか？例えば、群の中で密集しているのか？点の軌道は均等分布しているのか？
• 関数を平均化して円に作用させると、演算子を何度も適用した場合にどのような影響があるか${\displaystyle R_{a}}$？

答えは、${\displaystyle a}$合理的か非合理的か、つまり${\displaystyle a\in \mathbb {Q} /\mathbb {Z} }$か否か。

もし${\displaystyle a}$分母が（最小の）有理数である${\displaystyle n}$すると、${\displaystyle R_{a}^{n}=1}$したがって、軌道は周期的である。そうでない場合は、軌道は密集しており、実際には均等に分布している。

同様に、翻訳の半群${\displaystyle R_{a},R_{a}^{2},\dots }$最小であり、かつエルゴード的に作用するのは、${\displaystyle a}$は無理数である。^{[ 8 ]}この場合、それは一意的にエルゴード的である。 ^{[ 16 ]} エルゴード性の一バージョンでは、任意のハール積分可能な関数が与えられた場合、${\displaystyle f}$の上${\displaystyle \mathbb {T} }$平均値${\displaystyle f}$円全体にわたる関数は、可算族で計算された関数の平均に等しい。${\displaystyle f(R_{a}x),f(R_{a}^{2}x),\dots }$ほぼすべての${\displaystyle x}$より正式には、^{[ 8 ]}$${\displaystyle {\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}f(R_{a}^{n}x)\to \int _{\mathbb {T} }f(x)\,dx}$$ ほぼすべての${\displaystyle x}$また、${\displaystyle L^{1}(\mathbb {T} )}$。

円群は、多様体やリーマン面などの代数多様体上のエルミート複素線束の理論において自然に現れる。${\displaystyle L\to X}$はエルミート計量を持つ複素線束であり、ファイバー内の単位ベクトルは主ベクトルから得られる。${\displaystyle U(1)}$-バンドル。逆に、プリンシパル${\displaystyle U(1)}$-bundle は、関連付けられた複素線束を決定します。

適切な空間の場合、主の同型類は${\displaystyle U(1)}$-バンドルは、最初のチャーンクラスによって分類されます。${\displaystyle c_{1}\in H^{2}(X;\mathbb {Z} )}$同等に、分類空間は${\displaystyle U(1)}$、${\displaystyle BU(1)}$は無限複素射影空間である。${\displaystyle \mathbb {CP} ^{\infty }}$分離可能な複素ヒルベルト空間内の光線であり、その第2コホモロジー群は第1チャーン類によって生成される。^{[ 17 ] [ 18 ]}

ゲージ理論では、${\displaystyle U(1)}$は電磁気学の構造群です。主軸上の接続${\displaystyle U(1)}$-バンドルは、虚数値の1形式で局所的に表現される可能性がある${\displaystyle A}$これは電磁ポテンシャルに対応し、その曲率2形式は${\displaystyle F=dA}$はフィールドを表します。^{[ 19 ]}

円群のポントリャーギン双対は、整数の加法群と自然に同型である。${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$準同型写像${\displaystyle \chi _{n}\colon \mathbb {T} \to \mathbb {T} }$によって与えられた${\displaystyle \chi _{n}(z)=z^{n}}$逆に、離散群のポントリャーギン双対は${\displaystyle \mathbb {Z} }$自然に同型である${\displaystyle \mathbb {T} }$なぜなら、整数のすべての文字は次の形式だからです。${\displaystyle n\to z^{n}}$ある複素数の単位数に対して${\displaystyle z}$。

これらの双対性は、関連する可換バナッハ環に反映される。群環${\displaystyle L^{1}(\mathbb {T} )}$畳み込みを伴う は、フーリエ変換によって与えられるゲルファント変換を持ち、その特性は によってインデックス付けされます。${\displaystyle \mathbb {Z} }$同等に、その最大イデアルの空間は${\displaystyle \mathbb {Z} }$反対方向には、群代数${\displaystyle \ell ^{1}(\mathbb {Z} )}$最大理想空間は自然に同相である${\displaystyle \mathbb {T} }$そのゲルファント変換は、総和可能な数列を写像する。${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {Z} }}$機能へ${\displaystyle \textstyle z\mapsto \sum _{n\in \mathbb {Z} }a_{n}z^{n}}$[ ^{20 ]}この画像はウィーナー代数^である${\displaystyle A(\mathbb {T} )}$円上の連続関数の代数で、絶対収束するフーリエ級数を持つもの。^{[ 21 ]}これは、点ごとの乗法に関して、バナッハ代数の適切な部分代数である。${\displaystyle C(\mathbb {T} )}$。

グループについても同様の二重性が現れる${\displaystyle C^{*}}$-代数。群${\displaystyle C^{*}}$離散群の代数${\displaystyle \mathbb {Z} }$普遍的な単位${\displaystyle C^{*}}$1 つのユニタリ要素によって生成される -代数であり、自然に同型である${\displaystyle C(\mathbb {T} )}$; ジェネレーターは座標関数に対応します${\displaystyle z\mapsto z}$反対方向には、グループは${\displaystyle C^{*}}$円群の -代数、畳み込みを用いて形成${\displaystyle \mathbb {T} }$はフーリエ変換によって識別され、${\displaystyle c_{0}(\mathbb {Z} )}$複素数の双無限列の空間で、${\displaystyle \pm \infty }$[ ^{22 ]}この記述はフーリエ級数に対するリーマン・ルベーグの補題^{を符号化している。}

円群はソレノイドの基本構成要素としても現れる。${\displaystyle n_{1},n_{2},\ldots }$は整数で${\displaystyle |n_{i}|>1}$逆極限$\displaystyle {\vphantom {\Bigg |}}\mathbb {T} \xleftarrow {z~\!\mapsto z^{n_{1}}} \mathbb {T} \xleftarrow {z~\!\mapsto z^{n_{2}}} \cdots }$はコンパクト連結アーベル群である。そのポントリャーギン双対は直接極限である。$\mathbb{Z} \xrightarrow {\!\times n_{1}\,} \mathbb{Z} \xrightarrow {\!\times n_{2}\,} \cdots }$これは、ランク1のサブグループと関連付けられる可能性がある。${\displaystyle \mathbb {Q} }$. ^{[ 23 ] : 403–404} このように、ソレノイドは、被覆準同型の逆極限によって円から得られる一次元コンパクト連結アーベル群である。

ねじれのないランク 1 の離散アーベル群のポントリャーギン双対はすべて円またはソレノイドのいずれかである。^{[ 23 ] : 407–409}ここでねじれのないアーベル群${\displaystyle A}$ランク1の場合${\displaystyle A\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} \cong \mathbb {Q} }$同等に、${\displaystyle A}$は、非零部分群と同型である。${\displaystyle \mathbb {Q} }$巡回ランク1群${\displaystyle \mathbb {Z} }$デュアル${\displaystyle \mathbb {T} }$; 非巡回ランク1部分群${\displaystyle \mathbb {Q} }$一次元のソレノイドを与える。

サークルグループ${\displaystyle \mathbb {T} }$は、その位相を考慮せずに抽象群とみなすことができ、あるいは同等に、離散位相を備えた（非コンパクトな）位相群とみなすこともできる。

円群は可除群である。そのねじれ部分群は、すべての の集合によって与えられる。${\displaystyle n}$すべての人々のための統一の根源${\displaystyle n}$そして、はと同型である。${\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} }$可除群の構造定理と選択公理を合わせると、次のことがわかる。${\displaystyle \mathbb {T} }$抽象群として、直和と同型である。${\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} }$多数のコピーと共に${\displaystyle \mathbb {Q} }$⁠ . ^{[ 24 ]}

のコピー数${\displaystyle \mathbb {Q} }$必ず​${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$（連続体の濃度）直和の濃度が正しいためには。しかし、直和は${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$のコピー${\displaystyle \mathbb {Q} }$はと同型である${\displaystyle \mathbb {R} }$⁠、${\displaystyle \mathbb {R} }$次元のベクトル空間${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$以上​${\displaystyle \mathbb {Q} }$したがって、この意味では、 $${\displaystyle \mathbb {T} \cong \mathbb {R} \oplus (\mathbb {Q} /\mathbb {Z} ).}$$

抽象群の同型性 $${\displaystyle \mathbb {C} ^{\times }\cong \mathbb {R} \oplus (\mathbb {Q} /\mathbb {Z} )}$$ も同様の方法で証明できる。なぜなら、$\displaystyle \mathbb {C} ^{\times }}$は、のねじれ部分群と同じである可除アーベル群でもある。${\displaystyle \mathbb {T} }$⁠ .

円群は代数トーラスとしても見なすことができる。${\displaystyle \mathbb {C} }$に${\displaystyle \mathbb {R} }$は $${\displaystyle N_{\mathbb {C} /\mathbb {R} }(z)=z{\bar {z}}=|z|^{2},}$$ そして円群はノルム準同型の 核である$${\displaystyle N_{\mathbb {C} /\mathbb {R} }\colon \mathbb {C} ^{\times }\to \mathbb {R} ^{\times }.}$$ 同様に、 $${\displaystyle \mathbb {T} =\{z\in \mathbb {C} ^{\times }:z{\bar {z}}=1\}.}$$代数群の用語 では、これは体拡大に関連付けられたノルム1トーラスの実点群である。${\displaystyle \mathbb {C} /\mathbb {R} }$[ ^{25 ]​}

非標準解析において、円群の最も自然な代替は超有限巡回群である。$${\displaystyle C_{N}={}^{*}\mathbb {Z} /N{}^{*}\mathbb {Z} ,}$$ どこ${\displaystyle N}$は無限超整数、つまりすべての標準自然数よりも大きい数です。標準部分はを写像します。${\displaystyle C_{N}}$サークルグループへ${\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Z} }$さらに、自然な正規化された計数尺度を備えている。${\displaystyle \mu _{N}(A)=|A|/N}$、それに関連するローブ測度（標準部分におけるプッシュフォワード測度）は、円群上の通常のハール測度を与える。標準部分上の位相は、不変計量を課すことによって回復される。${\displaystyle C_{N}}$[ ^{26 ]​}

グループ${\displaystyle C_{N}}$は、非標準フーリエ解析にとって自然な環境である。その理由の一つは、巡回群であるため、双対群と（内部的に）同型であることである。非標準フーリエ級数は通常の（超）有限和であり、その標準部分は円群上の従来のフーリエ級数を再現する。

埋め込みがあります${\displaystyle C_{N}}$非標準の円へ$\displaystyle {}^{*}S^{1}}$しかし、その像は真部分群である。$\displaystyle {}^{*}S^{1}}$は非標準整数の全体群です${\displaystyle {}^{*}\mathbb {Z} }$これは超有限ではないため、完全な非標準円群上のフーリエ理論は有限性が低い。

• 1パラメータサブグループ
• n球面
• 直交群
• 位相因子（量子力学における応用）
• 回転数
• ヴェルソル

• 同相写像と円上の群構造