ハイゼンベルク群

数学において、ハイゼンベルク群は、 ヴェルナー・ハイゼンベルクにちなんで名付けられた、3×3の上三角行列の 群であり、${\displaystyle H}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&a&c\\0&1&b\\0&0&1\\\end{pmatrix}}}$

行列の乗算の演算の下では、要素a、b、c は単位元を持つ任意の可換環から取ることができ、実数の環 (「連続ハイゼンベルク群」になる) または整数の環(「離散ハイゼンベルク群」になる) として扱われることが多い。

連続ハイゼンベルク群は、1次元の量子力学システムの記述、特にストーン・フォン・ノイマンの定理の文脈で登場します。より一般的には、 n次元システムに関連付けられたハイゼンベルク群、最も一般的には任意のシンプレクティックベクトル空間に関連付けられたハイゼンベルク群を考えることができます。

3次元の場合、2つのハイゼンベルク行列の積は次のように表されます。

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&a&c\\0&1&b\\0&0&1\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&a'&c'\\0&1&b'\\0&0&1\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&a+a'&c+ab'+c'\\0&1&b+b'\\0&0&1\\\end{pmatrix}}\,.}$

ab ′という項からわかるように、この群は非可換群です。

ハイゼンベルク群の中立要素は単位行列であり、逆行列は次のように与えられる。

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&a&c\\0&1&b\\0&0&1\\\end{pmatrix}}^{-1}={\begin{pmatrix}1&-a&ab-c\\0&1&-b\\0&0&1\\\end{pmatrix}}\,.}$

群は2次元アフィン群Aff(2)の部分群である: への作用はアフィン変換に対応する。 ${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&a&c\\0&1&b\\0&0&1\\\end{pmatrix}}}$${\displaystyle ({\vec {x}},1)}$${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&a\\0&1\end{pmatrix}}{\vec {x}}+{\begin{pmatrix}c\\b\end{pmatrix}}}$

3次元の場合の顕著な例がいくつかあります。

a、b、cが実数（環R内）であれば、連続ハイゼンベルク群H3 ( R )が存在し_ます。

これは次元 3 のべき零実リー群です。

実 3×3 行列としての表現に加えて、連続ハイゼンベルク群には関数空間による異なる表現もいくつかあります。ストーン–フォン・ノイマンの定理により、同型性を除いて、 H の唯一の既約ユニタリ表現が存在し、その中でその中心は与えられた非自明な特性によって作用します。この表現には、いくつかの重要な実現化、つまりモデルがあります。シュレーディンガーモデルでは、ハイゼンベルク群は平方可積分関数の空間に作用します。シータ表現では、ハイゼンベルク群は上半平面上の正則関数の空間に作用します。これは、シータ関数との関連からそのように呼ばれています。

a、b、cが整数（環Z内）であれば、離散ハイゼンベルク群H ₃ ( Z ) が存在します。これは非可換冪 零群です。2つの生成元を持ちます。

${\displaystyle x={\begin{pmatrix}1&1&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{pmatrix}},\ \ y={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&1\\0&0&1\\\end{pmatrix}}}$

と関係

${\displaystyle z_{}^{}=xyx^{-1}y^{-1},\ xz=zx,\ yz=zy}$、

どこ

${\displaystyle z={\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&0\\0&0&1\\\end{pmatrix}}}$

はH _3の中心の生成元です。( x、y、zの逆数は対角線の上の 1 を -1 に置き換えることに注意してください。)

バスの定理によれば、多項式成長率は 4 次です。

あらゆる要素を生成できる

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&a&c\\0&1&b\\0&0&1\\\end{pmatrix}}=y^{b}z^{c}x^{a}\,.}$

奇数の素数pに対して、 Z / p Zにa、b、c を取ると、 pを法とするハイゼンベルク群が得られます。これは、生成元x、yを持ち、関係式が次のp ^3の位数を持つ群です。

${\displaystyle z_{}^{}=xyx^{-1}y^{-1},\ x^{p}=y^{p}=z^{p}=1,\ xz=zx,\ yz=zy.}$

奇素数位数pの有限体上のハイゼンベルク群の類似物は、特別特殊群、またはより正確には、指数pの特別特殊群と呼ばれます。より一般的には、群Gの導来部分群がGの中心Zに含まれる場合、 G / Z × G / Z → Zからの写像はアーベル群上の歪対称双線型作用素です。

しかし、G/Z が有限ベクトル空間であることを要求するには、 Gのフラッティーニ部分群が中心に含まれる必要があり、 ZがZ / p Z上の 1 次元ベクトル空間であることを要求するには、 Z が位数p を持つ必要があるため、Gがアーベルでない場合、Gは特別です。Gが特別であっても指数p を持たない場合、以下の一般的な構成をシンプレクティックベクトル空間G/Zに適用しても、 Gと同型の群は生成されません。

2を法とするハイゼンベルク群は8次の位数を持ち、二面体群D ₄（正方形の対称性）と同型である。

${\displaystyle x={\begin{pmatrix}1&1&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{pmatrix}},\ \ y={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&1\\0&0&1\\\end{pmatrix}}}$。

それから

${\displaystyle xy={\begin{pmatrix}1&1&1\\0&1&1\\0&0&1\\\end{pmatrix}},}$

そして

${\displaystyle yx={\begin{pmatrix}1&1&0\\0&1&1\\0&0&1\\\end{pmatrix}}.}$

要素xとy は反射（それらの間の角度は 45°）に対応し、xyとyx は90° の回転に対応します。その他の反射はxyxとyxyで、180° の回転はxyxy (= yxyx ) です。

ハイゼンベルク群のリー代数（実数上）はハイゼンベルク代数として知られている。^[1] これは3×3行列の空間を使って表現することができる^。[2]${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle H}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&a&c\\0&0&b\\0&0&0\\\end{pmatrix}},}$

と。 ${\displaystyle a,b,c\in \mathbb {R} }$

以下の3つの要素が、 ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$

${\displaystyle X={\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&0\\0&0&0\\\end{pmatrix}};\quad Y={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&0&0\\\end{pmatrix}};\quad Z={\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\0&0&0\\\end{pmatrix}}.}$

これらの基底要素は交換関係を満たす。

${\displaystyle [X,Y]=Z;\quad [X,Z]=0;\quad [Y,Z]=0}$。

「ハイゼンベルク群」という名前は、量子力学における 標準的な交換関係と同じ形を持つ前述の関係に由来している。

${\displaystyle \left[{\hat {x}},{\hat {p}}\right]=i\hbar I;\quad \left[{\hat {x}},i\hbar I\right]=0;\quad \left[{\hat {p}},i\hbar I\right]=0,}$

ここでは位置演算子、は運動量演算子、 はプランク定数です。 ${\displaystyle {\hat {x}}}$${\displaystyle {\hat {p}}}$${\displaystyle \hbar }$

ハイゼンベルク群Hは、 指数写像がリー代数から群Hへの1対1かつ全射写像であるという特別な性質を持つ。^[3]${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$

${\displaystyle \exp {\begin{pmatrix}0&a&c\\0&0&b\\0&0&0\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&a&c+{\frac {ab}{2}}\\0&1&b\\0&0&1\\\end{pmatrix}}.}$

共形場理論では、ハイゼンベルク代数という用語は、上記の代数の無限次元一般化を指すために使用される。それは、交換関係を持つ 要素によって張られる。${\displaystyle a_{n},n\in \mathbb {Z} }$

${\displaystyle [a_{n},a_{m}]=\delta _{n+m,0}.}$

再スケーリングすると、これは単に上記の代数の可算無限数のコピーになります。

より一般的なハイゼンベルク群は、ユークリッド空間の高次元に対して定義され、より一般的にはシンプレクティックベクトル空間に対して定義されます。最も単純な一般的なケースは、任意の整数 に対して、次元の実ハイゼンベルク群です。行列のグループとして (または、これが実数体上のハイゼンベルク群であることを示すために) 、 および の要素を持つグループ行列として定義され、次の形式を持ちます。 ${\displaystyle H_{2n+1}}$${\displaystyle 2n+1}$${\displaystyle n\geq 1}$${\displaystyle H_{2n+1}}$${\displaystyle H_{2n+1}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle (n+2)\times (n+2)}$${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&\mathbf {a} &c\\\mathbf {0} &I_{n}&\mathbf {b} \\0&\mathbf {0} &1\end{bmatrix}}}$

どこ

a は長さnの行ベクトルであり、

b は長さnの列ベクトルであり、

I _{n は}サイズnの単位行列です。

これは、乗算によって示されるように、確かにグループです。

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&\mathbf {a} &c\\0&I_{n}&\mathbf {b} \\0&0&1\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}1&\mathbf {a} '&c'\\0&I_{n}&\mathbf {b} '\\0&0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&\mathbf {a} +\mathbf {a} '&c+c'+\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} '\\0&I_{n}&\mathbf {b} +\mathbf {b} '\\0&0&1\end{bmatrix}}}$

そして

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&\mathbf {a} &c\\0&I_{n}&\mathbf {b} \\0&0&1\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}1&-\mathbf {a} &-c+\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} \\0&I_{n}&-\mathbf {b} \\0&0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&I_{n}&0\\0&0&1\end{bmatrix}}.}$

ハイゼンベルク群は、リー代数が行列から構成される 単連結リー群である。

${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&\mathbf {a} &c\\0&0_{n}&\mathbf {b} \\0&0&0\end{bmatrix}},}$

どこ

a は長さnの行ベクトルであり、

b は長さnの列ベクトルであり、

0 _{n は}サイズnのゼロ行列です。

_{e 1} , ..., e _{n を}R ⁿの標準基底とし、

${\displaystyle {\begin{aligned}p_{i}&={\begin{bmatrix}0&\operatorname {e} _{i}^{\mathrm {T} }&0\\0&0_{n}&0\\0&0&0\end{bmatrix}},\\q_{j}&={\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0_{n}&\operatorname {e} _{j}\\0&0&0\end{bmatrix}},\\z&={\begin{bmatrix}0&0&1\\0&0_{n}&0\\0&0&0\end{bmatrix}},\end{aligned}}}$

関連するリー代数は、標準的な交換関係によって特徴付けられる。

ここで、p ₁、...、  p _n、q ₁、...、  q _n、zは代数生成子です。

特に、z はハイゼンベルクのリー代数の 中心要素です。ハイゼンベルク群のリー代数はべき零であることに注意してください。

させて

${\displaystyle u={\begin{bmatrix}0&\mathbf {a} &c\\0&0_{n}&\mathbf {b} \\0&0&0\end{bmatrix}},}$

を満たす。指数写像は次のように評価される。 ${\displaystyle u^{3}=0_{n+2}}$

${\displaystyle \exp(u)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}u^{k}=I_{n+2}+u+{\tfrac {1}{2}}u^{2}={\begin{bmatrix}1&\mathbf {a} &c+{1 \over 2}\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} \\0&I_{n}&\mathbf {b} \\0&0&1\end{bmatrix}}.}$

任意の冪零リー代数の指数写像は、リー代数と、一意に関連付けられた連結な単連結リー群 との間の微分同相写像です。

この議論は（次元とリー群に関する記述は別として）Rを任意の可換環Aに置き換えた場合にも適用されます。対応する群はH _n ( A )と表記されます。

素数 2 が環Aにおいて可逆であるという追加の仮定の下では、指数写像も定義されます。これは、指数写像が有限和に簡約され、上記の形式を持つためです (たとえば、A は、奇数の素数p を持つ環Z / p Zまたは特性0の任意の体である可能性があります)。

ハイゼンベルク群のユニタリ表現理論は非常に単純であり、後にマッキー理論によって一般化され、以下で説明するように、量子物理学に導入される動機となりました。

非零の実数に対して、ヒルベルト空間に作用するの既約ユニタリ表現を次の式で定義できる: ^[4]${\displaystyle \hbar }$${\displaystyle \Pi _{\hbar }}$${\displaystyle H_{2n+1}}$${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ^{n})}$

${\displaystyle \left[\Pi _{\hbar }{\begin{pmatrix}1&\mathbf {a} &c\\0&I_{n}&\mathbf {b} \\0&0&1\end{pmatrix}}\psi \right](x)=e^{i\hbar c}e^{ib\cdot x}\psi (x+\hbar a)}$

この表現はシュレーディンガー表現として知られています。この表現の動機は、量子力学における指数化された位置演算子と運動量演算子の作用です。パラメーターは位置空間における変換を記述し、パラメーターは運動量空間における変換を記述し、パラメーターは全体的な位相係数を与えます。位相係数は、位置空間における変換と運動量空間における変換が可換ではないため、演算子のグループを取得するために必要です。 ${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle c}$

鍵となる結果はストーン・フォン・ノイマンの定理であり、これは中心が非自明に作用するハイゼンベルク群のすべての（強連続）既約ユニタリ表現が、あるに対してと同値であることを述べている。^[5]あるいは、それらはすべて次元 2 nのシンプレクティック空間上のワイル代数（またはCCR 代数）と同値であることも示している。 ${\displaystyle \Pi _{\hbar }}$${\displaystyle \hbar }$

ハイゼンベルク群は の 1 次元中心拡大であるため、その既約ユニタリ表現はの既約ユニタリ射影表現と見なすことができます。概念的には、上記の表現は、古典的な位相空間上の並進対称性のグループ の量子力学的対応物を構成します。量子バージョンが の射影表現にすぎないという事実は、古典的なレベルで既に示唆されています。位相空間での並進のハミルトン生成子は、位置関数と運動量関数です。ただし、これらの関数の範囲は、次の理由により、ポアソン括弧の下でリー代数を形成しません。むしろ、位置関数と運動量関数および定数の範囲は、ポアソン括弧の下でリー代数を形成します。このリー代数は、ハイゼンベルク群のリー代数と同型である、可換リー代数の 1 次元中心拡大です。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$${\displaystyle \{x_{i},p_{j}\}=\delta _{i,j}.}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$

ハイゼンベルク群の一般的な抽象化は、任意のシンプレクティックベクトル空間から構築されます。^[6] たとえば、(V、ω)を有限次元実シンプレクティックベクトル空間とします（したがって、ωはV上の非退化 歪対称双 線型形式です）。( V、ω )（または簡潔にV）上のハイゼンベルク群H( V )は、群法則

${\displaystyle (v,t)\cdot \left(v',t'\right)=\left(v+v',t+t'+{\frac {1}{2}}\omega \left(v,v'\right)\right).}$

ハイゼンベルク群は加法群Vの中心拡張である。したがって、正確な順序が存在する。

${\displaystyle 0\to \mathbf {R} \to H(V)\to V\to 0.}$

任意のシンプレクティックベクトル空間は、ω ( e _j , f ^k ) = δ _j ^kを満たすダルブー基底{ e _j , f ^k } _{1 ≤ j , k ≤ n を}持つ。ここで 2 n はVの次元である（Vの次元は必ず偶数である）。この基底では、すべてのベクトルは次のように分解される。

${\displaystyle v=q^{a}\mathbf {e} _{a}+p_{a}\mathbf {f} ^{a}.}$

q aとp _{a は}^正準共役座標です。

{ e _j , f ^k } _{1 ≤ j , k ≤ n が}Vのダルブー基底である場合、 { E } をRの基底とし、 { e _j , f ^k , E } _{1 ≤ j , k ≤ n}をV × Rの対応する基底とする。H( V )のベクトルは次のように与えられる。

${\displaystyle v=q^{a}\mathbf {e} _{a}+p_{a}\mathbf {f} ^{a}+tE}$

そして、グループ法則は

${\displaystyle (p,q,t)\cdot \left(p',q',t'\right)=\left(p+p',q+q',t+t'+{\frac {1}{2}}(pq'-p'q)\right).}$

ハイゼンベルク群の基礎となる多様体は線型空間なので、リー代数のベクトルは群のベクトルと正準的に同一視できる。ハイゼンベルク群のリー代数は交換関係によって与えられる。

${\displaystyle {\begin{bmatrix}(v_{1},t_{1}),(v_{2},t_{2})\end{bmatrix}}=\omega (v_{1},v_{2})}$

またはダルブー基底で記述される

${\displaystyle \left[\mathbf {e} _{a},\mathbf {f} ^{b}\right]=\delta _{a}^{b}}$

そして他のすべての交換子は消えます。

群則を別の方法で定義することもできますが、その場合、先ほど定義した群と同型の群が得られます。混乱を避けるために、tの代わりにuを使用します。そのため、ベクトルは次のように与えられます。

${\displaystyle v=q^{a}\mathbf {e} _{a}+p_{a}\mathbf {f} ^{a}+uE}$

そして、グループの法則は

${\displaystyle (p,q,u)\cdot \left(p',q',u'\right)=\left(p+p',q+q',u+u'+pq'\right).}$

グループの要素

${\displaystyle v=q^{a}\mathbf {e} _{a}+p_{a}\mathbf {f} ^{a}+uE}$

行列として表現できる

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&p&u\\0&I_{n}&q\\0&0&1\end{bmatrix}}}$、

これはH( V )の忠実な行列表現を与える。この定式化におけるuは、前の定式化におけるtと によって関連しており、積の t値は次のようになる。${\displaystyle u=t+{\tfrac {1}{2}}pq}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&u+u'+pq'-{\frac {1}{2}}\left(p+p'\right)\left(q+q'\right)\\={}&t+{\frac {1}{2}}pq+t'+{\frac {1}{2}}p'q'+pq'-{\frac {1}{2}}\left(p+p'\right)\left(q+q'\right)\\={}&t+t'+{\frac {1}{2}}\left(pq'-p'q\right)\end{aligned}}}$、

以前と同じように。

上三角行列を用いた群への同型性は、Vを Darboux 基底に分解することに依存しており、これは同型性V ≅ U ⊕ U *の選択に相当します。新しい群法則は、上で示したものと同型の群をもたらしますが、この法則を持つ群は、この群法則が基底の選択に依存していることを思い出させるために、分極ハイゼンベルク群と呼ばれることがあります ( Vのラグランジアン部分空間の選択は分極です)。

任意のリー代数には、連結した単連結リー群Gが 1 つだけ存在します。G と同じリー代数を持つ他の連結リー群はすべて、G / Nの形をとります。ここで、 NはGの中心離散群です。この場合、 H( V )の中心はRで、離散部分群のみがZと同型です。したがって、 H( V )/ Z は、このリー代数を共有する別のリー群です。このリー群について注目すべき点は、忠実な有限次元表現を許容しないことです。つまり、どの行列群とも同型ではありません。ただし、このリー群には、よく知られた無限次元ユニタリ表現の族があります。

ハイゼンベルク群のリー代数は、上記(1)で​​行列のリー代数として説明されました。普遍包絡代数を決定するために、ポアンカレ-バーコフ-ウィットの定理が適用されます。他の特性の中でも、普遍包絡代数は、を注入的に埋め込む結合代数です。 ${\displaystyle {\mathfrak {h}}_{n}}$ ${\displaystyle U({\mathfrak {h}}_{n})}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}_{n}}$

ポアンカレ・バーコフ・ウィットの定理によれば、これは単項式によって生成される 自由ベクトル空間である。

${\displaystyle z^{j}p_{1}^{k_{1}}p_{2}^{k_{2}}\cdots p_{n}^{k_{n}}q_{1}^{\ell _{1}}q_{2}^{\ell _{2}}\cdots q_{n}^{\ell _{n}}~,}$

ここで指数はすべて非負です。

その結果、実多項式から構成される ${\displaystyle U({\mathfrak {h}}_{n})}$

${\displaystyle \sum _{j,{\vec {k}},{\vec {\ell }}}c_{j{\vec {k}}{\vec {\ell }}}\,\,z^{j}p_{1}^{k_{1}}p_{2}^{k_{2}}\cdots p_{n}^{k_{n}}q_{1}^{\ell _{1}}q_{2}^{\ell _{2}}\cdots q_{n}^{\ell _{n}}~,}$

交換関係

${\displaystyle p_{k}p_{\ell }=p_{\ell }p_{k},\quad q_{k}q_{\ell }=q_{\ell }q_{k},\quad p_{k}q_{\ell }-q_{\ell }p_{k}=\delta _{k\ell }z,\quad zp_{k}-p_{k}z=0,\quad zq_{k}-q_{k}z=0~.}$

この代数は、多項式係数を持つ微分作用素の代数と密接に関係している。なぜなら、そのような作用素は、次のような形式で一意に表現されるからである。 ${\displaystyle U({\mathfrak {h}}_{n})}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle P=\sum _{{\vec {k}},{\vec {\ell }}}c_{{\vec {k}}{\vec {\ell }}}\,\,\partial _{x_{1}}^{k_{1}}\partial _{x_{2}}^{k_{2}}\cdots \partial _{x_{n}}^{k_{n}}x_{1}^{\ell _{1}}x_{2}^{\ell _{2}}\cdots x_{n}^{\ell _{n}}~.}$

この代数はワイル代数と呼ばれる。抽象的なナンセンスから、ワイル代数 W _{n は}の商であることがわかる。しかし、これは上記の表現から直接見るのも簡単である。つまり、写像によってである 。${\displaystyle U({\mathfrak {h}}_{n})}$

${\displaystyle z^{j}p_{1}^{k_{1}}p_{2}^{k_{2}}\cdots p_{n}^{k_{n}}q_{1}^{\ell _{1}}q_{2}^{\ell _{2}}\cdots q_{n}^{\ell _{n}}\,\mapsto \,\partial _{x_{1}}^{k_{1}}\partial _{x_{2}}^{k_{2}}\cdots \partial _{x_{n}}^{k_{n}}x_{1}^{\ell _{1}}x_{2}^{\ell _{2}}\cdots x_{n}^{\ell _{n}}~.}$

ヘルマン・ワイルがハイゼンベルク群を明示的に実現するに至った応用は、シュレーディンガー描像とハイゼンベルク描像がなぜ物理的に等価なのかという疑問であった。抽象的には、その理由はストーン・フォン・ノイマンの定理である。すなわち、リー代数の中心要素zの作用が与えられた場合に、ユニタリ同値性まで唯一のユニタリ表現が存在する。すなわち、代数の非自明な要素はすべて、通常の位置演算子および運動量演算子と等価である。

したがって、シュレーディンガー描像とハイゼンベルク描像は同等であり、本質的に唯一の表現を実現する異なる方法にすぎません。

同じ一意性の結果は、デイヴィッド・マンフォードによって、アーベル多様体を定義する方程式の理論において、離散ハイゼンベルク群に対して使用されました。これは、8 次ハイゼンベルク群の法 2 の場合であるヤコビの楕円関数で使用されるアプローチの大規模な一般化です。最も単純なケースは、ハイゼンベルク群のシータ表現であり、離散の場合はシータ関数を与えます。

ハイゼンベルク群はフーリエ解析にも登場し、ストーン・フォン・ノイマンの定理のいくつかの定式化に用いられる。この場合、ハイゼンベルク群は平方可積分関数の空間に作用すると理解でき、その結果はワイル表現と呼ばれることもあるハイゼンベルク群の表現となる。

実数上の3次元ハイゼンベルク群H ₃ ( R )は滑らかな多様体、具体的にはサブリーマン多様体の簡単な例としても理解できます。^[7] R ³の点p = ( x , y , z )が与えられたとき、この点における 微分1形式Θを次のように定義します。

${\displaystyle \Theta _{p}=dz-{\frac {1}{2}}\left(xdy-ydx\right).}$

この一形式はR ³の余接束に属する。つまり、

${\displaystyle \Theta _{p}:T_{p}\mathbf {R} ^{3}\to \mathbf {R} }$

は接束上の写像である。

${\displaystyle H_{p}=\left\{v\in T_{p}\mathbf {R} ^{3}\mid \Theta _{p}(v)=0\right\}.}$

H は接線束 T R ^3の部分束であることが分かる。H 上の余弦は、x方向とy方向のベクトルが張る 2 次元空間にベクトルを射影することによって与えられる。つまり、 T R ³内のベクトルとが与えられた場合、内積は次のように与えられる。 ${\displaystyle v=(v_{1},v_{2},v_{3})}$${\displaystyle w=(w_{1},w_{2},w_{3})}$

${\displaystyle \langle v,w\rangle =v_{1}w_{1}+v_{2}w_{2}.}$

結果として得られる構造は、Hをハイゼンベルク群の多様体に変換する。多様体上の正規直交フレームは、リーベクトル場によって与えられる。

${\displaystyle {\begin{aligned}X&={\frac {\partial }{\partial x}}-{\frac {1}{2}}y{\frac {\partial }{\partial z}},\\Y&={\frac {\partial }{\partial y}}+{\frac {1}{2}}x{\frac {\partial }{\partial z}},\\Z&={\frac {\partial }{\partial z}},\end{aligned}}}$

これらは [ X , Y ] = Zおよび [ X , Z ] = [ Y , Z ] = 0という関係に従う。これらはリーベクトル場であるため、群作用の左不変基底を形成する。多様体上の測地線は螺旋であり、2次元の円に投影される。つまり、

${\displaystyle \gamma (t)=(x(t),y(t),z(t))}$

測地線であれば、曲線は円弧となり、 ${\displaystyle c(t)=(x(t),y(t))}$

${\displaystyle z(t)={\frac {1}{2}}\int _{c}xdy-ydx}$

積分は2次元平面に限定されます。つまり、曲線の高さは円弧によって囲まれる円の面積に比例し、グリーンの定理に従います。

より一般的には、ハール測度を備えた局所コンパクトアーベル群 Kのハイゼンベルク群を定義することが可能である。^[8] このような群は、 K上のすべての連続値キャラクターからなるポントリャギン双対を持ち、コンパクト開位相が備わっている場合はこれも局所コンパクトアーベル群である。局所コンパクトアーベル群Kに関連付けられたハイゼンベルク群は、Kからの変換と の元による乗算によって生成されるのユニタリ群の部分群である。 ${\displaystyle {\hat {K}}}$${\displaystyle U(1)}$${\displaystyle L^{2}(K)}$${\displaystyle {\hat {K}}}$

より詳しくは、ヒルベルト空間は K上の平方積分可能な複素数値関数から構成されます。 Kにおける変換は、上の演算子としてKのユニタリ表現を形成します。 ${\displaystyle L^{2}(K)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle L^{2}(K)}$

${\displaystyle (T_{x}f)(y)=f(x+y)}$

の場合。文字による乗算も同様です。 ${\displaystyle x,y\in K}$

${\displaystyle (M_{\chi }f)(y)=\chi (y)f(y)}$

に対して。これらの演算子は可換ではなく、代わりに ${\displaystyle \chi \in {\hat {K}}}$

${\displaystyle \left(T_{x}M_{\chi }T_{x}^{-1}M_{\chi }^{-1}f\right)(y)={\overline {\chi (x)}}f(y)}$

固定単位を法とする複素数による乗算。

したがって、 Kに関連付けられたハイゼンベルク群は、正確な群の列を介した の中心拡大の一種です。${\displaystyle H(K)}$${\displaystyle K\times {\hat {K}}}$

${\displaystyle 1\to U(1)\to H(K)\to K\times {\hat {K}}\to 0.}$

より一般的なハイゼンベルク群は、コホモロジー群 の 2 次元コサイクルによって記述されます。 と の間に双対性が存在すると、標準的なコサイクルが生じますが、一般には他にもコサイクルが存在します。 ${\displaystyle H^{2}(K,U(1))}$${\displaystyle K}$${\displaystyle {\hat {K}}}$

ハイゼンベルク群は に不可分に作用する。実際、連続的な指標は点を分離する^[9]ので、それらと交換する の任意のユニタリ演算子は乗数である。しかし、並進と交換するということは、乗数が一定であることを意味する。^[10]${\displaystyle L^{2}(K)}$${\displaystyle L^{2}(K)}$${\displaystyle L^{\infty }}$

ジョージ・マッキーによって証明されたストーン・フォン・ノイマンの定理のバージョンは、ハイゼンベルク群に対して成り立ちます。^{[11] [12]} フーリエ変換は、との表現を一意に結びつけるものです。詳細については、 ストーン・フォン・ノイマンの定理#フーリエ変換との関係の議論を参照してください。${\displaystyle H(K)}$${\displaystyle L^{2}(K)}$${\displaystyle L^{2}\left({\hat {K}}\right)}$

• 正準交換関係
• ウィグナー・ワイル変換
• ストーン・フォン・ノイマンの定理
• 射影表現
• 幾何化予想

• Binz, Ernst; Pods, Sonja (2008).ハイゼンベルク群の幾何学.アメリカ数学会. ISBN 978-0-8218-4495-3。
• ホール、ブライアン C. (2013)、「数学者のための量子理論」、Graduate Texts in Mathematics、vol. 267、Springer、Bibcode :2013qtm..book.....H、ISBN 978-1461471158
• ホール、ブライアン C. (2015)。リー群、リー代数、表現: 初等入門。数学の大学院テキスト。第 222 巻 (第 2 版)。Springer。ISBN 978-3319134666。
• ハウ、ロジャー(1980)。「調和解析におけるハイゼンベルク群の役割について」。アメリカ数学会報。3 (2): 821–843。doi : 10.1090/ s0273-0979-1980-14825-9。MR  0578375 。
• Kirillov, Alexandre A. (2004)。「第 2 章: ハイゼンベルク群の表現と軌道」軌道法に関する講義。アメリカ数学会。ISBN 0-8218-3530-0。
• マッキー、ジョージ(1976)。ユニタリ群表現の理論。シカゴ数学講義。シカゴ大学出版局。ISBN 978-0226500522。

• Groupprops、グループプロパティ Wiki 単位三角行列群 UT(3,p)