商群

商群または因数群は、同値関係を使用して、より大きな群の類似の要素を集約することによって得られる数学的な群であり、この同値関係では群構造の一部が保持されます (構造の残りの部分は「因数分解」されます)。たとえば、n を法とする加法の巡回群は、の倍数だけ異なる要素を識別し、そのような各クラス (合同クラスと呼ばれる) を単一のエンティティとして操作する群構造を定義することによって、加法の整数群から取得できます。これは、群論と呼ばれる数学の分野の一部です。 ${\displaystyle n}$

群の合同関係では、単位元の同値類は常に元の群の正規部分群であり、他の同値類はまさにその正規部分群の剰余類です。結果として得られる商は⁠ ⁠と書きます。ここで は元の群、 は正規部分群です。これは「⁠ ⁠」と読みます。ここで はを法とするの短縮形です。(表記⁠ ⁠は、一部の著者(例: Vinberg ^{[1] )は、任意の}部分群におけるの左剰余類を表すためにこれを使用していますが、が で正規でない場合、これらの剰余類は群を形成しないため、注意して解釈する必要があります。他の著者(例: Dummit と Foote ^[2] )は、この表記を商群を参照するためにのみ使用し、この表記の出現はにおけるの正規性を暗示します。) ${\displaystyle G\,/\,N}$${\displaystyle G}$${\displaystyle N}$${\displaystyle G{\bmod {N}}}$${\displaystyle {\mbox{mod}}}$${\displaystyle G\,/\,H}$${\displaystyle H}$${\displaystyle G}$${\displaystyle H}$${\displaystyle H}$${\displaystyle G}$${\displaystyle H}$${\displaystyle G}$

商群の重要性の多くは、準同型との関係から生まれます。第一同型定理は、準同型による任意の群Gの像は常にの商に同型であると述べています。具体的には、準同型によるの像はに同型であり、 は⁠ ⁠の核を表します。 ${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \varphi :G\rightarrow H}$${\displaystyle G\,/\,\ker(\varphi )}$${\displaystyle \ker(\varphi )}$${\displaystyle \varphi }$

商群の双対概念は部分群であり、これらは大きな群から小さな群を形成する 2 つの主な方法です。任意の正規部分群には対応する商群があり、これは部分群の要素間の区別をなくすことによって大きな群から形成されます。圏論では、商群は部分対象と双対である商対象の例です。

群 と部分群、および固定された元が与えられている場合、対応する左剰余類⁠ ⁠を考えることができます。剰余類は、群の部分集合の自然なクラスです。たとえば、通常の加算によって演算が定義される整数のアーベル群Gと、偶数整数の部分群を考えてみましょう。すると、剰余類はちょうど 2 つあります。⁠ ⁠は偶数で、⁠ ⁠は奇数です (ここでは、2 項演算に乗法表記ではなく加法表記を使用しています)。 ${\displaystyle G}$${\displaystyle H}$${\displaystyle a\in G}$${\displaystyle aH:=\left\{ah:h\in H\right\}}$ ${\displaystyle H}$${\displaystyle 0+H}$${\displaystyle 1+H}$

一般的な部分群⁠ ⁠${\displaystyle H}$については、すべての可能な剰余類の集合⁠ ⁠${\displaystyle \left\{aH:a\in G\right\}}$に対して互換性のある群演算を定義することが望ましいです。これは、 が正規部分群のときにのみ可能です(下記を参照)。群の部分群が正規であるためには、剰余類の等式がすべての⁠ ⁠に対して成り立ちます。の正規部分群は⁠ ⁠と表されます。 ${\displaystyle H}$${\displaystyle N}$${\displaystyle G}$${\displaystyle aN=Na}$${\displaystyle a\in G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle N}$

を群 ⁠ ⁠ の正規部分群とします。集合を⁠ ⁠ における のすべての左剰余類の集合として定義します。つまり、⁠ ⁠です。 ${\displaystyle N}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G\,/\,N}$${\displaystyle N}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G\,/\,N=\left\{aN:a\in G\right\}}$

単位元⁠ ⁠${\displaystyle e\in N}$ , ⁠ ⁠${\displaystyle a\in aN}$なので、剰余類の集合⁠ ⁠${\displaystyle G\,/\,N}$ , に対する二項演算を次のように定義します。⁠ ⁠内の各およびについて、および⁠ ⁠ , ⁠ ⁠ ,の積は⁠ ⁠です。 これは、 が各左剰余類の代表および⁠ ⁠ ,および⁠ ⁠の選択に依存しない場合にのみ機能します。 これを証明するには、⁠ ⁠に対しておよびを仮定します。すると ${\displaystyle aN}$${\displaystyle bN}$${\displaystyle G\,/\,N}$${\displaystyle aN}$${\displaystyle bN}$${\displaystyle (aN)(bN)}$${\displaystyle (ab)N}$${\displaystyle (ab)N}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle aN}$${\displaystyle bN}$${\displaystyle xN=aN}$${\displaystyle yN=bN}$${\displaystyle x,y,a,b\in G}$

${\textstyle (ab)N=a(bN)=a(yN)=a(Ny)=(aN)y=(xN)y=x(Ny)=x(yN)=(xy)N}$。

これは、 ⁠ ⁠${\displaystyle N}$が正規部分群であるという事実に依存します。この条件が⁠ ⁠${\displaystyle G\,/\,N}$上の演算を定義するのに十分であるだけでなく必要であることはまだ示されていません。

それが必然的であることを示すために、 ⁠ ⁠のサブグループに対して、演算が明確に定義されていることを考えてみましょう。つまり、すべての ⁠ ⁠ に対して、また⁠ ⁠に対して⁠ ⁠です。 ${\displaystyle N}$${\displaystyle G}$${\displaystyle xN=aN}$${\displaystyle yN=bN}$${\displaystyle x,y,a,b\in G,\;(ab)N=(xy)N}$

と⁠ ⁠とします。⁠ ⁠なので、 ⁠ ⁠ が成り立ちます。 ${\displaystyle n\in N}$${\displaystyle g\in G}$${\displaystyle eN=nN}$${\displaystyle gN=(eg)N=(eN)(gN)=(nN)(gN)=(ng)N}$

さて、そして⁠ ⁠。 ${\displaystyle gN=(ng)N\Leftrightarrow N=(g^{-1}ng)N\Leftrightarrow g^{-1}ng\in N,\;\forall \,n\in N}$${\displaystyle g\in G}$

したがって、は⁠ ⁠の正規部分群です。 ${\displaystyle N}$${\displaystyle G}$

また、この演算は常に結合的であり、単位元⁠ ⁠を持ち、元の逆は常に⁠ ⁠で表せることも確認できます。したがって、集合は⁠ ⁠ で定義される演算とともに群、つまり⁠ ⁠による の商群を形成します。 ${\displaystyle G\,/\,N}$${\displaystyle G\,/\,N}$${\displaystyle N}$${\displaystyle aN}$${\displaystyle a^{-1}N}$${\displaystyle G\,/\,N}$${\displaystyle (aN)(bN)=(ab)N}$${\displaystyle G}$${\displaystyle N}$

⁠ ⁠${\displaystyle N}$の正規性により、 ⁠ ⁠の左剰余類と右剰余類は同じなので、⁠ ⁠の右剰余類の集合として定義することもできます。 ${\displaystyle N}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G\,/\,N}$${\displaystyle N}$${\displaystyle G}$

たとえば、6 を法とする加法群を考えます: ⁠ ⁠ 。 が${\displaystyle G=\left\{0,1,2,3,4,5\right\}}$アーベルなので正規である部分群⁠ ⁠${\displaystyle N=\left\{0,3\right\}}$を考えます。すると、(左)剰余類の集合のサイズは 3 になります: ${\displaystyle G}$

${\displaystyle G\,/\,N=\left\{a+N:a\in G\right\}=\left\{\left\{0,3\right\},\left\{1,4\right\},\left\{2,5\right\}\right\}=\left\{0+N,1+N,2+N\right\}}$。

上記で定義した二項演算により、この集合は商群と呼ばれるグループになり、この場合は位数 3 の 巡回群と同型になります。

商群は整数の除算に例えることができます。12 を 3 で割ると、12 個のオブジェクトを 3 個のオブジェクトの 4 つのサブコレクションに再グループ化できるため、結果は 4 になります。商群も同じ考え方ですが、最終的な答えは数ではなくグループになります。これは、グループには任意のオブジェクトのコレクションよりも多くの構造があるためです。商 では、グループ構造を使用して自然な「再グループ化」を形成します。これらはにおけるの剰余類です。グループと通常のサブグループから始めたため、最終的な商には剰余類の数 (通常の除算で得られるもの) 以上の情報が含まれますが、代わりにグループ構造自体が含まれます。 ${\displaystyle G\,/\,N}$${\displaystyle G\,/\,N}$${\displaystyle N}$${\displaystyle G}$

整数 群（加法のもとで）とすべての偶数からなる部分群を考えてみましょう。はアーベルなので、これは正規部分群です。剰余類は偶数集合と奇数集合の 2 つだけなので、商群は2 つの要素を持つ巡回群です。この商群は、2 を法とする加算集合と同型です。非公式には、 は2 を法とする 加算集合に等しいと言われることもあります。${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle 2\mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Z} \,/\,2\mathbb {Z} }$${\displaystyle \left\{0,1\right\}}$${\displaystyle \mathbb {Z} \,/\,2\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \left\{0,1\right\}}$

例をさらに詳しく説明します...

を⁠ ⁠で割ったときの余りを とします。すると、が偶数のとき、 が奇数のときとなります。${\displaystyle \gamma (m)}$${\displaystyle m\in \mathbb {Z} }$${\displaystyle 2}$${\displaystyle \gamma (m)=0}$${\displaystyle m}$${\displaystyle \gamma (m)=1}$${\displaystyle m}$

⁠ ⁠${\displaystyle \gamma }$の定義により、 ⁠ ⁠${\displaystyle \gamma }$、⁠ ⁠${\displaystyle \ker(\gamma )=\{m\in \mathbb {Z} :\gamma (m)=0\}}$ 、の核はすべての偶数の整数の集合です。

⁠ ⁠${\displaystyle H=\ker(\gamma )}$とします。すると、⁠ ⁠の恒等関数である⁠ ⁠ が⁠ ⁠に含まれ、2 つの偶数の和は偶数であるため、 ⁠ ⁠ は部分群です。したがって、 および が ⁠ ⁠ に含まれる場合、は(閉包)に含まれ、 が偶数の場合、も偶数であるため、その逆数が含まれます。${\displaystyle H}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle 0}$${\displaystyle H}$${\displaystyle m}$${\displaystyle n}$${\displaystyle H}$${\displaystyle m+n}$${\displaystyle H}$${\displaystyle m}$${\displaystyle -m}$${\displaystyle H}$

をとして定義し、 は左剰余類の商群です。${\displaystyle \mu :\mathbb {Z} /H\to \mathrm {Z} _{2}}$${\displaystyle \mu (aH)=\gamma (a)}$${\displaystyle a\in \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Z} /H}$${\displaystyle \mathbb {Z} /H=\{H,1+H\}}$

が奇数の場合は⁠ ⁠${\displaystyle \mu }$が、が偶数の場合は⁠ ⁠が定義されていることに注意してください。${\displaystyle \mu (aH)}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle a}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle a}$

したがって、は⁠ ⁠ から ⁠ ⁠への同型です。${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \mathbb {Z} /H}$${\displaystyle \mathrm {Z} _{2}}$

最後の例を少し一般化します。もう一度、加算による整数の群を考えます。 ⁠ ⁠ を任意の正の整数とします。 ⁠ ⁠のすべての倍数からなる⁠ ⁠の部分群を考えます。 はアーベルなので、は再び⁠ ⁠において正規です。剰余類は⁠ ⁠ ⁠のコレクションです。整数は⁠ ⁠ ⁠剰余類に属し、 は⁠ ⁠ ⁠で割ったときの余りです。商は⁠ ⁠ を法とする「余り」の群と考えることができます。これは⁠ ⁠ ⁠の順序の巡回群です。 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle n}$${\displaystyle n\mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle n}$${\displaystyle n\mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \left\{n\mathbb {Z} ,1+n\mathbb {Z} ,\;\ldots ,(n-2)+n\mathbb {Z} ,(n-1)+n\mathbb {Z} \right\}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle r+n\mathbb {Z} }$${\displaystyle r}$${\displaystyle k}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \mathbb {Z} \,/\,n\mathbb {Z} }$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$

複素単位円上の点である1の12乗根は、乗法アーベル群⁠ ⁠を形成します。これは、右の図に色付きのボールとして示され、各点の数字は複素引数を示しています。赤いボールで示されている 1 の 4 乗根で構成されるサブグループについて考えます。この正規サブグループは、グループを赤、緑、青で示されている 3 つの剰余類に分割します。剰余類が 3 つの要素のグループを形成することを確認できます (赤い要素と青い要素の積は青、青い要素の逆は緑など)。したがって、商グループは 3 色のグループであり、3 つの要素を持つ巡回グループであることがわかります。 ${\displaystyle G}$${\displaystyle N}$${\displaystyle G\,/\,N}$

加法による実数 の群と整数の部分群について考えます。のの各剰余類は⁠ ⁠ の形式の集合であり、 は実数です。との非整数部分が等しい場合、とは同一の集合となるため、意味を変えることなく制約を課すことができます。 このような剰余類の加算は、対応する実数を加算し、結果が 1 以上の場合は 1 を引くことで行います。 商群は、円群、乗法による絶対値1の複素数の群、またはそれに対応して、2D で原点の周りを回転する群、つまり特殊直交群⁠ ⁠と同型です。 同型は ⁠ ⁠ で与えられます(オイラーの恒等式を参照)。 ${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle a+\mathbb {Z} }$${\displaystyle a}$${\displaystyle a_{1}+\mathbb {Z} }$${\displaystyle a_{2}+\mathbb {Z} }$${\displaystyle a_{1}}$${\displaystyle a_{2}}$${\displaystyle 0\leq a<1}$${\displaystyle \mathbb {R} \,/\,\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathrm {SO} (2)}$${\displaystyle f(a+\mathbb {Z} )=\exp(2\pi ia)}$

が可逆な実行行列の群であり、が行列式1を持つ実行行列の部分群である場合、 はにおいて正規です(行列式準同型の核であるため)。 の剰余類は、与えられた行列式を持つ行列の集合であるため、 は非ゼロの実数の乗法群と同型です。 この群は特殊線型群⁠ ⁠として知られています。 ${\displaystyle G}$${\displaystyle 3\times 3}$${\displaystyle N}$${\displaystyle 3\times 3}$${\displaystyle N}$${\displaystyle G}$${\displaystyle N}$${\displaystyle G\,/\,N}$${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \mathrm {SL} (3)}$

アーベル群(つまり、 4を法とする加算の集合) とその部分群⁠ ⁠を考えます。商群は⁠ ⁠です。これは、単位元⁠ ⁠と、 ⁠ ⁠などの群演算を持つ群です。部分群と商群はどちらも⁠ ⁠と同型です。 ${\displaystyle \mathrm {Z} _{4}=\mathbb {Z} \,/\,4\mathbb {Z} }$${\displaystyle \left\{0,1,2,3\right\}}$${\displaystyle \left\{0,2\right\}}$${\displaystyle \mathrm {Z} _{4}\,/\,\left\{0,2\right\}}$${\displaystyle \left\{\left\{0,2\right\},\left\{1,3\right\}\right\}}$${\displaystyle \left\{0,2\right\}}$${\displaystyle \left\{0,2\right\}+\left\{1,3\right\}=\left\{1,3\right\}}$${\displaystyle \left\{0,2\right\}}$${\displaystyle \left\{\left\{0,2\right\},\left\{1,3\right\}\right\}}$${\displaystyle \mathrm {Z} _{2}}$

乗法群 ⁠ ⁠ について考えます。⁠ ${\displaystyle G=(\mathbb {Z} _{n^{2}})^{\times }}$⁠番目の留数の集合は⁠ ⁠に同型な乗法部分群です。すると は⁠ ⁠ において正規となり、因数群には⁠​​ ⁠ ⁠の剰余類が存在します。Paillier暗号システムは、 ⁠ ⁠の因数分解を知らずに⁠ ⁠ のランダムな元の剰余類を決定することは困難であるという予想に基づいています。 ${\displaystyle N}$${\displaystyle n}$${\displaystyle (\mathbb {Z} _{n})^{\times }}$${\displaystyle N}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G\,/\,N}$${\displaystyle N,(1+n)N,(1+n)2N,\;\ldots ,(1+n)n-1N}$${\displaystyle G}$${\displaystyle n}$

商群は自明群（元が 1 つの群）と同型であり、 ⁠ ⁠と同型です。 ${\displaystyle G\,/\,G}$${\displaystyle G\,/\,\left\{e\right\}}$${\displaystyle G}$

⁠ ⁠の位数、つまり定義により要素の数は、⁠ ⁠における⁠ ⁠のインデックス⁠ ⁠に等しくなります。 が有限の場合、インデックスは ⁠ ⁠ の位数を⁠ ⁠の位数で割った値にも等しくなります。 と は両方とも無限ですが、集合は有限である場合があります (たとえば、⁠ ⁠ )。 ${\displaystyle G\,/\,N}$${\displaystyle \vert G:N\vert }$${\displaystyle N}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle N}$${\displaystyle G\,/\,N}$${\displaystyle G}$${\displaystyle N}$${\displaystyle \mathbb {Z} \,/\,2\mathbb {Z} }$

⁠ ⁠の各要素を、が属するの剰余類に写す「自然な」全射 群準同型写像 ⁠ ⁠${\displaystyle \pi :G\rightarrow G\,/\,N}$があります。つまり、⁠ ⁠ です。この写像は、 ⁠ ⁠ の ⁠ ⁠への標準射影と呼ばれることもあります。その核は⁠ ⁠です。 ${\displaystyle g}$${\displaystyle G}$${\displaystyle N}$${\displaystyle g}$${\displaystyle \pi (g)=gN}$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle G}$${\displaystyle G\,/\,N}$${\displaystyle N}$

を含む のサブグループと⁠ ⁠のサブグループの間には全単射対応があります。 が⁠ ⁠ を含むのサブグループである場合、対応する ⁠ ⁠ のサブグループは⁠ ⁠です。 この対応は、およびの正規サブグループにも当てはまり、格子定理で形式化されています。 ${\displaystyle G}$${\displaystyle N}$${\displaystyle G\,/\,N}$${\displaystyle H}$${\displaystyle G}$${\displaystyle N}$${\displaystyle G\,/\,N}$${\displaystyle \pi (H)}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G\,/\,N}$

商群のいくつかの重要な性質は、準同型性に関する基本定理と同型性定理に記録されています。

がアーベル、冪零、可解、巡回、または有限生成である場合、 ⁠ ⁠ もそうです。 ${\displaystyle G}$${\displaystyle G\,/\,N}$

が有限群⁠ ⁠の部分群であり、 の位数が⁠ ⁠の位数の半分である場合、 は正規部分群であることが保証されるため、が存在し、 ⁠ ⁠と同型です。この結果は、「指数 2 の任意の部分群は正規である」とも述べられ、この形式では無限群にも適用されます。さらに、 が有限群⁠ ⁠の位数を割り切る最小の素数である場合、が位数⁠ ⁠を持つ場合、は⁠ ⁠の正規部分群でなければなりません。^[3]${\displaystyle H}$${\displaystyle G}$${\displaystyle H}$${\displaystyle G}$${\displaystyle H}$${\displaystyle G\,/\,H}$${\displaystyle \mathrm {C} _{2}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G\,/\,H}$${\displaystyle p}$${\displaystyle H}$${\displaystyle G}$

と正規部分群⁠ ⁠ が与えられている場合、⁠ ⁠による⁠ ⁠の群拡大です。この拡大が自明か分割か、つまり⁠ ⁠ ⁠の直積か半直積かを問うことができます。これは拡大問題の特殊なケースです。拡大が分割されない例は次のとおりです。⁠ ⁠、および⁠ ⁠とします。これは⁠ ⁠と同型です。すると⁠ ⁠ ⁠と同型になります。しかし は自明な自己同型のみを持つため、との唯一の半直積は直積です。は⁠ ⁠ ⁠と異なるため、 は⁠ ⁠ ⁠の半直積ではないと結論付けられます。 ${\displaystyle G}$${\displaystyle N}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G\,/\,N}$${\displaystyle N}$${\displaystyle G}$${\displaystyle N}$${\displaystyle G\,/\,N}$${\displaystyle G=\mathrm {Z} _{4}=\left\{0,1,2,3\right\}}$${\displaystyle N=\left\{0,2\right\}}$${\displaystyle \mathrm {Z} _{2}}$${\displaystyle G\,/\,N}$${\displaystyle \mathrm {Z} _{2}}$${\displaystyle \mathrm {Z} _{2}}$${\displaystyle N}$${\displaystyle G\,/\,N}$${\displaystyle \mathrm {Z} _{4}}$${\displaystyle \mathrm {Z} _{2}\times \mathrm {Z} _{2}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle N}$${\displaystyle G\,/\,N}$

がリー群で、が⁠ ⁠の正規かつ閉じた（代数的な意味ではなく位相的な意味で）リー部分群である場合、商もリー群である。この場合、元の群は、基底空間とファイバー⁠ ⁠を持つファイバー束（具体的には、主⁠ ⁠束）の構造を持ちます。 の次元は⁠ ⁠に等しい。^[4]${\displaystyle G}$${\displaystyle N}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G\,/\,N}$${\displaystyle G}$${\displaystyle N}$${\displaystyle G\,/\,N}$${\displaystyle N}$${\displaystyle G\,/\,N}$${\displaystyle \dim G-\dim N}$

が閉じていることが条件であることに注意します。実際、が閉じていない場合、商空間はT1 空間ではありません(商には、開集合によって単位元から分離できない剰余類があるため)。したがって、ハウスドルフ空間ではありません。 ${\displaystyle N}$${\displaystyle N}$

非正規リー部分群 ⁠ ⁠ の場合、左${\displaystyle N}$剰余類の空間は群ではなく、単に が作用する微分可能多様体です。結果は同次空間として知られています。 ${\displaystyle G\,/\,N}$${\displaystyle G}$

• グループ拡張
• 商カテゴリ
• 短い完全シーケンス

• ダミット、デビッド・S.; フット、リチャード・M. (2003)、抽象代数（第3版）、ニューヨーク：ワイリー、ISBN 978-0-471-43334-7
• Herstein, IN (1975)、Topics in Algebra (第2版)、ニューヨーク：Wiley、ISBN 0-471-02371-X