ボーアモデル

原子物理学において、ボーアモデルまたはラザフォード・ボーアモデルは、初期の量子概念を取り入れた、現在では廃れた原子モデルである。ニールス・ボーアが1911年から1918年にかけて開発し、アーネスト・ラザフォードによる原子核の発見に基づいて構築されたこのモデルは、 J・J・トムソンのプラムプディングモデルに取って代わったが、1920年代には量子原子モデルに取って代わられた。このモデルは、小さくて密度の高い原子核の周りを電子が周回している構造をしている。太陽系の構造に似ているが、重力ではなく静電気力によって引力が働き、電子のエネルギーは量子化されている（離散値のみを仮定している）。

原子物理学の歴史において、それはジョセフ・ラーモアの太陽系モデル（1897年）、ジャン・ペランのモデル（1901年）^{[ 2 ]}立方体モデル（1902年）、長岡半太郎の土星モデル（1904年）、プラムプディングモデル（1904年）、アーサー・ハースの量子モデル（1910年）、ラザフォードモデル（1911年）、ジョン・ウィリアム・ニコルソンの核量子モデル（1912年）など、いくつかの以前のモデルに続き、最終的には取って代わった。1911年のラザフォードモデルからの改良は、主にハースとニコルソンによって導入された新しい量子力学的解釈に関するものであり、古典物理学に従って放射線を説明しようとする試みは放棄された。

このモデルの最大の成功は、水素のスペクトル輝線に関するリュードベリの公式を説明できた点にある。リュードベリの公式は実験的には知られていたものの、ボーアモデルが導入されるまでは理論的な根拠がなかった。ボーアモデルはリュードベリの公式の構造を説明するだけでなく、公式の実験結果を構成する基本的な物理定数の正当性も示したのである。

ボーアモデルは、価電子殻モデルと比較すると、水素原子の比較的原始的なモデルです。理論としては、より広範でより正確な量子力学を使用して水素原子の一次近似として導出できるため、時代遅れの科学理論とみなされる可能性があります。しかし、その単純さと、特定のシステムに対する正しい結果（応用については後述）のため、ボーアモデルは、より正確だがより複雑な価電子殻原子に進む前に、学生に量子力学やエネルギー準位図を紹介するために今でも一般的に教えられています。関連する量子モデルは、1910 年にアーサー・エーリッヒ・ハースによって提案されましたが、1911 年のソルベー会議で徹底的に議論されるまで拒否されました。^{[ 3 ]}プランクによる量子の発見（1900 年）から成熟した量子力学の出現（1925 年）までの期間の量子理論は、しばしば古い量子理論と呼ばれます。

20世紀の第2四半期までは、原子モデルは概して推測の域を出なかった。原子の概念、ましてや内部構造を持つ原子の概念は、一部の科学者から反対されていた。^{[ 5 ]： 2}

次に、ボーアは友人のハンス・ハンセンから、バルマー系列はバルマー式を用いて計算されることを知らされた。バルマー式は、 1885年にヨハン・バルマーによって発見された、水素のいくつかのスペクトル線の波長を記述する経験式である。 ^{[ 18 ] [ 22 ]}これは1888年にヨハネス・リュードベリによってさらに一般化され、現在リュードベリ式として知られるようになった。その後、ボーアは「すべてが明らかになった」と述べた。^{[ 22 ]}

1913年、ニールス・ボーアはラザフォードの原子核モデルと整合性のある電子モデルを提供するために5つの仮説を提唱した。^{[ 23 ]}

1. 原子は、古典電磁気学が示唆するのとは異なり、連続的なエネルギーを吸収したり放射したりすることはできない。したがって、電子は安定した軌道、すなわち静止軌道を維持し、それらの離散的な軌道の間に他の軌道を持つことはできない。
2. 電子は、静止軌道においては、通常の力学法則に従う。
3. 周波数を持つ電磁放射の吸収または放出${\displaystyle \nu }$プランクの法則によれば、エネルギーと関係がある。${\displaystyle E=h\nu }$、 どこ${\displaystyle h}$はプランク定数です。
4. 定常軌道は、状態形成時に放出される全エネルギーと正の原子核の周りの電子回転周波数の比が、${\displaystyle h/2}$。
5. 最大放出エネルギーに対応する原子状態では、回転する電子の角運動量が換算プランク定数に等しくなる距離で定常軌道が達成される。${\displaystyle h/2\pi }$。

最初の2つの仮説は、水素の放射線の吸収と放出が当時知られていた法則に従わないという実験的観察を定式化したものである。3番目の仮説は、1913年までにすでに広く受け入れられていたプランクの放射の量子論を改めて述べたものである。4番目と5番目の仮説は、現代の議論では組み合わされている。^{[ 23 ]}組み合わされた形では、定常軌道は次のように与えられる。 ${\displaystyle m_{\mathrm {e} }vr=n\hbar }$、 どこ${\displaystyle n=1,2,3,...}$は主量子数と呼ばれ、${\displaystyle \hbar =h/2\pi }$最小値${\displaystyle n}$は 1 です。これにより、水素の場合、ボーア半径として知られる最小の軌道半径0.0529  nm が得られます。電子がこの最低軌道に入ると、原子核にそれ以上近づくことはできません。

ボーアの条件は、角運動量が整数倍であるということである。${\displaystyle \hbar ,}$後に1924年にド・ブロイによって定常波条件として再解釈された。^{[ 23 ]}このモデルでは、電子は波で記述され、電子の軌道の円周に沿って整数個の波長が収まる必要がある。

${\displaystyle n\lambda =2\pi r.}$

ド・ブロイの仮説によれば、電子などの物質粒子は波のように振る舞う。電子のド・ブロイ波長は

${\displaystyle \lambda ={\frac {h}{mv}},}$

これはつまり

${\displaystyle {\frac {nh}{mv}}=2\pi r,}$

または

${\displaystyle {\frac {nh}{2\pi }}=mvr,}$

どこ${\displaystyle mvr}$は軌道を回る電子の角運動量です。${\displaystyle \ell }$この角運動量に対して、前の式は次のようになる。

${\displaystyle \ell ={\frac {nh}{2\pi }},}$

これはボーアの第4および第5の公準を組み合わせた形である。^{[ 23 ]}

1932年、C.V.ラマンとスリ・バガヴァンタムが光子が角運動量を持つことを実験的に実証したことで、これら2つの仮説はさらに正当化された。${\displaystyle \hbar }$^{[ 24 ] [ 25 ]}ボーアは、電子が静止軌道間を遷移し、その間に光子が系によって吸収または放出されると仮定した。光子の角運動量を測定すると、角運動量保存の法則は、静止軌道上の電子の角運動量が次の整数倍に等しくなければならないと予測する。${\displaystyle \hbar }$[ ^{23 ]​}

ボーア自身も認めているように、角運動量量子則はニコルソンが1912年の論文で既に示していたものであるが、^{[ 18 ] [ 19 ] [ 21 ] [ 20 ]}ボーア^{[ 11 ]}は水素原子やその他の水素様原子およびイオンの許容軌道のエネルギーを計算することができた。これらの軌道は明確なエネルギーと関連付けられており、エネルギー殻またはエネルギー準位とも呼ばれる。これらの軌道では、電子の加速によって放射やエネルギー損失は生じない。

ボーアモデルにはいくつかの改良が提案され、中でも最も有名なのはゾンマーフェルトモデルまたはボーア・ゾンマーフェルトモデルで、電子はボーアモデルの円軌道ではなく、原子核の周りを楕円軌道で運動すると示唆した。^{[ 1 ]}このモデルは、ボーアモデルの量子化された角運動量条件に加えて、ウィルソン・ゾンマーフェルト量子化条件という追加の半径方向量子化条件を加えたものである。 ^{[ 26 ] [ 27 ]}

${\displaystyle \int _{0}^{T}p_{\text{r}}\,dq_{\text{r}}=nh,}$

ここで、p _rは座標q _rに正準共役な動径運動量であり、q r は動径位置、Tは完全な軌道周期です。積分は作用角座標の作用です。対応原理によって示唆されるこの条件は、量子数が断熱不変量であるため、唯一可能な条件です。

ボーア・ゾンマーフェルトモデルは根本的に矛盾しており、多くのパラドックスを引き起こしました。磁気量子数は、 xy平面に対する軌道面の傾きを測定するもの であり、いくつかの離散的な値しか取ることができませんでした。これは、原子が座標に対して制限なく任意の向きを持つことができるという明白な事実と矛盾していました。ゾンマーフェルト量子化は異なる正準座標で実行でき、場合によっては異なる結果をもたらします。放射補正の組み込みは困難でした。なぜなら、放射と原子が結合したシステムの作用角座標を見つける必要があり、放射が逃げることを許容するとそれが困難になるからです。理論全体は非積分運動に拡張されておらず、原理的にも多くのシステムを扱うことができませんでした。最終的に、このモデルは、1925年にヴォルフガング・パウリがハイゼンベルクの行列力学を用いて初めて提示した、水素原子の現代的な量子力学的扱いに取って代わられました。水素原子の現在のモデルは、エルヴィン・シュレーディンガーが1926年に開発した波動力学の原子軌道に基づいている。

しかし、だからといってボーア・ゾンマーフェルトモデルに成功がなかったわけではない。ボーア・ゾンマーフェルトモデルに基づく計算は、より複雑な原子スペクトル効果の多くを正確に説明することができた。例えば、一次摂動までは、ボーアモデルと量子力学はシュタルク効果におけるスペクトル線分裂について同じ予測をする。しかし、高次の摂動では、ボーアモデルと量子力学は異なり、高電場強度下でのシュタルク効果の測定は、ボーアモデルよりも量子力学の正しさを確認するのに役立った。この違いの背後にある有力な理論は、電子の軌道の形状にあり、これは電子のエネルギー状態に応じて変化する。

ボーア・ゾンマーフェルトの量子化条件は、現代数学において様々な疑問を提起する。一貫性のある半古典的量子化条件は、位相空間上に特定の構造を必要とするため、量子化可能なシンプレクティック多様体の種類に位相的な制約が生じる。特に、シンプレクティック形式は、エルミート線束の接続の曲率形式である必要があり、これは事前量子化と呼ばれる。

ボーアは1922年に自身のモデルを更新し、特定の数の電子（例えば2、8、18）が安定した「閉殻」に対応すると仮定した。^{[ 28 ]}

1925年、量子力学という新しいタイプの力学が提唱されました。これは、量子化された軌道を移動する電子のボーアモデルを拡張し、より正確な電子運動モデルにしたものです。この新しい理論の枠組みは、ヴェルナー・ハイゼンベルクが「Umdeutung」論文で提唱し、後にマックス・ボルンとパスカル・ジョルダンによって行列力学へと拡張されました。同じ理論の別の形式である波動力学は、オーストリアの物理学者エルヴィン・シュレーディンガーによって独立に、そして異なる推論によって発見されました。シュレーディンガーはド・ブロイの物質波を用いましたが、正の原子核の電位によって閉じ込められ、水素のような原子核の周りを運動するように拘束された電子を記述する3次元波動方程式の波動解を求めました。

ボーアモデルは、2つの荷電点が光速よりもはるかに遅い速度で互いの周りを公転する系に対してのみ、ほぼ正確な結果を与える。これは、水素原子、一価イオン化ヘリウム、二価イオン化リチウムなどの1電子系だけでなく、 1つの電子が他のすべての電子から遠く離れているあらゆる原子のポジトロニウム状態やリュードベリ状態も含む。他の仮定を追加すれば（下記のモーズリーの法則を参照）、 K線X線遷移の計算にも使用できる。高エネルギー物理学では、重いクォーク中間子の質量を計算するために使用できる。

軌道の計算には2つの仮定が必要です。

• 古典力学

  電子は静電気力によって円軌道に保持されている。向心力はクーロン力に等しい。

  ${\displaystyle {\frac {m_{\mathrm {e} }v^{2}}{r}}={\frac {Zk_{\mathrm {e} }e^{2}}{r^{2}}},}$

  ここで、m _eは電子の質量、eは素電荷、k _eはクーロン定数、Zは原子番号です。ここでは、原子核の質量は電子の質量よりもはるかに大きいと仮定しています（これは妥当な仮定です）。この式は、任意の半径における電子の速度を決定します。

  ${\displaystyle v={\sqrt {\frac {Zk_{\mathrm {e} }e^{2}}{m_{\mathrm {e} }r}}}.}$

  また、任意の半径における電子の全エネルギーも決定します。

  ${\displaystyle E=-{\frac {1}{2}}m_{\mathrm {e} }v^{2}.}$

  全エネルギーは負の値で、rに反比例します。これは、軌道上の電子を陽子から引き離すにはエネルギーが必要であることを意味します。r が無限大の場合、エネルギーはゼロとなり、陽子から無限に遠く離れた静止した電子に対応します。全エネルギーは位置エネルギーの半分であり、その差が電子の運動エネルギーとなります。これは、ビリアル定理により、非円軌道の場合にも当てはまります。

• 量子ルール

  角運動量L = m _e vrはħの整数倍である。

  ${\displaystyle m_{\mathrm {e} }vr=n\hbar .}$

導出

古典力学では、電子が周期Tで原子の周りを軌道運動している場合、電磁場との結合が弱く、軌道が1周期であまり減衰しない場合、電子は周期ごとに繰り返されるパターンで電磁放射を放出します。そのため、そのパターンのフーリエ変換には、1/Tの倍数である周波数のみが含まれます。

しかし、量子力学では、角運動量の量子化によって軌道のエネルギー準位が離散化し、放出される周波数はこれらの準位間のエネルギー差に応じて量子化されます。このエネルギー準位の離散性は、古典的な放射法則からの根本的な逸脱をもたらし、放出される放射に明確なスペクトル線を生み出します。

ボーアは、電子が古典力学の法則に従って楕円軌道で原子核の周りを回っているが、ラーモアの公式により放射損失はないと仮定している。

全エネルギーをE、電子の電荷を − e、原子核の電荷をK = Ze、電子の質量をm _e、楕円の長軸の半分をaとすると、彼は次の式から始める。^{[ 11 ] : 3}

${\displaystyle \nu ={\frac {\sqrt {2}}{\pi }}{\frac {\vert E\vert ^{\frac {3}{2}}}{eK{\sqrt {m}}_{\text{e}}}}\ \ \ (1a)}$

${\displaystyle 2a={\frac {eK}{\vert E\vert }}\ \ \ (1b)}$

Eは負の値であると仮定される。なぜなら、電子を原子核から引き離し、無限遠の場所で静止させるには正のエネルギーが必要となるからである。

式（1a）は、求心力と原子核と電子の間に働くクーロン力を等しいとおくことで得られる。${\displaystyle E=T+U}$（ここでTは平均運動エネルギー、U は平均静電ポテンシャル）であり、ケプラーの第 2 法則では、電子と原子核の間の平均距離はaである。

式(1b)は、式(1a)と同じ前提と、楕円軌道の場合に次のことを表すビリアル定理から得られる。

${\displaystyle T=-{\frac {1}{2}}U\ \ \ (1c).}$

そしてボーアは次のように仮定する。${\displaystyle \vert E\vert }$は、電子の回転周波数の半分の周波数を持つ光量子のエネルギーの整数倍である^{[ 11 ]： 4}、すなわち：

${\displaystyle \vert E\vert =nh{\frac {\nu }{2}}\ \ \ (2).}$

式（1a、1b、2）より、以下が成り立つ。

${\displaystyle \vert E\vert ={\frac {2\pi ^{2}m_{\text{e}}e^{2}K^{2}}{n^{2}h^{2}}}\ \ \ (3a)}$

${\displaystyle \nu ={\frac {4\pi ^{2}m_{\text{e}}e^{2}K^{2}}{n^{3}h^{3}}}\ \ \ (3b)}$

${\displaystyle 2a={\frac {n^{2}h^{2}}{2\pi ^{2}m_{\text{e}}eK}}\ \ \ (3c).}$

彼はさらに、軌道が円形であると仮定している。${\displaystyle a=r}$、そして、電子の角運動量をLとすると、次の式が導入される。

${\displaystyle \pi L={\frac {T}{\nu }}\ \ \ (4).}$

式（4）はビリアル定理と、角運動量、運動エネルギー、回転周波数の間の古典力学の関係から導き出される。

式（1c、2、4）から、次の式が導かれる。

${\displaystyle L=nL_{0},}$

どこ：

${\displaystyle L_{0}={\frac {h}{2\pi }}=\hbar ,}$

つまり：

${\displaystyle L=n\hbar .}$

この結果は、電子の角運動量が換算プランク定数の整数倍であることを示している。^{[ 11 ]： 15}

速度の式を代入すると、nを用いたrの式が得られる。

${\displaystyle m_{\text{e}}{\sqrt {\dfrac {k_{\text{e}}Ze^{2}}{m_{\text{e}}r}}}r=n\hbar ,}$

したがって、任意のnにおける許容軌道半径は

${\displaystyle r_{n}={\frac {n^{2}\hbar ^{2}}{Zk_{\mathrm {e} }e^{2}m_{\mathrm {e} }}}.}$

水素原子（Z = 1 ）におけるrの最小値はボーア半径と呼ばれ、次の値に等しい。

${\displaystyle r_{1}={\frac {\hbar ^{2}}{k_{\mathrm {e} }e^{2}m_{\mathrm {e} }}}\approx 5.29\times 10^{-11}~\mathrm {m} =52.9~\mathrm {pm} .}$

任意の原子のn番目のエネルギー準位は、半径と量子数によって決定される。

${\displaystyle E=-{\frac {Zk_{\mathrm {e} }e^{2}}{2r_{n}}}=-{\frac {Z^{2}(k_{\mathrm {e} }e^{2})^{2}m_{\mathrm {e} }}{2\hbar ^{2}n^{2}}}\approx {\frac {-13.6\ Z^{2}}{n^{2}}}~\mathrm {eV} .}$

したがって、水素の最低エネルギー準位 ( n = 1 )にある電子は、原子核から無限に遠い静止電子よりも約 13.6 eVエネルギーが低い。次のエネルギー準位 ( n = 2 ) は -3.4 eV である。3 番目の準位 ( n = 3 ) は -1.51 eV であり、以下同様である。n の値が大きい場合、これらは、原子の残りの部分の周りを大きな円軌道で回る 1 つの電子を持つ、高度に励起された原子の結合エネルギーでもある。水素の式はウォリス積とも一致する。^{[ 29 ]}   

エネルギー式における自然定数の組み合わせは、リュードベリエネルギー（R _E）と呼ばれます。

${\displaystyle R_{\mathrm {E} }={\frac {(k_{\mathrm {e} }e^{2})^{2}m_{\mathrm {e} }}{2\hbar ^{2}}}.}$

この表現は、より自然な単位を形成する組み合わせで解釈することで明確になる。

${\displaystyle m_{\mathrm {e} }c^{2}}$は電子の静止質量エネルギー （511 keV）です。

${\displaystyle {\frac {k_{\mathrm {e} }e^{2}}{\hbar c}}=\alpha \approx {\frac {1}{137}}}$は微細構造定数である。

${\displaystyle R_{\mathrm {E} }={\frac {1}{2}}(m_{\mathrm {e} }c^{2})\alpha ^{2}}$。

この導出は原子核の周りを1つの電子が軌道運動しているという仮定に基づいているため、原子核の電荷をq = Ze （ Zは原子番号）とすることで、この結果を一般化できます。これにより、水素様原子のエネルギー準位が得られ、これは実際のエネルギー準位のおおよその桁数として利用できます。したがって、陽子数がZの原子核の場合、エネルギー準位は（おおよその近似値として）次のようになります。

${\displaystyle E_{n}=-{\frac {Z^{2}R_{\mathrm {E} }}{n^{2}}}.}$

電子が複数個の場合、実際のエネルギー準位を解析的に解くことはできません（n体問題を参照）。なぜなら、電子は原子核の影響を受けるだけでなく、クーロン力によって互いに相互作用するからです。

Z = 1/ α ( Z ≈ 137 )のとき、運動は非常に相対論的になり、Z ^2はRのα ²を打ち消し、軌道エネルギーは静止エネルギーに匹敵するようになります。十分に大きな原子核は、安定であれば、真空から束縛電子を生成して陽電子を無限遠に放出することで電荷を減らします。これは、最大核電荷を予測する電磁電荷遮蔽の理論的現象です。このような陽電子の放出は、一時的な超重原子核を生成する重イオンの衝突で観測されています。^{[ 30 ]}

ボーアの公式は、電子の質量ではなく、あらゆる状況で電子と陽子の換算質量を適切に使用しています。

${\displaystyle m_{\text{red}}={\frac {m_{\mathrm {e} }m_{\mathrm {p} }}{m_{\mathrm {e} }+m_{\mathrm {p} }}}=m_{\mathrm {e} }{\frac {1}{1+m_{\mathrm {e} }/m_{\mathrm {p} }}}.}$

しかし、陽子の質量が電子の質量の約 1836.1 倍と非常に大きいため、これらの数値はほぼ同じです。そのため、このシステムの換算質量は、電子の質量に定数1836.1/(1 + 1836.1) = 0.99946 を掛けた値になります。この事実は、ボーアのモデルの重要性をラザフォードに納得させる上で歴史的に重要でした。なぜなら、このモデルは、一価イオン化ヘリウムのスペクトルの線の周波数が水素の周波数と正確に 4 倍ではなく、水素とヘリウムのシステムの換算質量の比の 4 倍だけ異なることを説明しており、これは正確に 4 よりも実験的な比にずっと近い値だったからです。

ポジトロニウムの場合も、式では換算質量を用いますが、この場合は電子質量を2で割った値になります。半径がどのような値であっても、電子と陽電子はそれぞれ共通の重心の周りを半分の速度で運動し、運動エネルギーはそれぞれ4分の1になります。全体の運動エネルギーは、重い原子核の周りを運動する単一の電子の運動エネルギーの半分になります。

${\displaystyle E_{n}={\frac {R_{\mathrm {E} }}{2n^{2}}}}$（ポジトロニウム）

1860年代後半から、ヨハン・バルマー、そして後にヨハネス・リュードベリとヴァルター・リッツは、測定された原子スペクトル線に一致する、ますます正確な経験式を開発した。ボーアの後の業績にとって重要だったのは、リュードベリが周波数に相当する波数でその式を表現したことである。^{[ 31 ]}これらの式には定数が含まれていた。${\displaystyle R}$現在ではリュードベリ定数と線をインデックス付けする一対の整数が知られている。^{[ 14 ] : 247}$${\displaystyle \nu =R\left({\frac {1}{m^{2}}}-{\frac {1}{n^{2}}}\right).}$$ 多くの試みにもかかわらず、原子の理論はこれらの比較的単純な式を再現することができなかった。^{[ 14 ]： 169}

ボーアの理論では、軌道エネルギー準位間の遷移または量子ジャンプのエネルギーを記述することで、リュードベリの公式を説明できます。水素原子の場合、ボーアは、自由電子が安定な円軌道に移動する際に放出されるエネルギーに関する導出された公式から始めます。${\displaystyle \tau }$: ^{[ 32 ]}$${\displaystyle W_{\tau }={\frac {2\pi ^{2}me^{4}}{h^{2}\tau ^{2}}}}$$ このような2つの準位間のエネルギー差は次のようになります。 $${\displaystyle h\nu =W_{\tau _{2}}-W_{\tau _{1}}={\frac {2\pi ^{2}me^{4}}{h^{2}}}\left({\frac {1}{\tau _{2}^{2}}}-{\frac {1}{\tau _{1}^{2}}}\right)}$$したがって、ボーアの理論は、電子の電荷、電子の質量、プランク定数 などのより基本的な自然定数を用いて、水素のリュードベリの公式とリュードベリ定数の数値を与える。^{[ 33 ] : 31 [ 34 ]}$${\displaystyle cR_{\text{H}}={\frac {2\pi ^{2}me^{4}}{h^{3}}}.}$$

光子のエネルギーは

${\displaystyle E={\frac {hc}{\lambda }},}$

これらの結果は、放出された光子の波長を用いて表現することができる。

${\displaystyle {\frac {1}{\lambda }}=R\left({\frac {1}{n_{\text{f}}^{2}}}-{\frac {1}{n_{\text{i}}^{2}}}\right).}$

ボーアによるリュードベリ定数の導出、そしてボーアの公式が実験的に観測されたライマン系列（n _f = 1）、バルマー系列（n _f = 2）、パッシェン系列（n _f = 3）のスペクトル線と一致したこと、さらにまだ観測されていない他のスペクトル線の理論的予測に成功したことが、彼のモデルがすぐに受け入れられた理由の一つであった。^{[ 34 ]： 34}

複数の電子を持つ原子に適用するには、リュードベリの公式をZをZ − bに、またはnをn − bに置き換えることで修正できます。ここでbは定数であり、内殻電子や他の電子による遮蔽効果を表します（電子殻および後述の「原子殻モデル」に関する議論を参照）。これはボーアが自身のモデルを発表する以前に経験的に確立されていました。

ボーアが1913年に発表した3つの論文は、主に軽い元素の電子配置について記述したものであった。ボーアは1913年当時、電子殻を「環」と呼んでいた。彼の惑星モデルが提唱された当時は、殻内の原子軌道という概念は存在しなかった。ボーアは、1913年の有名な論文の第3部で、殻内の電子の最大数は8個であると説明し、「さらに、n個の電子からなる環は、 n < 8でない限り、_電荷neの原子核の周りを単一の環として回転することはできない」と述べている。より小さな原子の場合、電子殻は次のように満たされる。「電子の環は、同数の電子を含む場合にのみ結合し、したがって、内側の環の電子数は2個、4個、8個となる」。しかし、より大きな原子では、最も内側の殻には8個の電子が含まれる。「一方、元素の周期表は、ネオンN = 10において既に8個の電子からなる内側の環が存在することを強く示唆している」。ボーアは「上記から、軽原子における電子の配置について、以下の可能なスキームに導かれる」と書いた。^{[ 35 ] [ 4 ] [ 8 ]}

ボーアの1913年の3番目の論文「複数の原子核を含む系」の第3部では、2つの原子が対称平面上に分子を形成すると述べ、水素の説明に戻っています。^{[ 36 ]} 1913年のボーアモデルはより高次の元素については詳しく議論しておらず、ジョン・ウィリアム・ニコルソンは1914年に、それがリチウムには適用できないことを最初に証明した一人でしたが、水素とイオン化ヘリウムには魅力的な理論でした。^{[ 8 ] [ 37 ]}

1921年、周期表の研究に携わった化学者らの研究に続いて、ボーアは水素のモデルを拡張し、より重い原子の近似モデルを作成した。これにより、既知の多くの原子特性を初めて再現する物理的像が得られたが、これらの特性は化学者チャールズ・ラゲリー・ベリーの全く同じ研究と同時期に提唱されていた^{[ 4 ] [ 38 ]。}

1914年から1916年にかけてボーアの研究パートナーであったヴァルター・コッセルは、ボーアの研究を修正し、電子が外側の環を介して相互作用することを示し、コッセルはその環を「殻」と呼んだ。^{[ 39 ] [ 40 ]}アーヴィング・ラングミュアは、1904年のオクテット則に従って、最初の殻に2個、次の殻に最大8個までの電子の殻配置を初めて実現したとされているが、コッセルは1916年にすでに殻ごとに最大8個を予測していた。^{[ 41 ]}重い原子は、原子核に陽子が多く、電荷を打ち消す電子も多い。ボーアは、これらの化学者から、各離散軌道には一定数の電子しか収容できないという考えを得た。コッセルによれば、軌道が満杯になると、次のレベルを使用する必要がある。^{[ 4 ]}これにより、原子はコッセル、ラングミュア、ベリーによって設計された殻構造を持ち、各殻はボーア軌道に対応します。

このモデルは、各殻の電子が相互作用しないと仮定しているため、水素のモデルよりもさらに近似的なものです。しかし、電子間の反発は遮蔽効果によってある程度考慮されています。外側の軌道にある電子は原子核の周りを回るだけでなく、内側の電子の周りも運動するため、外側の軌道にある電子の数だけ、外側の軌道にある電子が感じる実効電荷Zが減少します。

例えば、リチウム原子は最下位の1s軌道に2つの電子を持ち、これらの電子はZ  =  2の軌道を周回します。それぞれの電子は、核電荷Z  =  3から他の電子の遮蔽効果を差し引いた値を受け取ります。この遮蔽効果により、核電荷はおおよそ1単位減少します。つまり、最内殻電子はボーア半径の約1/2の軌道を周回します。リチウムの最外殻電子は、2つの内殻電子によって核電荷が2減少するため、ボーア半径とほぼ同じ軌道を周回します。この最外殻電子は、原子核からボーア半径のほぼ1倍の距離にあるはずです。電子同士は強く反発し合うため、有効電荷の記述は非常に近似的なものであり、有効電荷Zは通常整数にはなりません。

殻モデルは、19 世紀後半に元素の周期表に体系化された原子の多くの謎めいた性質を定性的に説明することができた。その性質の 1 つは原子の大きさであり、これは気体の粘度と純粋な結晶固体の密度を測定することによっておおよそ決定できた。原子は周期表の右に行くほど小さくなり、次の行でははるかに大きくなる傾向がある。周期表の右側の原子は電子を獲得する傾向があり、左側の原子は電子を失う傾向がある。周期表の最後の列にあるすべての元素は化学的に不活性（希ガス）である。

殻モデルでは、この現象は殻充填によって説明されます。連続する原子は同じサイズの軌道を埋めていくため小さくなり、軌道が満たされると、周期表の次の原子は緩く結合した外殻電子を持つため膨張します。最初のボーア軌道は2つの電子で満たされ、これがヘリウムが不活性である理由です。2番目の軌道は8つの電子を収容でき、これが満たされると原子はネオンとなり、これも不活性です。3番目の軌道には再び8つの電子が含まれますが、より正確なゾンマーフェルトの処理（現代の量子力学で再現されている）では、余分な「d」電子があります。3番目の軌道にはさらに10個のd電子を収容できますが、これらの位置は次のレベルのいくつかの軌道が満たされるまで満たされません（n = 3のd軌道が満たされると10個の遷移元素が生成されます）。不規則な充填パターンは、電子間の相互作用によるものであり、ボーアモデルやゾンマーフェルトモデルでは考慮されておらず、現代の理論においても計算が困難である。

ニールス・ボーアは1962年にこう語った。「実際、ラザフォードの研究は真剣に受け止められていなかった。今日では理解できないかもしれないが、全く真剣に受け止められていなかったのだ。どこにもそのことが言及されていなかった。大きな変化をもたらしたのはモーズリーだった。」^{[ 42 ]}

1913年、ヘンリー・モーズリーは、電子衝撃を受けた原子から放出される最も強いX線線（当時Kアルファ線として知られていた）と原子番号Zとの間に経験的な関係があることを発見した。モーズリーの経験式は、リュードベリの式、そして後にボーアの式から導き出せることがわかった（モーズリーは、モデルに関してアーネスト・ラザフォードとアントニウス・ファン・デン・ブルークのみに言及している。これは、モーズリーの研究より前に発表されており、モーズリーの1913年の論文は最初のボーアモデル論文と同じ月に発表されたためである）。 ^{[ 43 ]}さらに、[1]このX線線は量子数1と2のエネルギー準位間の遷移から生じること、および[2]水素より重い原子の式で使用される原子番号Zは1だけ減算され、 ( Z  -  1) ²となるべきであるという2つの仮定がある。

モーズリーは自身の実験結果に困惑し、ボーアに手紙を書いたが、ボーアは解決策を見出せなかった。当時、ボーアは、想定される最内殻の「K」殻には少なくとも4つの電子が存在するべきであり、結果をうまく説明できる2つの電子では不十分だと考えていた。そのため、モーズリーは理論的な説明なしに実験結果を発表した。

1914年と1916年にヴァルター・コッセルが、周期表では電子が外殻に追加されるにつれて新しい元素が生成されることを説明しました。コッセルの論文では、次のように書かれています。「このことから、さらに追加される電子は同心円状の環または殻に配置されるべきであり、それぞれの環または殻には、特定の数の電子（この場合は8個）だけが配置されるべきであるという結論に至ります。1つの環または殻が完成するとすぐに、次の元素のために新しい環または殻を開始する必要があります。最も容易にアクセスでき、最も外側の周縁にある電子の数は、元素ごとに再び増加するため、新しい殻の形成ごとに化学的周期性が繰り返されます。」^{[ 39 ] [ 40 ]}後に化学者のラングミュアは、この効果は電荷遮蔽によって引き起こされ、内殻には2個の電子しか含まれていないことに気づきました。アーヴィング・ラングミュアは1919年の論文で、それぞれ2個の電子しか含むことのできない「細胞」が存在し、それらが「等間隔の層」に配置されていると仮定した。

モーズリーの実験では、原子の最も内側の電子の 1 つが叩き出され、最も低いボーア軌道に空席が生じ、そこに 1 つの残りの電子が入ります。この空席は、次の軌道 (n=2) からの電子によって埋められます。しかし、n=2 の電子は、有効電荷Z  −  1 を見ます。これは、最も低いボーア軌道に 1 つの電子が残って核電荷 + Zを遮蔽し、それを −1 だけ下げる (電子の負電荷が核の正電荷を遮蔽するため) 場合の原子核の電荷に適切な値です。電子が第 2 殻から第 1 殻に落ちるときに得られるエネルギーは、K アルファ線に対するモーズリーの法則を与えます。

${\displaystyle E=h\nu =E_{i}-E_{f}=R_{\mathrm {E} }(Z-1)^{2}\left({\frac {1}{1^{2}}}-{\frac {1}{2^{2}}}\right),}$

または

${\displaystyle f=\nu =R_{\mathrm {v} }\left({\frac {3}{4}}\right)(Z-1)^{2}=(2.46\times 10^{15}~{\text{Hz}})(Z-1)^{2}.}$

ここで、R _v = R _E / hはリュードベリ定数であり、周波数で表すと次のようになります。3.28 × 10 ¹⁵  Hz。Zの値が 11 から 31 の間の場合、この後者の関係は、モーズリーによって、X 線周波数の平方根を原子番号に対して単純に (線形) プロットすることによって経験的に導出されました (ただし、銀の場合、Z = 47 なので、実験的に得られた遮蔽項は 0.4 に置き換える必要があります)。その限定的な有効性にもかかわらず、^{[ 44 ]}モーズリーの法則は、原子番号の客観的な意味を確立しただけでなく、ボーアが指摘したように、原子番号 (周期表上の位置) が原子核電荷の整数単位を表すラザフォード / ファン デン ブルーク / ボーアの原子核モデルの妥当性を確立するために、リュードベリの導出よりも多くのことをしました。ファン デン ブルークは、周期表が電荷に従って配置されていることを示すモデルを 1913 年 1 月に発表しましたが、ボーアの原子モデルは 1913 年 7 月まで発表されませんでした。^{[ 45 ]}

モーズリーの時代のKα線_は現在では、Siegbahn表記で( Kα1とKα2 ₎と表記される一対の近接線であることが知られています。

ボーアモデルでは、基底状態の軌道角運動量L = ħという誤った値が得られます。真の基底状態における角運動量は、実験からゼロであることがわかっています。このようなスケールレベルではイメージがやや不十分ですが、軌道運動量を持たない最も低い現代の「軌道」にある電子は、原子核の周りを「回転」するのではなく、面積がゼロの楕円で原子核の周りをきつく回っていると考えることができます（これは、原子核に衝突したり相互作用したりすることなく、「行ったり来たり」しているようにイメージできます）。これは、ゾンマーフェルトのようなより洗練された半古典的扱いによってのみ再現されます。しかし、最も洗練された半古典的モデルでさえ、最も低いエネルギー状態が球対称であるという事実を説明できません。つまり、特定の方向を向いていないということです。

現代の量子力学では、水素原子中の電子は、原子核の近くで密度が高くなる球状の確率雲として扱われます。水素原子における確率崩壊の速度定数はボーア半径の逆数に等しくなりますが、ボーアは面積ゼロの楕円ではなく円軌道を扱っていたため、これら2つの数値が完全に一致することは「偶然の一致」とみなされます。（ただし、原子の半古典的扱いと完全量子力学的扱いの間には、このような偶然の一致が数多く見られます。これには、水素原子のエネルギー準位が同一であることや、相対論的ボーア・ゾンマーフェルトモデル（後述）から導出される微細構造定数の導出などが含まれます。この微細構造定数は、現代の完全量子力学では全く異なる概念に等しくなります。）

ボーアモデルでは以下の点も説明できなかった。

• より大きな原子のスペクトルの大部分は、この理論では予測できません。せいぜい、 2つの追加のアドホックな仮定を置けば、より大きな原子のKα線と一部のLα線のX線放出スペクトルを予測できる程度です。最外殻電子が1つしかない原子（リチウム族の原子）の放出スペクトルも、おおよそ予測できます。また、多くの原子の経験的な電子-核遮蔽因子が分かっていれば、リッツ-リュードベリの組み合わせ原理（リュードベリの公式を参照）を用いて、異なる元素の類似原子における他の多くのスペクトル線を、この情報から推測できます。これらの手法はすべて、基本的にボーアのニュートン力学に基づく原子のエネルギー-ポテンシャル像を利用しています。
• スペクトル線の相対強度。いくつかの単純なケースでは、ボーアの公式またはその修正によって妥当な推定値が得られました（たとえば、シュタルク効果に関するクレイマーズの計算）。
• スペクトル線における微細構造および超微細構造の存在は、さまざまな相対論的効果や微妙な効果、および電子スピンによる複雑な影響に起因することが知られている。
• ゼーマン効果とは、外部磁場によってスペクトル線が変化する現象であり、これは電子スピンや軌道磁場と相互作用する、より複雑な量子原理に起因する。
• 二重線や三重線は、一部の原子のスペクトルにおいて、非常に近接した一対の線として現れる。ボーアのモデルでは、なぜ一部のエネルギー準位が非常に近接しているのかを説明できない。
• 多電子原子は、このモデルで予測されるエネルギー準位を持たない。また、（中性）ヘリウムにも適用できない。

ボーアモデルのもう一つの問題点は、電子が定常状態にあるにもかかわらず、${\displaystyle n}$周期的な運動で記述されるため、特性放射周波数に関連付けられるはずである${\displaystyle \omega (n)}$しかし、そのような周波数は実験的に測定されなかった。ハイゼンベルクは、電子の運動に関連する単一の軌道周波数という考え方を、観測可能なスペクトル周波数のセットに置き換えることで、Umdeutung論文でこの問題を解決しようと試みた。${\displaystyle \omega (n,n-\alpha )}$（定常状態からの量子遷移の場合）${\displaystyle n}$に${\displaystyle n-\alpha }$しかし、この頃には、電子軌道は物理的に意味のあるものとして事実上放棄されていた。^{[ 46 ]}

ニールス・ボーアは原子のモデルと化学結合のモデルを提案した。彼の二原子分子のモデルによれば、分子の原子の電子は回転する環を形成し、その平面は分子の軸に垂直で、原子核から等距離にある。分子系の動的平衡は、原子核と電子環の平面との間の引力と原子核間の反発力との間の力のバランスによって達成される。ボーアの化学結合モデルはクーロン反発を考慮しており、環内の電子は互いに最大距離にある。^{[ 47 ] [ 48 ]}

ボーアの原子モデルは1920年代に量子モデルに取って代わられたものの、電子が原子核の周りを軌道運動する視覚的なイメージは、原子に関する一般的な概念として残り続けている。原子を小さな惑星系と捉える概念は、原子そのもの、さらには「原子」エネルギー（より正確には核エネルギーとみなされる）の象徴として広く用いられてきた。^{[ 49 ]：58}過去1世紀にわたるその使用例には、以下のようなものがあるが、これらに限定されない。

• これは米国原子力委員会のロゴであり、特に核分裂技術に関連して後にこのロゴが使用されるようになったのは、同委員会が一因となっている。
• 国際原子力機関の旗は、オリーブの枝に囲まれた「紋章と回転する原子のエンブレム」である^{[ 50 ]}。
• アメリカのマイナーリーグ野球チーム、アルバカーキ・アイソトープスのロゴは、大きな文字「A」の周りを電子のように回る野球ボールを描いている。
• 同様のシンボルである原子渦は、アメリカ無神論者のシンボルとして選ばれ、現在では無神論全般のシンボルとして用いられるようになっている。
• 原子を表すUnicodeのその他の記号のコードポイントU+269B（⚛）は、惑星原子モデルに似ています。
• テレビ番組「ビッグバン★セオリー」は、印刷物用のロゴに惑星のようなイメージを使用している。
• JavaScriptライブラリのReactは、惑星のような画像をロゴとして使用しています。
• 地図上では、一般的に原子力発電所を示すために用いられる。
• 空軍技術研究所の盾とロゴは、いずれもそれぞれのデザインにボーア原子をモチーフとして取り入れている。

• ライナス・カール・ポーリング (1970)「第 5-1 章」一般化学（第 3 版）サンフランシスコ：WH フリーマン & Co.
  • 再録：ライナス・ポーリング（1988）。『一般化学』。ニューヨーク：ドーバー出版。ISBN 0-486-65622-5。
• ジョージ・ガモフ（1985）。「第2章」。『物理学を揺るがした30年』。ドーバー出版。
• ウォルター・J・レーマン（1972）。「第18章」。原子と分子の構造：概念の発展。ジョン・ワイリー・アンド・サンズ。ISBN 0-471-52440-9。
• ポール・ティプラー、ラルフ・ルウェリン（2002）。現代物理学（第4 版）。WHフリーマン。ISBN 0-7167-4345-0。
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• ボーアの原子モデルにおける定常波― ボーアの原子モデルにおける定常波の量子化条件を直感的に説明するインタラクティブなシミュレーション
• ウィキバーシティ:ド・ブロイ波長