n球面

点の集合⁠${\displaystyle (n+1)}$⁠ -スペース、 ⁠${\displaystyle (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n+1})}$⁠、定義する⁠${\displaystyle n}$⁠ -球体、 ⁠${\displaystyle S^{n}(r)}$⁠ は、次の式で表されます。

${\displaystyle r^{2}=\sum _{i=1}^{n+1}(x_{i}-c_{i})^{2},}$

どこで${\displaystyle \mathbf {c} =(c_{1},c_{2},\ldots ,c_{n+1})}$は中心点であり、${\displaystyle r}$は半径です。

上記​${\displaystyle n}$⁠ -sphere は⁠に存在する${\displaystyle (n+1)}$次元ユークリッド空間であり、 の例である。${\displaystyle n}$⁠ -多様体。体積の形状⁠${\displaystyle \omega }$の​​${\displaystyle n}$半径の球${\displaystyle r}$⁠は次のように与えられる

${\displaystyle \omega ={\frac {1}{r}}\sum _{j=1}^{n+1}(-1)^{j-1}x_{j}\,dx_{1}\wedge \cdots \wedge dx_{j-1}\wedge dx_{j+1}\wedge \cdots \wedge dx_{n+1}={\star }dr}$

どこ${\displaystyle {\star }}$はホッジスター演算子です。この公式の議論と証明については、フランドルズ（1989 、§6.1）を参照してください。${\displaystyle r=1}$その結果、

${\displaystyle dr\wedge \omega =dx_{1}\wedge \cdots \wedge dx_{n+1}.}$

によって囲まれた空間${\displaystyle n}$⁠ -球は⁠${\displaystyle (n+1)}$⁠ -ボール。​${\displaystyle (n+1)}$⁠ -ボールは、以下を含む場合に閉じられます。${\displaystyle n}$⁠ -球体であり、それを含まない場合は開いている。${\displaystyle n}$-球体。

具体的には：

• A ⁠${\displaystyle 1}$⁠ -球体（線分）は、0-球の内部です。
• A ⁠${\displaystyle 2}$⁠ -ボール、ディスクは円の内部です( ⁠${\displaystyle 1}$⁠ -球体）。
• A ⁠${\displaystyle 3}$⁠ -ボール、普通のボールは、球の内部です( ⁠${\displaystyle 2}$⁠ -球体）。
• A ⁠${\displaystyle 4}$⁠ -ボールは3次元球の内部などです。

位相的に、${\displaystyle n}$⁠ -球は、 ⁠の1点コンパクト化として構築できる。${\displaystyle n}$次元ユークリッド空間。簡単に言うと、${\displaystyle n}$⁠ -球は次のように説明できます。${\displaystyle S^{n}=\mathbb {R} ^{n}\cup \{\infty \}}$⁠、それは⁠${\displaystyle n}$次元ユークリッド空間に、あらゆる方向の無限を表す一点を加えたもの。特に、一点が取り除かれた場合、${\displaystyle n}$⁠ -球面では、同相になります${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$これは立体投影の基礎となる。^{[ 1 ]}

表面積、または正確には⁠${\displaystyle n}$次元体積、${\displaystyle n}$境界にある球体${\displaystyle (n+1)}$半径の球${\displaystyle R}$は微分方程式によって球の体積と関連付けられる。

${\displaystyle S_{n}R^{n}={\frac {dV_{n+1}R^{n+1}}{dR}}={(n+1)V_{n+1}R^{n}}.}$

同様に、単位を表す${\displaystyle n}$⁠ -同心円の結合としてのボール⁠${\displaystyle (n-1)}$⁠ -球殻、

${\displaystyle V_{n+1}=\int _{0}^{1}S_{n}r^{n}\,dr={\frac {1}{n+1}}S_{n}.}$

また、単位を表すこともできます。${\displaystyle (n+2)}$⁠ -球は円の積の和集合として（ ⁠${\displaystyle 1}$⁠ -球体）と⁠${\displaystyle n}$⁠ -球体。それから⁠${\displaystyle S_{n+2}=2\pi V_{n+1}}$⁠ . 以来⁠${\displaystyle S_{1}=2\pi V_{0}}$⁠、方程式

${\displaystyle S_{n+1}=2\pi V_{n}}$

すべてに適用される${\displaystyle n}$⁠ . 基本ケースに加えて⁠${\displaystyle S_{0}=2}$⁠、 ⁠${\displaystyle V_{1}=2}$上記の漸化式を用いることで、任意の球の表面積や任意のボールの体積を計算することができる。

弧長要素は$${\displaystyle ds^{2}=dr^{2}+\sum _{k=1}^{n-1}r^{2}\left(\prod _{m=1}^{k-1}\sin ^{2}\left(\varphi _{m}\right)\right)d\varphi _{k}^{2}}$$の体積要素を表すには${\displaystyle n}$球面座標で表した次元ユークリッド空間を、${\displaystyle s_{k}=\sin \varphi _{k}}$そして​​${\displaystyle c_{k}=\cos \varphi _{k}}$簡潔にするために、変換のヤコビ行列は次のようになることに注意してください。

${\displaystyle J_{n}={\begin{pmatrix}c_{1}&-rs_{1}&0&0&\cdots &0\\s_{1}c_{2}&rc_{1}c_{2}&-rs_{1}s_{2}&0&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &&\ddots &\vdots \\&&&&&0\\s_{1}\cdots s_{n-2}c_{n-1}&\cdots &\cdots &&&-rs_{1}\cdots s_{n-2}s_{n-1}\\s_{1}\cdots s_{n-2}s_{n-1}&rc_{1}\cdots s_{n-1}&\cdots &&&{\phantom {-}}rs_{1}\cdots s_{n-2}c_{n-1}\end{pmatrix}}.}$

この行列の行列式は帰納法で計算できます。${\displaystyle n=2}$⁠、簡単な計算により、行列式は⁠${\displaystyle r}$⁠ . より大きな⁠${\displaystyle n}$⁠、注目してください⁠${\displaystyle J_{n}}$から構築できます${\displaystyle J_{n-1}}$以下のとおりです。ただし、列は除きます。${\displaystyle n}$行 ⁠、行⁠${\displaystyle n-1}$そして​​${\displaystyle n}$の​​${\displaystyle J_{n}}$行と同じです${\displaystyle n-1}$の​​${\displaystyle J_{n-1}}$ただし、追加の係数を掛ける$\displaystyle \cos \varphi _{n-1}}$列に​${\displaystyle n-1}$さらに、​${\displaystyle \sin \varphi _{n-1}}$列に​${\displaystyle n}$⁠ . 列内⁠${\displaystyle n}$行 ⁠、行⁠${\displaystyle n-1}$そして​​${\displaystyle n}$の​​${\displaystyle J_{n}}$⁠ は列と同じです⁠${\displaystyle n-1}$行の​${\displaystyle n-1}$の​​${\displaystyle J_{n-1}}$ただし、追加の係数を掛け合わせる${\displaystyle \sin \varphi _{n-1}}$列に​${\displaystyle n-1}$そして​​$\displaystyle \cos \varphi _{n-1}}$列に​${\displaystyle n}$それぞれ。 の決定要因${\displaystyle J_{n}}$⁠は最終列のラプラス展開によって計算できます。 の再帰的記述により、${\displaystyle J_{n}}$⁠、 のエントリを削除して形成される部分行列⁠${\displaystyle (n-1,n)}$行と列はほぼ等しい${\displaystyle J_{n-1}}$ただし、最後の行は で乗算されます。${\displaystyle \sin \varphi _{n-1}}$同様に、 のエントリを削除して形成される部分行列は、${\displaystyle (n,n)}$行と列はほぼ等しい${\displaystyle J_{n-1}}$ただし、最後の行は で乗算されます。$\displaystyle \cos \varphi _{n-1}}$したがって、の決定要因は${\displaystyle J_{n}}$⁠は

${\displaystyle {\begin{aligned}|J_{n}|&=(-1)^{(n-1)+n}(-rs_{1}\dotsm s_{n-2}s_{n-1})(s_{n-1}|J_{n-1}|)\\&\qquad {}+(-1)^{n+n}(rs_{1}\dotsm s_{n-2}c_{n-1})(c_{n-1}|J_{n-1}|)\\&=(rs_{1}\dotsm s_{n-2}|J_{n-1}|(s_{n-1}^{2}+c_{n-1}^{2})\\&=(rs_{1}\dotsm s_{n-2})|J_{n-1}|.\end{aligned}}}$

帰納法を用いると、球座標における体積要素の閉形式表現が得られる。

${\displaystyle {\begin{aligned}d^{n}V&=\left|\det {\frac {\partial (x_{i})}{\partial \left(r,\varphi _{j}\right)}}\right|dr\,d\varphi _{1}\,d\varphi _{2}\cdots d\varphi _{n-1}\\&=r^{n-1}\sin ^{n-2}(\varphi _{1})\sin ^{n-3}(\varphi _{2})\cdots \sin(\varphi _{n-2})\,dr\,d\varphi _{1}\,d\varphi _{2}\cdots d\varphi _{n-1}.\end{整列}}}$

体積の公式は${\displaystyle n}$⁠ -ボールは、積分によってこれから導き出すことができる。

同様に、表面積要素は${\displaystyle (n-1)}$半径の球${\displaystyle R}$⁠、これは⁠の面積要素を一般化したものです${\displaystyle 2}$⁠ -球は、次のように与えられる。

${\displaystyle d_{S^{n-1}}V=R^{n-1}\sin ^{n-2}(\varphi _{1})\sin ^{n-3}(\varphi _{2})\cdots \sin(\varphi _{n-2})\,d\varphi _{1}\,d\varphi _{2}\cdots d\varphi _{n-1}.}$

角度座標に対する直交基底の自然な選択は、超球面多項式の積である。

${\displaystyle {\begin{aligned}&{}\quad \int _{0}^{\pi }\sin ^{nj-1}\left(\varphi _{j}\right)C_{s}^{\left({\frac {nj-1}{2}}\right)}\cos \left(\varphi _{j}\right)C_{s'}^{\left({\frac {nj-1}{2}}\right)}\cos \left(\varphi _{j}\right)\,d\varphi _{j}\\[6pt]&={\frac {2^{3-n+j}\pi \Gamma (s+nj-1)}{s!(2s+nj-1)\Gamma ^{2}\left({\frac {nj-1}{2}}\right)}}\delta _{s,s'}\end{aligned}}}$

のために⁠${\displaystyle j=1,2,\ldots ,n-2}$⁠、そして⁠${\displaystyle e^{is\varphi _{j}}}$角度のために${\displaystyle j=n-1}$球面調和関数に従って。

標準球面座標系は、次のように記述することによって得られる。$\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$製品として​$\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{n-1}}$これらの2つの要素は極座標を用いて関連付けることができます。各点について${\displaystyle \mathbf {x} }$の​$\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$標準直交座標

${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},\dots ,x_{n})=(y_{1},z_{1},\dots ,z_{n-1})=(y_{1},\mathbf {z} )}$

極座標と直交座標を組み合わせた座標系に変換できます。

${\displaystyle \mathbf {x} =(r\sin \theta ,(r\cos \theta ){\hat {\mathbf {z} }}).}$

これは、ポイントが⁠$\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$原点から始まり、$\displaystyle {\hat {\mathbf {z} }}=\mathbf {z} /\lVert \mathbf {z} \rVert \in S^{n-2}}$回転させて${\displaystyle (1,0,\dots ,0)}$による${\displaystyle \theta =\arcsin y_{1}/r}$距離を移動${\displaystyle r=\lVert \mathbf {x} \rVert }$光線に沿って分解していく。この分解を繰り返すと、最終的に標準的な球面座標系が得られる。

多球面座標系はこの構成の一般化から生じる。^{[ 4 ]}空間⁠$\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$は、より小さな次元の2つのユークリッド空間の積として分割されますが、どちらの空間も直線である必要はありません。具体的には、 と仮定します。${\displaystyle p}$そして​​${\displaystyle q}$は正の整数であり、${\displaystyle n=p+q}$⁠ . それから⁠${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}=\mathbb {R} ^{p}\times \mathbb {R} ^{q}}$この分解を用いると、点⁠${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$⁠は次のように書くことができます

${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},\dots ,x_{n})=(y_{1},\dots ,y_{p},z_{1},\dots ,z_{q})=(\mathbf {y} ,\mathbf {z} ).}$

これは、次のように記述することで、極座標と直交座標を組み合わせた座標系に変換できます。

${\displaystyle \mathbf {x} =((r\sin \theta ){\hat {\mathbf {y} }},(r\cos \theta ){\hat {\mathbf {z} }}).}$

ここ${\displaystyle {\hat {\mathbf {y} }}}$そして${\displaystyle {\hat {\mathbf {z} }}}$は、 に関連付けられた単位ベクトルです。${\displaystyle \mathbf {y} }$そして​​${\displaystyle \mathbf {z} }$これは、${\displaystyle \mathbf {x} }$に関して言えば${\displaystyle {\hat {\mathbf {y} }}\in S^{p-1}}$⁠、 ⁠${\displaystyle {\hat {\mathbf {z} }}\in S^{q-1}}$⁠、 ⁠${\displaystyle r\geq 0}$⁠、そして角度⁠${\displaystyle \theta }$⁠ 。 の領域は⁠であることが示せる。${\displaystyle \theta }$は​​${\displaystyle [0,2\pi )}$もし​​${\displaystyle p=q=1}$⁠、 ⁠${\displaystyle [0,\pi ]}$⁠ちょうど 1 つだけの場合⁠${\displaystyle p}$そして​​${\displaystyle q}$は​​${\displaystyle 1}$⁠、そして⁠${\displaystyle [0,\pi /2]}$どちらも​${\displaystyle p}$⁠も⁠${\displaystyle q}$⁠は⁠${\displaystyle 1}$逆変換は

${\displaystyle {\begin{aligned}r&=\lVert \mathbf {x} \rVert ,\\\theta &=\arcsin {\frac {\lVert \mathbf {y} \rVert }{\lVert \mathbf {x} \rVert }}=\arccos {\frac {\lVert \mathbf {z} \rVert }{\lVert \mathbf {x} \rVert }}=\arctan {\frac {\lVert \mathbf {y} \rVert }{\lVert \mathbf {z} \rVert }}.\end{aligned}}}$

これらの分割は、関係する因子のいずれかが2次元以上である限り繰り返すことができます。多球座標系は、デカルト座標がなくなるまでこれらの分割を繰り返すことによって得られます。最初の分割以降の分割では、領域が${\displaystyle {\hat {\mathbf {y} }}}$そして${\displaystyle {\hat {\mathbf {z} }}}$球体であるため、多球座標系の座標は非負の半径と⁠${\displaystyle n-1}$角度。可能な多球面座標系は、次の二分木に対応します。${\displaystyle n}$葉。ツリー内の各非葉ノードは分割に対応し、角度座標を決定します。たとえば、ツリーのルートは を表します。${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$⁠、そしてその直系の子孫は、最初の分岐を表しています。${\displaystyle \mathbb {R} ^{p}}$そして​​${\displaystyle \mathbb {R} ^{q}}$葉ノードはデカルト座標に対応します。${\displaystyle S^{n-1}}$多球座標からデカルト座標への変換式は、ルートからリーフノードへのパスを求めることで決定できます。これらの式は、パスがたどる各分岐ごとに1つの係数を持つ積です。対応する角度座標が であるノードの場合、${\displaystyle \theta _{i}}$左の分岐を取ると、次の係数が導入されます。${\displaystyle \sin \theta _{i}}$⁠そして右の分岐を選ぶと、 の係数が導入される。${\displaystyle \cos \theta _{i}}$逆変換、つまり多球座標から直交座標への変換は、ノードをグループ化することによって決定されます。共通の親を持つノードのペアはすべて、上記の分割式を使用して、混合極座標系から直交座標系に変換できます。

多球面座標は、特殊直交群の観点からも解釈できる。分割⁠${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}=\mathbb {R} ^{p}\times \mathbb {R} ^{q}}$サブグループを決定する

${\displaystyle \operatorname {SO} _{p}(\mathbb {R} )\times \operatorname {SO} _{q}(\mathbb {R} )\subseteq \operatorname {SO} _{n}(\mathbb {R} ).}$

これは、2つの要因それぞれを残したサブグループです。${\displaystyle S^{p-1}\times S^{q-1}\subseteq S^{n-1}}$修正済み。商に対する剰余類の代表値のセットを選択することは、多球座標分解のこのステップにおける代表角を選択することと同じです。

多球面座標では、体積の尺度は⁠${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$⁠そして面積測定は${\displaystyle S^{n-1}}$⁠は製品です。各角度には1つの要素があり、体積は⁠${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$⁠には半径座標の係数もあります。面積の測定値は次の形式になります。

${\displaystyle dA_{n-1}=\prod _{i=1}^{n-1}F_{i}(\theta _{i})\,d\theta _{i},}$

要因が${\displaystyle F_{i}}$⁠は木によって決定されます。同様に、体積の尺度は

${\displaystyle dV_{n}=r^{n-1}\,dr\,\prod _{i=1}^{n-1}F_{i}(\theta _{i})\,d\theta _{i}.}$

分解に対応する木のノードがあると仮定します。${\displaystyle \mathbb {R} ^{n_{1}+n_{2}}=\mathbb {R} ^{n_{1}}\times \mathbb {R} ^{n_{2}}}$⁠そしてそれは角度座標を持っています${\displaystyle \theta }$対応する係数${\displaystyle F}$⁠の値に依存します⁠${\displaystyle n_{1}}$そして​​${\displaystyle n_{2}}$⁠ . 面積の測定値が球の面積が となるように正規化されている場合、${\displaystyle 1}$⁠、これらの要因は次のとおりです。もし⁠${\displaystyle n_{1}=n_{2}=1}$⁠、それから

${\displaystyle F(\theta )={\frac {d\theta }{2\pi }}.}$

もし​${\displaystyle n_{1}>1}$そして​​${\displaystyle n_{2}=1}$⁠、そしてもし⁠${\displaystyle \mathrm {B} }$はベータ関数を表す。

${\displaystyle F(\theta )={\frac {\sin ^{n_{1}-1}\theta }{\mathrm {B} ({\frac {n_{1}}{2}},{\frac {1}{2}})}}\,d\theta .}$

もし​${\displaystyle n_{1}=1}$そして​​${\displaystyle n_{2}>1}$⁠、それから

${\displaystyle F(\theta )={\frac {\cos ^{n_{2}-1}\theta }{\mathrm {B} ({\frac {1}{2}},{\frac {n_{2}}{2}})}}\,d\theta .}$

最後に、両方とも${\displaystyle n_{1}}$そして​​${\displaystyle n_{2}}$1より大きい場合、

${\displaystyle F(\theta )={\frac {(\sin ^{n_{1}-1}\theta )(\cos ^{n_{2}-1}\theta )}{{\frac {1}{2}}\mathrm {B} ({\frac {n_{1}}{2}},{\frac {n_{2}}{2}})}}\,d\theta .}$

参照:フォン・ミーゼス・フィッシャー分布 § 一様超球分布。

単位空間上に均一に分布したランダムな点を生成する${\displaystyle (n-1)}$⁠ -球（つまり、単位の表面）${\displaystyle n}$⁠ -ball)、 Marsaglia (1972)は次のアルゴリズムを示しています。

生成する⁠${\displaystyle n}$⁠正規偏差の次元ベクトル（以下を使用すれば十分です）${\displaystyle N(0,1)}$（ただし、実際には分散の選択は任意である）${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}$⁠ . 次に、この点の「半径」を計算します。

${\displaystyle r={\sqrt {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}}.}$

ベクトル⁠${\displaystyle {\tfrac {1}{r}}\mathbf {x} }$ユニットの表面全体に均一に分布している${\displaystyle n}$-ボール。

マルサリアが提案した別の方法は、点を一様にランダムに選択することである。${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}$ユニットn立方体において、各${\displaystyle x_{i}}$一様分布とは独立して${\displaystyle (-1,1)}$⁠、コンピューティング⁠${\displaystyle r}$上記のとおり、ポイントを拒否して再サンプリングする場合、${\displaystyle r\geq 1}$（つまり、ポイントが にない場合）${\displaystyle n}$⁠ -ボール)、そしてボール内の点が得られたら、それを係数で球面上に拡大します。${\displaystyle {\tfrac {1}{r}}}$⁠ ; それからまた⁠${\displaystyle {\tfrac {1}{r}}\mathbf {x} }$ユニットの表面全体に均一に分布している${\displaystyle n}$-球。この方法は、単位立方体のごくわずかな部分しか球に含まれないため、高次元では非常に非効率的になります。10次元では、立方体の2%未満しか球に含まれないため、通常50回以上の試行が必要になります。70次元では、${\displaystyle 10^{-24}}$立方体の 1/4 が満たされるということは、通常、1兆京回の試行が必要になることを意味し、これはコンピュータが実行できる回数をはるかに超えています。

単位表面から一様にランダムに選択された点${\displaystyle (n-1)}$⁠ -球（例えば、マルサグリアのアルゴリズムを使用）では、半径のみで単位球内部から一様にランダムに点を取得できます。${\displaystyle n}$⁠ -ボール。もし⁠${\displaystyle u}$は区間から一様にランダムに生成された数です。${\displaystyle [0,1]}$そして​​${\displaystyle \mathbf {x} }$は、単位から一様にランダムに選択された点です。${\displaystyle (n-1)}$⁠ -球体、それから⁠${\displaystyle u^{1/n}\mathbf {x} }$ユニット内に均一に分布している${\displaystyle n}$-ボール。

あるいは、単位内から点を均一にサンプリングすることもできる。${\displaystyle n}$⁠ -ボールを単位から縮小して${\displaystyle (n+1)}$⁠ -球体。特に、もし⁠${\displaystyle (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n+2})}$は単位から均等に選択された点です。${\displaystyle (n+1)}$⁠ -球体、それから⁠${\displaystyle (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}$ユニット内に均一に分布している${\displaystyle n}$-ボール（つまり、単に2つの座標を破棄することによって）。 ^{[ 5 ]}

もし​${\displaystyle n}$⁠は十分に大きいので、その体積の大部分は${\displaystyle n}$球体は表面のごく近傍の領域に収まるため、その領域から選択された点も表面に近い位置にある可能性が高い。これは、数値計算やその他の応用分野で発生する、いわゆる次元の呪いにつながる現象の一つである。

させよう${\displaystyle y=x_{1}^{2}}$は、から一様にランダムにサンプリングされた点の最初の座標の二乗である${\displaystyle (n-1)}$⁠ -球面の場合、その確率密度関数は、${\displaystyle y\in [0,1]}$、 は

$${\displaystyle \rho (y)={\frac {\Gamma {\bigl (}{\frac {n}{2}}{\bigr )}}{{\sqrt {\pi }}\;\Gamma {\bigl (}{\frac {n-1}{2}}{\bigr )}}}(1-y)^{(n-3)/2}y^{-1/2}.}$$