フーリエ変換

独立変数（⁠${\displaystyle x}$⁠ ) は時間を表します(多くの場合⁠で表されます)${\displaystyle t}$)、変換変数（${\displaystyle \xi }$⁠ ) は頻度を表します(多くの場合⁠で表されます)${\displaystyle f}$例えば、時間の単位が秒であれば、周波数の単位はヘルツになります。変換変数は角周波数でも表すことができます。${\displaystyle \omega =2\pi \xi }$単位はラジアン毎秒です。

代替${\displaystyle \xi ={\tfrac {\omega }{2\pi }}}$式1に代入すると、関数が次の規約を生成する。${\displaystyle {\widehat {f}}}$ラベルが変更されました${\displaystyle {\widehat {f}}_{1}}$⁠ : $${\displaystyle {\begin{aligned}{\widehat {f}}_{3}(\omega )&\triangleq \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\cdot e^{-i\omega x}\,dx={\widehat {f}}_{1}\left({\tfrac {\omega }{2\pi }}\right),\\f(x)&={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }{\widehat {f}}_{3}(\omega )\cdot e^{i\omega x}\,d\omega .\end{aligned}}}$$式1の定義 とは異なり、フーリエ変換はもはやユニタリ変換ではなく、変換とその逆変換の式間の対称性は低下します。これらの特性は、${\displaystyle 2\pi }$変換とその逆変換の間で均等に因数分解することで、次の慣例が導き出されます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}{\widehat {f}}_{2}(\omega )&\triangleq {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\cdot e^{-i\omega x}\,dx={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\ \ {\widehat {f}}_{1}\left({\tfrac {\omega }{2\pi }}\right),\\f(x)&={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }{\widehat {f}}_{2}(\omega )\cdot e^{i\omega x}\,d\omega .\end{aligned}}}$$ 順変換と逆変換の両方の複素指数カーネルを共役させることで、3つの慣例すべてにバリエーションを作成できます。符号は必ず反対でなければなりません。

測定可能な関数${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {C} }$絶対値のルベーグ積分が有限である場合、その関数は（ルベーグ）積分可能であると呼ばれる。 $${\displaystyle \|f\|_{1}=\int _{\mathbb {R} }|f(x)|\,dx<\infty .}$$ もし${\displaystyle f}$がルベーグ積分可能であれば、式1で与えられるフーリエ変換はすべてのに対して適切に定義される。${\displaystyle \xi \in \mathbb {R} }$[ ^{10 ]}さらに、^​${\displaystyle {\widehat {f}}\in L^{\infty }\cap C_{0}(\mathbb {R} )}$は有界であり、一様連続であり、（リーマン・ルベーグの補題により）無限遠でゼロになる。ここで${\displaystyle C_{0}(\mathbb {R} )}$は連続関数の空間を表す${\displaystyle \mathbb {R} }$xが正または負の無限大に近づくにつれて、0に近づく。

スペース${\displaystyle L^{1}(\mathbb {R} )}$は、ノルムが${\displaystyle \|f\|_{1}}$は、ほとんど至るところで等号の同値関係を除いて有限である。${\displaystyle L^{1}(\mathbb {R} )}$は一対一です。しかし、画像を簡単に特徴付けることはできず、したがって逆変換を簡単に特徴付けることもできません。特に、式2は、という仮定の下でのみ述べられていたため、もはや有効ではありません。${\displaystyle f(x)}$「十分に良い」(例:${\displaystyle f(x)}$（すべての導関数とともに減衰する）。

式1は、(複素数値)関数のフーリエ変換を定義するが、${\displaystyle L^{1}(\mathbb {R} )}$ただし、他の積分可能性クラス、特に二乗可積分関数 の空間については明確に定義されていない。${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$例えば、関数${\displaystyle f(x)=(1+x^{2})^{-1/2}}$は${\displaystyle L^{2}}$しかしそうではない${\displaystyle L^{1}}$したがって、ルベーグ積分式(1)は存在しない。しかし、稠密部分空間上のフーリエ変換は${\displaystyle L^{1}\cap L^{2}(\mathbb {R} )\subset L^{2}(\mathbb {R} )}$は、上のユニタリ演算子への一意の連続拡張を許容する。${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$⁠。この拡張は、部分的には、の場合とは異なり、${\displaystyle L^{1}}$⁠、フーリエ変換は空間の自己同型写像​​である。${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$⁠ .

このような場合、フーリエ変換は積分を正則化し、極限を取ることで明示的に得られます。実際には、積分は適切なルベーグ積分ではなく、不適切な積分とみなされることが多いですが、収束のために、不適切な積分に暗黙的に含まれる（点ごとの）極限の代わりに、弱極限または主値を使用する必要がある場合があります。Titchmarsh (1986)とDym & McKean (1985)はそれぞれ、この手順を使用してフーリエ変換を二乗可積分関数に拡張する 3 つの厳密な方法を示しています。${\displaystyle L^{2}}$フーリエ変換は、ガウス関数の有限線形結合が密であることを意味する。${\displaystyle L^{1}\cap L^{2}}$⁠、そしてフーリエ変換のユニタリ性などのさまざまな特徴は、ガウス分布の場合容易に推測できます。フーリエ変換の多くの特性は、ガウス分布に関する次の 2 つの事実から証明できます。 ^{[ 11 ]}

• それ${\displaystyle e^{-\pi x^{2}}}$は自身のフーリエ変換であり、
• ガウス積分​${\displaystyle \textstyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-\pi x^{2}}\,dx=1}$⁠ .

特徴${\displaystyle L^{1}}$フーリエ変換は、バナッハ環の準同型写像である。${\displaystyle L^{1}}$連続関数のバナッハ代数への畳み込み演算を備え、${\displaystyle L^{\infty }}$（上限）ノルム。この記事で採用されている規約は調和解析の規約であり、フーリエ変換は⁠ 上でユニタリである。${\displaystyle L^{2}}$⁠そして、から代数準同型⁠${\displaystyle {1}}$⁠から⁠${\displaystyle L^{\infty }}$⁠、ルベーグ測度を再正規化せずに。 ^{[ 12 ]}

1822年、フーリエは（ジョセフ・フーリエ§  「熱の解析理論」を参照）連続関数であろうと不連続関数であろうと、あらゆる関数は正弦関数の級数に展開できると主張した。^{[ 13 ]}この重要な研究は、その後、他の人々によって修正および拡張され、それ以降に使用されているさまざまな形式のフーリエ変換の基礎となった。

赤色の正弦波は、ピーク振幅（1）、ピーク間振幅（2）、実効値（3）、波長（4）で表すことができます。赤色と青色の正弦波の位相差はθです。

一般的に、係数は${\displaystyle {\widehat {f}}(\xi )}$複素数であり、2つの同値な形式があります（オイラーの公式を参照）。 $${\displaystyle {\widehat {f}}(\xi )=\underbrace {Ae^{i\theta }} _{\text{polar coordinate form}}=\underbrace {A\cos(\theta )+iA\sin(\theta )} _{\text{rectangular coordinate form}}.}$$

製品は${\displaystyle e^{i2\pi \xi x}}$（式2）は、以下の形式をとる。 $${\displaystyle {\begin{aligned}{\widehat {f}}(\xi )\cdot e^{i2\pi \xi x}&=Ae^{i\theta }\cdot e^{i2\pi \xi x}\\[6pt]&=\underbrace {Ae^{i(2\pi \xi x+\theta )}} _{\text{polar coordinate form}}\\[6pt]&=\underbrace {A\cos(2\pi \xi x+\theta )+iA\sin(2\pi \xi x+\theta )} _{\text{rectangular coordinate form}},\end{aligned}}}$$周波数の振幅と位相の両方を 伝える${\displaystyle \xi }$同様に、式1の直感的な解釈は、${\displaystyle f(x)}$による${\displaystyle e^{-i2\pi \xi x}}$減算する効果があります${\displaystyle \xi }$関数の各周波数成分から${\displaystyle f(x)}$⁠ . ^{[注5 ]}周波数が${\displaystyle \xi }$無限積分の非ゼロ値を生成することができるのは、（少なくとも形式的には）他のすべてのシフトされた成分が振動し、ゼロに積分されるためである（§ 例を参照）。

極座標形式を用いることで積がいかに容易に簡略化できたか、そしてオイラーの公式を適用することでいかに容易に直交座標形式が導き出されたかは注目に値する。

オイラーの公式は負の可能性を導入する${\displaystyle \xi }$式1は以下のように定義される。${\displaystyle \forall \xi \in \mathbb {R} }$特定の複素数値のみ${\displaystyle f(x)}$変換する${\displaystyle {\widehat {f}}=0,\ \forall \ \xi <0}$⁠。（解析信号を参照。簡単な例は次のとおりです。）${\displaystyle e^{i2\pi \xi _{0}x}\ (\xi _{0}>0)}$⁠ .) しかし、負の周波数は他のすべての複素数値を特徴付けるために必要です。${\displaystyle f(x)}$信号処理、偏微分方程式、レーダー、非線形光学、量子力学などで見られる。

実数値の場合⁠${\displaystyle f(x)}$式1は 対称性を持つ${\displaystyle {\widehat {f}}(-\xi )={\widehat {f}}^{*}(\xi )}$ （下記の§ 共役を参照）。この冗長性により、式2は区別することができる。${\displaystyle f(x)=\cos(2\pi \xi _{0}x)}$から⁠${\displaystyle e^{i2\pi \xi _{0}x}}$しかし、実際の符号を判定することはできません。${\displaystyle \xi _{0}}$なぜなら​${\displaystyle \cos(2\pi \xi _{0}x)}$そして${\displaystyle \cos(2\pi (-\xi _{0})x)}$実数直線上では区別がつかない。

周期関数のフーリエ変換は、積分公式を直接用いて定義することはできません。式1の積分を定義するためには、関数が絶対積分可能でなければなりません。そのため、フーリエ級数を用いるのが一般的です。周期関数を緩徐分布とみなすことで、定義を拡張して周期関数を含めることも可能です。

これにより、収束するフーリエ級数を持つ周期関数のフーリエ級数とフーリエ変換の間の関係を観察することが可能になります。${\displaystyle f(x)}$は周期関数であり、周期は です。${\displaystyle P}$収束するフーリエ級数を持つ場合、次のようになります 。$${\displaystyle {\widehat {f}}(\xi )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }c_{n}\cdot \delta \left(\xi -{\tfrac {n}{P}}\right),}$$ どこ${\displaystyle c_{n}}$は のフーリエ級数係数です。${\displaystyle f}$⁠、そして${\displaystyle \delta }$はディラックのデルタ関数です。言い換えれば、フーリエ変換は、歯の部分にフーリエ級数係数を掛けたディラックの櫛関数です。

積分可能な関数のフーリエ変換${\displaystyle f}$任意の長さの一定間隔でサンプリングすることができる${\displaystyle 1/P}$これらのサンプルは、周期関数の1サイクルから推測できる。${\displaystyle f_{P}}$⁠、これはポアソン和の公式により、サンプル数に比例するフーリエ級数係数を持つ。 $${\displaystyle f_{P}(x)\triangleq \sum _{n=-\infty }^{\infty }f(x+nP)={\frac {1}{P}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }{\widehat {f}}\left({\tfrac {k}{P}}\right)e^{i2\pi {\frac {k}{P}}x},\quad \forall k\in \mathbb {Z} .}$$

積分可能性${\displaystyle f}$周期的な総和が収束することを保証する。したがって、サンプルは${\displaystyle {\widehat {f}}({\tfrac {k}{P}})}$フーリエ級数解析によって決定できる。 $${\displaystyle {\widehat {f}}\left({\tfrac {k}{P}}\right)=\int _{P}f_{P}(x)\cdot e^{-i2\pi {\frac {k}{P}}x}\,dx.}$$

いつ${\displaystyle f(x)}$コンパクトなサポートを備えています。${\displaystyle f_{P}(x)}$積分区間内に有限個の項が存在する場合。${\displaystyle f(x)}$コンパクトなサポートがないため、数値評価は${\displaystyle f_{P}(x)}$テーパーなどの近似値が必要となる${\displaystyle f(x)}$または、項数を切り捨てる。

フーリエ変換には以下の基本的な性質があります。^{[ 15 ]}

時間スケール

$${\displaystyle f(ax)\ \ {\stackrel {\mathcal {F}}{\Longleftrightarrow }}\ \ {\frac {1}{|a|}}{\widehat {f}}\left({\frac {\xi }{a}}\right);\quad \ a\neq 0}$$ ケース${\displaystyle a=-1}$時間反転特性につながる： $${\displaystyle f(-x)\ \ {\stackrel {\mathcal {F}}{\Longleftrightarrow }}\ \ {\widehat {f}}(-\xi )}$$

${\displaystyle \scriptstyle f(t)}$

${\displaystyle \scriptstyle {\widehat {f}}(\omega )}$

${\displaystyle \scriptstyle g(t)}$

${\displaystyle \scriptstyle {\widehat {g}}(\omega )}$

${\displaystyle \scriptstyle t}$

${\displaystyle \scriptstyle \omega }$

${\displaystyle \scriptstyle t}$

${\displaystyle \scriptstyle \omega }$

偶対称な実数値関数f ( t ) = f _REの変換もまた偶対称な実数値関数 ( ＾f _RE ) です。時間シフトg ( t ) = g _RE + g _ROは、虚数成分i ＾g _IOを生成します。（§ 対称性を参照。）

フーリエ変換は、場合によっては非積分関数に対しても定義されるが、積分関数のフーリエ変換にはいくつかの強力な性質がある。

フーリエ変換${\displaystyle {\widehat {f}}}$任意の積分可能な関数${\displaystyle f}$一様に連続であり、^{[ 17 ] [ 18 ]}$${\displaystyle \left\|{\widehat {f}}\right\|_{\infty }\leq \left\|f\right\|_{1}}$$

リーマン・ルベーグの補題により、^{[ 19 ]}$${\displaystyle {\widehat {f}}(\xi )\to 0{\text{ as }}|\xi |\to \infty .}$$

しかし、${\displaystyle {\widehat {f}}}$積分可能である必要はありません。例えば、積分可能な矩形関数のフーリエ変換はsinc関数ですが、これはルベーグ積分可能ではありません。なぜなら、その広義積分は交代調和級数と同様に、絶対収束することなく和に収束するからです。

一般的に、逆変換をルベーグ積分として記述することはできません。しかし、両方が${\displaystyle f}$そして${\displaystyle {\widehat {f}}}$積分可能であり、逆等式 $${\displaystyle f(x)=\int _{-\infty }^{\infty }{\widehat {f}}(\xi )e^{i2\pi x\xi }\,d\xi }$$ほぼすべてのxに対して成り立つ。結果として、フーリエ変換はL ¹ ( R )上で単射となる。

させよう${\displaystyle f(x)}$そして​​${\displaystyle g(x)}$は積分可能であり、${\displaystyle {\widehat {f}}}$そして​​${\displaystyle {\widehat {g}}}$それらをフーリエ変換とする。もし${\displaystyle f(x)}$そして​​${\displaystyle g(x)}$も二乗可積分である場合、パーセバルの公式が成り立つ。 ^{[ 20 ]}$${\displaystyle \langle f,g\rangle _{L^{2}}=\int _{-\infty }^{\infty }f(x){\overline {g(x)}}\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }{\widehat {f}}(\xi ){\overline {{\widehat {g}}(\xi )}}\,d\xi ,}$$ ここで、バーは複素共役を表します。

上記から導かれるプランシュレルの定理は、次のことを述べている^{[ 21 ]}$${\displaystyle \|f\|_{L^{2}}^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }\left|f(x)\right|^{2}\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }\left|{\widehat {f}}(\xi )\right|^{2}\,d\xi .}$$

プランシュレルの定理は、連続性の議論によってフーリエ変換をユニタリ演算子に拡張することを可能にする。${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$⁠ . に⁠${\displaystyle L^{1}(\mathbb {R} )\cap L^{2}(\mathbb {R} )}$⁠、この拡張は、で定義された元のフーリエ変換と一致します。${\displaystyle L^{1}(\mathbb {R} )}$⁠、したがってフーリエ変換の領域を⁠に拡大する${\displaystyle L^{1}(\mathbb {R} )+L^{2}(\mathbb {R} )}$（そして結果として）${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} )}$⁠のために⁠${\displaystyle 1\leq p\leq 2}$プランシュレルの定理は、科学においてはフーリエ変換が元の量のエネルギーを保存するという解釈がなされています。これらの公式の用語は完全には標準化されていません。パーセバルの定理はフーリエ級数に対してのみ証明され、最初に証明したのはリャプノフです。しかし、パーセバルの公式はフーリエ変換にも意味があり、そのため、フーリエ変換の文脈ではプランシュレルによって証明されたにもかかわらず、今でもパーセバルの公式、パーセバルの関係、あるいはパーセバルの定理と呼ばれることがよくあります。

局所コンパクトアーベル群の文脈におけるこの概念の一般的な定式化については、ポントリャーギン双対性を参照のこと。

フーリエ変換は関数の畳み込みと乗算を相互に変換します。${\displaystyle f(x)}$そして​​${\displaystyle g(x)}$はフーリエ変換を伴う積分可能な関数である。${\displaystyle {\widehat {f}}}$そして​​${\displaystyle {\widehat {g}}(\xi )}$それぞれ、畳み込みのフーリエ変換はフーリエ変換の積で与えられる。${\displaystyle {\widehat {f}}}$そして​​${\displaystyle {\widehat {g}}}$（フーリエ変換の定義に関する他の慣例では、定数係数が現れる場合がある。）

これは、もし次のような場合を意味します。 $${\displaystyle h(x)=(f*g)(x)=\int _{-\infty }^{\infty }f(y)g(x-y)\,dy,}$$ ここで、∗は畳み込み演算を表す。 $${\displaystyle {\widehat {h}}(\xi )={\widehat {f}}(\xi )\,{\widehat {g}}(\xi ).}$$

線形時不変（LTI）システム理論では、次のように解釈するのが一般的です。${\displaystyle g(x)}$入力がLTIシステムのインパルス応答として${\displaystyle f(x)}$⁠そして出力⁠${\displaystyle h(x)}$⁠ 、単位インパルスを⁠に置き換えると${\displaystyle f(x)}$⁠収量⁠${\displaystyle h(x)=g(x)}$この場合、${\displaystyle {\widehat {g}}(\xi )}$はシステムの周波数応答を表します

逆に、もし⁠${\displaystyle f(x)}$2つの二乗可積分関数の積として分解できる${\displaystyle p(x)}$そして​​${\displaystyle q(x)}$⁠ 、次に⁠のフーリエ変換${\displaystyle f(x)}$は、それぞれのフーリエ変換の畳み込みによって与えられる。${\displaystyle {\widehat {p}}(\xi )}$そして​​${\displaystyle {\widehat {q}}(\xi )}$⁠ .

同様に、もし ならば、${\displaystyle h(x)}$はの相互相関です${\displaystyle f(x)}$そして​​${\displaystyle g(x)}$⁠ : $${\displaystyle h(x)=(f\star g)(x)=\int _{-\infty }^{\infty }{\overline {f(y)}}g(x+y)\,dy}$$ そして、のフーリエ変換は${\displaystyle h(x)}$⁠は： $${\displaystyle {\widehat {h}}(\xi )={\overline {{\widehat {f}}(\xi )}}\,{\widehat {g}}(\xi ).}$$

特殊なケースとして、関数の自己相関は${\displaystyle f(x)}$⁠は： $${\displaystyle h(x)=(f\star f)(x)=\int _{-\infty }^{\infty }{\overline {f(y)}}f(x+y)\,dy}$$ そのために $${\displaystyle {\widehat {h}}(\xi )={\overline {{\widehat {f}}(\xi )}}{\widehat {f}}(\xi )=\left|{\widehat {f}}(\xi )\right|^{2}.}$$

f ( x )がほとんど至るところで微分可能であり、かつ両方とも${\displaystyle f}$⁠およびその派生形${\displaystyle f'}$⁠は積分可能（ ⁠${\displaystyle L^{1}(\mathbb {R} )}$⁠ ) すると、導関数のフーリエ変換は次のように与えられる。 $${\displaystyle {\widehat {f'}}(\xi )={\mathcal {F}}\left\{{\frac {d}{dx}}f(x)\right\}=i2\pi \xi {\widehat {f}}(\xi ).}$$ より一般的には、フーリエ変換は${\displaystyle n}$⁠の導関数⁠${\displaystyle f^{(n)}}$⁠は次のように与えられる $${\displaystyle {\widehat {f^{(n)}}}(\xi )={\mathcal {F}}\left\{{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}f(x)\right\}=(i2\pi \xi )^{n}{\widehat {f}}(\xi ).}$$

同様に、${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}\left\{{\frac {d^{n}}{d\xi ^{n}}}{\widehat {f}}(\xi )\right\}=(-i2\pi x)^{n}f(x)}$⁠、だから⁠${\displaystyle {\mathcal {F}}\left\{x^{n}f(x)\right\}=\left({\frac {i}{2\pi }}\right)^{n}{\frac {d^{n}}{d\xi ^{n}}}{\widehat {f}}(\xi )}$⁠ .

フーリエ変換を適用し、これらの公式を用いることで、いくつかの常微分方程式を代数方程式に変換することができ、これははるかに簡単に解くことができる。これらの公式はまた、経験則「⁠${\displaystyle f(x)}$⁠ は、次の場合に限り 滑らかである。${\displaystyle {\widehat {f}}(\xi )}$すぐに落ちる${\displaystyle 0}$⁠のために⁠${\displaystyle \vert \xi \vert \to \infty }$逆フーリエ変換の類似の規則を用いることで、次のように言うこともできます。${\displaystyle f(x)}$すぐに落ちる${\displaystyle 0}$⁠のために⁠${\displaystyle \vert x\vert \to \infty }$⁠の場合に限り⁠${\displaystyle {\widehat {f}}(\xi )}$スムーズです。

フーリエ変換は、次の式を満たす固有関数を持つ線形変換です。${\displaystyle {\mathcal {F}}[\psi ]=\lambda \psi }$⁠、と⁠${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$⁠ .

同次微分方程式に注目すると、固有関数のセットが見つかる。 $${\displaystyle \left[U\left({\frac {1}{2\pi }}{\frac {d}{dx}}\right)+U(x)\right]\psi (x)=0}$$ 固有関数につながる${\displaystyle \psi (x)}$フーリエ変換の${\displaystyle {\mathcal {F}}}$方程式の形式がフーリエ変換の下で不変である限り。^{[注6 ]}言い換えれば、すべての解${\displaystyle \psi (x)}$そしてそのフーリエ変換${\displaystyle {\widehat {\psi }}(\xi )}$同じ方程式に従う。解の一意性を仮定すると、すべての解は${\displaystyle \psi (x)}$したがって、フーリエ変換の固有関数でなければならない。フーリエ変換の下で方程式の形式が変わらないのは、${\displaystyle U(x)}$は、すべての項で のいずれかの同じ因数を持つべき級数に展開できます。${\displaystyle \pm 1}$⁠、 ⁠${\displaystyle \pm i}$要因から生じる${\displaystyle i^{n}}$同次微分方程式をフーリエ変換する際の微分規則によって導入されるこの因子は、その後相殺される可能性がある。最も単純な許容${\displaystyle U(x)=x}$標準正規分布につながる。^{[ 22 ]}

より一般的には、微分規則が常微分方程式を意味することに注目することで、固有関数の集合も見つかる。$${\displaystyle \left[W\left({\frac {i}{2\pi }}{\frac {d}{dx}}\right)+W(x)\right]\psi (x)=C\psi (x)}$$ と${\displaystyle C}$一定で${\displaystyle W(x)}$非定数関数は、フーリエ変換を適用しても形式が不変である。${\displaystyle {\mathcal {F}}}$方程式の両辺に対して。最も簡単な例は、⁠${\displaystyle W(x)=x^{2}}$これは量子調和振動子のシュレーディンガー方程式を考えることと同等である。 ^{[ 23 ]}対応する解は、L2(R) の正規直交基底の重要な選択肢を提供し^、「物理学者」のエルミート関数によって与えられる。同等に、次のようにすることもできる。 $${\displaystyle \psi _{n}(x)={\frac {\sqrt[{4}]{2}}{\sqrt {n!}}}e^{-\pi x^{2}}\mathrm {He} _{n}\left(2x{\sqrt {\pi }}\right),}$$ どこで${\displaystyle \mathrm {He} _{n}(x)}$⁠は「確率論者」のエルミート多項式であり、次のように定義される。 $${\displaystyle \mathrm {He} _{n}(x)=(-1)^{n}e^{{\frac {1}{2}}x^{2}}\left({\frac {d}{dx}}\right)^{n}e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}}.}$$

フーリエ変換のこの慣例の下では、次のようになります。 $${\displaystyle {\widehat {\psi }}_{n}(\xi )=(-i)^{n}\psi _{n}(\xi ).}$$

言い換えれば、エルミート関数は、上のフーリエ変換の完全な正規直交固有関数系を形成する。${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$⁠ . ^{[ 15 ] [ 24 ]}しかし、この固有関数の選択は一意ではありません。${\displaystyle {\mathcal {F}}^{4}=\mathrm {id} }$フーリエ変換の固有値は4つしかない（1の4乗根）${\displaystyle \pm 1}$そして​​${\displaystyle \pm i}$⁠ ) および同じ固有値を持つ固有関数の任意の線形結合は別の固有関数を与えます。 ^{[ 25 ]}この結果として、 L ² ( R ) を、フーリエ変換がi ^kを掛けるだけでH _kに作用する4 つの空間H ₀、 H ₁、 H ₂、およびH ₃の直和として分解することが可能です。

エルミート関数ψ _nの完全な集合は恒等式の分解を提供するので、フーリエ演算子を対角化します。つまり、フーリエ変換は上記の固有値で重み付けされた項の和で表すことができ、これらの和は明示的に合計することができます。 $${\displaystyle {\mathcal {F}}[f](\xi )=\int dxf(x)\sum _{n\geq 0}(-i)^{n}\psi _{n}(x)\psi _{n}(\xi )~.}$$

フーリエ変換を定義するこのアプローチは、ノーバート・ウィーナーによって最初に提案されました。^{[ 26 ]}エルミート関数は、周波数領域と時間領域の両方で指数関数的に速く減少するという性質を持ち、そのためフーリエ変換の一般化、すなわち時間周波数解析で使用される分数フーリエ変換を定義するために使用されます。 ^{[ 27 ]}物理学では、この変換はエドワード・コンドンによって導入されました。^{[ 28 ]}この基底変換は、適切な規約を用いるとフーリエ変換がユニタリ変換となるため可能になります。したがって、適切な条件下では、自己共役生成子から得られることが期待されます。${\displaystyle N}$^{[ 29 ]}経由$${\displaystyle {\mathcal {F}}[\psi ]=e^{-itN}\psi .}$$

オペレーター${\displaystyle N}$量子調和振動子の数演算子は^{[ 30 ] [ 31 ]と書かれている。}$${\displaystyle N\equiv {\frac {1}{4\pi }}\left(2\pi x-{\frac {\partial }{\partial x}}\right)\left(2\pi x+{\frac {\partial }{\partial x}}\right)=-{\frac {1}{4\pi }}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+\pi x^{2}-{\frac {1}{2}}.}$$

これは、任意のtの値に対する分数フーリエ変換と、従来の連続フーリエ変換の生成器として解釈できます。${\displaystyle {\mathcal {F}}}$特定の値に対して${\displaystyle t=\pi /2}$⁠、メーラーカーネルが対応するアクティブ変換を実装する。${\displaystyle N}$エルミート関数 は${\displaystyle \psi _{n}(x)}$⁠、したがってそれらは⁠の固有関数でもある${\displaystyle {\mathcal {F}}}$⁠ .

フーリエ変換を分布に拡張すると、ディラックの櫛状構造もまたフーリエ変換の固有関数となる。

適切な条件下で機能する${\displaystyle f}$⁠ 、フーリエ変換から復元できる${\displaystyle {\widehat {f}}}$実際、フーリエ変換演算子を次のように表す。${\displaystyle {\mathcal {F}}}$⁠、だから⁠${\displaystyle {\mathcal {F}}f:={\widehat {f}}}$⁠、そして適切な関数であれば、フーリエ変換を2回適用するだけで関数が反転します。${\displaystyle \left({\mathcal {F}}^{2}f\right)(x)=f(-x)}$⁠は「時間の反転」と解釈できます。時間の反転は2周期なので、これを2回適用すると⁠${\displaystyle {\mathcal {F}}^{4}(f)=f}$したがって、フーリエ変換演算子は4周期であり、同様に逆フーリエ変換はフーリエ変換を3回適用することで得られる。${\displaystyle {\mathcal {F}}^{3}\left({\widehat {f}}\right)=f}$特にフーリエ変換は（適切な条件下では）可逆である。

より正確には、パリティ演算子を定義する${\displaystyle {\mathcal {P}}}$そのため、${\displaystyle ({\mathcal {P}}f)(x)=f(-x)}$⁠、私たちは以下を持っています： $${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {F}}^{0}&=\mathrm {id} ,\\{\mathcal {F}}^{1}&={\mathcal {F}},\\{\mathcal {F}}^{2}&={\mathcal {P}},\\{\mathcal {F}}^{3}&={\mathcal {F}}^{-1}={\mathcal {P}}\circ {\mathcal {F}}={\mathcal {F}}\circ {\mathcal {P}},\\{\mathcal {F}}^{4}&=\mathrm {id} \end{aligned}}}$$ これらの演算子の等価性は、対象となる関数の空間を慎重に定義し、関数の等価性（すべての点で等価か？ほとんどすべての点で等価か？）と演算子の等価性を定義すること、つまり、対象となる関数空間と演算子空間の位相を定義することを必要とします。これらはすべての関数に対して真であるわけではありませんが、さまざまな条件下で真であり、それらの条件はフーリエ反転定理のさまざまな形式の内容となっています。

フーリエ変換のこの4倍周期性は、平面の90°回転に似ており、特に2倍の反復で反転が生じるため、この類似性はより正確に表現できます。フーリエ変換は時間領域と周波数領域を入れ替えるものと解釈でき、逆フーリエ変換はそれらを元に戻すものですが、より幾何学的には、時間周波数領域における90°回転（時間を…とみなす）と解釈できます。${\displaystyle x}$軸と周波数として${\displaystyle y}$⁠ -軸)、そしてフーリエ変換は、他の角度による回転を含む分数フーリエ変換に一般化できます。これはさらに線形正準変換に一般化でき、これは時間周波数平面上の特殊線形群SL ₂ ( R )の作用として視覚化でき、保存されたシンプレクティック形式は、以下に示す不確定性原理に対応します。このアプローチは、特に信号処理の時間周波数解析において。

ハイゼンベルク群は、実数直線上の二乗可積分複素数値関数fのヒルベルト空間L ² ( R )上の特定のユニタリ演算子群であり、平行移動( T _y f )( x ) = f ( x + y )とe ^{i 2π ξx}、( M _ξ f )( x ) = e ^{i 2π ξx} f ( x )による乗算によって生成されます。これらの演算子は可換ではありません。なぜなら、それらの（群）交換子は $${\displaystyle \left(M_{\xi }^{-1}T_{y}^{-1}M_{\xi }T_{y}f\right)(x)=e^{i2\pi \xi y}f(x),}$$ これは定数 ( xに依存しない) e ^{i 2π ξy} ∈ U (1) (単位モジュラス複素数の円群) による乗算です。抽象群として、ハイゼンベルク群は、3 次元の 3 組( x , ξ , z ) ∈ R ² × U (1)のリー群であり、群法則は次のようになります。 $${\displaystyle \left(x_{1},\xi _{1},t_{1}\right)\cdot \left(x_{2},\xi _{2},t_{2}\right)=\left(x_{1}+x_{2},\xi _{1}+\xi _{2},t_{1}t_{2}e^{-2i\pi x_{1}\xi _{2}}\right).}$$

ハイゼンベルク群をH ₁と表記する。上記の手順は群構造だけでなく、ヒルベルト空間上のH ₁の標準的なユニタリ表現も記述しており、これをρ : H ₁ → B ( L ² ( R ))と表記する。R 2^の線形自己同型を次のように 定義する。 $${\displaystyle J{\begin{pmatrix}x\\\xi \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-\xi \\x\end{pmatrix}}}$$ したがって、J ² = − Iとなります。このJ は、 H ₁の一意な自己同型に拡張できます。 $${\displaystyle j\left(x,\xi ,t\right)=\left(-\xi ,x,te^{-i2\pi \xi x}\right).}$$

ストーン・フォン・ノイマンの定理^によれば、ユニタリ表現ρとρ∘jはユニタリ的に同値であるため、一意のインターツワイナーW∈U ( L2 ( R ) )が存在し 、$${\displaystyle \rho \circ j=W\rho W^{*}.}$$ この演算子Wはフーリエ変換です。

フーリエ変換の標準的な性質の多くは、このより一般的な枠組みの直接的な結果である。^{[ 32 ]}例えば、フーリエ変換の二乗W ²はJ ² = − Iに関連付けられたインターツワイナーであり、したがって( W ² f )( x ) = f (− x )は元の関数fの反射である。