特異値

数学、特に関数解析において、コンパクト作用素の特異値は${\displaystyle \,T\!:X\rightarrow Y}$ヒルベルト空間間で作用する${\displaystyle X}$そして​${\displaystyle Y}$は、自己共役演算子の（必然的に非負の）固有値の平方根である。${\displaystyle T^{*}T}$（どこ${\displaystyle T^{*}}$はの随伴を表します${\displaystyle T}$⁠ )

特異値は非負の実数であり、通常は降順で並べられる。${\displaystyle {\big (}\sigma _{1}(T)\geq \sigma _{2}(T)\geq \dots {\big )}}$最大の特異値$\displaystyle \sigma _{1}(T)$は演算子ノルムに等しい${\displaystyle T}$（ミニマックス定理を参照）。

もし${\displaystyle T}$ユークリッド空間上で作用する（例えば、$\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$⁠ )、特異値には単純な幾何学的解釈があります。次の画像を考えてみましょう。${\displaystyle T}$単位球の;これは楕円体であり、その半軸の長さは、${\displaystyle T}$（図は、$\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$⁠ )

もし​${\displaystyle A}$が正規行列である場合、その特異値は固有値の絶対値になります。実際、この場合、スペクトル定理を適用して のユニタリ対角化を得ることができます。${\displaystyle A}$として​${\displaystyle A=U\varLambda \,U^{*}}$⁠。すると、定義により、${\displaystyle \textstyle {\sqrt {A^{*}A}}=U{\sqrt {\varLambda ^{*}\varLambda }}~U^{*}=U\,\vert \varLambda \vert ~U^{*}}$⁠ .

研究されているヒルベルト空間作用素のノルムのほとんどは特異値を用いて定義されています。例えば、Ky Fan ⁠${\displaystyle k}$⁠ -ノルムは最初の合計です${\displaystyle k}$特異値、トレースノルムはすべての特異値の合計であり、シャッテンノルムは⁠${\displaystyle p}$和のの乗根${\displaystyle p}$特異値のⁿ乗。各ノルムは特定の演算子のクラスでのみ定義されているため、特異値は異なる演算子を分類するのに役立つ場合があることに注意してください。

有限次元の場合、行列は常に次の形式で分解できます。${\displaystyle U\varSigma \,V^{*}}$⁠、そこで${\displaystyle U}$そして$\displaystyle V^{*}}$はユニタリ行列であり、${\displaystyle \varSigma }$これは、対角線上に特異値を持つ長方形の対角行列です。これは特異値分解です。

のために$\displaystyle A\in \mathbb {C} ^{m\times n}}$そして​${\displaystyle i=1,2,\ldots ,\min\{m,n\}}$⁠ :

特異値に対する最小最大定理：ここで、${\displaystyle U}$はの部分空間です${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$⁠ ;

${\displaystyle \sigma _{i}(A)=\min _{\dim(U)=n-i+1}\max _{\underset {\|x\|_{2}=1}{x\in U}}\left\|Ax\right\|_{2}.}$

${\displaystyle \sigma _{i}(A)=\max _{\dim(U)=i}\min _{\underset {\|x\|_{2}=1}{x\in U}}\left\|Ax\right\|_{2}.}$

行列の転置と共役は特異値を変化させません。

⁠${\displaystyle \sigma _{i}(A)=\sigma _{i}\!\left(A^{\textsf {T}}\right)=\sigma _{i}\!\left(A^{*}\right)}$⁠ .

任意のユニタリ行列に対して$\displaystyle U\in \mathbb {C} ^{m\times m}}$そして​$\displaystyle V\in \mathbb {C} ^{n\times n}}$⁠、

⁠$\displaystyle \sigma _{i}(A)=\sigma _{i}(UAV)$⁠ .

固有値との関係：

⁠${\displaystyle \sigma _{i}^{2}(A)=\lambda _{i}\!\left(AA^{*}\right)=\lambda _{i}\!\left(A^{*}A\right)}$⁠ .

トレースとの関連性：

⁠${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\sigma _{i}^{2}={\text{tr}}(A^{*}A)}$⁠ .

もし${\displaystyle A^{*}A}$フルランクであり、特異値の積は⁠${\displaystyle \det {\sqrt {A^{*}A}}}$⁠ .

もし$\displaystyle AA^{*}}$フルランクであり、特異値の積は⁠${\displaystyle \det {\sqrt {AA^{*}}}}$⁠ .

もし${\displaystyle A}$は平方数でフルランクであり、特異値の積はです${\displaystyle \vert \!\det A\vert }$⁠ .

もし${\displaystyle A}$正常であれば、$\displaystyle \sigma _{i}(A)=\left\vert \lambda _{i}(A)\right\vert }$つまり、その特異値はその固有値の絶対値である。

一般的な長方形の場合${\displaystyle m\times n}$マトリックス​​${\displaystyle A}$⁠、${\textstyle {\チルダ {A}}={\begin{bmatrix}0&A\\A^{*}&0\end{bmatrix}}}$その拡張された${\displaystyle (m+n)\times (m+n)}$行列。​${\displaystyle 2\min\{m,n\}}$の固有値​${\displaystyle {\tilde {A}}}$⁠は${\textstyle \pm \sigma _{i}(A)}$（$\textstyle \sigma _{i}(A)$はの特異値です${\displaystyle A}$⁠ )、そして${\displaystyle |mn|}$の残りの固有値${\displaystyle {\tilde {A}}}$はゼロです。${\displaystyle A=U\varSigma \,V^{*}}$の特異値分解である${\displaystyle A}$⁠ ; すると、の固有ベクトルは${\textstyle {\tilde {A}}}$のために⁠${\displaystyle \pm \sigma _{i}(A)}$⁠は⁠${\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {u} _{i}\\\pm \mathbf {v} _{i}\end{bmatrix}}}$⁠ . ^{[ 1 ] : 52}

行列の最小特異値${\displaystyle A}$は​​${\displaystyle \sigma _{\mathrm {n} }(A)}$非特異行列の場合${\displaystyle A}$⁠、以下の特性を備えています。

• ${\displaystyle \left\|A^{-1}\right\|_{2}=\sigma _{\mathrm {n} }^{-1}(A)}$[ ^{2 ] ：定理3.3}
• すべてのインデックスについて${\displaystyle 1\!\leq i,j\leq \!n}$⁠、 ⁠${\displaystyle ~}$⁠ ⁠${\displaystyle \left\vert A_{i,j}^{-1}\right\vert \leq \sigma _{\mathrm {n} }^{-1}(A)}$⁠ . ^{[ 2 ] :定理3.3}

直感的に言えば、もし${\displaystyle \sigma _{\mathrm {n} }(A)}$小さい場合、行は${\displaystyle A}$⁠は「ほぼ」線形従属です。もしそれが⁠${\displaystyle \sigma _{\mathrm {n} }(A)=0}$⁠、次に行の⁠${\displaystyle A}$は線形従属であり、${\displaystyle A}$逆変換はできません。

参照：^{[ 3 ]}

この概念は1907年にエルハルト・シュミットによって導入されました。シュミットは当時、特異値を「固有値」と呼んでいました。「特異値」という名称は1937年にスミシーズによって初めて引用されました。1957年、アラーヴェルディエフは、次の特徴付けを証明しました。${\displaystyle n}$⁠ -番目の単数形: ^{[ 6 ]}

${\displaystyle \sigma _{n}(T)=\inf {\big \{}\,\|T-L\|:L{\text{ is an operator of finite rank }}<n\,{\big \}}.}$

この定式化により、特異値の概念をバナッハ空間の作用素に拡張することが可能になった。

なお、 s数にはより一般的な概念があり、ゲルファンド幅やコルモゴロフ幅も含まれることに注意してください。

• 状態番号
• コーシーの絡み合い定理またはポアンカレの分離定理
• シュール・ホーンの定理
• 特異値分解