数学関数の属性
数学 、より具体的には 複素解析 において 、 留数とは、 有理型関数 の 特異点 の 1 つを囲む経路に沿った 路面積分 に比例する 複素数 です 。(より一般的には、 離散点 { a k } k を 除いて正則 な 関数であれば、そのいくつかが 本質的特異点であっても、留数を計算できます。) 留数は非常に簡単に計算でき、いったんわかってしまえば、 留数定理 によって一般的な路面積分を決定できます 。
ふ :
Ｃ
∖ {
1つの
け
}
け
→
Ｃ
{\displaystyle f\colon \mathbb {C} \setminus \{a_{k}\}_{k}\rightarrow \mathbb {C} }
意味 孤立特異点 における 有理型関数 の留数は、 、 、 または と 表記され、 穴あき円板 において が 解析的 原始微分を 持つ ような 唯一の値です 。
ふ
{\displaystyle f}
1つの
{\displaystyle a}
解像度 （ ふ 、 1つの ）
{\displaystyle \operatorname {Res} (f,a)}
解像度
1つの
（ ふ ）
{\displaystyle \operatorname {Res} _{a}(f)}
解像度
ず = 1つの
ふ （ ず ）
{\displaystyle \mathop {\operatorname {Res} } _{z=a}f(z)}
解像度
ず = 1つの
ふ （ ず ）
{\displaystyle \mathop {\operatorname {res} } _{z=a}f(z)}
R
{\displaystyle R}
ふ （ ず ） − R
/
（ ず − 1つの ）
{\displaystyle f(z)-R/(za)}
0 < | ず − 1つの | < δ
{\displaystyle 0<\vert za\vert <\delta }
あるいは、ローラン級数 展開を求めることによって留数を計算することもでき 、留数を ローラン級数の
係数 a −1として定義することもできます。
この概念は、留数定理 で考慮される特定の輪郭積分問題の輪郭積分値を提供するために使用できます 。 留数定理 によれば、 有理型関数 の場合、点 における留数は 次のように与えられます。
ふ
{\displaystyle f}
1つの
け
{\displaystyle a_{k}}
解像度 （ ふ 、
1つの
け
） =
1
2 π 私
∮
γ
ふ （ ず ） d ず 。
{\displaystyle \operatorname {Res} (f,a_{k})={1 \over 2\pi i}\oint _{\gamma }f(z)\,dz\,.}
ここで、 は の周りの 正の向きの 単純な閉曲線 であり 、曲線上または曲線内の他の特異点は含まれません。
γ
{\displaystyle \gamma}
1つの
け
{\displaystyle a_{k}}
留数の定義は、任意の リーマン面 に一般化できます。 が リーマン面上の 1 形式 であるとします。 が の点 で有理型であると すると、 局所座標では と書くことができます。すると、 における の留数は、 に対応する点における の留数として定義されます 。
ω
{\displaystyle \omega}
ω
{\displaystyle \omega}
x
{\displaystyle x}
ω
{\displaystyle \omega}
ふ （ ず ） d ず
{\displaystyle f(z)\;dz}
ω
{\displaystyle \omega}
x
{\displaystyle x}
ふ （ ず ）
{\displaystyle f(z)}
x
{\displaystyle x}
輪郭の統合
単項式の積分 単項式 の剰余を計算する
∮
Ｃ
ず
け
d ず
{\displaystyle \oint _{C}z^{k}\,dz}
によってほとんどの留数計算が簡単に行えます。経路積分の計算は ホモトピー 不変なので、反時計回りに半径が動く円を とします 。すると、座標変換を使用して次の 式が得られます。
Ｃ
{\displaystyle C}
1
{\displaystyle 1}
ず →
e
私 θ
{\displaystyle z\to e^{i\theta }}
d ず → d （
e
私 θ
） = 私
e
私 θ
d θ
{\displaystyle dz\to d(e^{i\theta })=ie^{i\theta }\,d\theta }
したがって、積分は次のようになる。
∮
Ｃ
ず
け
d ず =
∫
0
2 π
私
e
私 （ け + 1 ） θ
d θ =
{
2 π 私
もし
け = − 1 、
0
さもないと
。
{\displaystyle \oint _{C}z^{k}dz=\int _{0}^{2\pi }ie^{i(k+1)\theta }\,d\theta ={\begin{cases}2\pi i&{\text{if }}k=-1,\\0&{\text{otherwise}}.\end{cases}}}
したがって、 の剰余は 整数の場合は 1 になり 、それ以外の場合は 0 になります。
ず
け
{\displaystyle z^{k}}
け = − 1
{\displaystyle k=-1}
ローラン級数への一般化 関数が 次のように c の周りの ローラン級数 展開として表現される場合:点 c での留数は、点 c の周りの 反時計回りの輪郭積分に対する単項式の輪郭積分の結果を使用して、次のように計算されます 。 したがって、関数の ローラン級数 表現が c の周りに存在する場合、c の周りの留数は項の係数によってわかります 。
ふ （ ず ） =
∑
ん = − ∞
∞
1つの
ん
（ ず − c
）
ん
。
{\displaystyle f(z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}(zc)^{n}.}
解像度 （ ふ 、 c ） =
1
2 π 私
∮
γ
ふ （ ず ） d ず =
1
2 π 私
∑
ん = − ∞
∞
∮
γ
1つの
ん
（ ず − c
）
ん
d ず =
1つの
− 1
{\displaystyle \operatorname {Res} (f,c)={1 \over 2\pi i}\oint _{\gamma }f(z)\,dz={1 \over 2\pi i}\sum _{n=-\infty }^{\infty }\oint _{\gamma }a_{n}(z-c)^{n}\,dz=a_{-1}}
γ
{\displaystyle \gamma }
(
z
−
c
)
−
1
{\displaystyle (z-c)^{-1}}
留数定理への応用 有理型関数 において、 特異点を通らない 正の向きの 単純閉曲線 内に有限の特異点集合がある場合、路積分の値は 留数定理 に従って次のように与えられます。 ここで、 が の内部にある場合は 巻数 であり、 そう でない場合は、次のように簡略化されます。 ここ で、 は 路内のすべての孤立した特異点です 。
f
{\displaystyle f}
C
{\displaystyle C}
∮
C
f
(
z
)
d
z
=
2
π
i
∑
k
=
1
n
I
(
C
,
a
k
)
Res
(
f
,
a
k
)
.
{\displaystyle \oint _{C}f(z)\,dz=2\pi i\sum _{k=1}^{n}\operatorname {I} (C,a_{k})\operatorname {Res} (f,a_{k}).}
I
(
C
,
a
k
)
{\displaystyle \operatorname {I} (C,a_{k})}
1
{\displaystyle 1}
a
k
{\displaystyle a_{k}}
C
{\displaystyle C}
0
{\displaystyle 0}
∮
γ
f
(
z
)
d
z
=
2
π
i
∑
Res
(
f
,
a
k
)
{\displaystyle \oint _{\gamma }f(z)\,dz=2\pi i\sum \operatorname {Res} (f,a_{k})}
a
k
{\displaystyle a_{k}}
C
{\displaystyle C}
残余の計算 複素平面上の 穴あき円板 D = { z : 0 < | z − c | < R } が与えられ、 f が (少なくとも) D上で定義された 正則関数 である とします 。 c における fの留数 Res( f , c ) は、 c の 周りの fの ローラン級数 展開 における ( z − c ) −1 の 係数 a −1 です。この値を計算するにはさまざまな方法があり、どの方法を使用するかは、問題の関数と特異点の性質によって異なります。
留数定理 によれば 、次のようになります。
Res
(
f
,
c
)
=
1
2
π
i
∮
γ
f
(
z
)
d
z
{\displaystyle \operatorname {Res} (f,c)={1 \over 2\pi i}\oint _{\gamma }f(z)\,dz}
ここで、 γ は c の 周りを反時計回りに 円を描き、他の特異点を通過したり、その中に他の特異点を含んだりしません 。γ の経路を c の周りの半径 ε の円として選択できます 。ε は 必要なだけ小さくすることができるため、 孤立した特異点の性質により、c の特異点のみを含むようにすることができます。これは、積分を直接計算できる場合に計算に使用できますが、通常は、積分の計算を簡略化するために留数が使用され、その逆は行われません。
除去可能な特異点 関数 f が円板全体上の 正則関数 に 接続 できる場合 、Res( f , c ) = 0 となります。逆は一般には成り立ちません。
|
y
−
c
|
<
R
{\displaystyle |y-c|<R}
シンプルなポール c が f の 単極 である 場合、 f の留数は 次のように与えられます。
Res
(
f
,
c
)
=
lim
z
→
c
(
z
−
c
)
f
(
z
)
.
{\displaystyle \operatorname {Res} (f,c)=\lim _{z\to c}(z-c)f(z).}
その極限が存在しない場合は、 f は c で本質的な特異点を持ちます 。極限が 0 の場合は、 f は c で解析的である か、そこに除去可能な特異点を持ちます。極限が無限大に等しい場合は、極の位数は 1 より高くなります。
関数 f は 2 つの関数の商として表現できる場合があります。 ここで g と h は c の 近傍 における 正則関数 で、 h ( c ) = 0 かつ h' ( c ) ≠ 0 です。このような場合、 ロピタルの定理を 使用して上記の式を次のように簡略化できます。
f
(
z
)
=
g
(
z
)
h
(
z
)
{\displaystyle f(z)={\frac {g(z)}{h(z)}}}
Res
(
f
,
c
)
=
lim
z
→
c
(
z
−
c
)
f
(
z
)
=
lim
z
→
c
z
g
(
z
)
−
c
g
(
z
)
h
(
z
)
=
lim
z
→
c
g
(
z
)
+
z
g
′
(
z
)
−
c
g
′
(
z
)
h
′
(
z
)
=
g
(
c
)
h
′
(
c
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Res} (f,c)&=\lim _{z\to c}(z-c)f(z)=\lim _{z\to c}{\frac {zg(z)-cg(z)}{h(z)}}\\[4pt]&=\lim _{z\to c}{\frac {g(z)+zg'(z)-cg'(z)}{h'(z)}}={\frac {g(c)}{h'(c)}}.\end{aligned}}}
より一般的には、 c が n 次極 で ある場合 、 z = c の 周りの f の留数は次の式で求められます。
Res
(
f
,
c
)
=
1
(
n
−
1
)
!
lim
z
→
c
d
n
−
1
d
z
n
−
1
(
(
z
−
c
)
n
f
(
z
)
)
.
{\displaystyle \operatorname {Res} (f,c)={\frac {1}{(n-1)!}}\lim _{z\to c}{\frac {d^{n-1}}{dz^{n-1}}}\left((z-c)^{n}f(z)\right).}
この式は、低次の極の留数を決定するのに非常に役立ちます。高次の極の場合、計算が手に負えなくなる可能性があり、 級数展開の方が 通常は簡単です。 本質的な特異点 の場合、そのような単純な式は存在せず、通常は級数展開から直接留数を取得する必要があります。
無限大の残余 一般に、 無限大における剰余は 次のように定義されます。
Res
(
f
(
z
)
,
∞
)
=
−
Res
(
1
z
2
f
(
1
z
)
,
0
)
.
{\displaystyle \operatorname {Res} (f(z),\infty )=-\operatorname {Res} \left({\frac {1}{z^{2}}}f\left({\frac {1}{z}}\right),0\right).}
次の条件が満たされた場合:
lim
|
z
|
→
∞
f
(
z
)
=
0
,
{\displaystyle \lim _{|z|\to \infty }f(z)=0,}
無限大における剰余は 次 の式を使用して計算できます。
Res
(
f
,
∞
)
=
−
lim
|
z
|
→
∞
z
⋅
f
(
z
)
.
{\displaystyle \operatorname {Res} (f,\infty )=-\lim _{|z|\to \infty }z\cdot f(z).}
代わりに
lim
|
z
|
→
∞
f
(
z
)
=
c
≠
0
,
{\displaystyle \lim _{|z|\to \infty }f(z)=c\neq 0,}
すると 無限大における剰余 は
Res
(
f
,
∞
)
=
lim
|
z
|
→
∞
z
2
⋅
f
′
(
z
)
.
{\displaystyle \operatorname {Res} (f,\infty )=\lim _{|z|\to \infty }z^{2}\cdot f'(z).}
有限個の特異点を持つ複素平面全体上の有理型関数の場合、（必然的に）孤立した特異点における留数と無限遠における留数の合計は 0 となり、次の式が得られます。
Res
(
f
(
z
)
,
∞
)
=
−
∑
k
Res
(
f
(
z
)
,
a
k
)
.
{\displaystyle \operatorname {Res} (f(z),\infty )=-\sum _{k}\operatorname {Res} (f(z),a_{k}).}
シリーズ法 関数の一部または全部を テイラー級数 または ローラン級数 に展開できる場合（関数の一部または全部が標準的な級数展開を持つ場合は可能）、留数の計算は他の方法よりも大幅に簡単になります。関数の留数は、関数の
ローラン級数 展開における の係数によって単純に与えられます。
(
z
−
c
)
−
1
{\displaystyle (z-c)^{-1}}
例
級数展開からの剰余
例1 例として、 等高線積分を考える。
∮
C
e
z
z
5
d
z
{\displaystyle \oint _{C}{e^{z} \over z^{5}}\,dz}
ここで、 C は 0 に関する
単純な閉曲線 です。
この積分を級数による積分に関する標準的な収束結果を使って評価してみましょう。 テイラー級数を 被積分関数に代入すると 、積分は次のようになります。
e
z
{\displaystyle e^{z}}
∮
C
1
z
5
(
1
+
z
+
z
2
2
!
+
z
3
3
!
+
z
4
4
!
+
z
5
5
!
+
z
6
6
!
+
⋯
)
d
z
.
{\displaystyle \oint _{C}{1 \over z^{5}}\left(1+z+{z^{2} \over 2!}+{z^{3} \over 3!}+{z^{4} \over 4!}+{z^{5} \over 5!}+{z^{6} \over 6!}+\cdots \right)\,dz.}
1/ z 5 因子を級数に導入してみましょう。級数の等高線積分は次のように表されます。
∮
C
(
1
z
5
+
z
z
5
+
z
2
2
!
z
5
+
z
3
3
!
z
5
+
z
4
4
!
z
5
+
z
5
5
!
z
5
+
z
6
6
!
z
5
+
⋯
)
d
z
=
∮
C
(
1
z
5
+
1
z
4
+
1
2
!
z
3
+
1
3
!
z
2
+
1
4
!
z
+
1
5
!
+
z
6
!
+
⋯
)
d
z
.
{\displaystyle {\begin{aligned}&\oint _{C}\left({1 \over z^{5}}+{z \over z^{5}}+{z^{2} \over 2!\;z^{5}}+{z^{3} \over 3!\;z^{5}}+{z^{4} \over 4!\;z^{5}}+{z^{5} \over 5!\;z^{5}}+{z^{6} \over 6!\;z^{5}}+\cdots \right)\,dz\\[4pt]={}&\oint _{C}\left({1 \over \;z^{5}}+{1 \over \;z^{4}}+{1 \over 2!\;z^{3}}+{1 \over 3!\;z^{2}}+{1 \over 4!\;z}+{1 \over \;5!}+{z \over 6!}+\cdots \right)\,dz.\end{aligned}}}
級数は積分経路のサポート上で一様に収束するので、積分と総和を交換することができます。すると、経路積分の級数は、前の計算により、はるかに単純な形に収束します。したがって、 cz −1 の 形ではない他のすべての項の C 周りの積分はゼロになり、積分は次のように簡約されます
。
∮
C
1
4
!
z
d
z
=
1
4
!
∮
C
1
z
d
z
=
1
4
!
(
2
π
i
)
=
π
i
12
.
{\displaystyle \oint _{C}{1 \over 4!\;z}\,dz={1 \over 4!}\oint _{C}{1 \over z}\,dz={1 \over 4!}(2\pi i)={\pi i \over 12}.}
1/4!という値は、 e z / z 5 の z = 0における 剰余 であり、次のように表される。
Res
0
e
z
z
5
,
or
Res
z
=
0
e
z
z
5
,
or
Res
(
f
,
0
)
for
f
=
e
z
z
5
.
{\displaystyle \operatorname {Res} _{0}{e^{z} \over z^{5}},{\text{ or }}\operatorname {Res} _{z=0}{e^{z} \over z^{5}},{\text{ or }}\operatorname {Res} (f,0){\text{ for }}f={e^{z} \over z^{5}}.}
例2 2 番目の例として、関数の特異点における留数を計算することを考えてみましょう 。これは、特定の輪郭積分の計算に使用できます。この関数は z = 0 で特異点を持つように見えますが、分母を因数分解して関数を と書くと、 z = 0 での特異点は 除去可能な特異点であることが明らかになり、したがって z = 0での留数は 0 になります。他の唯一の特異点は z = 1 です。関数 g ( z ) の z = a に関するテイラー級数の式を思い出してください 。 したがって、 g ( z ) = sin z および a = 1 の場合、次の式が得られます。 また、 g ( z ) = 1/ z および a = 1 の場合、次の式が得られます。 これら 2 つの級数を掛けて 1/( z − 1) を導入すると、次の式が得られます。したがって、 z = 1
での f ( z )の留数はsin 1 です。
f
(
z
)
=
sin
z
z
2
−
z
{\displaystyle f(z)={\sin z \over z^{2}-z}}
f
(
z
)
=
sin
z
z
(
z
−
1
)
{\displaystyle f(z)={\sin z \over z(z-1)}}
g
(
z
)
=
g
(
a
)
+
g
′
(
a
)
(
z
−
a
)
+
g
″
(
a
)
(
z
−
a
)
2
2
!
+
g
‴
(
a
)
(
z
−
a
)
3
3
!
+
⋯
{\displaystyle g(z)=g(a)+g'(a)(z-a)+{g''(a)(z-a)^{2} \over 2!}+{g'''(a)(z-a)^{3} \over 3!}+\cdots }
sin
z
=
sin
1
+
(
cos
1
)
(
z
−
1
)
+
−
(
sin
1
)
(
z
−
1
)
2
2
!
+
−
(
cos
1
)
(
z
−
1
)
3
3
!
+
⋯
.
{\displaystyle \sin z=\sin 1+(\cos 1)(z-1)+{-(\sin 1)(z-1)^{2} \over 2!}+{-(\cos 1)(z-1)^{3} \over 3!}+\cdots .}
1
z
=
1
(
z
−
1
)
+
1
=
1
−
(
z
−
1
)
+
(
z
−
1
)
2
−
(
z
−
1
)
3
+
⋯
.
{\displaystyle {\frac {1}{z}}={\frac {1}{(z-1)+1}}=1-(z-1)+(z-1)^{2}-(z-1)^{3}+\cdots .}
sin
z
z
(
z
−
1
)
=
sin
1
z
−
1
+
(
cos
1
−
sin
1
)
+
(
z
−
1
)
(
−
sin
1
2
!
−
cos
1
+
sin
1
)
+
⋯
.
{\displaystyle {\frac {\sin z}{z(z-1)}}={\sin 1 \over z-1}+(\cos 1-\sin 1)+(z-1)\left(-{\frac {\sin 1}{2!}}-\cos 1+\sin 1\right)+\cdots .}
例3 次の例は、級数展開による留数計算で、ラグランジュの逆定理 が大きな役割を果たすことを示しています 。 を整関数 とし 、 収束半径が正で、 であるとします 。したがって、 は 0 で 局所逆を持ち 、 は0 で 有理型 です。 すると、次が成り立ちます。 実際、 最初の級数は 0 の周りの任意の小円上で一様に収束するためです。 ラグランジュの逆定理と を使用する と、上記の式が得られます。 たとえば、 かつ の場合 、 かつ 最初の項は留数に 1 を寄与し、2 番目の項は に漸近するため 2 を寄与します 。
u
(
z
)
:=
∑
k
≥
1
u
k
z
k
{\displaystyle u(z):=\sum _{k\geq 1}u_{k}z^{k}}
v
(
z
)
:=
∑
k
≥
1
v
k
z
k
{\displaystyle v(z):=\sum _{k\geq 1}v_{k}z^{k}}
v
1
≠
0
{\textstyle v_{1}\neq 0}
v
(
z
)
{\textstyle v(z)}
V
(
z
)
{\textstyle V(z)}
u
(
1
/
V
(
z
)
)
{\textstyle u(1/V(z))}
Res
0
(
u
(
1
/
V
(
z
)
)
)
=
∑
k
=
0
∞
k
u
k
v
k
.
{\displaystyle \operatorname {Res} _{0}{\big (}u(1/V(z)){\big )}=\sum _{k=0}^{\infty }ku_{k}v_{k}.}
Res
0
(
u
(
1
/
V
(
z
)
)
)
=
Res
0
(
∑
k
≥
1
u
k
V
(
z
)
−
k
)
=
∑
k
≥
1
u
k
Res
0
(
V
(
z
)
−
k
)
{\displaystyle \operatorname {Res} _{0}{\big (}u(1/V(z)){\big )}=\operatorname {Res} _{0}\left(\sum _{k\geq 1}u_{k}V(z)^{-k}\right)=\sum _{k\geq 1}u_{k}\operatorname {Res} _{0}{\big (}V(z)^{-k}{\big )}}
Res
0
(
V
(
z
)
−
k
)
=
k
v
k
,
{\displaystyle \operatorname {Res} _{0}{\big (}V(z)^{-k}{\big )}=kv_{k},}
u
(
z
)
=
z
+
z
2
{\displaystyle u(z)=z+z^{2}}
v
(
z
)
=
z
+
z
2
{\displaystyle v(z)=z+z^{2}}
V
(
z
)
=
2
z
1
+
1
+
4
z
{\displaystyle V(z)={\frac {2z}{1+{\sqrt {1+4z}}}}}
u
(
1
/
V
(
z
)
)
=
1
+
1
+
4
z
2
z
+
1
+
2
z
+
1
+
4
z
2
z
2
.
{\displaystyle u(1/V(z))={\frac {1+{\sqrt {1+4z}}}{2z}}+{\frac {1+2z+{\sqrt {1+4z}}}{2z^{2}}}.}
1
/
z
2
+
2
/
z
{\displaystyle 1/z^{2}+2/z}
および
に対する対応するより強い対称仮定により、 が 0 における
の局所逆である とき も成り立つことに注意してください。
u
(
z
)
{\textstyle u(z)}
v
(
z
)
{\textstyle v(z)}
Res
0
(
u
(
1
/
V
)
)
=
Res
0
(
v
(
1
/
U
)
)
,
{\displaystyle \operatorname {Res} _{0}\left(u(1/V)\right)=\operatorname {Res} _{0}\left(v(1/U)\right),}
U
(
z
)
{\textstyle U(z)}
u
(
z
)
{\textstyle u(z)}
参照
参考文献 アルフォース、ラース （1979）。 複素解析 。マグロウヒル。 マースデン、ジェロルド E.、ホフマン、マイケル J. (1998)。『複素解析の基礎』（第 3 版）。WH フリーマン 。ISBN 978-0-7167-2877-1 。
外部リンク 
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Res} (f,c)&=\lim _{z\to c}(zc)f(z)=\lim _{z\to c}{\frac {zg(z)-cg(z)}{h(z)}}\\[4pt]&=\lim _{z\to c}{\frac {g(z)+zg'(z)-cg'(z)}{h'(z)}}={\frac {g(c)}{h'(c)}}.\end{aligned} }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01cb4655fbceb73b05badb56c402e796553ac2d1)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\oint _{C}\left({1 \over z^{5}}+{z \over z^{5}}+{z^{2} \over 2!\;z^{5}}+{z^{3} \over 3!\;z^{5}}+{z^{4} \over 4!\;z^{5}}+{z^{5} \over 5!\;z^{5}}+{z^{6} \over 6!\;z^{5}}+\cdots \right)\,dz\\[4pt]={}&\oint _{C}\left({1 \over \;z^{5}}+{1 \over \;z^{4}}+{1 \over 2!\;z^{3}}+{1 \over 3!\;z^{2}}+{1 \over 4!\;z}+{1 \over \;5!}+{z \over 6!}+\cdots \right)\,dz.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b09463f46e4136ed8344f2e394e8a558f240a55)
