正則関数

数学において、正則関数とは、複素座標空間内の領域の各点の近傍で複素微分可能な、 1つ以上の複素変数の複素数値関数である。${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$近傍に複素微分が存在することは非常に強い条件です。それは、正則関数が無限回微分可能であり、局所的に自身のテイラー級数と等しい（解析的である）ことを意味します。正則関数は複素解析における中心的な研究対象です。

解析関数という用語は「正則関数」とほぼ同義で使われることが多いが、「解析」という言葉は、定義域内の各点の近傍で収束するべき級数として表せる関数（実関数、複素関数、またはより一般的なタイプの関数）を指す、より広い意味で定義されている。すべての正則関数は複素解析関数であり、その逆もまた然りであることは、複素解析における主要な定理である。^{[ 1 ]}

正則関数は、正則関数とも呼ばれることがある。^{[ 2 ]}定義域が複素平面全体である正則関数は、整関数と呼ばれる。「ある点で正則である」という表現は、${\displaystyle z_{0}}$⁠「は単に微分可能であるという意味ではない」${\displaystyle z_{0}}$⁠、ただし の近傍ではどこでも微分可能⁠${\displaystyle z_{0}}$複素平面において。

複素数値関数が与えられた場合${\displaystyle f}$単一の複素変数の導関数は、${\displaystyle f}$ある時点で${\displaystyle z_{0}}$⁠その定義域では極限として定義される^{[ 3 ]}

${\displaystyle f'(z_{0})=\lim _{z\to z_{0}}{\frac {f(z)-f(z_{0})}{z-z_{0}}}.}$

これは実関数の導関数の定義と同じですが、すべての量が複素数である点が異なります。特に、極限は複素数 ⁠ として定義されます。${\displaystyle z}$傾向として​${\displaystyle z_{0}}$⁠、これは、 の任意の複素数値のシーケンスに対して同じ値が得られることを意味します。${\displaystyle z}$それは～する傾向がある${\displaystyle z_{0}}$制限が存在する場合、${\displaystyle f}$はで複素微分可能であると言われている。${\displaystyle z_{0}}$⁠。この複素微分可能性の概念は、実微分可能性といくつかの特性を共有しています。それは線形であり、積の法則、、連鎖律に従います。 ^{[ 4 ]}

関数は開集合上で正則である。${\displaystyle U}$⁠がすべての点で複素微分可能であれば、${\displaystyle U}$⁠ . 関数⁠${\displaystyle f}$ある点で正則である${\displaystyle z_{0}}$⁠の近傍で正則である場合⁠${\displaystyle z_{0}}$⁠ . ^{[ 5 ]} ある関数は、ある非開集合上で正則である。${\displaystyle A}$⁠のすべての点で正則である場合⁠${\displaystyle A}$⁠ .

関数は、ある点で複素微分可能であっても、その点で正則ではない場合があります。たとえば、関数⁠${\displaystyle \textstyle f(z)=\vert z\vert {\vphantom {l}}^{2}=z{\bar {z}}}$はで複素微分可能である${\displaystyle 0}$しかし、他の場所では複素微分可能ではなく、特に に近い場所では微分可能ではない。${\displaystyle 0}$（下記のコーシー・リーマン方程式を参照）。したがって、 では正則ではない。${\displaystyle 0}$⁠ .

実微分可能性と複素微分可能性の関係は次のとおりです。複素関数が${\displaystyle f(x+iy)=u(x,y)+i\,v(x,y)}$⁠は正則である、ならば⁠${\displaystyle u}$そして​​${\displaystyle v}$⁠はに関して一次偏導関数を持つ${\displaystyle x}$そして​​${\displaystyle y}$⁠ 、コーシー・リーマン方程式を満たす： ^{[ 6 ]}

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial x}}={\frac {\partial v}{\partial y}}\qquad {\mbox{and}}\qquad {\frac {\partial u}{\partial y}}=-{\frac {\partial v}{\partial x}}\,}$

または同等に、Wirtingerの派生形⁠${\displaystyle f}$に関して​​${\displaystyle {\bar {z}}}$⁠、の複素共役⁠${\displaystyle z}$⁠、はゼロです: ^{[ 7 ]}

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}=0,}$

つまり、おおよそ、${\displaystyle f}$は機能的に独立している${\displaystyle {\bar {z}}}$⁠、 の複素共役⁠${\displaystyle z}$⁠ .

連続性が与えられていない場合、逆は必ずしも真ではありません。簡単な逆は、もし⁠${\displaystyle u}$そして​​${\displaystyle v}$1階偏導関数が連続であり、コーシー・リーマン方程式を満たすならば、${\displaystyle f}$は正則である。より満足のいく逆証明は、証明するのがはるかに難しいルーマン・メンチョフの定理である。もし ならばである。${\displaystyle f}$は連続的であり、${\displaystyle u}$そして​​${\displaystyle v}$1階偏導関数を持ち（ただし必ずしも連続ではない）、コーシー・リーマン方程式を満たす場合、${\displaystyle f}$は正則である。 ^{[ 8 ]}

上記のコーシー・リーマン方程式の直接的な有用な帰結として、複素微分は実偏微分を用いて明示的に定義できるという点が挙げられる。${\displaystyle f(z)}$は、ある点に関して複素微分可能な複素関数である。${\displaystyle z=x+iy}$⁠すると（この記事の前半で行ったように）次のように書くことができます。${\displaystyle f(z)=f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)}$そして、その関数の複素導関数は次のように表される。${\displaystyle f'(z)={\frac {\partial u}{\partial x}}+i{\frac {\partial v}{\partial x}}={\frac {\partial v}{\partial y}}-i{\frac {\partial u}{\partial y}}}$⁠ . ^{[ 9 ]}

正則関数という用語は、1875 年にオーギュスタン＝ルイ・コーシーの弟子であるシャルル・ブリオとジャン＝クロード・ブーケによって導入され、ギリシャ語のὅλος ( hólos )「全体」とμορφή ( morphḗ )「形」または「外観」または「型」に由来し、μέρος ( méros )「部分」に由来する有理関数用語とは対照的である。正則関数は複素平面上の領域における全体関数（「全体」）に似ているのに対し、有理関数（特定の孤立した極を除いて正則であると定義される）は複素平面上の領域における全体関数の有理分数（「部分」）に似ている。^{[ 10 ]}コーシーは代わりにシネクティックという用語を使用していた。^{[ 11 ]}

今日では、「解析関数」よりも「正則関数」という用語が好まれることがある。複素解析における重要な結果の一つは、すべての正則関数が複素解析関数であるということだが、これは定義から自明に導かれる事実ではない。しかしながら、「解析関数」という用語も広く用いられている。

複素微分は線形であり、積、商、連鎖律に従うため、正則関数の和、積、合成は正則であり、2つの正則関数の商は分母がゼロでない限り正則である。^{[ 12 ]}つまり、関数が${\displaystyle f}$そして​​${\displaystyle g}$領域内で正則である${\displaystyle U}$⁠ならば、 ⁠${\displaystyle f+g}$⁠、 ⁠${\displaystyle f-g}$⁠、 ⁠${\displaystyle fg}$⁠、そして⁠${\displaystyle f\circ g}$さらに、​${\displaystyle f/g}$⁠ は、次の場合に正則である。${\displaystyle g}$⁠にはゼロがありません⁠${\displaystyle U}$そうでなければ、それは有理型である。

もし特定するならば${\displaystyle \mathbb {C} }$実際の飛行機 と共に${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{2}}$⁠、すると正則関数は、連続な1階導関数を持つ2つの実変数の関数で、2つの偏微分方程式の集合であるコーシー・リーマン方程式を満たすものと一致する。 ^{[ 6 ]}

すべての正則関数は、実部と虚部に分離することができる。${\displaystyle f(x+iy)=u(x,y)+i\,v(x,y)}$⁠、そしてこれらのそれぞれは⁠上の調和関数である${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{2}}$（それぞれがラプラス方程式 を満たす）${\displaystyle \textstyle \nabla ^{2}u=\nabla ^{2}v=0}$⁠ )、と⁠${\displaystyle v}$の調和共役​​${\displaystyle u}$⁠ . ^{[ 13 ]} 逆に、すべての調和関数は${\displaystyle u(x,y)}$単連結ドメイン上​${\displaystyle \textstyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{2}}$は正則関数の実部です。もしならば${\displaystyle v}$はの調和共役です${\displaystyle u}$定数を除いて一意である場合、${\displaystyle f(x+iy)=u(x,y)+i\,v(x,y)}$は正則である。

コーシーの積分定理は、ループに沿ったすべての正則関数の経路積分がゼロになることを意味する。^{[ 14 ]}

${\displaystyle \oint _{\gamma }f(z)\,\mathrm {d} z=0.}$

こちら​${\displaystyle \gamma }$は、単連結複素領域における整流可能な経路である。${\displaystyle U\subset \mathbb {C} }$開始点が終了点と等しく、${\displaystyle f\colon U\to \mathbb {C} }$は正則関数です。

コーシーの積分公式によれば、円盤内部で正則な関数はすべて、円盤の境界上での値によって完全に決定される。^{[ 14 ]}さらに、次のように仮定する。${\displaystyle U\subset \mathbb {C} }$は複雑な領域であり、${\displaystyle f\colon U\to \mathbb {C} }$は正則関数であり、閉円盤は${\displaystyle D\equiv \{z:\vert z-z_{0}\vert \leq r\}}$は完全に に含まれています${\displaystyle U}$⁠。 ⁠${\displaystyle \gamma }$境界を形成する円となる${\displaystyle D}$⁠。そして、すべての⁠${\displaystyle a}$内部で​​​${\displaystyle D}$⁠ :

${\displaystyle f(a)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\gamma }{\frac {f(z)}{z-a}}\,\mathrm {d} z}$

ここで、経路積分は反時計回りに行われる。

導関数${\displaystyle {f'}(a)}$⁠はコーシーの微分公式^{[ 14 ]}を用いて経路積分として表すことができる。

${\displaystyle f'\!(a)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\gamma }{\frac {f(z)}{(z-a)^{2}}}\,\mathrm {d} z,}$

任意の単純なループが正に一周する場合${\displaystyle a}$⁠、そして

${\displaystyle f'\!(a)=\lim \limits _{\gamma \to a}{\frac {i}{2{\mathcal {A}}(\gamma )}}\oint _{\gamma }f(z)\,\mathrm {d} {\bar {z}},}$

無限小の正のループの場合${\displaystyle \gamma }$⁠周囲⁠${\displaystyle a}$⁠ .

1階微分がゼロでない領域では、正則関数は等角性を持ちます。つまり、角度と小さな図形の形状（ただしサイズは除く）を保存します。^{[ 15 ]}

すべての正則関数は解析的である。つまり、正則関数は${\displaystyle f}$各点においてあらゆる階数の導関数を持つ${\displaystyle a}$⁠その領域では、それは自身のテイラー級数と一致します。${\displaystyle a}$近隣地域で${\displaystyle a}$実際、​${\displaystyle f}$⁠はテイラーシリーズと一致します⁠${\displaystyle a}$その点を中心とし、関数の定義域内にある任意の円盤において。

代数的な観点から見ると、開集合上の正則関数の集合は可換環であり、複素ベクトル空間である。さらに、開集合内の正則関数の集合は${\displaystyle U}$は、開集合がの場合に限り、整域で ある。${\displaystyle U}$⁠は連結している。 ^{[ 7 ]}実際、それは局所凸位相ベクトル空間であり、セミノルムはコンパクト部分集合の上限である。

幾何学的観点から見ると、関数は${\displaystyle f}$⁠は⁠で正則です${\displaystyle z_{0}}$外部導関数が${\displaystyle \mathrm {d} f}$近隣地域で${\displaystyle U}$の​​${\displaystyle z_{0}}$はに等しい${\displaystyle f'(z)\,\mathrm {d} z}$⁠ある連続関数に対して⁠${\displaystyle f'}$⁠。これは以下から導かれる。

${\displaystyle 0=\mathrm {d} ^{2}f=\mathrm {d} (f'\,\mathrm {d} z)=\mathrm {d} f'\wedge \mathrm {d} z}$

その​${\displaystyle \mathrm {d} f'}$はに比例する${\displaystyle \mathrm {d} z}$⁠、導関数が⁠${\displaystyle \mathrm {d} f'}$はそれ自体が正則であり、したがっては${\displaystyle f}$は無限に微分可能である。同様に、${\displaystyle \mathrm {d} (f\,\mathrm {d} z)=f'\,\mathrm {d} z\wedge \mathrm {d} z=0}$⁠は、任意の関数が${\displaystyle f}$単連結領域上で正則である${\displaystyle U}$⁠は、⁠にも統合可能です${\displaystyle U}$⁠ .

パスの場合⁠${\displaystyle \gamma }$⁠から⁠${\displaystyle z_{0}}$⁠から⁠${\displaystyle z}$完全に横たわっている${\displaystyle U}$定義する

⁠${\displaystyle F_{\gamma }(z)=F(0)+\int _{\gamma }f\,\mathrm {d} z.}$⁠

ジョルダン曲線定理と一般化ストークスの定理に照らして、${\displaystyle F_{\gamma }(z)}$特定の経路の選択とは無関係である${\displaystyle \gamma }$⁠、したがって⁠${\displaystyle F(z)}$は上で明確に定義された関数です。${\displaystyle U}$持っている${\displaystyle \mathrm {d} F=f\,\mathrm {d} z}$⁠、または同等に⁠${\displaystyle f=\mathrm {d} F/\mathrm {d} z}$⁠ .

すべての多項式関数${\displaystyle z}$ 複素係数を持つ関数は、完全関数（複素平面全体で正則である。${\displaystyle \mathbb {C} }$⁠ )、そして指数関数も同様です。${\displaystyle \exp z}$そして三角関数​${\displaystyle \cos {z}={\tfrac {1}{2}}{\bigl (}\exp(+iz)+\exp(-iz){\bigr )}}$そして​​${\displaystyle \sin {z}=-{\tfrac {1}{2}}i{\bigl (}\exp(+iz)-\exp(-iz){\bigr )}}$（オイラーの公式を参照）。複素対数関数の主枝${\displaystyle \log z}$⁠は定義域上で正則である。${\displaystyle \mathbb {C} \smallsetminus \{z\in \mathbb {R} :z\leq 0\}}$平方根関数は次のように定義できます。${\displaystyle {\sqrt {z}}\equiv \exp {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}\log z{\bigr )}}$したがって、対数がどこであっても正則である。${\displaystyle \log z}$逆関数は​${\displaystyle {\tfrac {1}{z}}}$は上で正則である${\displaystyle \mathbb {C} \smallsetminus \{0\}}$⁠。（逆関数、およびその他の有理関数は、上で有理型である。）${\displaystyle \mathbb {C} }$⁠ .)

コーシー・リーマン方程式の結果として、任意の実数値正則関数は定数でなければならない。したがって、絶対値は${\displaystyle \vert z\vert }$⁠、議論⁠${\displaystyle \arg z}$⁠、本当の部分⁠${\displaystyle \operatorname {Re} (z)}$そして想像上の部分${\displaystyle \operatorname {Im} (z)}$は正則ではありません。正則ではない連続関数のもう1つの典型的な例は、複素共役です。${\displaystyle {\bar {z}}}$（複素共役は反正則である。）

正則関数の定義は、複数の複素変数にも簡単に一般化できます。関数⁠${\displaystyle f\colon (z_{1},z_{2},\ldots ,z_{n})\mapsto f(z_{1},z_{2},\ldots ,z_{n})}$⁠で⁠${\displaystyle n}$複素変数はある点で解析的である${\displaystyle p}$⁠近隣が存在する場合⁠${\displaystyle p}$⁠その中で⁠${\displaystyle f}$はの収束べき級数に等しい${\displaystyle n}$複雑な変数; ^{[ 16 ]} 関数${\displaystyle f}$開集合において正則である${\displaystyle U}$の​​${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$⁠各点で解析的である場合、${\displaystyle U}$オスグッドの補題は（多変数コーシー積分公式を用い て）連続関数に対して次のことを示している。${\displaystyle f}$これは以下と同等です${\displaystyle f}$各変数ごとに正則であること（つまり、もしあるならば、${\displaystyle n-1}$座標が固定されている場合、制限は${\displaystyle f}$は残りの座標の正則関数である。より深いハルトッグスの定理は、連続性の仮定が不要であることを証明している。${\displaystyle f}$⁠が正則であるのは、それが各変数に関して個別に正則である場合に限る。

より一般的に言えば、定義域の任意のコンパクト部分集合上で二乗積分可能な複数の複素変数の関数は、分布の意味でコーシー・リーマン方程式を満たす場合に限り解析的である。

複数の複素変数の関数は、いくつかの基本的な点で、単一の複素変数の関数よりも複雑です。たとえば、べき級数の収束領域は必ずしも開球ではありません。これらの領域は対数凸のラインハルト領域であり、その最も単純な例は多円盤です。しかし、それらにはいくつかの基本的な制約も伴います。単一の複素変数の関数とは異なり、より大きな領域に拡張できない正則関数が存在する可能性のある領域は非常に限られています。このような集合は正則領域と呼ばれます。

複雑な微分${\displaystyle (p,0)}$⁠ -フォーム⁠${\displaystyle \alpha }$⁠が正則であるのは、その反正則ドルボー微分がゼロである場合に限る。${\displaystyle {\bar {\partial }}\alpha =0}$⁠ .

正則関数の概念は、関数解析の無限次元空間にも拡張できる。例えば、フレシェ微分やガトー微分を用いることで、複素数体上のバナッハ空間における正則関数の概念を定義できる。

• ブレイクリー、ジョセフ（1958）。大学数学（第2 版）。ロンドン、英国：ブラッキー・アンド・サンズ。OCLC 2370110。 

• 「解析関数」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]