マダヴァシリーズ

マダヴァの正弦系列は、サンカラ ヴァリアルによるユクティ ディピカ注釈 ( Tantrasamgraha-vyakhya )の 2.440 節と 2.441 節に記載されています。詩の翻訳は次のとおりです。

弧に弧の二乗を掛け、それを（任意の回数）繰り返した結果を取る。連続する偶数の二乗（現在の数に前の数を掛けたもの）にその数を掛け、半径の二乗を掛けたもので割る。弧と、このようにして得られた連続する結果を上下に並べ、それぞれを上の結果から引く。これらを合わせると、 "vidvan" などで始まる詩句にまとめられているjiva [sine] が得られる。

rを円の半径、sを弧長とする。

• まず、以下の分子が形成されます。

  ${\displaystyle s\cdot s^{2},\qquad s\cdot s^{2}\cdot s^{2},\qquad s\cdot s^{2}\cdot s^{2}\cdot s^{2},\qquad \cdots }$

• これらは、その節で指定された数量で割られます。

  ${\displaystyle s\cdot {\frac {s^{2}}{(2^{2}+2)r^{2}}},\qquad s\cdot {\frac {s^{2}}{(2^{2}+2)r^{2}}}\cdot {\frac {s^{2}}{(4^{2}+4)r^{2}}},\qquad s\cdot {\frac {s^{2}}{(2^{2}+2)r^{2}}}\cdot {\frac {s^{2}}{(4^{2}+4)r^{2}}}\cdot {\frac {s^{2}}{(6^{2}+6)r^{2}}},\qquad \cdots }$

• 弧と、そのようにして得られた連続する結果を上下に並べ、それぞれを上の結果から引いて、jiva を求めます。

  ${\displaystyle {\text{jiva}}=s-\left[s\cdot {\frac {s^{2}}{(2^{2}+2)r^{2}}}-\left[s\cdot {\frac {s^{2}}{(2^{2}+2)r^{2}}}\cdot {\frac {s^{2}}{(4^{2}+4)r^{2}}}-\left[s\cdot {\frac {s^{2}}{(2^{2}+2)r^{2}}}\cdot {\frac {s^{2}}{(4^{2}+4)r^{2}}}\cdot {\frac {s^{2}}{(6^{2}+6)r^{2}}}-\cdots \right]\right]\right]}$

円の中心における弧sがなす角を θ とする。するとs = r θおよびjiva = r sin θとなる。これらを最後の式に代入して簡略化すると、次の式が得られる。

${\displaystyle \sin \theta =\theta -{\frac {\theta ^{3}}{3!}}+{\frac {\theta ^{5}}{5!}}-{\frac {\theta ^{7}}{7!}}+\quad \cdots }$

これは正弦関数の無限級数展開である。

「vidvan」などで始まる詩句にまとめられた詩句の最後の行は、弧と半径の特定の値に対する計算を容易にするために、マダヴァ自身が導入した数列の再定式化への言及である。このような再定式化のために、マダヴァは、その4分の1の長さが5400分（C分としよう）である円を考え、そのような円のさまざまな弧のjiva 'sを簡単に計算するためのスキームを開発した。4分の1の長さがCである円の半径をRとする。マダヴァはすでにπの級数公式を用いてπの値を計算していた。^{[ 10 ]}このπの値、すなわち3.1415926535922を用いて、半径Rは次のように計算される。

R = 2 × 5400 / π = 3437.74677078493925 = 3437分44秒48 60 分の1 秒= 3437 ′ 44 ′ ′ 48 ′ ′ ′。

半径Rの円の任意の弧sに対応するジーヴァを表すマダヴァの表現は、次の式と同等である。

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{jiva }}&=s-{\frac {s^{3}}{R^{2}(2^{2}+2)}}+{\frac {s^{5}}{R^{4}(2^{2}+2)(4^{2}+4)}}-\cdots \\[6pt]&=s-\left({\frac {s}{C}}\right)^{3}\left[{\frac {R\left({\frac {\pi }{2}}\right)^{3}}{3!}}-\left({\frac {s}{C}}\right)^{2}\left[{\frac {R\left({\frac {\pi }{2}}\right)^{5}}{5!}}-\left({\frac {s}{C}}\right)^{2}\left[{\frac {R\left({\frac {\pi }{2}}\right)^{7}}{7!}}-\cdots \right]\right]\right].\end{aligned}}}$

マダヴァは、以下の値を計算します。

ジーヴァは、以下のスキームを用いて計算できる。

${\displaystyle {\text{jiva }}=s-\left({\frac {s}{C}}\right)^{3}\left[\left({\frac {R({\frac {\pi }{2}})^{3}}{3!}}\right)-\left({\frac {s}{C}}\right)^{2}\left[\left({\frac {R({\frac {\pi }{2}})^{5}}{5!}}\right)-\left({\frac {s}{C}}\right)^{2}\left[\left({\frac {R({\frac {\pi }{2}})^{7}}{7!}}\right)-\left({\frac {s}{C}}\right)^{2}\left[\left({\frac {R({\frac {\pi }{2}})^{9}}{9!}}\right)-\left({\frac {s}{C}}\right)^{2}\left({\frac {R({\frac {\pi }{2}})^{11}}{11!}}\right)\right]\right]\right]\right].}$

これは、11次テイラー多項式によるジーヴァの近似値を与える。これには、1回の除算、6回の乗算、および5回の減算のみが含まれる。マダヴァは、この数値的に効率的な計算方法を次のように規定している（ユクティ・ディーピカー第2章437節の翻訳）。

vi-dvān、tu-nna-ba-la、ka-vī-śa-ni-ca-ya、sa-rvā-rtha-śī-la-sthi-ro、ni-rvi-ddhā-nga-na-rē-ndra-rung。これらの 5 つの数を順に、弧の 2 乗を円周の 4 分の 1 (5400 ′ ) で割った値で掛け、次の数から引きます。(このようにして得られた結果と次の数でこのプロセスを続けます。) 最終結果に弧の 3 乗を円周の 4 分の 1 で割った値を掛け、弧から引きます。

マダヴァのコサイン級数は、シャンカラ・ヴァリヤールによる『ユクティ・ディーピカー』注釈書（『タントラサングラハ・ヴィヤーキヤ』）の第2章442節と第443節に記されている。以下にその翻訳を示す。

弧の二乗に単位（つまり半径）を掛け、それを（任意の回数）繰り返した結果を取る。上記の各分子を、連続する偶数の二乗からその数を引いた数に半径の二乗を掛けたもので割る。ただし、最初の項は（今）半径の2倍で割る。このようにして得られた連続する結果を上下に並べ、それぞれを上のものから引く。これらを合わせると、stena、striなどで始まる詩句にまとめられたśaraが得られる。

rを円の半径、sを弧長とする。

• まず、以下の分子が形成されます。

${\displaystyle r\cdot s^{2},\qquad r\cdot s^{2}\cdot s^{2},\qquad r\cdot s^{2}\cdot s^{2}\cdot s^{2},\qquad \cdots }$

• これらは、その節で指定された数量で割られます。

${\displaystyle r\cdot {\frac {s^{2}}{(2^{2}-2)r^{2}}},\qquad r\cdot {\frac {s^{2}}{(2^{2}-2)r^{2}}}\cdot {\frac {s^{2}}{(4^{2}-4)r^{2}}},\qquad r\cdot {\frac {s^{2}}{(2^{2}-2)r^{2}}}\cdot {\frac {s^{2}}{(4^{2}-4)r^{2}}}\cdot {\frac {s^{2}}{(6^{2}-6)r^{2}}},\qquad \cdots }$

• 弧と、そのようにして得られた連続する結果を上下に並べ、それぞれを上の結果から引いて、śara を求めます。

${\displaystyle {\text{sara}}=r\cdot {\frac {s^{2}}{(2^{2}-2)r^{2}}}-\left[r\cdot {\frac {s^{2}}{(2^{2}-2)r^{2}}}\cdot {\frac {s^{2}}{(4^{2}-4)r^{2}}}-\left[r\cdot {\frac {s^{2}}{(2^{2}-2)r^{2}}}\cdot {\frac {s^{2}}{(4^{2}-4)r^{2}}}\cdot {\frac {s^{2}}{(6^{2}-6)r^{2}}}-\cdots \right]\right]}$

円の中心における弧sがなす角をθとする。するとs = rθおよびśara = r (1 − cos θ ) となる。これらを最後の式に代入して簡略化すると、次の式が得られる。

${\displaystyle 1-\cos \theta ={\frac {\theta ^{2}}{2!}}-{\frac {\theta ^{4}}{4!}}+{\frac {\theta ^{6}}{6!}}+\quad \cdots }$

これは、コサイン関数の無限級数展開を与える。

詩の最後の行「stena、stri などで始まる詩にまとめられている」は、弧と半径の特定の値に対して簡単に計算できるようにするために、マダヴァ自身が導入した再定式化への言及です。正弦級数の場合と同様に、マダヴァは、その 4 分の 1 が 5400 分 ( C分とします) である円を考え、そのような円のさまざまな弧のśaraを簡単に計算するためのスキームを開発します。その 4 分の 1 が C である円の半径をRとします。すると、正弦級数の場合と同様に、マダヴァは R = 3437 ′ 44 ′ ′ 48 ′ ′ ′を得ます。

半径Rの円の任意の弧sに対応するśaraに関するマダヴァの表現は、次の式と同等である。

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{jiva }}&=R\cdot {\frac {s^{2}}{R^{2}(2^{2}-2)}}-R\cdot {\frac {s^{4}}{R^{4}(2^{2}-2)(4^{2}-4)}}-\cdots \\[6pt]&=\left({\frac {s}{C}}\right)^{2}\left[{\frac {R\left({\frac {\pi }{2}}\right)^{2}}{2!}}-\left({\frac {s}{C}}\right)^{2}\left[{\frac {R\left({\frac {\pi }{2}}\right)^{4}}{4!}}-\left({\frac {s}{C}}\right)^{2}\left[{\frac {R\left({\frac {\pi }{2}}\right)^{6}}{6!}}-\cdots \right]\right]\right]\end{aligned}}}$

マダヴァは、以下の値を計算します。

śaraは、以下のスキームを使用して計算できます。

${\textstyle {\text{sara }}=\left({\frac {s}{C}}\right)^{2}\left[\left({\frac {R({\frac {\pi }{2}})^{2}}{2!}}\right)-\left({\frac {s}{C}}\right)^{2}\left[\left({\frac {R({\frac {\pi }{2}})^{4}}{4!}}\right)-\left({\frac {s}{C}}\right)^{2}\left[\left({\frac {R({\frac {\pi }{2}})^{6}}{6!}}\right)-\left({\frac {s}{C}}\right)^{2}\left[\left({\frac {R({\frac {\pi }{2}})^{8}}{8!}}\right)-\left({\frac {s}{C}}\right)^{2}\left[\left({\frac {R({\frac {\pi }{2}})^{10}}{10!}}\right)-\left({\frac {s}{C}}\right)^{2}\left({\frac {R({\frac {\pi }{2}})^{12}}{12!}}\right)\right]\right]\right]\right]\right]}$

これは、12次テイラー多項式によるśaraの近似値を与える。また、これには1回の除算、6回の乗算、5回の減算のみが含まれる。マダヴァは、この数値的に効率的な計算方法を次のように述べている（ユクティ・ディピカ第2章438節の翻訳）。

6 つの stena、strīpiśuna、sugandhinaganud、bhadrāngabhavyāsana、mīnāngonarasimha、unadhanakrtbhureva。弧の 2 乗を円周の 4 分の 1 で割った値を掛け、次の数から引きます。（結果と次の数で続けます。）最終結果はutkrama-jya（逆向きの R 記号）になります。

マダヴァのアークタンジェント級数は、シャンカラ・ヴァリヤールによるユクティ・ディーピカー注釈（タントラサングラハ・ヴィヤーキヤ）の2.206 ～ 2.209節に述べられています。これらの節の翻訳は以下に示します。^{[ 11 ]}ジェーシュタデーヴァもユクティバーサでこの級数について説明しています。^{[ 12 ] [ 13 ] [ 14 ]}

さて、全く同じ議論によって、目的の正弦の弧を求めることができます。それは次のとおりです。最初の結果は、目的の正弦と半径の積を弧の余弦で割ったものです。正弦の二乗を乗数、余弦の二乗を除数とした場合、最初の結果から始めて、一連の結果を求めます。これらを奇数1、3などで順に割り、偶数の結果の合計を奇数の結果の合計から引いたものが、弧になります。ここで、正弦と余弦のうち小さい方を目的の正弦とみなす必要があります。そうしないと、繰り返し計算しても結果が終わらなくなってしまいます。

同じ論理を用いて、円周は別の方法でも計算できます。それは次のとおりです。最初の結果は、直径の二乗の平方根に12を掛けたものです。それ以降は、結果を3で割ります。これらを1から順に奇数で割り、偶数の結果の合計から奇数の結果を引くと、それが円周になります。

sを目的の正弦 ( jyaまたはjiva ) yの弧とする。rを半径、x を余弦 ( kotijya ) とする。

• 最初の結果は${\displaystyle {\tfrac {y\cdot r}{x}}}$。
• 乗数と除数を作成する${\displaystyle {\tfrac {y^{2}}{x^{2}}}}$。
• 結果のグループを作成する：

${\displaystyle {\frac {y\cdot r}{x}}\cdot {\frac {y^{2}}{x^{2}}},\qquad {\frac {y\cdot r}{x}}\cdot {\frac {y^{2}}{x^{2}}}\cdot {\frac {y^{2}}{x^{2}}},\qquad \cdots }$

• これらは1、3、…という番号順に分けられます。

${\displaystyle {\frac {1}{1}}{\frac {y\cdot r}{x}},\qquad {\frac {1}{3}}{\frac {y\cdot r}{x}}\cdot {\frac {y^{2}}{x^{2}}},\qquad {\frac {1}{5}}{\frac {y\cdot r}{x}}\cdot {\frac {y^{2}}{x^{2}}}\cdot {\frac {y^{2}}{x^{2}}},\qquad \cdots }$

• 奇数の結果の合計:

${\displaystyle {\frac {1}{1}}{\frac {y\cdot r}{x}}+{\frac {1}{5}}{\frac {y\cdot r}{x}}\cdot {\frac {y^{2}}{x^{2}}}\cdot {\frac {y^{2}}{x^{2}}}+\cdots }$

• 偶数の結果の合計：

${\displaystyle {\frac {1}{3}}{\frac {y\cdot r}{x}}\cdot {\frac {y^{2}}{x^{2}}}+{\frac {1}{7}}{\frac {y\cdot r}{x}}\cdot {\frac {y^{2}}{x^{2}}}\cdot {\frac {y^{2}}{x^{2}}}\cdot {\frac {y^{2}}{x^{2}}}+\cdots }$

• 弧は次のように与えられる。

${\displaystyle s=\left({\frac {1}{1}}{\frac {y\cdot r}{x}}+{\frac {1}{5}}{\frac {y\cdot r}{x}}\cdot {\frac {y^{2}}{x^{2}}}\cdot {\frac {y^{2}}{x^{2}}}+\cdots \right)-\left({\frac {1}{3}}{\frac {y\cdot r}{x}}\cdot {\frac {y^{2}}{x^{2}}}+{\frac {1}{7}}{\frac {y\cdot r}{x}}\cdot {\frac {y^{2}}{x^{2}}}\cdot {\frac {y^{2}}{x^{2}}}\cdot {\frac {y^{2}}{x^{2}}}+\cdots \right)}$

円の中心における弧sのなす角を θ とする。するとs = r θ、 x = kotijya = r cos θ、y = jya = r sin θ となる。したがってy / x = tan θ となる。これらを最後の式に代入して簡略化すると、次の式が得られる。

• ${\displaystyle \theta =\tan \theta -{\frac {\tan ^{3}\theta }{3}}+{\frac {\tan ^{5}\theta }{5}}-{\frac {\tan ^{7}\theta }{7}}+\quad \cdots }$。

tan θ = qとすると、最終的に次のようになります。

• ${\displaystyle \tan ^{-1}q=q-{\frac {q^{3}}{3}}+{\frac {q^{5}}{5}}-{\frac {q^{7}}{7}}+\quad \cdots }$

引用文の後半では、直径dの円の円周cを計算するための別の公式が示されています。それは以下のとおりです。

${\displaystyle c={\sqrt {12d^{2}}}-{\frac {\sqrt {12d^{2}}}{3\cdot 3}}+{\frac {\sqrt {12d^{2}}}{3^{2}\cdot 5}}-{\frac {\sqrt {12d^{2}}}{3^{3}\cdot 7}}+\quad \cdots }$

c = π dなので、 これを次のようにπを計算する式に書き換えることができます。

${\displaystyle \pi ={\sqrt {12}}\left(1-{\frac {1}{3\cdot 3}}+{\frac {1}{3^{2}\cdot 5}}-{\frac {1}{3^{3}\cdot 7}}+\quad \cdots \right)}$

これは、 q =を代入することによって得られます。${\displaystyle 1/{\sqrt {3}}}$（したがって、上記の tan ⁻¹ qのべき級数展開ではθ = π / 6 となります。