ルーロー三角形

様々な指標から見て、ルーロー三角形は幅が一定の曲線の中で最も極端な形状の一つである。

ブラシュケ・ルベーグの定理によれば、ルーロー三角形は、一定の幅を持つ任意の曲線の中で最小の面積を持つ。この面積は

$\displaystyle {\frac {1}{2}}(\pi -{\sqrt {3}})s^{2}\approx 0.705s^{2},}$

ここでsは一定の幅です。この面積公式を導出する一つの方法は、ルーロー三角形を内側の正三角形と、この内側の三角形とルーロー三角形を形成する弧の間の 3 つの曲線領域に分割し、これらの 4 つの領域の面積を合計することです。もう一方の極端な例として、最大面積を持つ一定幅の曲線は円盤であり、その面積は です。$\displaystyle \pi s^{2}/4\approx 0.785s^{2}}$[ ^{14 ]​}

ルーロー三角形の各頂点における弧のペアがなす角度はすべて 120° に等しい。これは、一定幅の曲線のどの頂点においても可能な最も鋭角である。 ^{[ 9 ]}さらに、一定幅の曲線の中で、ルーロー三角形は内接する正三角形が最大と最小の両方を持つものである。^{[ 15 ]}ルーロー三角形に内接する最大の正三角形は、その 3 つの頂点を結ぶ三角形であり、最小の正三角形は、その辺の 3 つの中点を結ぶ三角形である。3 つ以上の直径に属する点からなるルーロー三角形の部分集合は、これら 2 つの三角形のうち大きい方の三角形の内部であり、他の一定幅の曲線の 3 つの直径の点の集合よりも大きな面積を持つ。^{[ 16 ]}

ルーロー三角形は正三角形と同じ六重二面体対称性を持つが、中心対称性を持たない。ルーロー三角形は、中心非対称性の2つの異なる尺度、コブナー・ベシコビッチ尺度（曲線で囲まれた最大の中心対称形状に対する面積の比）とエステルマン尺度（曲線で囲まれた最小の中心対称形状に対する面積の比）によれば、一定幅の曲線の中で最も対称性が低い。ルーロー三角形の場合、非対称性の尺度を決定する2つの中心対称形状はどちらも六角形であるが、内側の六角形は曲線の辺を持つ。^{[ 17 ]}ルーロー三角形は、他の一定幅の曲線よりも面積を不均等に分割する直径を持つ。つまり、非対称性のもう1つの尺度である直径の両側の面積の最大比は、他の一定幅の曲線よりもルーロー三角形の方が大きい。^{[ 18 ]}

整数格子のすべての点を避ける一定幅の形状の中で、最も幅が広いのはルーロー三角形です。その対称軸の1つは、半整数の直線上の座標軸に平行です。その幅は約1.54で、整数係数の6次多項式の根です。^{[ 17 ] [ 19 ] [ 20 ]}

円が、それに接する 6 つの合同な円で囲まれることが可能であるのと同様に、7 つの合同なルーロー三角形を、すべて同じ大きさの中心のルーロー三角形に接するように配置することも可能です。これは、一定の幅を持つ任意の曲線で可能な最大数です。^{[ 21 ]}

すべての四角形の中で、周囲長と直径の比率が最も大きい形状は、ルーロー三角形に内接できる正対角凧形である。 ^{[ 22 ]}

バルビエの定理によれば、ルーロー三角形を含む、同じ一定の幅を持つすべての曲線は、同じ周長を持つ。特に、この周長は同じ幅を持つ円の周長に等しく、それは${\displaystyle \pi s}$[ ^{23 ] [ 24 ] [ 9 ]​}

幅sのルーロー三角形の最大の内接円の半径と、同じ三角形の外接円の半径は、

${\displaystyle \displaystyle \left(1-{\frac {1}{\sqrt {3}}}\right)s\approx 0.423s\quad {\text{and}}\quad \displaystyle {\frac {s}{\sqrt {3}}}\approx 0.577s}$

それぞれ、これらの半径の合計はルーロー三角形の幅に等しい。より一般的には、一定の幅を持つすべての曲線について、最大の内接円と最小の外接円は同心円であり、それらの半径の合計は曲線の一定の幅に等しい。^{[ 25 ]}

平面におけるルーロー三角形の最適充填密度は未だ証明されていないが、次のように推測されている。

${\displaystyle {\frac {2(\pi -{\sqrt {3}})}{{\sqrt {15}}+{\sqrt {7}}-{\sqrt {12}}}}\approx 0.923,}$

これは、これらの形状の可能な二重格子充填の1つの密度です。充填密度の最も証明された上限は約0.947です。^{[ 26 ]}また、ルーロー三角形は、一定幅の曲線の中で最も高い充填密度を持つと推測されていますが、証明されていません。^{[ 27 ]}

一定の幅を持つ曲線であれば、正方形の中に回転子を形成できます。回転子は正方形の中に留まり、常に正方形の4辺すべてに接しながら完全な回転を行うことができます。しかし、ルーロー三角形は、可能な限り最小の面積を持つ回転子です。^{[ 9 ]}回転中、その軸は一点に固定されず、代わりに4つの楕円の断片によって形成される曲線に沿って動きます。^{[ 28 ]} 120°の角度のため、回転するルーロー三角形は、正方形の頂点の鋭角に近いいくつかの点に到達できませんが、代わりに、楕円弧によって形成されるわずかに丸みを帯びた角を持つ形状を覆います。^{[ 9 ]}

正方形の中に回転するルーロー三角形の中心に続く4つの楕円のうちの1つ

正方形の角の一つ（左下）と回転するルーロー三角形が掃引する領域を隔てる楕円

この回転のどの時点においても、ルーロー三角形の2つの頂点は正方形の隣接する2つの辺に接し、三角形の3つ目の頂点は正方形の反対側の頂点付近で曲線を描きます。回転するルーロー三角形によって描かれる形状は、正方形の面積の約98.8%を覆います。^{[ 29 ]}

ルーローがルーロー三角形を研究した当初の動機は、平面物体を単一の位置に固定するには、3つの単点接触だけでは不十分であることを示す反例としてでした。^{[ 30 ]}ルーロー三角形やその他の一定幅の曲線の存在は、直径の測定だけでは物体が円形の断面を持っていることを検証できないことを示しています。^{[ 31 ]}

内接正方形問題に関連して、エグルストン（1958）は、ルーロー三角形が、正六角形を除いて、4辺を超える正多角形を内接させることができない定幅形状の例であることに気づき、この形状の定幅を維持しつつ正六角形が内接できないようにする小さな修正について説明した。彼は、断面と同じ形状の円柱を使用して、この結果を3次元に一般化した。^{[ 32 ]}

いくつかの種類の機械は、正方形内で回転できるという性質に基づいて、ルーロー三角形の形状をとっている。

ワッツブラザーズ ツール ワークスの角型ドリル ビットは、切削面を形成するために凹みが加えられたルーロー三角形の形状をしています。回転中心が固定されていない特殊なチャックに取り付けると、ほぼ正方形の穴を開けることができます。^{[ 33 ]} 1914 年にヘンリー ワッツによって特許が取得されましたが、それ以前に他の人によって発明された同様のドリルが使用されていました。^{[ 9 ]}他のルーロー多角形は、五角形、六角形、八角形の穴を開けるために使用されます。^{[ 9 ] [ 33 ]}

パナソニックのロボット掃除機RULOは、部屋の隅の埃を簡単に掃除できるように、ルーローの三角形に基づいて形状が設計されています。^{[ 34 ] [ 35 ]}

ルーロー三角形の応用例のもう 1 つの例として、断面がルーロー三角形の円筒形の物体が挙げられます。鉛筆のいくつかは、より伝統的な丸型や六角形の軸ではなく、この形状で製造されています。^{[ 36 ]} これらは通常、より快適で適切なグリップを促すとともに、テーブルから転がり落ちにくい（転がる六角形よりも重心が上下に動くため）と宣伝されています。

ルーロー三角形（および他のすべての一定幅の曲線）は転がることはできますが、固定された回転中心を中心に転がらないため、車輪としては不向きです。ルーロー三角形の断面を持つローラーの上に置かれた物体は滑らかに平らに転がりますが、ルーロー三角形の車輪に取り付けられた車軸は、1回転につき3回上下に跳ね上がります。^{[ 9 ] [ 37 ]}この概念は、ポール・アンダーソンのSF短編小説「三角の車輪」で使用されました。^{[ 11 ] [ 38 ]}浮動車軸とルーロー三角形の車輪のリムで支えられたフレームを持つ自転車は、同じ形状の鉛筆に触発された中国の発明家、関白華によって2009年に製作され、実演されました。^{[ 39 ]}

ルーロー三角形の別の応用例としては、固定軸周りの回転を往復運動 に変換できる機械的なリンク機構の一部として使用するものがある。^{[ 10 ]}これらの機構はフランツ・ルーローによって研究された。グスタフ・フォークト社​​の協力を得て、ルーローは約800個の機構モデルを製作し、そのうちのいくつかはルーロー三角形を使用していた。^{[ 40 ]}ルーローはこれらのモデルを、その運動に関する先駆的な科学的調査に使用した。^{[ 41 ]}ルーロー・フォークトモデルのほとんどは失われているが、そのうち219個はコーネル大学に収集されており、その中にはルーロー三角形に基づく9個が含まれている。^{[ 40 ] [ 42 ]}しかし、機構設計におけるルーロー三角形の使用はルーローの研究よりも古く、例えば1830年頃の蒸気機関の中には、ルーロー三角形の形状をしたカムを持つものもあった。 ^{[ 43 ] [ 44 ]}

この原理の応用例の一つとして、映写機が挙げられます。この用途では、フィルムをぎこちなく段階的に送り出す必要があり、フィルムの各コマは映写レンズの前でほんの一瞬停止し、その後、はるかに速く次のコマへと移動します。これは、正方形内のルーロー三角形の回転を利用して、フィルムを各コマまで素早く引き込み、コマが投影されている間はフィルムの動きを一時停止させるアクチュエータの動作パターンを作成する機構を用いることで実現できます。^{[ 45 ]}

ヴァンケルエンジンのローターは曲線三角形の形状をしており、ルーロー三角形の例としてよく挙げられます。^{[ 3 ] [ 5 ] [ 9 ] [ 44 ]}しかし、その曲線部分はルーロー三角形よりもやや平坦であるため、一定の幅を持ちません。^{[ 46 ] [ 47 ] [ 48 ]}

13 世紀後半または 14 世紀初頭に始まったゴシック建築では、 ^{[ 49 ]}ルーロー三角形は、窓、窓のトレーサリー、その他の建築装飾によく使用されるいくつかの曲線形状の 1 つになりました。^{[ 3 ]}例えば、イギリスのゴシック建築では、この形状は、1250 年～ 1290 年の幾何学的スタイルと、1290 年～ 1350 年の曲線スタイルの両方において、装飾時代に関連付けられていました。^{[ 49 ]}また、ミラノ大聖堂のいくつかの窓にも見られます。^{[ 50 ]}この文脈では、この形状は球面三角形と呼ばれることもありますが、^{[ 49 ] [ 51 ] [ 52 ]}これは、球の表面上の三角形を意味する球面三角形と混同してはいけません。ゴシック教会建築におけるルーロー三角形の三角形は、三位一体の象徴[ ^{53 ]}と「円の形に対する反対行為」^{[ 54 ]の両方として見ることができる。}

ルーロー三角形は、他の建築様式でも使用されています。例えば、レオナルド・ダ・ヴィンチはこの形状を要塞の設計図としてスケッチしました。^{[ 42 ]}ルーロー三角形の形状の平面図を使用しているとされる現代の建物には、MIT クレスジ講堂、ケルントライアングル、ドナウタワー、コルセロラ塔、メルセデス・ベンツ博物館などがあります。^{[ 55 ]}しかし多くの場合、これらは単に丸みを帯びた三角形であり、ルーロー三角形とは異なる幾何学的形状をしています。

ルーロー三角形の初期の応用例として、1514年頃のダ・ヴィンチの世界地図がある。この地図では、地球の球面が8つの八分円に分割され、それぞれがルーロー三角形の形に平らにされている。^{[ 56 ] [ 57 ] [ 58 ]}

ルーローの三角形に基づいた同様の地図は、 1551年にオロンス・フィネによって、 1580年にジョン・ディーによって出版された。 ^{[ 58 ]}

多くのギターピックはルーロー三角形を採用しており、その形状は鋭い先端で力強いアーティキュレーションを実現し、幅広の先端で温かみのある音色を生み出します。この形状の3つのポイントすべてが使用できるため、単一の先端を持つピックに比べて向きが決めやすく、摩耗も少なくなります。^{[ 59 ]}

1996年、フィラデルフィアで発生した消火栓の不正使用、およびそのような不正使用を防止するためにルーロー三角形ナットが取り付けられた、より新しいフィラデルフィアの消火栓。

ルーロー三角形は、消火栓バルブナットの断面形状として使用されています。この形状の幅が一定であるため、標準的な平行ジョーレンチでは消火栓を開けることが難しく、代わりに特殊な形状のレンチが必要になります。この特性により、消火栓は（特殊なレンチを持っている）消防士のみが開けることができ、他の活動のために消火栓を水源として使用しようとする他の人が開けることはできません。^{[ 60 ]}

Keto (1997) ^{[ 61 ]}の提案に従い、ハワイのマウナケアにある電波天文台のサブミリ波アレイのアンテナは、入れ子になった 4 つのルーロー三角形上に配置されている。^{[ 62 ] [ 63 ]}アンテナを一定幅の曲線上に配置すると、観測所はすべての方向で同じ空間分解能を持ち、円形の観測ビームが得られる。一定幅の最も非対称な曲線であるルーロー三角形は、アレイからの信号のフーリエ変換の平面を最も均一にカバーする。 ^{[ 61 ] [ 63 ]}アンテナは、各観測の必要な角度分解能に応じて、異なる観測のために 1 つのルーロー三角形から別のルーロー三角形に移動することができる。^{[ 62 ] [ 63 ]}これらのルーロー三角形上のアンテナの正確な配置は、ニューラルネットワークを使用して最適化された。場所によっては、建設された天文台が理想的なルーロー三角形の形状から外れているのは、その形状が与えられた敷地内では不可能だったためである。^{[ 63 ]}

多くの看板や企業ロゴに使われている盾形は、丸みを帯びた三角形を特徴としている。しかし、これらの三角形のうち、ルーロー三角形に該当するものはごく一部に過ぎない。

ヨーロッパ、北米、アフリカで主要な事業を展開するベルギーの石油会社ペトロフィナ（Fina）の企業ロゴは、1950年からペトロフィナがトタルSA（現在のトタルエナジーズ）と合併した2000年まで、ルーロー三角形とFinaの名前を使用していた。 ^{[ 64 ] [ 65 ]}ルーロー三角形で囲まれた別の企業ロゴであるババリア醸造所の 南を指すコンパスは、デザイン会社Total Identityによるリニューアルの一環で、SAN 2010広告主オブザイヤー賞を受賞した。^{[ 66 ]}ルーロー三角形はコロラド鉱山大学のロゴにも使用されている。^{[ 67 ]}

米国では、国立トレイルシステムと米国自転車ルートシステムはどちらも、標識にルーロー三角形でルートを示しています。^{[ 68 ]}

プラトーの法則によれば、2次元のシャボン玉の集まりにおける円弧は120°の角度で交わり、これはルーロー三角形の頂点で見られる角度と同じです。この事実に基づいて、泡の一部がルーロー三角形の形をとる集まりを構築することが可能です。^{[ 69 ]}

この形状は、2014年にルーロー三角形ディスクとして初めて結晶形で単離されました。^{[ 70 ]}ルーロー三角形の形状を持つ基本的な硝酸ビスマスディスクは、2,3-ビス(2-ピリジル)ピラジンの存在下でエタノール-水系における硝酸ビスマスの加水分解と沈殿によって形成されました。

半径sの 4 つの球が、辺の長さsの正四面体の頂点を中心として交わる面は、ルーロー四面体と呼ばれますが、その表面は一定幅の表面ではありません。^{[ 72 ]} しかし、その辺の弧 3 つを円弧の回転面である曲面に置き換えることで、一定幅の表面、すなわちマイスナー四面体にすることができます。あるいは、ルーロー三角形をその対称軸の 1 つで回転させた表面は、一定幅の表面を形成し、与えられた一定幅のすべての既知の回転面の中で最小の体積を持ちます。^{[ 73 ]}

ルーロー多角形

ガンビア ダラシルロー7 角形コイン

ルーロー三角形は、奇数個の辺を持つ正多角形または不規則多角形に一般化することができ、一定の半径の円弧から形成される一定の幅の曲線であるルーロー多角形が得られます。これらの形状の一定の幅により、コイン式機械で使用できるコインとして使用できます。^{[ 9 ]}一般的に流通しているこの種のコインは通常3つ以上の辺を持っていますが、バミューダの記念コインにはルーロー三角形が使用されています。^{[ 55 ]}

同様の方法を用いて、任意の単純な多角形を、与えられた多角形の直径に等しい幅を持つ一定幅の曲線で囲むことができる。結果として得られる形状は円弧（多角形の辺の数まで）で構成され、アルゴリズム的に線形時間で構築でき、コンパスと定規で描画できる。^{[ 74 ]}ルーロー多角形はすべて奇数個の円弧の辺を持つが、半径が異なる偶数個の円弧の辺を持つ一定幅の形状を構築することは可能である。^{[ 75 ]}

ヤンムーティ集合は、正三角形の凸包と、三角形の頂点を中心とし、三角形と同じ角度をなす3つの円弧から構成される集合として定義されます。これらの円弧の半径は等しく、三角形の辺の長さ以下です。したがって、半径が十分に小さい場合、これらの集合は正三角形自体に退化しますが、半径が可能な限り大きい場合、対応するルーロー三角形に等しくなります。幅w、直径d、内接半径r (その形状に含まれる最大の円の半径) を持つすべての形状は、次の不等式を満たします。

${\displaystyle w-r\leq {\frac {d}{\sqrt {3}}},}$

そしてこの不等式はヤンモウティ集合に対して等式となり、これ以上改善できないことを示している。^{[ 76 ]}