フュルステンベルク境界

応用数学の一分野であるポテンシャル理論において、ファーステンベルク境界は群に関連付けられた境界の概念である。これは、1963 年に始まる一連の論文 (半単純リー群の場合) でこれを導入したハリー・ファーステンベルクにちなんで名付けられた。ファーステンベルク境界は、大まかに言えば、ポアソン積分の普遍モジュライ空間であり、群上の調和関数をその境界値で表現する。

ファーステンベルク境界のモデルは双曲円板 である。円板上の有界調和関数に対する古典的なポアソン公式は、次の形をとる。 ${\displaystyle D=\{z:|z|<1\}}$

${\displaystyle f(z)={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }{\hat {f}}(e^{i\theta })P(z,e^{i\theta })\,d\theta }$

ここでPはポアソン核である。円板上の任意の関数fは、 F ( g ) = f ( g (0))と設定することで、円板のメビウス変換群上の関数を決定する。すると、ポアソン公式は次のようになる。

${\displaystyle F(g)=\int _{|z|=1}{\hat {f}}(gz)\,dm(z)}$

ここで、m は境界上のハール測度です。この関数は、適切に正規化された円板の通常のルベーグ測度から誘導されるメビウス群上の測度に関して平均値特性を満たすという意味で調和関数です。境界上の有界調和関数と (本質的に) 有界関数との関連は 1 対 1 です。

一般に、G を半単純リー群とし、μ をG上の絶対連続な確率測度とします。G上の関数f がμ 調和関数であるとは、測度 μ に関して平均値の性質を満たす場合です。

${\displaystyle f(g)=\int _{G}f(gg')\,d\mu (g')}$

このとき、 G作用と測度ν を持つコンパクト空間 Π が存在し、 G上の任意の有界調和関数は次のように与えられる。

${\displaystyle f(g)=\int _{\Pi }{\hat {f}}(gp)\,d\nu (p)}$

Π 上の 何らかの有界関数に対して。${\displaystyle {\hat {f}}}$

空間 Π と測度ν は測度 μ に依存します (したがって、調和関数を正確に構成するものは何か)。しかし、測度 ν (常に μ に純粋に依存する) には多くの可能性がある一方で、空間 Π は有限個しかありません (同型性を除く)。これらは、G を何らかの放物線部分群で割った商である G の同次空間であり、ルートデータと与えられた岩沢分解によって完全に記述できます。さらに、商写像が他のすべての空間に下がる最大の空間が存在し、これをファーステンベルク境界と呼びます。

• Borel, Armand; Ji, Lizhen、「対称空間と局所対称空間のコンパクト化」(PDF)
• ファーステンバーグ、ハリー (1963)、「半単純リー群のポアソン公式」、数学年報、77 (2): 335– 386、doi :10.2307/1970220、JSTOR  1970220
• ファーステンバーグ、ハリー (1973)、カルビン・ムーア (編)、「同質空間上の境界理論と確率過程」、純粋数学シンポジウム論文集、26、AMS: 193– 232、doi :10.1090/pspum/026/0352328、ISBN 9780821814260