ノイマン境界条件

例えば、常微分方程式の場合、

${\displaystyle y''+y=0,}$

区間[ a , b ]におけるノイマン境界条件は次の形式をとる。

${\displaystyle y'(a)=\alpha ,\quad y'(b)=\beta ,}$

ここで、αとβは与えられた数値である。

例えば偏微分方程式の場合、

${\displaystyle \nabla ^{2}y+y=0,}$

ここで、∇ ^{2 は}ラプラス演算子を表し、領域Ω ⊂ R ⁿ上のノイマン境界条件は次の形式をとる。

${\displaystyle {\frac {\partial y}{\partial \mathbf {n} }}(\mathbf {x} )=f(\mathbf {x} )\quad \forall \mathbf {x} \in \partial \Omega ,}$

ここで、n は境界∂Ωに対する(通常は外部) 法線を表し、 fは与えられたスカラー関数です。

左辺に現れる法線微分は、次のように定義される。

${\displaystyle {\frac {\partial y}{\partial \mathbf {n} }}(\mathbf {x} )=\nabla y(\mathbf {x} )\cdot \mathbf {\hat {n}} (\mathbf {x} ),}$

ここで、∇ y ( x )はy ( x )の勾配ベクトルを表し、n̂は単位法線ベクトル、⋅ は内積演算子を表します。

例えば境界上の角点では法線ベクトルが明確に定義されないため、法線微分が存在するためには境界が十分に滑らかでなければならないことが明らかになる。

以下のアプリケーションでは、ノイマン境界条件が使用されます。

• 熱力学において、表面からの所定の熱流束は境界条件として用いられる。例えば、完全な絶縁体では熱流束はゼロとなるが、電気部品は既知の電力で熱を消費する可能性がある。
• 静磁気学では、磁場強度を境界条件として指定することで、例えば永久磁石モータのように、空間内の磁石アレイにおける磁束密度分布を求めることができます。静磁気学の問題は、磁気スカラーポテンシャルに関するラプラス方程式またはポアソン方程式を解くことを含むため、境界条件はノイマン条件となります。
• 空間生態学では、フィッシャー方程式などの反応拡散方程式系におけるノイマン境界条件は、反射境界として解釈することができ、∂Ωに遭遇したすべての個体はΩに反射される。^{[ 2 ]}